Überprüfung der 2.Ableitung
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- Werner Busch
- vor 9 Jahren
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1 Übungen zum Thema: Extrempunkte ganzrationaler Funktionen Lösungsmethode: Überprüfung der.ableitung Version: Ungeprüfte Testversion vom / 1. h
2 1. Finde lokale Extrema der unten aufgeführten ganzrationalen Funktionen. Berechne diese Punkte mit Hilfe der Methode: Untersuchung der.ableitung. 1a) f(x) = x 8x+ 1 Extremum 1b) f(x) = x + x+ 1 Extremum 1c) f(x) = x 9x + 15x Extrema 1d) f(x) = x x + x Extrema e) f(x) = x 8x + x x+ 1 Extrema 1f) f(x) = x 9x 7x+ Extrema 1g) f(x) = x x+ 5 Extrema 1h) f(x) = x + x+ 9 1 Extremum 1i) f(x) = x x+ 1 Extremum 1j) f(x) = x x 1x+ 5 Extrema 1k) f(x) = x 6x + 9x+ 1 Extrema 1L) f(x) = x + x 9x+ 1 Extrema 1m) f(x) = x 9 x + 1x Extrema
3 Lösung zu 1a Gegeben : f(x) = x 8x+ Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Gegeben ist die Funktion: f x = x 8x+ Wir wenden die Summenregel an: f' x x 8x = + Jetzt wenden wir auf jeden einzelnen Summanden die Potenzregel an: f' ( x) = x 8+ Vereinfachen : f' x = x 8 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : x 8 = Wir lösen diese lineare Gleichung durch Auflösen nach x : x 8 = x = 8 x = Die Stelle x = ist ein mögliches Extremum / Sattelpunkt. Diese Stelle müssen wir nun weiter untersuchen. Die.Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' ( x) = x 8 Wir wenden die Summenregel an, um die.ableitung zu bestimmen: f" ( x) = ( x) ( 8) Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweil die Potenzregel an: f" ( x) = Vereinfachen : f''(x) =
4 Die. Ableitung untersuchen : Wir untersuchen nun, welchen Wert die zweite Ableitung an de Nullstelle der ersten Ableitung hat. Die.Ableitung lautete : f ''(x) = Da die zweite Ableitung eine kons tante Funktion ist, hat sie stets den gleichen, positiven Wert, also auch an der Stelle des möglichen Extremums / Sattelpunktes x =. Folg lich liegt bei x = ein Minimum vor. y Koordinaten des Minimums berechnen : Nun die gefundenen x-koordinaten des Minimums (x=) in die gegebene Gleichung einsetzen, um die y-koordinate des Minimums zu berechnen: Gegebene Gleichung f ( x ) : Gegebene Gleichung f ( x ) an der Stelle des Minimums ( x = ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x = x 8x+ f = 8 + = 1 Das lokale Minimum hat die Koordinaten / 1 Ergebnis : 8x+ ( / 1) Die Funktion f x = x hat bei ein lokales Minimum, jedoch keine lokalen Maxima oder Sattelpunkte( Terassenpunkte ). Zusatzhinweis : Das die Funktion keinen Sattelpunkt hat, hätten wir uns auch ohne Re chung überlegen können : Quadratische Funktionen haben als Graph en eine Parabel, und Parabe ln haben niemals einen Sattelpunkt. Außerdem haben Parabe ln stets nur ein Extremum
5 Lösung zu 1b Gegeben : f(x) x x = + + Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Gegeben ist die Funktion: f(x) = x + x+ Wir wenden die Summenregel an: f' x x x = + + Jetzt wenden wir auf jeden einzelnen Summanden die Potenzregel an: f' ( x) = x+ + Vereinfachen : f' x = x+ Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : x + = Wir lösen diese lineare Gleichung durch Auflösen nach x : x + = x = x = 1 Die Stelle x = 1 ist ein mögliches Extremum / Sattelpunkt. Diese Stelle müssen wir nun weiter untersuchen. Die.Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' ( x) = x+ Wir wenden die Summenregel an, um die.ableitung zu bestimmen: f" ( x) = ( x) + Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweil die Potenzregel an: f" ( x) = + Vereinfachen : f''(x) =
