ARBEITSPLAN. Thema: Anwendungsaufgaben zu Parabeln Datum: Standardaufgaben. Expertenaufgaben. Basisaufgaben. Summe2: (max.

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1 ARBEITSPLAN Thema: Anwendungsaufgaben zu Parabeln Datum: Basisaufgaben 1a-d je 1 1a,b je 3 1 je 1 2a-c je a-e je 2 3a-f je 2 3 je 3 4a,b je 3 4a,b je c 1 5 je 2 5-4d 3 6a b,c je Standardaufgaben Expertenaufgaben Summe1: Summe2: (max. 33) (max. 41) Mindestpunktzahl: 16 Mindestpunktzahl: 22 Empfohlene Punktzahl: 45 Erreicht: Summe 3:

2 Jahrgangsstufe 9 Arbeitsplan: Quadratische Funktionen und Gleichungen Basisaufgaben 1. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme. Im Falle unendlich vieler Lösungen genügt die Angabe zweier verschiedener Lösungen. a) I) x = 3 II) x + y = 4 III) x z = 4 b) I) x = y II) x + y + z = 5 III) z = 1 c) I) x + y = 5 II) x + y + z = 5 III) x + y + 2z = 6 d) I) x + y = 10 II) x + y + z = 12 III) z = 2 2. Berechne die Schnittpunkte der gegebenen Parabeln p und der Geraden g. a) g: y = x 3 p: y = x 2 2x 3 b) g: y = 8x + 13 p: y = 2(x 2) 2 3 c) g: y = 0,25x 2 p: y = 1 4 x2 2x 3. Mit A, B, und C sind beliebige Punkte bezeichnet, die auf der Parabel liegen. S bezeichnet den Parabelscheitel, mit x 1 und x 2 sind die Nullstellen der Parabel gegeben. Ermittle jeweils eine Gleichung der Parabel. Hinweis: Überlege dabei zuerst, ob die allgemeine Form, die faktorisierte (Nullstellen-)Form oder die Scheitelform als Ansatz am günstigsten ist. a. S( 3 1); B( 1 3) b. x 1 = 3; x 2 = 2; P(1 3) c. A(1 0); B(4 0); C(2 4) d. S(2 2); A(0 1) e. A(0 2); B(1 5); C(2 10) 4. Eine 3 m hohe Säule ist mit Wasser gefüllt. Bohrt man in die Seite ein Loch, spritzt das Wasser in Form eines Parabelbogens heraus. Legt man, wie in der Abbildung dargestellt, ein Koordinatensystem an, dann beschreibt die Gleichung y = 1 4h x2 + c den Parabelbogen. Dabei bedeutet h (in m) die Höhe der Wassersäule über dem Loch und c (in m) den Abstand des Lochs vom Boden.

3 a) Gib die Gleichung des dargestellten Parabelbogens an. Berechne seine Nullstelle und überprüfe das Ergebnis anhand der Abbildung. b) Gib die Gleichung des Parabelbogens für h = 1 und c = 2 an. Berechne seine Nullstelle und zeichne den Parabelbogen mit Hilfe einer Wertetabelle in die Abbildung ein. c) Beschreibe, wie die Form des Parabelbogens sich verändert, wenn h zunimmt. d) Statt das Loch wie in der Abbildung bei c=2,5 zu bohren, soll nun untersucht werden, wie sich der Wasserstrahl verhält, wenn die Bohrungen bei c = 1,5, bei c = 1 oder bei c = 0,5 vorgenommen werden. Gib jeweils die Parabelgleichung an und berechne für jeden der drei Wasserstrahlen die Spritzweite. Trage abschließend die Parabelbögen in die Abbildung ein. 5. Der mittlere Bogen der Brücke ist parabelförmig. Bestimme eine Gleichung der Parabel im eingezeichneten Koordinatensystem.

4 Jahrgangsstufe 9 Arbeitsplan: Quadratische Funktionen und Gleichungen Standardaufgaben 1. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme. a) I) 2x + y z = 3 II) 2x y + z = 7 III) x y + 2z = 9 b) I) 5x + y + 2z = 4 II) 5x 3y 4z + 9 = 0 III) 4y + 8z = Anton, Bert und Conny haben am Anfang zusammen Anton verliert 210 an Bert. Danach haben beide gleichviel Geld. Conny setzt sein Geld am Aktienmarkt ein und gewinnt 50% seines ursprünglichen Kapitals dazu. Er hat dann genau so viel Geld wie Anton und Bert zusammen. Wie viel Geld hatte ein jeder am Anfang? Stelle zuerst ein lineares Gleichungssystem auf! 3. Gegeben sind zwei Parabeln p 1 und p 2. Bestimme zuerst die Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte und dann, falls gemeinsame Punkte vorhanden sind, die Koordinaten dieser Punkte. a) p 1 : y = 4x 2 + 5x 9 p 2 : y = 2x 2 7x 9 b) p 1 : y = x p 2 : y = 1 2 x2 + 3x c) p 1 : y = 2x 2 6x + 3 p 2 : y = x 2 7 d) p 1 : y = 9x 2 + 6x + 1 p 2 : y = 4x 2 9x + 1 e) p 1 : y = x p 2 : y = x 2 + 2x 1 f) p 1 : y = x x 6 p 2 : y = x 2 + 6x Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, die durch die gegebenen drei Punkte verläuft. a) A( 6 18); B(3 0); C(12 90) b) A(2 1); B( 1 0,5); C(4 3) 5. Eine 3 m hohe Säule ist mit Wasser gefüllt. Bohrt man in die Seite ein Loch, spritzt das Wasser in Form eines Parabelbogens heraus. Legt man, wie in der Abbildung dargestellt, ein Koordinatensystem an, dann beschreibt die Gleichung y = 1 4h x2 + c den Parabelbogen. Dabei bedeutet h (in m) die Höhe der Wassersäule über dem Loch und c (in m) den Abstand des Lochs vom Boden. Es ist ein geradlinig ansteigendes Auffangbecken geplant. Dieses lässt sich mit der Funktion y = 1 4 x modellieren. Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Auftreffpunkte der Wasserstrahlen für c = 2,5 und c = 1.

