PARABELN. 10. Klasse

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1 PARABELN 0. Klasse Jens Möller Owingen Tel

2 INHALTSVERZEICHNIS NORMALPARABEL PARABELN MIT FORMFAKTOR VERSCHIEBUNG IN Y-RICHTUNG VERSCHIEBUNG IN X-RICHTUNG 5 ALLGEMEINE PARABELGLEICHUNG GLEICHUNG AUS SCHEITEL UND WEITEREM PUNKT NULLSTELLEN BESTIMMEN UND P-Q-FORMEL ZEICHNEN MIT WERTETABELLE ALLE PARABELGLEICHUNGEN UND GERADENGLEICHUNG PARABEL AUS ZWEI PUNKTEN BESTIMMEN SCHEITELKOORDINATEN BESTIMMEN 7 PARABEL MIT GERADE SCHNEIDEN 9 ENTFERNUNG ZWEIER PUNKTE 0 GERADENGLEICHUNGEN MITTERNACHTSFORMEL SELBSTTEST 5 GERADENGLEICHUNGEN AUFSTELLEN 7 ÜBUNGEN ZUR WIEDERHOLUNG 9 SCHNITT ZWEIER PARABELN PARABELN MIT SCHEITEL AUF DER Y-ACHSE REALSCHULPRÜFUNG 007 REALSCHULPRÜFUNG 00 9 REALSCHULPRÜFUNG 009 REALSCHULPRÜFUNG 00 REALSCHULPRÜFUNG 0 50

3 NORMALPARABEL WERTETABELLE ZEICHNUNG ZEICHENVERFAHREN Der tiefste Punkt der Parabel heißt SCHEITEL. 0 = ² Jeweils vom Scheitel aus 9 geht man E zur Seite und anschließend E nach oben, dann E zur Seite und E 7 nach oben, dann E zur Seite und 9E nach oben usw. (-)² = 9 ² = 9 5 (-)² = ² = (-)² = ² = S - - EIGENSCHAFTEN Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung. Die Scheitelkoordinaten lauten S (0 / 0). Die Kurve ist smmetrisch zur -Achse. Die Parabel ist nach oben geöffnet. - -

4 PARABELN MIT POSITIVEM FAKTOR Streckung oder Stauchung einer Parabel um einen Faktor a a a Streckung a NORMALPARABEL 0a Stauchung S (0 / 0) Scheitelkoordinaten, Koordinatenursprung = = 9 7 = 5 = - -

5 PARABELN MIT NEGATIVEM FAKTOR a Positives Vorzeichen: nach oben geöffnet Negatives Vorzeichen: nach unten geöffnet a NORMALPARABEL nach oben geöffnet a NORMALPARABEL nach unten geöffnet = ² = + ² 5 5 = ² = ² - -

6 VERSCHIEBUNG DER PARABEL IN Y-RICHTUNG durch Addition einer Konstanten c, ersetze durch c, die Konstante c wird positiv, indem man sie auf die rechte Seite der Gleichung schreibt. a c c 0 Verschiebung nach oben c 0 keine Verschiebung c 0 Verschiebung nach unten S(0 / c ) Scheitelkoordinaten, der Scheitel liegt auf der Achse = +9 = + 9 = =

7 VERSCHIEBUNG DER PARABEL IN X-RICHTUNG durch Subtraktion einer Konstanten b, ersetze durch b a( b) b 0 Verschiebung nach rechts b 0 keine Verschiebung b 0 Verschiebung nach links Sb ( /0) Scheitelkoordinaten = ( + ) + = ( - ) + =

8 DIE ALLGEMEINE PARABELGLEICHUNG a( b) c a = Formfaktor b = Verschiebung in -Richtung c = Verschiebung in -Richtung Sb ( / c ) = Scheitelkoordinaten = + 0 = ( - ) = 0 - -

9 0BÜBUNG A Bestimme jeweils die Parabelgleichung durch Ablesen der Größen a, b und c. a( b) c a Formfaktor b Verschiebung in Richtung c Verschiebung in Richtung S( b / c) Scheitel der Parabel Parabel Parabel Parabel Parabel Parabel 0 Parabel - - Parabel 7 Parabel 5-5 Parabel Parabel - 7 -

