Abiturprüfung Mathematik 2015 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 1 Lösungen

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1 1 Abiturprüfung Mathematik 2015 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 1 Lösungen

2 2 Aufgabe A 1 Der Laderaum eines Lastkahns ist 50 m lang. Sein Querschnitt ist auf der gesamten Länge gleich und wird modellhaft beschrieben durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = x4 ; 5 x 5 (x und f(x) in Meter) a) Wie tief ist der Laderaum in der Mitte? Wie breit ist er in 3 m Höhe? In welchem Bereich hat der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5%? Berechnen Sie das Volumen des Laderaums. (5 VP)

3 3 b) Zur Wartung steht der Lastkahn an Land auf einer ebenen Plattform. Dort wird er stabilisiert durch gerade Stützen, die orthogonal zur Außenwand des Laderaums angebracht sind. Betrachtet werden zwei einander gegenüberliegende Stützen, deren Befestigungspunkte im Modell durch die Punkte P 1 4 f 4 und P 2 4 f 4 beschrieben werden. In welchem Abstand voneinander enden diese Stützen auf der Plattform? c) Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt 500 m 3. Berechnen Sie die Breite der Zwischendecke. (3 VP) (4 VP)

4 4 d) Untersuchen Sie, ob sich eine zylinderförmige Röhre mit Außendurchmesser 9,8 m so in Längsrichtung legen lässt, dass sie ihn an der tiefsten Stelle berührt. (3 VP)

5 f(x) = x4 5 x 5 5 Lösung Aufgabe A 1 a) Tiefe des Laderaums in der Mitte Mit dem GTR lassen wir uns den Graphen der Funktion zeichnen, um uns einen Überblick zu verschaffen. Es gilt f 5 = f 5 = 5 und f 0 = 0 (GTR). An den Stellen x = 5 und x = 5 ist der Lastkahn am höchsten und an der Stelle x = 0 (in der Mitte) ist er am tiefsten (ohne weiteren rechnerischen Nachweis). Dieser Höhenunterschied ist die Tiefe des Lastkahns. Ergebnis: Der Laderaum ist in der Mitte 5m tief.

6 6 Breite des Laderaums in 3 m Höhe Mit dem GTR lassen wir uns bei Y 2 zusätzlich die Gerade y = 3 einzeichnen. Mit 2ND CALC intersect bestimmen wir den Schnittpunkt beider Kurven an der Stelle x 1 = 4,4 bzw. wegen der Achsensymmetrie bei x 2 = 4,4. Die Differenz ist dann die gesuchte Breite. Ergebnis: In 3 m Höhe ist der Lastkahn 8,8 m breit.

7 7 Bereich mit Neigung < 5% Gesucht ist ein Bereich mit f x < 0,05. Beachte hier die Betragsbildung! Hierzu geben wir im GTR bei Y 2 den Ausdruck für die erste Ableitung von f(x) ein, siehe Abbildung rechts. Bei Y 3 geben wir 0,05 ein und lassen uns die Graphen für Y 2 und Y 3 im Bereich x 5; 5 bzw. y 0,2; 0,2 zeichnen. Mit 2ND CALC intersect bestimmen wir den Schnittpunkt der beiden Kurven bei x 1,16. Somit ist für x < 1,16 die Neigung des Bodens unter 5% oder anders ausgedrückt: Ergebnis: Im Bereich 1,16 < x < 1,16 hat der Boden eine Neigung unter 5%.

8 f(x) = x4 5 x 5 8 Volumen des Laderaums Wir berechnen zunächst die Querschnittsfläche A des Lastkahns, siehe Abbildung. Aufgrund der Achsensymmetrie gilt A 1 = A 2 und somit: A = A 2 A 1 Die Abmessungen des Rechtecks kennen wir aus den vorherigen Aufgaben. Es gilt A = 10 5 = 50. A y A 1 A 2 x Mit dem GTR berechnet man A 2 = 0 5 f x dx = 5. Damit folgt A = = 40. Bei einer Länge des Lastkahns von 50 m ergibt dies V = = Ergebnis: Der Lastkahn hat ein Volumen von 2000 m 3.