6 Zweite Ableitung untersuchen : Wir untersuchen nun, welchen Wert die zweite Ableitung an de Nullstelle der ersten Ableitung hat. Die.Ableitung lautete : f ''(x)= Da die zweite Ableitung eine kons tante Funktion ist, hat sie stets den gleichen, positiven Wert, also auch an der Stelle des möglichen Extremums / Sattelpunktes x = 1. Folg lich liegt bei x = 1 ein Minimum vor. y Koordinaten des Minimums berechnen : Nun die gefundenen x-koordinaten des Minimums (x= 1) in die gegebene Gleichung einsetzen, um die y-koordinate des Minimums zu berechnen: Gegebene Gleichung f ( x ) : Gegebene Gleichung f ( x ) an der Stelle des Minimums ( x = 1) ( 1 ) ( 1) f x = x + x+ f 1 = + + = Das lokale Minimum hat die Koordinaten 1 / Ergebnis : ( / ) Die Funktion f x = x +x+ hat bei 1 ein lokales Minimum, jedoch keine lokalen Maxima oder Sattelpunkte( Terassenpunkte ). Zusatzhinweis : Das die Funktion keinen Sattelpunkt hat, hätten wir uns auch ohne Re chung überlegen können : Quadratische Funktionen haben als Gr aphen eine Parabel, und Parabeln haben niemals einen Sattelpunkt. Außerdem haben Parabeln stets nur ein Extremum. Graph der Funktion:
7 Lösung zu 1c Gegeben : f(x) = x 9x + 15x Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Gegeben ist die Funktion: f(x) = x 9x + 15x Wir wenden die Summenregel an: f' x x 9x 15x = + Jetzt wenden wir auf jeden einzelnen Summanden die Potenzregel an: f ' ( x) = x 18x + 15 Vereinfachen : f' x = x 18x+ 15 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : x 18x 15 + = Wir lösen diese quadratische Gleichung mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen : x 1, ± 18 ± ± = = = a 6 b b ac 18 1 x = 1 oder 5 1, Die Stellen x = 1 und x = 5 sin d mögliche Extrema / Sattelpunkte. Diese müssen wir nun weiter untersuchen. Die.Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' ( x) = x 18x+ 15 Wir wenden die Summenregel an, um die.ableitung zu bestimmen: f" x x 18x 15 = + Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweil die Potenzregel an: f" ( x) = 6x 18+ Vereinfachen : f''(x) = 6x 18
8 Zweite Ableitung untersuchen : Wir untersuchen nun, welchen Wert die zweite Ableitung f ''(x)= 6x 18 an den möglichen Extrem / Sattelpunkten x = 1 und x = 5 hat : x = 1 x = 5 f''( 1) = f''( 5) = f ''( 1) = 1 f ''( 5) = 18 zweite Ableitung negativ f ''( 5 ) = 1 x = 1 ist lokales Maximum zweite Ableitung positiv x = 5 ist lokales Minimum y Koordinaten der Extrema berechnen : Die gefundenen x-koordinaten des Maximums (x=1) und des Minimums (x=5) in die gegebene Gleichung einsetzen, um die y-koordinaten der Extrema zu berechnen: f ( x ) = x 9x + 15x f (1) = f(1) = Das lokale Maximum hat die Koordinaten 1 / f(x) = x 9x + 15x f( 5) = f( 5) = f( 5 ) = 8 Das lokale Minimum hat die Koordinaten 5 / ( 8) Ergebnis : ( 5 / 8 ) ist ein lokales Minimum, ( 1 / ) ist ein lokales Maximum