5 6. Das Jefferson National Expansion Memorial ist das Wahrzeichen von Saint Louis, Missouri. Der zentrale Teil besteht aus einem Rundbogen, dem sog. Gateway Arch. Er ist 630 ft hoch und am Boden 630 ft breit und hat näherungsweise die Form einer Parabel. Die Parabel soll in dem in der Zeichnung angedeuteten Koordinatensystem modelliert werden. a) Gib die Parabelgleichung in dieser Modellierung an. b) Berechne, wie hoch der Bogen 100 ft vom linken Fundament entfernt ungefähr ist. c) Berechne, in welcher Höhe der Bogen etwa 315 ft breit ist. 7. Gelingt es dem Golfer tatsächlich, das Hindernis Baum zu überspielen, wenn man annimmt, dass die Flugbahn des Balles eine Parabel ist?

6 Jahrgangsstufe 9 Arbeitsplan: Quadratische Funktionen und Gleichungen Expertenaufgaben 1. Gegeben ist das folgende Gleichungssystem I) x + 2y + z = 2 II) x 2y + z = 2 III) 2x + az = b Gib jeweils ein Beispiel möglicher Werte für die reellen Variablen a und b an, so dass das Gleichungssystem a) genau die eine Lösung (1 1 1) aufweist b) keine Lösung aufweist c) unendliche viele Lösungen aufweist 2. In nebenstehendem Dreieck sind die drei Eckzahlen vorgegeben. Es handelt sich, wie man sieht, um drei Stammbrüche. Nun soll jeder Seite des Dreiecks eine rationale Seitenzahl so zugeordnet werden, dass jede Eckzahl sich als Summe der beiden benachbarten Seitenzahlen ergibt. Wenn sich auch für die drei Seiten Stammbrüche finden lassen, die diese Bedingung erfüllen, bezeichnet man ein derartiges Dreieck als ägyptisches Dreieck. Zeige, dass sich dieses Dreieck ein ägyptischen Dreieck ist. 3. Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des von G h und der Geraden g. a) h: y = 15 2x+1 b) h: y = 2 x 3 g: y = 8 x g: y = x Die Abbildung zeigt den Sprung eines Snowboarders in einzelnen Momentaufnahmen. Man kann die Flugkurve im dargestellten Koordinatensystem als Parabel modellieren. Die Einheiten der Achsen betragen jeweils 1 m. Der Landepunkt des Snowboarders liegt 2m tiefer als sein Absprungpunkt. Berechne mit Hilfe der Modellierung die Sprungweite (Länge der Strecke zwischen Absprungpunkt und Landepunkt) des Snowboarders.

7 5. Wie hoch muss eine parabelförmige Brücke gebaut werden, damit ein LKW gut darunter hindurch passt?

8 Jahrgangsstufe 9 Arbeitsplan: Quadratische Funktionen und Gleichungen Lösungen der Basisaufgaben 1a) L = {(3 1 1)} 1b) L = {(2 2 1)} 1c) L = { } 1d) L = {(x 10 x 2) x R} z muss 2 sein, die Summe aus x und y muss 10 sein 2a) S 1 (0 3); S 2 (3 0) 2b) S 1 ( 2 29); S 2 (2 3) 2c) S 1 (1 7 4 ) ; S 2 (8 0) 3a) Scheitelpunktform: y = a(x + 3) 2 1 a = 1 y = (x + 3) 2 1 3b) Nullstellenform: y = a(x 3)(x + 2) a = 0,5 y = 0,5(x 3)(x + 2) 3c) Nullstellenform: y = a(x 1)(x 4) a = 2 y = 2(x 1)(x 4) 3d) Scheitelpunktform: y = a(x 2) a = 1 4 y = 1 4 (x 2) e) allgemeine Form: y = ax 2 + bx + c Gleichungssystem: I) c = 2 II) a + b + c = 5 III) 4a + 2b + c = 10 y = x 2 + 2x + 2

