(a b c = ) ( (

Transkript

1 Funktionssynthese / Trassierung Beide Themen gehören schon ein wenig zusammen, denn bei beiden Themen werden Eigenschaften, die die spätere Funktion haben soll, vorher definiert. Über die definierten Eigenschaften kommt man dann über lineare Gleichungssysteme zu den gesuchten Funktionen. Funktionssynthese Vorgegeben werden oft die Koordinaten von Wendestellen, Extremstellen oder Nullstellen. Je mehr solcher Bedingungen vorliegen, desto genauer oder besser kann die spätere Funktion diese Bedingungen erfüllen. Beispiel 1: Es ist eine Funktion gesucht, die eine Nullstelle bei x = 1 und einen Extrempunkt bei ( 2 / 4 ) aufweist. Wir können aus den genannten Bedingungen folgendes ablesen: (1) f(1) = 0 Nullstelle bei x = 1 (2) f(2) = 4 Extrempunkt bei ( 2 / 4 ) (3) f'(2) = 0 es handelt sich um eine Extremstelle, also erste Ableitung ist Null Das sind insgesamt drei Bedingungen. Wenn man eine eindeutige Lösung haben möchte, können wir mit drei Gleichungen drei unbekannte Größen bestimmen. Da eine allgemeine Potenzfunktion aufgebaut ist nach dem folgenden Schema: f ( x) = a x 2 + b x + c, haben wir eine Funktion zweiten Grades mit insgesamt drei unbekannten Koeffizienten a, b und c. Dieses Funktionsschema erweitern wir noch um die Ableitung, die bei den Bedingungen auftaucht: f ' (x ) = 2a x + b Jetzt setzt man der Reihe nach alle Bedingungen in die Funktionen ein: Daraus folgt eine Matrix für die Koeffizienten: f (1) = 0: a b 1 + c = 0 f (2) = 4: a b 2 + c = 4 f ' (2) = 0: 2a 2 + b = 0 (a b c = ) ( Über der Matrix ist notiert, um welche Koeffizienten es sich in der jeweiligen Spalte handelt. Koeffizienten, die in der Funktion nicht mehr vorkommen, z.b. bei der Ableitung der Koeffizient c, werden Null gesetzt. Das Ganze wird in den GTR eingegeben und gelöst: ( ( rref ) Genau wie bei der Eingabematrix sind auch bei der Lösungsmatrix die Spalten mit den Koeffizienten a bis c überschrieben. Das bedeutet im Einzelnen:

2 Und damit haben wir die gesuchte Funktion: Beispiel 2: a = 4 b = 16 c = 12 f ( x) = 4 x x 12 Eine Funktion berührt die x-achse im Ursprung und durchläuft in ( -2 / 2 ) einen Terassenpunkt. Bedingungen: (1) f( = 0 Berührpunkt der x-achse bei x = 0 (2) f'( = 0 Berührpunkt heißt doppelte Nullstelle (3) f(-2) = 2 Terassenpunkt (4) f'(-2) = 0 Terassenpunkt ist ein Extrempunkt (5) f''(-2) = 0 Terassenpunkt ist ein Wendepunkt Fünf Bedingungen bedeuten, dass eine Funktion vierten Grades gesucht wird: f ( x) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e f '( x) = 4 a x 3 + 3b x 2 + 2c x + d f ' ' (x ) = 12a x b x + 2c Einsetzen der Bedingungen in die jeweilige Funktion: f ( = 0: a b c d 0 + e = 0 f '( = 0: 4a b c 0 + d = 0 f ( 2) = 2: a ( 2) 4 + b ( 2) 3 + c ( 2) 2 + d ( 2) + e = 2 f ' ( 2) = 0: 4a ( 2) 3 + 3b ( 2) 2 + 2c ( 2) + d = 0 f ' ' ( 2) = 0: 12a ( 2) 2 + 6b ( 2) + 2c = 0 Das führt zu den folgenden Koeffizienten- und Lösungsmatrizen: rref Die Funktion lautet also: ( 3 ( Der Funktionsgraph: f ( x) = 3 8 x x x 2

3 Trassierung: Bei der Trassierung werden nicht unbedingt bestimmte Punkte im Funktionsverlauf definiert, obwohl das natürlich auch passieren kann, sondern die gesuchte Funktion soll sich an eine oder zwei andere Funktionen anpassen. Das bedeutet, die anderen Funktionen geben z.b. den Punkt vor, an dem sich die gesuchte Funktion anschließt. Weitere Bedingungen sind dann z.b. die Sprungfreiheit (die gesuchte Funktion hat an der Übergangsstelle den gleichen Funktionswwert wie die gegebene Funktion) die Knickfreiheit (die erste Ableitung der gesuchten Funktion ist an der Übergangsstelle die gleiche der gegebenen Funktion) die Krümmungsruckfreiheit (die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen sind gleich) Beispiel 3: An eine Funktion f(x) soll sich eine Funktion g(x) anschließen. Dieser Anschluss soll knick- und krümmungsruckfrei bei x = 2 erfolgen. Zu erwähnen ist hier, dass die Funktion f(x) nur bis x = 2 definiert ist. Das passiert aufgrund von Anwendungsbezügen, auf die hier nicht näher eingegangen wird. Dementsprechend ist die gesuchte Funktion g(x) erst ab x = 2 definiert. Die Funktion f(x) lautet: Die Bedingungen: f ( x) = 2 x 3 x (1) f(2) = g(2) beide Funktionen verlaufen durch den Punkt x = 2 (2) f'(2) = g'(2) der Übergang erfolgt knickfrei (3) f''(2) = g''(2) der Übergang erfolgt krümmungsruckfrei Wir haben drei Bedingungen, also ist die gesuchte Funktion vom Grad zwei: g(x ) = a x 2 + b x + c g' (x ) = 2a x + b g' '( x) = 2a Aus den Bedingungen folgt für die Funktion f(x): f (2) = = 18 f ' (2) = = 20 f ' ' (2) = = 22 Damit können wir für die gesuchte Funktion schreiben: g(2): a b 2 + c = 18 g' (2): 2a 2 + b = 20 g' '( x): 2a = 22 Koeffizienten- und Lösungsmatrix: rref( ) ( ) Also folgt für die gesuchte Funktion die Gleichung: g(x ) = 11 x 2 24 x + 22