9 Lösung zu 1d Gegeben : 5 f ( x) = x 15x + 16x Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Gegeben ist die Funktion: 5 f ( x) = x 15x + 16x Wir wenden die Summenregel an: 5 f ' ( x) = ( x ) ( 15x ) + ( 16x) Jetzt wenden wir auf jeden einzelnen Summanden die Potenzregel an: f ' x = 15x 75x + 16 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null. Es entsteht eine biquadratische Gleichung.Grades, die wir durch die Substitution x = z auf eine quadratische Gleichung zurückführen, die wir mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen können : 15x 75x + 16 = 15z 75z + 16 = z = 16 oder z = 9 Rücksubstitution : x = z x = z x = 9 x = 16 x =± x =± Die Stellen x =± und x =± sin d mögliche Extrema / Sattelpunkte Diese Stellen untersuchen wir nun mit Hilfe der.ableitung. Die.Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f ' ( x) = 15x 75x + 16 Wir wenden die Summenregel an, um die.ableitung zu bestimmen: f " ( x) = ( 15x ) ( 75x ) + ( 16) Jetzt wenden wir auf jeden der Summanden die Potenzregel an: f " ( x) = 6x 75x + Vereinfachen : f ''( x ) = 6x 75x
10 .Ableitung untersuchen: Wir untersuchen nun, welchen Wert die zweite Ableitung f ''(x)= 6x 75x an den Nullstellen der 1.Ableitung hat, d.h. an den vier möglichen Extrema / Sattelpunkten x =± und x =± : x = x = f ''( ) = 6 ( ) 75 ( ) f ''( ) = 6 ( ) 75 ( ) f ''( ) = f ''( ) = 16 5 f ''( ) = 6 f ''( ) = 6 zweite Ableitung positiv zweite Ableitung negativ x = ist lokales Minimum x = ist lokales Maximum x = x = f ''( ) = 6 ( ) 75 ( ) f ''( ) = 6 ( ) 75 ( ) f ''( ) = 8 + f ''( ) = 8 f''( ) = 8 f ''( ) = 8 zweite Ableitung negativ zweite Ableitung positiv x = ist lokales Maximum x = ist lokales Minimum y Koordinaten der Extrema berechnen: 5 5 = + ( ) = ( ) ( ) + ( ) 5 5 ( ) 5 5 = + f ( ) = ( ) 15 ( ) + 16 ( ) 5 5 ( ) f x x 15x 16x f = 8 f x = x 15x + 16x f = = 8 f x x 15x 16x = 71 f x = x 15x + 16x f = = 71 Ergebnis: Die Funktion hat folg ende Extrema: Zwei lokale Minima : / 8 und / Zwei lokale Maxima : / 8 und / 71 ( ) ( 71) ( )
11 Lösung zu 1e Gegeben : = + + Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : f ( x ) x 8x x x 1 Gegeben ist die Funktion: f ( x ) = x 8x + x x + 1 Wir wenden die Summenregel an: f '( x) = ( x ) ( 8x ) + ( x ) ( x) + ( 1) Jetzt wenden wir auf jeden einzelnen Summanden die Potenzregel an: f' ( x) = x x + x + Vereinfachen : f ' x = x x + x Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null. Es entsteht eine Gleichung.Grades. Da man in der Schulmathematik die Lösungsformel für Gleichungen.Grades nicht lernt, müssen wir eine andere Methode versuchen, um die Gleichung.Grades zu lösen : Wir erinnern uns an einen Satz aus der Alg ebra : "Hat eine ganzrationale Funktion ganzzahlige Lösungen, dann sin d sie unter den Teilern des Absolutgliedes zu finden". Wir lösen die Gleichung also durch Pr obieren, indem wir die "Teiler des Absolutgliedes" der Reihe nach in die Gleichung einsetzen : x x x + = Zuerst teilen wir die Gleichung durch, um die Rechnung übersichtlich zu halten x 6 x + 11x 6 = Die Teiler des Absolutgliedes (6 ) sin d die Zahlen : 1,,,6, 1,,, 6. Wir setzen diese Zahlen der Reihe nach in die Gleichung ein. Beachte, dass eine Gleichung.Grades maximal Lösungen haben kann, d.h. wenn du drei Lösungen gefunden hast, kannst du aufhören zu probieren. Durch Pr obieren erhalten wir die Lösungen x = 1, x = und x = : = = = = = =