10 LÖSUNGEN. S(0 /) a. S(0 / ) a. S(0 / ) a. S( /) a 5. S(,5/ ) a. S( / 0) a 7. S( / ) a. S( /, 5) a 9. S( / ) a 0. S( / ) a ( ) (,5) ( ) ( ) ( ),5 ( ) ( ) BAUFSTELLEN EINER PARABELGLEICHUNG BEISPIEL Gegeben ist der Scheitelpunkt S (/ ) und ein weiterer Punkt P (/ ) einer Parabel. Finde die Parabelgleichung durch Rechnung. Benutze für den Ansatz die Scheitelform der Parabelgleichung a ( S) S. Zeichne die Parabel in einem Koordinatensstem ein. Bringe die Parabelgleichung auf Standardform a b c Berechne die Nullstellen der Parabel, d.h. die Stelle, wo die Parabel die -Achse schneidet. LÖSUNG S (/ ) einsetzen in P (/ ) einsetzen in a ( S) S a ( ) a ( ) a () a ( ) a a a PARABELGLEICHUNG ( ) - -

11 S ZEICHNUNG P N N Umformung der Parabelgleichung in Standardform durch Auflösen der Klammer. ( ) ( 9) 0,5 NULLSTELLEN DER PARABEL p-q-formel: / p p q Ein Punkt auf der -Achse hat den -Wert = 0. Daher setze 0 0 0,5 0 /,,0,7 Nullstelle N (0,7/0),5, Nullstelle N (5,/0) BÜBUNGEN B. Gegeben sind der Scheitel S(/5) und ein weiterer Parabelpunkt P(/). Bestimme die Parabelgleichung, berechne die Nullstellen, zeichne die Parabel.. Gegeben sind der Scheitel S(-/-) und ein weiterer Parabelpunkt P(/). Bestimme die Parabelgleichung, berechne die Nullstellen, zeichne die Parabel.. Gegeben sind der Scheitel S(-/) und ein weiterer Parabelpunkt P(/-). Bestimme die Parabelgleichung, berechne die Nullstellen, zeichne die Parabel. ERGEBNISSE... N N (,/ 0) (5,/ 0) N N (,9/0) (0,9/0) 0 N N (,5/0) (,5/0) - 9 -

12 ZEICHNUNGEN S Aufgabe P N N P Aufgabe N N S Aufgabe S N N P - 0 -

13 BSCHNITTPUNKTE EINER PARABEL MIT DER X-ACHSE = NULLSTELLEN Ein Punkt auf der -Achse hat die -Koordinate Null. Daher setzt man in der Parabelgleichung 0 ein und berechnet den dazugehörigen -Wert. So erhält man die Koordinaten der Nullstellen. BEISPIEL Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung,5 0, 75. Berechne die UNullstellenU der Parabel. Bestimme den UScheitelU der Parabel. Zeichne die Parabel mit Hilfe einer UWertetabelleU. BESTIMMUNG DER NULLSTELLEN Setze 0 0,5 0,75 ( ) p-q-formel: p p 0 q / / 9,... N (, / 0) 0,... N ( 0,/0) BESTIMMUNG DES SCHEITELPUNKTES Die -Koordinate vom Scheitel liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. S Die -Koordinate vom Scheitel bekommt man durch einsetzen in die Parabelgleichung:,5 0, 75,5 0, 75,5 0, 75 9 S S S Der Scheitel hat also folgende Koordinaten: S (/ ) - -

14 WERTETABELLE Scheitel ,75,75,75 0,75 - Die einzelnen Parabelpunkte können nun in ein Koordinatensstem eingezeichnet werden. ZEICHNUNG S N N ÜBUNGEN C. Parabelgleichung, bestimme die UNullstellenU, bestimme den UScheitelU, mache eine UWertetabelleU für 5 (d.h. liegt zwischen und +5), UzeichneU die Parabel.. Parabelgleichung, bestimme die UNullstellenU, bestimme den UScheitelU, mache eine UWertetabelleU für (d.h. liegt zwischen und +), UzeichneU die Parabel.. Parabelgleichung 0,, 0,7, bestimme die UNullstellenU, bestimme den UScheitelU, mache eine UWertetabelleU für (d.h. liegt zwischen und +), UzeichneU die Parabel. ERGEBNISSE N(0,5/ 0) und N (,/ 0) S(/ ) N ( 0,5/0) und N (,5/0) S (/ ) N ( 0,5/0) und N (,5/0) S (, 5 /, ) - -

15 ÜBERBLICK NORMALPARABELN ² p q mit Faktor nach oben geöffnet ² p q mit Faktor nach unten geöffnet ( ) oder S ( S) S S SCHEITELFORM Der Scheitel liegt bei / S. S S ALLGEMEINE PARABELN a ² b c Der Scheitel ist nicht ablesbar. a ² c mit Scheitel auf der Achse Der Scheitel liegt bei S(0 / c ). a( ) oder S a( S) S S SCHEITELFORM Der Scheitel liegt bei / S. S S Durch den Scheitel verläuft die Smmetrieachse parallel zur -Achse. GERADENGLEICHUNGEN m b m Steigung b Schnittstelle mit der Achse b = Steigung = 5 BEISPIEL