9 4a) y = 1 2 x2 + 2,5 Nullstelle x = 5 2,2 4b) y = 1 4 x2 + 2 Nullstelle x = 8 2,8 4c) Wenn h größer wird, wird 1 4h kleiner, also die Parabel weiter. 4d) y = 1 6 x2 + 1,5 Nullstelle x = 3 y = 1 8 x2 + 1; Nullstelle x = 8 2,8 y = 1 10 x2 + 0,5 Nullstelle x = 5 2,2 5) Parabel mit Scheitel S(0 68) und Nullstelle x = 85. Ansatz: y = ax² + 68 Nullstelle einsetzen: 0 = a 85² + 68 liefert a = 4 Also: y = x

10 Jahrgangsstufe 9 Arbeitsplan: Quadratische Funktionen und Gleichungen Lösungen der Standardaufgaben 1a) L= {(1 2 3)} 1b) L = {0,2 4 0,5} 2) x: Betrag von Anton in y: Betrag von Bert in z: Betrag von Conny in I) x + y + z = 3500 II) x 210 = y III) 1,5z = x + y I) x + y + z = 3500 II) x y = 420 III) x + y 1,5z = 0 Anton hatte 1260, Bert 840 und Conny a) 2 Schnittpunkte S 1 (0 9); S 2 ( 2 3) 3b) 1 Schnittpunkt S(1 3) 3c) kein Schnittpunkt 3d) 2 Schnittpunkte S 1 (0 1); S 2 ( 3 64) 3e) 1 Schnittpunkt S(1 2) 3f) kein Schnittpunkt

11 4a) f(x) = 2 3 x2 6 4b) f(x) = 1 2 x2 x 1 5) c = 2,5 1 2 x2 + 2,5 = 1 x 4 liefert A(2 0,5) c = x2 + 1 = 1 x 4 liefert ebenfalls A(2 0,5) 6a) Parabel mit Scheitel S(0 630) und Nullstelle x = 315 Ansatz: f(x) = ax² f(315) = 0 liefert a = Also: f(x) = x b) f(-215) 337 [ft] 6c) f(157,5) 473 [ft] 7) Parabel mit Scheitel S(0 32) und Nullstelle x = -72 Ansatz: f(x) = ax² + 32 f(-72) = 0 liefert a = Also: f(x) = x f( ) = f(48) 17,8 > 15 Folgerung: Der Golfer überspielt den Baum.

12 Jahrgangsstufe 9 Arbeitsplan: Quadratische Funktionen und Gleichungen Lösungen der Expertenaufgaben 1) Addition der Gleichungen I) und II) liefert: 2x + 2z = 0 Vergleich dieser Gleichung mit der Gleichung III) b) a = 2 und b 0 keine Lösungen c) a = 2 und b = 0 2 identische Gleichungen unendlich viele Lösungen [L = {(x 1 x) x R}] a) a 2, b beliebig genau 1 Lösung für die geforderte Lösung (1 1-1) muss gelten: b = 2 a (wobei a 2, s. o. ); z. B. : b = 1, a = 1 2) Die Seitenzahlen werden im Folgenden mit a, b und c bezeichnet. Dann ergibt sich das Gleichungssystem: I) a + b = 1 45 II) a + c = 1 36 III) b + c = 1 60 a = 1 60 ; b = ; c = 1 90 Die Seitenzahlen 1, 1 60 ägyptisch. 180, 1 90 sind Stammbrüche, das Dreieck ist also

13 3a) HN 15 = (2x + 1)(8 x) = 16x + 8 x 2x 2 2x 2 15x + 7 = 0 x 1 = 7 S 1 (7 1); x 2 = 0,5 S 2 (0,5 7,5) 3b) HN 2 = (x 3) 0,05x 2 = 0,05x 2 0,15x 0,05x 2 0,15x 2 = 0 x 1 = 5 S 1 ( 5 0,25) x 2 = 8 S 2 (8 0,4) 4) Parabel mit den Nullstellen x1 = 0 und x2 = 12 und Scheitel S(6 4) Ansatz: f(x) = ax(x 12) S einsetzen liefert a = 1 9 Also: f(x) = 1 9 x x Zur Ermittlung des Landepunkts: Ansatz f(x) = -2 Lösen der quadratischen Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel liefert als x-koordinate des Landepunkts x = , also L( ) Berechnung der Sprungweite (Satz von Pythagoras): s = OL 13,5 [m]

14 5) Hinweise zur Lösung: Folgende Fragen sollte man sich stellen und mit Hilfe geeigneter Daten beantworten. Zur Datenfindung verwende man z.b. das Internet. Man kann auch der Abbildung Daten entnehmen, wenn man einen geeigneten Maßstab für das Bild festlegt. - Wie hoch ist ein LKW? - Wie breit ist eine Fahrbahn? - Wie viele Spuren hat die Straße? - Wie breit ist der Mittelstreifen? - Wie breit sind die Randstreifen? - Wie wird das Koordinatensystem zur Modellierung festgelegt? - Welche Bedingungen sind in diesem Koordinatensystem an die Parabel zu stellen? - Welcher Ansatz eignet sich zur Ermittlung einer Parabelgleichung?