12 Die.Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f ' ( x) = x x + x Wir wenden die Summenregel an, um die.ableitung zu bestimmen: f " x x x x = + Jetzt wenden wir auf jeden der Summanden die Potenzregel an: f" ( x) = 1x 8x+ + Vereinfachen : f " x = 1x 8x +.Ableitung untersuchen: Wir setzen die Nullstellen der 1.Ableitung (x=1, x=, x=) in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete: f '' x = 1x 8x + ( 1 ) f " = = 8 ( ) 8> x = 1 ist ein Minimum f" = = < x = ist ein Maximum ( ) = 8 8> f " = x = ist ein Minimum
13 y- Werte der Extrema berechnen: Die x-koordinaten der Extrema sind nun schon bekannt, aber wir müssen noch die y-koordinaten berechnen, um die Extrempunkte zu berechnen. Dazu setzen wir die x-koordinaten der Extrema in die gegebene Funktion f(x) = x 8x + x x + 1 ein: x = 1 Minimum f( 1) = = x = Maximum: f = = x = Minimum f( ) = = Ergebnis: Die Funktion f(x) = x 8x + x x + 1 hat folg ende drei Extrama : Lokales Minimum : (1 / ) Lokales Maximum : ( / ) Lokales Minimum : ( / ) Die Funktion hat keinen Sattelpunkt. Graph der Funktion:
14 Lösung zu 1f Gegeben : f(x) x 9x 7x = + Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Gegeben ist die Funktion: f(x) = x 9x 7x+ Wir wenden die Summenregel an: f' x x 9x 7x = + Jetzt wenden wir auf jeden einzelnen Summanden die Potenzregel an: f ' ( x) = 9x 18x 7 + Vereinfachen : f' x = 9x 18x 7 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null. Es entsteht eine quadratische Gleichung. Diese lösen wir mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen : 9x 18x 7 = x 1, ( 18) ( 18) 9 ( 7) ± ± ± = = = a 9 18 b b ac 18 6 Es ergeben sich als mögliche Stellen für lokale Extrema / Sattelpunkte : x = 1 und x= Die.Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' ( x) = 9x 18x 7 Wir wenden die Summenregel an, um die.ableitung zu bestimmen: f" x 9x 18x 7 = Jetzt wenden wir auf jeden der Summanden die Potenzregel an: f " ( x) = 18x 18 Vereinfachen : f ''( x ) = 18x 18
15 Die.Ableitung an den Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen x= 1 und x= in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete: f " x = 18x 18 ( 1) ( 1) ( ) ( ) f " = = 6 f " = = 6 6 < x = 1 ist ein Maximum 6 > x = ist ein Minimum y - Werte der Extrema berechnen: Die x-koordinaten der Extrema sind nun schon bekannt, aber wir müssen noch die y-koordinaten berechnen, um die Extrempunkte zu berechnen. Dazu setzen wir die x-koordinaten der Extrema in die gegebene Funktion ein, d.h. in die Funktion: f(x) = x 9x 7x + : x = 1 Maximum: f( 1)= ( 1) 9 ( 1) 7 ( 1)+ = 5 x = Minimum f( )= 9 7 += 51 Ergebnis: Die Funktion f( x) = x 9x 7x + hat folg ende zwei Extrama : Lokales Maximum : ( 1 / 5 ) Lokales Minimum : ( / 51) Die Funktion hat keinen Sattelpunkt. Graph der Funktion:
16 Lösung zu 1g Gegeben : f(x) x x 5 = + Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Gegeben ist die Funktion: f(x) = x x+ 5 Wir wenden die Summenregel an: f' x x x 5 = + Jetzt wenden wir auf jeden einzelnen Summanden die Potenzregel an: f' ( x) = x + Vereinfachen : f' x = x Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null. Es entsteht eine rein - quadratische Gleichung. Diese lösen wir durch Umstellen der Formel nach x : x = x = x = = 1 x = 1 x = 1 x =± 1 Es ergeben sich als mögliche Stellen für lokale Extrema / Sattelpunkte : x = 1 und x = 1 Die.Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' ( x) = x Wir wenden die Summenregel an, um die.ableitung zu bestimmen: f" x x = Jetzt wenden wir auf jeden der Summanden die Potenzregel an: f" ( x) = 6x Vereinfachen : f''(x) = 6x