16 PARABEL AUS ZWEI PUNKTEN BESTIMMEN Aufgabe Eine nach unten geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A(-0,5/-,5) und B(/). Bestimme die Gleichung der Parabel p. ANSATZ ² p q A(-0,5/-,5) einsetzen,5 ( 0,5) 0,5 p q, 5 0, 5 0,5 p q 0,5 0,5 p q B(/) einsetzen () p q 9 p q 9 p q GLEICHUNGSSYSTEM 0,5 pq ( ) pq 0,5 p q pq,5 p p einsetzen in GL II q q 0 PARABELGLEICHUNG ² S B N N 5 A p - -

17 ÜBUNGEN D. Eine nach oben geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A(/-7) und B(/- 5). Bestimme die Gleichung der Parabel p.. Eine nach oben geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A(-5/-) und B(-/5). Bestimme die Gleichung der Parabel p. Berechne die Nullstellen. Bestimme den Scheitel.. Eine nach oben geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A(/) und B(/). Bestimme die Gleichung der Parabel p. Berechne die Nullstellen. Bestimme den Scheitel.. Eine nach unten geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A(/0) und B(5/7). Bestimme die Gleichung der Parabel p. Berechne die Nullstellen. Bestimme den Scheitel. 5. Eine nach unten geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A(-/5) und B(/-). Bestimme die Gleichung der Parabel p. Berechne die Nullstellen. Bestimme den Scheitel. ERGEBNISSE. 5 5 B B A. A 5 N ( /0) und N ( /0) S( / ) - 5 -

18 . B N(0,59 / 0) und N (,/ 0) S( / ) 0 A 0 A 5 B. N ( 0,/0) und N (,/0) 5 S( /) A 5. N (,5/0) und N (0,5/0) S( /) 5 B - -

19 SCHEITELKOORDINATEN BESTIMMEN Musteraufgabe Gegeben ist eine nach oben geöffnete Normalparabel p mit der Gleichung. Bestimme die Scheitelkoordinaten der Parabel. Berechne die Nullstellen. Skizziere den Verlauf der Parabel. LÖSUNGEN quadratische Ergänzung : zusammenfassen - binomische Formel anwenden S( / 9) NULLSTELLEN 0 0 / p p q / ( ) N ( /0) und N (/0) ZEICHUNG 5-7 -

20 ÜBUNGEN E. Gegeben ist eine nach oben geöffnete Normalparabel p:. Bestimme die Scheitelkoordinaten der Parabel. Berechne die Nullstellen. Skizziere den Verlauf der Parabel.. Rechne ebenso für die nach oben geöffnete Normalparabel p :.. Rechne ebenso für die nach oben geöffnete Normalparabel p:.. Rechne ebenso für die nach oben geöffnete Normalparabel p : Rechne ebenso für die nach unten geöffnete Normalparabel p :. [Siehe Aufgabe auf der folgenden Seite.]. Rechne ebenso für die nach unten geöffnete Normalparabel p :. 7. Rechne ebenso für die nach unten geöffnete Normalparabel p: Rechne ebenso für die nach unten geöffnete Normalparabel p: 7 5,5. ERGEBNISSE S( / ) und N (0,59 / 0) und N (, / 0). S( / ) und N (0,55 / 0) und N (5,5 / 0). S( / 5) und N (, / 0) und N (,7 / 0). S(,5 /, 5) und N (/ 0) und N ( / 0). S( / 5) und N (, / 0) und N (, / 0) 5. S( / 7) und N ( 0,5 / 0) und N (,5 / 0). 7. S(5 / ) und N(,7 / 0) und N (7, / 0). S(,5/7) und N(0,5/0) und N(,5/0) - -