4 ( Beispiel 4: Gegeben sind zwei Funktionen, die durch eine weitere knick- und krümmungsruckfrei verbunden werden soll: f ( x) = 2 x 2 definiert bis x = 1 h(x ) = 1 3 x3 4 x definiert ab x = 3 Die gesuchte Funktion g(x) ist also definiert von 1 x 3. Die Bedingungen: (1) f(1) = g(1) (2) f'(1) = g'(1) (3) f''(1) = g''(1) (4) h(3) = g(3) (5) h'(3) = g'(3) (6) h''(3) = g''(3) Die gesuchte Funktion ist vom Grad fünf (sechs Bedingungen) Bedingungen einsetzen: g(x ) = a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f g' (x ) = 5a x b x 3 + 3c x 2 + 2d x + e g' '( x) = 20a x b x 2 + 6c x + 2d Matrizen: rref f (1) = 2 a + b + c + d + e + f = 2 f ' (1) = 4 5a + 4b + 3c + 2d + e = 4 f ' ' (1) = 4 20 a + 12b + 6c + 2d = 4 h(3) = 3 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 3 h' (3) = 5 405a + 108b + 27c + 6 d + e = 5 h' ' (3) = 6 540a b + 18c + 2 d = ) ) 5 ( Die gesuchte Funktion lautet also: g(x ) = 5 2 x x 4 96 x x x

5 Die Funktionsgraphen sehen dann so aus: Oftmals werden für die gesuchte Funktion nicht nur Punkte oder Verhaltensweisen an bestimmten Stellen vorgegeben, sondern es wird auch vorgegeben, um was für ein Funktionstyp es sich handeln soll. Bis jetzt handelte es sich um Polynomfunktionen, es können aber auch Sinus-, bzw. Cosinus-Funktionen sein, oder auch Exponentialfunktionen. Darauf soll hier eingegangen werden. Beispiel 5: Sinus-Funktion Bestimmen Sie für g(x ) = a x + sin(b x ) die Werte für a und b, so dass gilt: g(x) hat für x = 0 die Steigung 1 + π und bei x = 1 einen Wendepunkt. Die Bedingungen fordern etwas für die Steigung und einen Wendepunkt. Wir können also schon einmal die beiden Ableitungen bilden: g(x ) = a x + sin(b x ) g' (x ) = a + b cos(b x ) g ' ' (x ) = b 2 sin(b x ) Die Steigung hat bei x = 0 einen bestimmten Wert. Wir können also schreiben: g' ( = a + b cos(b = 1 + π a + b = 1 + π Außerdem soll bei x = 1 ein Wendepunkt bestehen: Hier gilt, dass entweder -b 2 = 0 oder sin(b) = 0 ist. g' '(1) = b 2 sin(b 1) = 0 b 2 sin(b) = 0 Wir müssen also zwei Fälle unterscheiden und getrennt voneinander untersuchen.

6 1. Fall: b = 0; a = 1 + π 2. Fall: sin(b) = 0 Wann ist eine Sinus-Funktion Null? Der Sinus ist immer Null bei x = 0, x = π, x = 2π, Allgemein: bei x = kπ; k N b = kπ; a = 1 + π kπ = 1 + π (1 k) Mit der Lösung aus dem 2. Fall ist auch die Lösung für den ersten Fall abgedeckt (für k =. Also die Lösung lautet: a = 1 + π (1 k); b = kπ Damit ergibt sich die Funktion g(x ) = (1 + π(1 k)) x + sin(k π x) Beispiel 6: Exponentialfunktion Hier soll aus zwei gegebenen Punkten eine Funktion für ein exponentielles Wachstum ermittelt werden. Der Funktionstyp ist also vorgegeben, er lautet: f ( x) = a e k x. Die Koordinaten der beiden Punkte sind: P ( 2 / 30 ) und Q ( 5 / 22 ). Wir setzen beide Punktkoordinaten in die Funktion ein und erhalten: f (2) = a e k 2 = 30 f (5) = a e k 5 = 22 Wenn wir eine Gleichung nach a umstellen und in die andere Gleichung einsetzen, erhalten wir: Das können wir vereinfachen: a = 30 e k 2 22 = 30 e k 2 e k = e k 5 e k 2 = e k 5 ( k 2) = e 3 k Beide Seiten der Gleichung werden logarithmiert: ln( 22 3 = 3 k ln( 22 3 k = = 0, Das in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt ergibt a: 2 ln( a e = 30 a = 36,89 Damit erhalten wir den Funktionsterm f ( x) = 36,89 e 0,1034 x.