17 .Ableitung an den Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Wir setzen x = 1 und x = 1 in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete : " x =6x ( 1) ( 1) f " = 6 = 6 ( +1 ) ( +1 ) f " = 6 = 6 f 6 < x = 1 ist ein Maximum 6 > x = +1 ist ein Minimum y - Werte der Extrema berechnen: Die x-koordinaten der Extrema sind nun schon bekannt, aber wir müssen noch die y-koordinaten berechnen, um die Extrempunkte zu berechnen. Dazu setzen wir die x-koordinaten der Extrema in die gegebene Funktion ein, d.h. in die Funktion: f(x) = x x + 5 : x = 1 Maximum: f( 1)=( 1) ( 1)+5 = 7 x =+ 1 Minimum f( + 1) = = Ergebnis: Die Funktion f(x) = x x + 5 hat folgende zwei Extrama : Lokales Maximum : ( 1 / 7 ) Lokales Minimum : (1 / ) Die Funktion hat keinen Sattelpunkt. Graph der Funktion:
18 Lösung zu 1h Gegeben : f ( x ) x x 9 = + + Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Wir bilden die 1.Ableitung der gegebenen Funktion : Dazu wenden wir zuerst die Summenregel an, und danach die Potenzregel : Die gegebene Funktion lautet : f(x) = x + x+ 9 Wir wenden die Summenregel an : f ' ( x) = ( x ) + ( x) + ( 9) Nun wenden wir die Potenzregel an : f' ( x) = x + + Vereinfachen : f' x = x + Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : x + = Wir lösen diese kubische Gleichung : x + = Auf beiden Seiten subtrahieren : = Beide Seiten durch teilen : x x = 8 Quadrieren der Gleichung : ( x ) = ( 8) 6 x = 6 Löse die Potenzgleichung durch Wurzelziehen : 6 x =± 6 =± Die Pr obe ergibt, dass nur x = eine Lösung ist. Die Stelle x = Nullstelle der 1.Ableitung und daher ein mögliches Extremum / Sattelpunkt. Diese Stelle müssen wir nun weiter untersuchen.
19 .Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' x = x + Um die.ableitung zu berechnen, wenden wir zuerst die Summenregel an. Dies bedeutet, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten: f" x x = + Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweils die Potenzregel an: f" x = 1x + Wir vereinfachen: f" x = 1x Wert der.ableitung an der Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Wir setzen x = in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete : " x = 1x f f " = 1 = 8 8 > x = ist ein Minimum
20 y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten des Minimums berechnet : x = ein Minimum Um die y - Koordinate des Minimums zu berechnen, setzen wir die x - Koordinate in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) = x + x + 9 ( ) ( ) ( ) f = f(x) = = Ergebnis: Das Minimum der Funktion hat folgende Koordinaten : ist ein Minimum ( / 1) Graph:
21 Lösung zu 1i Gegeben : f ( x ) x x = + Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Die gegebene Funktion lautet : f(x) x x = + Um die 1.Ableitung zu berechnen, wenden wir zuerst die Summenregel an. Dies bedeutet, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten: f ' x x x = + Nun wenden wir - auf jeden Summanden - die Potenzregel an : f' x x Wir vereinfachen: = + = f' x x Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : x Wir lösen diese kubische Gleichung : Auf beiden Seiten addieren : x = Beide Seiten durch teilen : x 8 = Löse die Potenzgleichung durch Wurzelziehen : x 8 = = = Die Stelle x = ist ein mögliches Extremum / Sattelpunkt. Diese Stelle müssen wir nun weiter untersuchen.