9 9 Lösung Aufgabe A 1 b) Abstand der Stützen Die Stütze im Punkt P 2 4 f 4 steht senkrecht zur Tangente an der Stelle x = 4. Daher bestimmen wir zunächst die Gleichung der Normalen und stellen dann fest, wo diese die x-achse schneidet. Die Normalengleichung ist gegeben durch die Formel y N = 1 f x 0 x x 0 + f(x 0 ) Mit x 0 = 4 folgt f x 0 = 2,048 und nach Eingabe von nderive(y 1,X,4) im GTR ebenfalls f x 0 = 2,048. y P 2 x

10 y N = 1 f x 0 x x 0 + f(x 0 ) x 0 = 4 f x 0 = 2,048 f x 0 = 2, Eingesetzt in die Normalengleichung liefert dies y N = 1 x 4 + 2,048 2,048 Für y N = 0 erhalten wir den Schnittpunkt mit der x-achse: 0 = 1 1 x 4 + 2,048 2,048 = x 4 2,048 2,048 2,048 2 = x 4 x = 2, ,194 Dies ist der Abstand des rechten Stützbalkens am Boden zur Mitte des Lastkahns. Da f(x) symmetrisch zur y-achse ist, hat der linke Stützbalken denselben Abstand. Ergebnis: Der Abstand der Stützbalken am Boden ist ca. 16,39 m.

11 V = 500 m 3 l = 50 m f(x) = x4 11 Lösung Aufgabe A 1 c) Breite des Zwischendecks Die Querschnittsfläche A des unteren Teilraums ergibt sich aus A = V l = = 10. Wie in Teilaufgabe a) lautet die Formel für die Querschnittsfläche A = A 2 A 1. Wenn wir die noch unbekannte Breite des Rechtecks u setzen ergibt sich: 10 = 2 u f u 2 u u 1 Mit 0 f x dx = x4 dx = 1 u 625 x5 u = u f x dx A 1 A und f(u) = u4 folgt y P u f u A 2 u x

12 100 = 2 u f u 2 0 u f x dx f(u) = u4 u f x dx = u = 2 u u5 625 = 2u = 2u5 Umstellen nach u liefert u 5 = u 3,79. 8 Die Breites des Zwischendecks ist dann das Doppelte von u = u5 A y P u f u Ergebnis: Das Zwischendeck ist etwa 7,58 m breit. A 1 A 2 u x

13 f(x) = x4 13 Lösung Aufgabe A 1 d) Berührt die Röhre den Boden des Lastkahns? Wenn die Röhre auf dem Boden aufliegt, dann M P u f u muss wegen d = 9,8 also r = 4,9 der Mittelpunkt bei M 0 4,9 liegen. Die Punkte der Wand des Lastkahns haben die Koordinaten P u f u. Wenn es nun einen Punkt P gibt, der zu M einen geringeren Abstand als r hat, dann liegt dieser Punkt innerhalb der Röhre. Da dies nicht möglich ist, kann in diesem Fall die Röhre nicht auf dem Boden aufliegen. Wir müssen also prüfen, ob werden kann. d M, P = u f u 4,9 2 < 4,9 y x

14 f(x) = x4 14 Wenn Sie bei Y 1 im GTR den Funktionsterm für f(x) eingegeben haben, geben Sie nun bei Y 2 den Ausdruck X 2 + Y1 X 4,9 2 ein. Lassen Sie sich den Graphen von Y 2 zeichnen. Mit 2ND CALC minimum finden Sie den minimalen Abstand von M zur Wand des Lastkahns mit d min = 4,78. Da d min < 4,9 ist, müsste die Wand des Lastkahns innerhalb der Röhre verlaufen, was nicht sein kann. Ergebnis: Die Röhre kann nicht bis zur tiefsten Stelle des Lastkahns abgesenkt werden.

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