MATHEMATIK K1. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte

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Maja Maurer
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1 MATHEMATIK K Aufgabe Punkte (max) Punkte Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte Der GTR ist nur für die Lösung der Textaufgabe (und zur Kontrolle der andern) zugelassen. Der Rechenweg muss ersichtlich sein, und bei der Textaufgabe muss der Ansatz aufgeschrieben werden. Lösungen auf dem Aufgabenblatt werden nicht gewertet! (1) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, und vereinfachen Sie soweit wie möglich. a(x) = x 2 e 1 x f(x) = 1 (4x 6)5 10 g(x) = sin ( π 2 x) h(x) = cos x k(x) = x m(x) = 2 ln(5x 3 ) x (2) Lösen Sie die Gleichung e 2x e x = 2.

2 (3) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Schaubilds der Funktion f, welche durch die Funktionsgleichung f(x) = e 2x+1 2x gegeben ist, und weisen Sie nach, dass der Graph von f keinen Wendepunkt besitzt. (4) Bestimmen Sie die Gleichungen von Tangente und Normale an das Schaubild von f(x) = xe x + 1 bei x = 0. (5) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Schaubilds von f(x) = (x )(x 8) mit den Koordinatenachsen. (6) Die Funktion f(t) = 0,6t 3 7,6t 2 + 6,4t (t in Monaten, der 1. Januar ist t = 0; f(t) in cm) gibt die Schneehöhe in einem Bergdorf im Verlauf eines Jahres an. (a) (1 VP) Skizzieren Sie das Schaubild von f in einem geeigneten Koordinatensystem. (b) (1 VP) Wie hoch liegt der Schnee am 1. März? (c) (2 VP) In welchen Zeiten ist der Schnee höher als 1 m? (d) (2 VP) Wann liegt am meisten Schnee? Wie hoch ist er dann? (e) (2 VP) Untersuchen Sie, ob der Schnee im Sommer vollständig wegschmilzt. (f) (1 VP) Wann nimmt die Schneehöhe am schnellsten ab? (g) (1 VP) Um wie viele cm pro Monat steigt die Schneehöhe von Anfang August bis Ende Dezember durchschnittlich an? (7) (1 VP) Eine quadratische Weidefläche der Größe 1 ha soll eingezäunt werden. Alle 10 m wird ein Pfosten aufgestellt. Wie viele Pfosten werden benötigt?

3 MATHEMATIK K1 3 Lösungen (1) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, und vereinfachen Sie soweit wie möglich. a(x) = x 2 e 1 x a (x) = 2xe 1 x x 2 e 1 x f(x) = 1 10 (4x 6)5 f (x) = 2(4x 6) 4 g(x) = sin ( π 2 x) g (x) = π 2 cos ( π 2 x) h(x) = cos x h (x) = sin x 2 cos x k(x) = x x k (x) = 1 x2 (x 2 + 1) 2 m(x) = 2 ln(5x 3 ) m (x) = 6 x (2) Lösen Sie die Gleichung e 2x e x = 2. Substitution e x = z liefert z 2 z 2 = 0, also z 1 = 1 und z 2 = 2. Die Gleichung e x = 1 hat keine Lösung, die Gleichung e x = 2 liefert x 1 = ln(2). (3) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Schaubilds der Funktion f, welche durch die Funktionsgleichung f(x) = e 2x+1 2x gegeben ist, und weisen Sie nach, dass der Graph von f keinen Wendepunkt besitzt. Wir finden f (x) = 2e 2x+1 2 und f (x) = 4e 2x+1. Extrempunkte: f (x) = 0 liefert e 2x+1 = 1, also 2x + 1 = 0 und somit x 1 = 1. Wegen f ( 1 ) > 0 (die Exponentialfunktion ist 2 2 immer positiv) liegt ein Tiefpunkt vor. Aus f( 1) = 2 ergibt 2 sich T ( 1 2). 2

4 Wendepunkt: notwendige Bedingung ist f (x) = 0, also 4e 2x+1 = 0. Diese Gleichung hat keine Lösung, da die Exponentialfunktion immer positiv ist. Also gibt es auch keinen Wendepunkt. (4) Bestimmen Sie die Gleichungen von Tangente und Normale an das Schaubild von f(x) = xe x + 1 bei x = 0. Es ist f (x) = e x + xe x = (x + 1)e x, also y 0 = f(0) = 1 und m = f (0) = 1. Einsetzen von (0 1) in y = x + b ergibt b = 1, also t : y = x + 1. Normale: mm = 1 liefert m = 1; wieder folgt b = 1, also n : y = x + 1. (5) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Schaubilds von f(x) = (x )(x 8) mit den Koordinatenachsen. Schnittpunkt mit y-achse: f(0) = 96 gibt S(0 96). Schnittpunkte mit y-achse: f(x) = 0 und Satz vom Nullprodukt ergibt x 1 = 8, also N(8 0). (6) Die Funktion f(t) = 0,6t 3 7,6t 2 + 6,4t (t in Monaten, der 1. Januar ist t = 0; f(t) in cm) gibt die Schneehöhe in einem Bergdorf im Verlauf eines Jahres an. (a) (1 VP) Skizzieren Sie das Schaubild von f in einem geeigneten Koordinatensystem. (b) (1 VP) Wie hoch liegt der Schnee am 1. März? f(2) = 116,2: Die Schneehöhe am ist 116 cm. (c) (2 VP) In welchen Zeiten ist der Schnee höher als 1 m? f(t) = 100 liefert t 1 = 2.8 und t 2 = 11.4, also liegt der Schnee von Anfang Januar bis Ende März, sowie ab Mitte Dezember mehr als 1 m hoch. (d) (2 VP) Wann liegt am meisten Schnee? Wie hoch ist er dann? Maximum von f(t) ergibt t = 12 und f(12) = 148.2, d.h. der Schnee liegt am Jahresende am höchsten, und zwar 148 cm hoch.

5 MATHEMATIK K1 5 (e) (2 VP) Untersuchen Sie, ob der Schnee im Sommer vollständig wegschmilzt. f(t) = 0 hat keine Lösung, also lautet die Antwort Nein. Bestimmung des Minimums von f(t) zeigt, dass immer mindestens 1 cm Schnee liegt. (f) (1 VP) Wann nimmt die Schneehöhe am schnellsten ab? Minimum von f (t): GTR liefert t = 4,2; schnellste Abnahme nach 4,2 Monaten, also Anfang Mai. (g) (1 VP) Um wie viele cm pro Monat steigt die Schneehöhe von Anfang August bis Ende Dezember durchschnittlich an? Anfang August: t = 7; Ende Dezember: t = 12, durchschnittlicher Anstieg f(12) f(7) a = = = also etwas mehr als 28 cm pro Monat. (7) (1 VP) Eine quadratische Weidefläche der Größe 1 ha soll eingezäunt werden. Alle 10 m wird ein Pfosten aufgestellt. Wie viele Pfosten werden benötigt? 1 ha sind m 2, also ein Quadrat der Seitenlänge 100 m. Man braucht daher 40 Pfosten (11 auf jeder Seite, aber die 4 Eckpfosten sind dabei doppelt gezählt).

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