22 .Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' x = x Um die.ableitung zu berechnen, wenden wir zuerst die Summenregel an. Dies bedeutet, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten: f" x x = Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweils die Potenzregel an: f" x 1x Wir vereinfachen: = f" x = 1x Wert der.ableitung an der Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Wir setzen x = in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete : " x =1x f f " = 1 = 8 8 > x = ist ein Minimum
23 y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten des Minimums berechnet : x = ein Minimum Um die y - Koordinate des Minimums zu berechnen, setzen wir die x - Koordinate in die gegebene Gleichung ein, welche lautete: f ( x ) = x x + f = f(x) = + = 15 Ergebnis: Das Minimum der Funktion hat folg ende Koordinaten : ( / 15) Graph: ist ein Minimum
24 Lösung zu 1j Gegeben : f(x) = x x 1x+ 5 Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Wir bilden die 1.Ableitung der gegebenen Funktion : Dazu wenden wir zuerst die Summenregel an, und danach die Potenzregel : Die gegebene Funktion lautet : f(x) = x x 1x+ 5 Wir wenden die Summenregel an : f' ( x) = ( x ) ( x ) ( 1x) + ( 5) Nun wenden wir die Potenzregel an : = f' x 6x 6x 1 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : 6x 6x 1= Wir lösen diese quadratische Gleichung mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen : x 1, ( 6) ( 6) 6 ( 1) ± ± ± ± = = = = a b b ac x1 = x = 1 Die Stellen x = und x = 1 sin d mögliches Extrema bzw. Sattelpunkte. 1 Diese Stellen müssen wir nun weiter untersuchen.
25 .Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' x = 6x 6x 1 Um die.ableitung zu berechnen, wenden wir zuerst die Summenregel an. Dies bedeutet, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten: f" x 6x 6x 1 = Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweils die Potenzregel an: f" x = 1x 6 Wir vereinfachen: f" x = 1x 6 Wert der.ableitung an der Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Wir setzen x = 1 bzw. x= in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete : f " x =1x 6 ( 1) ( 1) f " = 1 6 = < x = 1 ist ein Maximum f " = 1 6 = > x = ist ein Minimum
26 y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten der Extrema berechnet : x x = = 1einMaximum ein Minimum Um die y - Koordinaten der Extrema zu berechnen, setzen wir die jeweilige x-koordinate in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) = x x 1x f = 1 + 5= 1 f = 1 + 5= 15 Ergebnis: Die Funktion hat folg ende Extrema : Maximum bei ( 1/ 1) Minimum bei ( / 15 ) Graph:
27 Lösung zu 1k Gegeben : = + + f(x) x 6x 9x 1 Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Wir bilden die 1.Ableitung der gegebenen Funktion : Dazu wenden wir zuerst die Summenregel an, und danach die Potenzregel : Die gegebene Funktion lautet : f(x) = x 6x + 9x+ 1 Wir wenden die Summenregel an : f' ( x) = ( x ) ( 6x ) + ( 9x) + ( 1) Nun wenden wir die Potenzregel an : f' x = x 1x+ 9 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : x 1x 9 + = Wir lösen diese quadratische Gleichung mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen : x 1, b b ac 1 ± ± ± ± = = = = a 6 6 x1 = 1 x = Die Stellen x1 = 1 und x = sin d mögliches Extrema bzw. Sattelpunkte. Diese Stellen müssen wir nun weiter untersuchen.
28 .Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' x = x 1x+ 9 Um die.ableitung zu berechnen, wenden wir zuerst die Summenregel an. Dies bedeutet, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten: f" x x 1x 9 = + Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweils die Potenzregel an: f" x = 6x 1+ Wir vereinfachen: f" x = 6x 1 Wert der.ableitung an der Nullstellen der 1.Ableitung berechnen: Wir setzen x = 1 bzw. x= in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete : f " x =6x 1 ( 1) ( 1) f " = 6 1 = 6 6 < x = 1 ist ein Maximum f " = 6 1 = 6 6 > x = ist ein Minimum
29 y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten der Extrema berechnet : x x = = 1 ein Maximum ein Minimum Um die y - Koordinaten der Extrema zu berechnen,setzen wir die jeweilige x-koordinate in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) = x 6 x + 9x + 1 f = = f = = 1 Ergebnis: Die Funktion hat folg ende Extrema : Maximum bei (1/ 5 ) Minimum bei ( / 1) Graph:
30 Lösung zu 1L Gegeben : f(x) x x 9x 1 = + + Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Wir bilden die 1.Ableitung der gegebenen Funktion : Dazu wenden wir zuerst die Summenregel an, und danach die Potenzregel : Die gegebene Funktion lautet : f(x) = x + x 9x+ 1 Wir wenden die Summenregel an : f' ( x) = ( x ) + ( x ) ( 9x) + ( 1) Nun wenden wir auf jeden Summanden die Potenzregel an : f' x = x + 6x 9 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : x 6x 9 Wir lösen diese quadratische Gleichung mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen : x 1, + = ± ± ± ± = = = = a 6 6 b b ac x1 = x = 1 Die Stellen x = und x = 1 sin d mögliches Extrema bzw. Sattelpunkte. 1 Diese Stellen müssen wir nun weiter untersuchen.