21 Aufgabe SCHEITEILKOORDINATEN Bestimme die Scheitelkoordinaten der Normalparabel p: ². ANSATZ Um die Scheitelkoordinaten zu bestimmen, muss man die Parabelgleichung in die Scheitelform umwandeln. Das geht mit der quadratischen Ergänzung (bekannt aus der 9. Klasse). ² ( ) ² muss ein positives Vorzeichen haben. ² quadr. Ergänzung ² zusammenfassen mit Hilfe der bin. Formel ( ) Scheitelkoordinaten ablesen S( / ) Aufgabe SCHNITTPUNKTE PARABEL MIT GERADE Die Gerade P. g:,5 schneidet die Parabel p: ² in den Punkten P und Bestimme die Koordinaten der Punkte P und P. Bestimme die Entfernung der Punkte P und P. ANSATZ gp /, 5 5, 05,5, 5,55, 5, 5,5,5 ² ²,5,5 0 /,5,5,5,5 0,5,5 P (/),5,5, 75,5, 75 P (,5 /, 75) - 9 -

22 ENTFERNUNG DER PUNKTE PP,5,75,5,5 7,5,79 LE Aufgabe NULLSTELLEN Berechne die Nullstellen der Parabel. Zeichne die Parabel, die Gerade und alle bekannten Punkte in ein Koordinatensstem ein. N(0 / 0) setze 0 0 ( ) 0 N( / 0) g 5 S P B P N N A p - 0 -

23 GERADENGLEICHUNGEN m b m Steigung / Gefälle b Schnittstelle mit der Achse Steigung = 5 b = BEISPIEL b = BEISPIEL 7 - Gefälle = SCHNITTPUNKTE PARABEL MIT GERADE Die Gerade P. g: schneidet die Parabel p: ² in den Punkten P und Bestimme die Koordinaten der Punkte P und P. GLEICHSETZEN g p ² ² ²

24 ² 7 0 / b b ac MITTERNACHTSFORMEL a / 7 7 ( ) / 7 9 und -Werte in die Geradengleichung oder Parabelgleichung einsetzen: ( ) P ( /) 0, 5, 5 P (0,5 /, 5) P P ZEICHNUNG 5 ÜBUNGEN F Bestimme jeweils die beiden Schnittpunkte von Gerade und Parabel. Bestimme auch jeweils die Koordinaten vom Scheitel. Zeichne die Parabeln und die Geraden.. Gegeben. Gegeben. Gegeben g und p : : g und p :,5 : g und p :,5 : 0 0 ERGEBNISSE. P (0 / ) und P (,5 / 5,5) S( / 7). P ( / ) und P (,5 /,05) S( / ). P ( / ) und P (7,75 /,55) S(5 / 5) - -

25 LÖSUNGEN. 0 P P 5. 0 P P 5 - -

26 . v () = w () = +,5 0 P : (,00,,00) P : (7,75,,5) P P

27 SELBSTTEST. Gegeben ist eine nach oben geöffnete Normalparabel p: 9. Bestimme die Scheitelkoordinaten der Parabel. Berechne die Nullstellen. Skizziere den Verlauf der Parabel.. Gegeben ist außerdem eine Gerade mit der Gleichung g: Bestimme die beiden Schnittpunkte von Parabel und Gerade. Zeichne die Gerade und kontrolliere das Ergebnis.. Eine zweite nach unten geöffnete Normalparabel geht durch die Punkte C(/-0) und D(/5). Bestimme die Gleichung der Parabel. Zeichne die Parabel und die beiden Punkt C und D ein.. Gegeben ist eine zweite Gerade mit der Gleichung h: 5,5. Bestimme den gemeinsamen Punkt der beiden Geraden g und h. 5. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Parabeln. KONTROLLIERE ALLE ERGEBNISSE AN DER ZEICHNUNG. ERGEBNISSE. Scheitel S( / 7) und N(,5 / 0) und N(,5 / 0). Schnittpunkte A( / ) und B ( / 9). Parabel S 0 9 ( 5) (5 / ). Schnittpunkt E ( / ) 5. Schnittpunkte F( / ) und G(7 / ) - 5 -

28 ZEICHNUNG g 0 B E D A N N G h 5 0 F S 0 C - -

29 GERADENGLEICHUNGEN AUFSTELLEN Eine Gerade g geht durch die Punkte A (- / -) und B (-0,5 0). Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden g. g h B 0, C A,5 ANSATZ m b m Werte ablesen,5 5 b A ( / ) oder B ( 0,5/0) einsetzen 5 ( 0,5) 0 b 0 b 5 5 b 0, prüfe an der Zeichnung. 5 ERGEBNIS g : 0, oder 0, 0, 5 Die Gerade h ist parallel zu g und schneidet die -Achse in C (,5 0). Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h. Die Gerade h ist parallel zu g und hat daher ebenfalls die Steigung m = 0,. ANSATZ 0, b C (, 5 / 0) einsetzen 00,,5b b ERGEBNIS h: oder 0, 5-7 -

