Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

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1 R. Brinkmann Seite.0.0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben. Daraus soll die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden. P ; P ; P Funktionsgleichung allgemein: f x = a x + a x + a 0 Zur Bestimmung der Funktionsgleichung müssen für die allgemeinen Koeffizienten a, a und a 0 die entsprechenden Zahlenkomponenten bestimmt werden. Da alle drei gegebenen Punkte P, P und P Punkte der zu bestimmenden Parabel sind, kann durch dreimaliges Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte an den Stellen x und y der allgemeinen Funktionsgleichung ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten erzeugt werden, aus denen sich die Koeffizienten a, a und a bestimmen lassen. Aufstellen des Gleichungssystems: 0 P x y f(x) = a x + a x+ a = y P f() = a + a + a = 0 P f() = a + a + a = 0 P f() = a + a + a = 0 Das ist ein Gleichungssystem bestehend aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Mit dem Additionsverfahren lässt sich die Lösung finden. Additionsverfahren: a + a+ a0 = a = a = a + a+ a0 = II I a + a + a0 = III I a a0 = a0 = a + a+ a0 = a0 = 0a a0 = II III a a0 = a0 = :( ) = = a + a+ a0 = a = a + a+ a0 = a + = a a = a = = 0 Damit lautet die Funktionsgleichung: f(x) = x x + Punktprobe: P ( ): f() = + = + = + = ( w) P : f() w 0 P ( ): f() = + = + = = 0 = ( w) = + = + = = = Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von

2 R. Brinkmann Seite.0.0 Das Additionsverfahren lässt sich schematisieren. Das führt zum Gauß Algorithmus. Beim Gauß Algorithmus rechnet man nur mit den Koeffizienten. Gauß Algorithmus: Lösung durch einsetzen: a0 a a a = ( ) a = II I a+ a = III I a + = a = : 0 : a = 0 a0 + a+ a = 0 + = 0 III II a 0 = = Funktionsgleichung: f ( x) = x x + Beim Gauß - Algorithmus wird zeilenweise gearbeitet. Zeilen darf man: - vertauschen - mit einer Zahl multiplizieren - durch eine Zahl dividieren - addieren - subtrahieren Werden die Spalten vertauscht, dann müssen auch die Koeffizienten mitgenommen werden Das Ziel ist es auf eine Dreiecksform zu kommen. x x x x 0 x x x 0 0 x x Der Funktionsgraph: Y 0 xx, Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu erhalten sind drei Punkte nötig. Wir erinnern uns: Bei einer linearen Funktion (Gerade) waren es nur zwei Punkte. Um den Graphen einer Parabel sauber zeichnen zu können, sind außer den vorgegebenen drei Punkten noch der Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte nötig. Wenn wir zudem auch noch die Symmetrie zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt berücksichtigen, benötigen wir in den meisten Fällen keine weiteren Punkte. Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von

3 R. Brinkmann Seite.0.0 Sonderfälle bei Parabeln In einigen Fällen können wir die Funktionsgleichung mit weniger Angaben bestimmen. Eine Parabel ist achsensymmetrisch zur y Achse und geht durch die Punkte P( ) und P( ). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen. Ansatz über die Scheitelpunktform: f(x) = a( x xs) + ys Bei Achsensymmetrie ist xs = 0 und y = a f(x) = a x + a s 0 0 Gleichungssystem: P( ): f( ) = a + a0 = P( ): f() = a + a0 = a0 a a = a = II I a0 + = a0 = f(x) = x 0 Y 0 xx, Die Nullstellen einer Parabel sind: Px( 0) und Px ( 0 ). Ihr größter Funktionswert ist. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen. Ansatz über Linearfaktoren: x = ; x = f(x) = a x x x x = a x x + s Der größte Funktionswert liegt im Scheitel S x x+ x + xs = = = f(x ) = f( ) = a + = a = a = f(x) = ( x )( x+ ) = ( x + x ) = x x+ s 0 x Aus der Angabe, dass der Größte Funktionswert ist, kann man schließen, das die Parabel nach unten geöffnet ist. Was die Rechnung auch bestätigt. Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von

4 R. Brinkmann Seite.0.0 Der Graph einer ganzrationalen Funktion. Grades berührt die x - Achse an der Stelle x = und geht durch den Punkt P( ). Bestimmen Sie den Funktionsterm und zeichnen Sie den Graphen. = ( s) + s = ( ) ( ) = ( ) = Berührungspunkt = Scheitelpunkt S 0 f(x) a x x y a x P : f a a( ) = a = a = f(x) = x = x x + f(x) = x x + Anwendungsbeispiel: Der Parabelförmige Bogen einer Brücke mit der Spannweite 0 m hat eine maximale Höhe von 0 m. Berechnen Sie die Längen der in gleichen Abständen vertikal angebrachten Spannstäbe x 0 m Straße 0 m Straße Modellierung: y x Wird das Koordinatensystem so gewählt, dann sind folgende Punkte bekannt. Nullstellen: Px( 0 0 );Px ( 0 0) Scheitel: S(0 0) Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von

5 R. Brinkmann Seite.0.0 Lösung: x Scheitelpunktform : f(x) = a x P 0 0 : f(0) = a = a = 0 a = = 00 0 f(x) = ( x 0) + 0 = x + x 0 0 Berechnung der Stablängen durch einsetzen der x Werte : 0 f() = + = + = =, 0 0 f(0) = = + = =, 0 0 f() = + = + = =, 0 f(0) = 0 wegen Scheitelkoordinate f() = f() =, aus Symmetriegründen f(0) = f(0) =, aus Symmetriegründen f() = f() =, aus Symmetriegründen Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0.doc : von