31 .Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' x = x + 6x 9 Um die.ableitung zu berechnen, wenden wir zuerst die Summenregel an. Dies bedeutet, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten: f" x x 6x 9 = + Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweils die Potenzregel an: f" x = 6x+ 6+ Wir vereinfachen: f" x = 6x+ 6 Wert der.ableitung an der Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen x = bzw. x=1 in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete : f " x =6x+6 ( ) ( ) f " = 6 +6 = 1 1 < x = ist ein Maximum f " 1 = = 1 1 > x = 1 ist ein Minimum
32 y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten der Extrema berechnet : x = ein Maximum x = 1einMinimum Um die y - Koordinaten der Extrema zu berechnen, setzen wir die jeweilige x-koordinate in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) = x + x 9x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) = = f = = f Ergebnis: Die Funktion hat folg ende Extrema : Maximum bei ( / ) Minimum bei (1/8) Graph:
33 Lösung zu 1m Gegeben : f ( x ) = x 9x + 1x Gesucht : Lokale Extrema Die 1.Ableitung berechnen : Wir bilden die 1.Ableitung der gegebenen Funktion : Dazu wenden wir zuerst die Summenregel an, und danach die Potenzregel : Die gegebene Funktion lautet : f ( x ) = x 9x + 1x Wir wenden die Summenregel an : f' ( x) = ( x ) ( 9x ) + ( 1x) Nun wenden wir die Potenzregel an : f' x = 6x 18x+ 1 Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen die erste Ableitung gleich Null : 6x 18x+ 1= Wir lösen diese quadratische Gleichung mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen : x 1, b b ac 18 ± ± ± ± = = = = a x1 = 1 x = Die Stellen x 1 = 1 und x = sin d mögliche Extrema bzw. Sattelpunkte. Diese Stellen müssen wir nun weiter untersuchen.
34 .Ableitung berechnen : Die 1.Ableitung haben wir bereits berechnet: f' x = 6x 18x+ 1 Um die.ableitung zu berechnen, wenden wir zuerst die Summenregel an. Dies bedeutet, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten: f" x 6x 18x 1 = + Jetzt wenden wir auf die Summanden jeweils die Potenzregel an: f" x = 1x 18+ Wir vereinfachen: f" x = 1x 18 Wert der.ableitung an der Nullstellen der 1.Ableitung berechnen : Wir setzen x = 1 bzw. x= in die.ableitung ein, um zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt zu unterscheiden. Die zweite Ableitung lautete : f " x =1x 18 ( 1) ( 1) f " = 1 18 = 6 6 < x = 1 ist ein Maximum f " = 1 18 = 6 6 > x = ist ein Minimum
35 y-koordinaten der Extrema berechnen: Wir haben bereits x - Koordinaten der Extrema berechnet : x x = = 1 ein Maximum einminimum Um die y - Koordinaten der Extrema zu berechnen,setzen wir die jeweilige x-koordinate in die gegebene Gleichung ein, welche lautete : f ( x ) = x 9x + 1x f 1 = = 5 f = = Ergebnis: Die Funktion hat folg ende Extrema : Maximum bei (1/ 5 ) Minimum bei ( / ) Graph:
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1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11
Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel
Flächenberechnung mit Integralen
Flächenberechnung mit Integralen Wolfgang Kippels 28. April 208 Inhaltsverzeichnis Vorwort 2 2 Einleitung 2 3 Übungsaufgaben 3 3. Aufgabe................................... 3 3.2 Aufgabe 2...................................