30 h schließt mit den Koordinatenachsen ein DREIECK ein. Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang des Dreiecks. FLÄCHE Für die Fläche muss man die Achsenabschnitte der Geraden h ablesen (siehe Zeichnung). gh,5 A,5 FE UMFANG U abc,5 c c,5,le Satz des Pthagoras U abc,5,7,7 LE Eine nach unten geöffnete NORMALPARABEL p hat den Scheitelpunkt S bei (- -). Bestimme die Parabelgleichung. Berechne die Schnittpunkte von p und h. ANSATZ S( / ) ( S) S ( ) ( 9) g PARABEL h SCHNITTPUNKTE h p ², 90 0, P P 5 5 S /,, 9 S / 5,,5, 0, ( 5) S ( 5/ ) S 0, (,),, S (,/,) 0 - -

31 ÜBUNGEN ZUR WIEDERHOLUNG Aufgabe Ordne den Parabeln die richtigen Gleichungen zu. A B C ( ) p p 0 9 p D ( ) E ( ) F ( ) p p 5 7 p Aufgabe Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte von a) 5 b) - 9 -

32 Aufgabe a) Wie lautet die Gleichung der nach unten geöffneten Normalparabel durch die Punkte A ( ) und B (- -)? b) Die Parabel p : p q hat die Smmetrieachse mit der Gleichung = und verläuft durch den Punkt C (-0,5 -,75). Bestimme die Gleichung der Parabel p. Bestimme die Gleichung von p in der Scheitelform und Normalform. Aufgabe Die Parabel wird: : 5 a) an der -Achse gespiegelt, b) an der -Achse gespiegelt. Bestimme die Gleichungen der gespiegelten Parabeln p und p. in Normalform und in Scheitelform. Aufgabe 5 a) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel p : mit der Geraden g:. b) Bestimmen die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabeln p und : p. : Aufgabe a) Eine 9 m breite Lagerhalle hat als Dachkonstruktion drei gleich große parabelförmige Bögen der Form p q (siehe nicht maßstabsgetreue Skizze). Berechne die Höhe der Lagerhalle bis zum Scheitel des Daches

33 b) Das Glasdach eines Wintergartens hat die Form einer Parabel mit der Gleichung a c (siehe nicht maßstabsgetreue Skizze). Berechne die Gleichung der Parabel. LÖSUNGEN. A p B p5 C p D p E p F p. a) S(,5/ 5,5) b) S(/ 5). a ) b oder ) ( ). p : 5 p : ( ) S ( / ) nach oben geöffnet a) Spiegelung an der Achse S p nach unten geöffnet Normalform b) 5 ( / ) : ( ) Spiegelung an der Achse S p nach oben geöffnet ( / ) : ( ) Normalform 5 5. a) pg A( / ) und B(/ ) b) p p C( / ) und D( / 5). a) b) h(,5),5m p : 0,,5 - -

34 SCHNITT ZWEIER PARABELN. Gegeben ist eine nach oben geöffnete Normalparabel und eine nach unten geöffnete Normalparabel p : 9 p : 0 9 Bestimme die Schnittpunkte A und B der beiden Parabeln. LÖSUNG p p : 9 0,5,5 7 p p / q -Werte bestimmen durch Einsetzen in eine der beiden Parabelgleichungen: 99 A(/ ) B(7 / ). Gegeben ist eine weitere nach oben geöffnete Normalparabel mit folgender Gleichung p : ( ) Berechne den Schnittpunkt C mit der Parabel p. Bestimme die Scheitelkoordinaten der Parabel. Berechne die Nullstellen von p. Skizziere den Verlauf der Parabel. LÖSUNG p p Den -Wert bestimmen durch Einsetzen in eine der beiden Parabelgleichungen: SCHEITELPUNKT 9 9 C (/) S(-/-) NULLSTELLEN N(,7/0) und N(0,7/0) - -

35 KONTROLLIERE ALLE ERGEBNISSE AN DER ZEICHNUNG. 0 S C B A S 0 S - -

36 PARABELN MIT SCHEITEL AUF DER Y-ACHSE ANSATZ a b. Eine Parabel hat die Gleichung a 5 und geht durch den Punkt P(/-). Bestimme die Gleichung der Parabel. ANSATZ b = - 5 a b a 5 P(/ ) einsetzen a 5 a 5 5 a a 5. Eine Parabel hat die Gleichung a und geht durch den Punkt P(-/). Bestimme die Gleichung der Parabel. ANSATZ b = - a b a P( /) einsetzen a ( ) a a a. Eine Parabel hat die Gleichung Bestimme die Gleichung der Parabel. b und geht durch den Punkt Q(/7). ANSATZ a a b b Q einsetzen (/7) 7 b 7 b b b - -

37 . Eine Parabel hat die Gleichung a b und geht durch die Punkte P(/-) und Q(/). Bestimme die Gleichung der Parabel. ANSATZ a b P( / ) ab ( ) Q( / ) a b a a Einsetzen b b b GLEICHUNG ZEICHNUNGEN p p p p

38 REALSCHULPRÜFUNG 007 PFLICHTTEIL Aufgabe 5 Lösen Sie die Gleichung Aufgabe ( )( ) ( ) Eine Parabel hat die Gleichung a,5 und geht durch den Punkt P( /,5). Berechnen Sie a. Zeichnen Sie das Schaubild der Parabel in ein Koordinatensstem ein. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und der -Achse. WAHLBEREICH Aufgabe 7 5 S S Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden verschobenen Normalparabeln (entnehmen Sie die erforderlichen Werte der Zeichnung). Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P der beiden Parabeln. Die Gerade g geht durch die Punkte P und S. Die Gerade h verläuft parallel zu g und geht durch S. Bestimmen Sie die Gleichung von h. Die Gerade h bildet mit der -Achse und der -Achse ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt. [Der b-teil wurde hier weggelassen.] - -

39 LÖSUNGEN Aufgabe 5 [Pflicht] ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 0 : 0,5,5,5,5 / L ; Aufgabe [Pflicht] P( /,5) in die Parabelgleichung einsetzen a a a a,5,5 ( ),5,5,5 0,5 Die Parabelgleichung lautet,5 NULLSTELLEN N und N 0,5 0 9 / ( /0) (/0)

40 Aufgabe [Wahlbereich] p : ( ) 9 p : ( ) 5 SCHNITTPUNKT p p P 9 5 ( /) GERADENGLEICHUNGEN ANSATZ m b S ( /) einsetzen m b ( ) P ( /) einsetzen m b 9m m m einsetzen in GL II b b 5 Die Gleichung von g lautet: 5 PARALLELE b S ( / ) einsetzen b b Die Gleichung von h lautet: Nullstelle von h: 0 0 N /0 FLÄCHE A g h FE N 5 h 0 - -

41 REALSCHULPRÜFUNG 00 PFLICHTTEIL Aufgabe 5 Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an. Aufgabe Lösen Sie das Gleichungssstem WAHLBEREICH Aufgabe a) Eine Parabel p hat die Gleichung 5. Eine zweite nach oben geöffnete Normalparabel p hat den Scheitel S ( / 5). Durch die gemeinsamen Punkte der beiden Parabeln verläuft eine Gerade. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden rechnerisch. Berechnen Sie die Winkel, unter denen die Gerade die -Achse schneidet. b) Von einer nach oben geöffneten Normalparabel p sind die Schnittpunkte mit der - Achse bekannt: N( / 0) und N (5 / 0). Durch den Scheitelpunkt der Parabel p verläuft die Gerade g mit der Steigung m = -. Auf dieser Geraden liegt der Scheitelpunkt einer zweiten nach oben geöffneten Normalparabel, die mit der -Achse nur einen gemeinsamen Punkt hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Parabeln

42 LÖSUNGEN Aufgabe 5 [Pflicht] ( ) ( ) ( ) 0 : 0 HN ( ) D \ 0; / b b ac 5 entfällt a 0,5 L 0,5 Aufgabe [Pflicht] ( ) einsetzen in 7 7 L ;7 Aufgabe [Wahlbereich] a) Bekannt p : 5 S ( / 5) ( ) 5 5 SCHNITTPUNKTE p p ( ) 55 P( /) 595 (/ ) / P - 0 -

43 GERADENGLEICHUNG ANSATZ m b P ( /) einsetzen m b ( ) P ( / ) einsetzen m b m m m einsetzen in GL II b b Die Gleichung von g lautet: SCHNITTWINKEL MIT DER X - ACHSE tan m tan tan ( ), oder 0, b) N (/ 0) und N (5 / 0) S ( /...) N c c c c ( / 0) ( ) 0 ( ) 0 p : ( ) 5 GERADENGLEICHUNG m m b b S ( / ) einsetzen b b NULLSTELLE 0 0 N( /0) S PARABELGLEICHUNG p : ( ) mit S ( /0) ( ) S S - -

44 SCHNITTPUNKT p p 5 0,5 P(0,5 /, 5) 0 g

45 REALSCHULPRÜFUNG 009 PFLICHTEIL Aufgabe [GERADE UND PARABEL] Eine Gerade hat die Gleichung 5. Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(/-). Berechnen Sie die Schnittpunkte von Gerade und Parabel. Bestimmen Sie die Entfernung der Schnittpunkte rechnerisch. Aufgabe 5 [BRUCHGLEICHUNG] Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung 5 ² 7 ( ) WAHLBEREICH Aufgabe [PARABELN] a) Eine nach oben geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A( ) und B( ). Diese Parabel wird um 5 Einheiten nach links und um 5 Einheiten nach unten verschoben. Dadurch entsteht die Parabel p mit dem Scheitelpunkt S. Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt P. Berechnen Sie die Entfernung der Punkte P und S. b) Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel hat die Koordinaten S( -). Der Punkt P( P ) liegt auf der Parabel. Er bildet mit den Punkten A(- 0) und B( 0) ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABP. Der Punkt P wird auf der Parabel verschoben. Es gibt zwei Dreiecke ABP und ABP, deren Flächeninhalt jeweils 0,5 FE beträgt. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte P und P. - -

46 LÖSUNGEN Aufgabe [Pflicht] Parabel: ( )² ² 9 p: ² 7 p g: ² 75 ² 0 / A( / 7) und B ( / ) Abstand: AB ( )² (7 )² ² ² 0,9 LE Aufgabe 5 [Pflicht] 5 ² 7 ( ) HN ( ) D \ 0; ( ) 5 ( ) ² 7 ² 55 ² 7 ² 0 ² 0 / 0,5, 5 0,5,5 D R \ 0; Lösungsmenge : L ; Definitionsmenge: Aufgabe [Wahlbereich] a) PARABEL ² p q A( / ) 9p q p q B( /) p q 5p q p p Einsetzen: pq ( ) q q p : ² SCHEITEL p : ² ² ( ) S (/) NEUE PARABEL S( / ) ( )² p : ² - -

47 p p : ² ² 0 0 P ( /) ABSTAND PS ² 9² 90 9,9 LE b) PARABEL ( )² p: ² Koord. von P: P P () (/) Fläche ABP: A gh FE [Sonderfall] HÖHE h 0,5 h0,5 h 0, 5 LE Schnitt der Parabel mit der waagerechten Höhenlinie = 0,5: 0,5 ² ²,75 0 /,75,5 P (0,5 /0, 5) und P (7,5 /0, 5) 0 P P P A B

48 REALSCHULPRÜFUNG 00 PFLICHTTEIL Aufgabe Lösen Sie das Gleichungssstem 5 0 ( ) Aufgabe 5 Die nach unten geöffnete Parabel p hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in einem Koordinatensstem. Die Gerade g hat die Steigung m und schneidet die -Achse im Punkt P(0/). Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von p und g. WAHLBEREICH Aufgabe a) 0 g Im Schaubild sind die Geraden g und g dargestellt. Entnehmen Sie zur Bestimmung ihrer Gleichungen geeignete Werte. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P von g und g. Die Punkte P und Q(/-) liegen auf ei- g ner nach oben geöffneten Normalparabel. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel

49 PSPSb) Gegeben sind die beiden Parabeln p p : 5 : Die beiden Parabeln schneiden sich in den Punkten P und Q. Die Punkte P und Q bilden zusammen mit den Scheitelpunkten S und S das Viereck SQ. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. SBegründen Sie, weshalb das Viereck Qein Drachenviereck ist. ( P) LÖSUNGEN Aufgabe [Pflicht] 5 0 ( ) ( ) ( ) 0,5 5 L ; 0,5 Aufgabe 5 [Pflicht] SCHNITTPUNKTE g: g p P( /) und P (/) / - 7 -

50 ZEICHNUNG P P Aufgabe [Wahlbereich] a) GERADENGLEICHUNGEN m und b 7 g : m und N(/0) 0b b g : SCHNITTPUNKT gg 7,5 5 0 P(0 /) PARABELGLEICHUNG ² p q P(0/) einsetzen Q(/-) einsetzen 0 0 p q 00 0 p q 00 0 p q p q p q p q GLEICHUNGSSYSTEM 0 pq ( ) pq 0 p q pq 0 p p 0 einsetzen in GL II ( 0) q q PARABELGLEICHUNG ² 0 - -

51 PSSCHEITELKOORDINATEN S ² 0 ² 0 5 ( 5) (5 / ) b) SCHNITTPUNKTE p p 5 0 / P( / ) und Q( / ) SCHEITELPUNKTE p: 5 S(0/5) p : S (0/ ) SFLÄCHENINHALT VON A Drachen e f FE Q S Q P Da beide Parabeln smmetrisch zur -Achse liegen, ist das Viereck S PS Q ein DRACHENVIER- ECK. S - 9 -

52 REALSCHULPRÜFUNG 0 PFLICHTTEIL Aufgabe Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an Aufgabe 5 Drei Gleichungen vier Graphen () () ( ) a. ( P) c () Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Graphen? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Wie heißt die Funktionsgleichung des vierten Graphen? WAHLBEREICH Aufgabe a) 5 5 b d ( P) Die nach oben geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A ( 5) und B ( 0). Die Parabel p hat die Gleichung. Besitzen die beiden Parabeln gemeinsame Punkte? Überprüfen Sie durch Rechnung. Geben Sie die Gleichung einer Geraden g an, die weder mit p noch mit p einen gemeinsamen Punkt hat. (5,5 P)

53 b) Die Parabel p mit der Gleichung,5 schneidet die -Achse in den Punkten N und N. Die Gerade g verläuft durch den rechten Schnittpunkt der Parabel mit der -Achse und hat die Steigung m = -. Berechnen Sie den zweiten Schnittpunkt Q der Geraden g mit der Parabel p. Die Punkte N und N sowie der Punkt Q bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. Der Punkt Q bewegt sich jetzt oberhalb der -Achse auf der Parabel p. Für welche Lage von Q wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten? (,5 P) Aufgabe a) [WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG] Die Abschlussklassen der Linden-Realschule organisieren zugunsten eines sozialen Projekts eine Tombola. Die Tabelle zeigt die Losverteilung und die damit jeweils verbundenen Gewinne. Anzahl der Lose Wert des Gewinns 50 Nieten kein Gewinn 0 Kleingewinne je,00 0 Hauptgewinne je 0,00 Ein Los kostet,00. Berechnen Sie den Erwartungswert. Um den Gewinn für das soziale Projekt zu erhöhen, geben die Klassen 50 weitere Nieten in die Lostrommel. Welchen Betrag können die Abschlussklassen spenden, wenn alle Lose verkauft werden? (5 P) b) [PARABELN] Die nach oben geöffnete Normalparabel p hat den Scheitelpunkt S ( / ) Die Parabel p mit dem Scheitelpunkt S hat die Gleichung 7. Der Schnittpunkt der beiden Parabeln heißt R. Günter behauptet:,,einer der drei Winkel des Dreiecks SSR ist stumpfwinklig." Hat er Recht? Begründen Sie Ihre Antwort. (5 P) - 5 -

54 LÖSUNGEN Aufgabe [Pflicht] HN ( ) D \ ( ) L / Aufgabe 5 [Pflicht] () () S(0/) nach oben geöffnet, flacher Parabel c ( ) S(/0) nach oben geöffnet Parabel d () () ( ) S( / ) nach oben geöffnet Parabel a Parabel b Aufgabe [Wahlbereich] a) ANSATZ ² p q A(/5) einsetzen B(/0) einsetzen 5 pq p q 0 pq p q GLEICHUNGSSYSTEM p q ( ) pq PARABELGLEICHUNG p : ² p p q 0-5 -

55 SCHNITTPUNKTE p p /,5, 5,5, 75 keine Lösung keine Schnittpunkte SCHEITELFORM p : ² 0 ² 9 ( ) S (/) ZEICHNUNG UND GERADE, DIE DIE PARABELN NICHT SCHNEIDET g p 5 5 p GERADE g: b) NULLSTELLEN 0 0,5 0 9 N( /0) und N(/0) GERADE N ( / 0) einsetzen in b 0 b b g: - 5 -

56 ZWEITER SCHNITTPUNKT g p Q DREIECKSFLÄCHE A FE,5 0 / (/) Der Flächeninhalt wird am größten, wenn der Punkt Q am höchsten Punkt der Parabel (Scheitel) liegt. Der Punkt hätte dann die Koordinaten Q(0/,5). Aufgabe [Wahlbereich] a) WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG b) PARABELN p : ( ) 7 p : 7 ( ) S (/) SCHNITTPUNKT p p R(0/7) Der Winkel α ist größer als 90, weil die erste Gerade die Steigung m = +, während die zweite Gerade die Steigung m = - hat. Für einen rechten Winkel dürfte die zweite Gerade aber nur die Steigung m = - haben. Da die Steigung größer ist, ergibt sich ein stumpfer Winkel α - 5 -