Teil 4. Aufgaben Nr. 14 bis 18 Hier nur Lösung von Nr. 14. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Lösungen

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1 Teil 4 Aufgaben Nr. 4 bis 8 Hier nur Lösung von Nr. 4. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Lösungen Parabelfunktionen mit vielen Zusatzaufgaben (Keine Integration) Datei Nr. 405 S Januar 00 Friedrich W. Buckel Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Parabelfunktionen Aufgaben 4 bis 8 Aufgabe 4 Gegeben ist eine Parabel K durch die Funktion y= f( x) = x + x+ a) Berechne den Scheitel der Parabel sowie deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen.. Zeichne die Parabel für 4 x 6 b) Die Punkte A ( - I y A ) und B ( 3 I y B ) liegen auf der Parabel K. Berechne die Gleichung der Sekante g = (AB) und die Länge der Sehne AB. c) Das Lot in A auf g schneidet die Parabel K noch einmal in C. Berechne den Inhalt des Dreiecks ABC. d) Unter welche Winkeln schneiden sich die Tangenten in A und in B mit der Geraden AB? e) Berechne den Kurvenpunkt D, in dem die Tangente parallel zu AB ist. Aufgabe 5 Gegeben ist eine Parabel K durch die Funktion y= f( x) = x + x+ 4 5 und die Gerade g durch die Gleichung y= x+. a) Berechne den Scheitel der Parabel sowie deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen.. Zeichne die Parabel für 3 x 7 b) Berechne die Schnittpunkte von P und Q von K und g. c) Die Tangenten in P und Q bilden zusammen mit g ein Dreieck. Berechne den dritten Eckpunkt Z und den Dreiecksinhalt. d) Welche Gleichung hat die Tangente an K, die zu g parallel ist? Aufgabe 6 Gegeben sind die Parabeln K durch ( ) K durch ( ) gx x 6 = +. = = + und 4 y f x x x a) Berechne die Scheitel der Parabeln und zeichne die Kurven in ein gemeinsames Achsenkreuz. b) In welchen Punkten A, B und unter welchen Winkeln schneiden sie sich? Wie lang ist die gemeinsame Sehne AB? c) Berechne den Inhalt des Vierecks S AS B.

3 Parabelfunktionen Aufgaben 4 bis 8 Aufgabe 7 Gegeben ist die Parabel K durch ihre Gleichung y = f(x) = x x 4 a) Berechne Scheitel und Schnittpunkte mit der x-achse. Zeichne K in ein Achsenkreuz (beide Achsen von - 4 bis 8, LE cm) b) Die Gerade g: y = x+ schneidet K in den Punkten A und B. 4 Berechne die Länge der Sehne AB. c) Das Lot vom Ursprung auf g schneidet K nochmals in D. Berechne die Länge dieser Sehne OD. d) Berechne den Inhalt der Vierecks OADB. e) K hat eine zur Geraden y = x parallele Tangente. Berechne den Berührpunkt und die Gleichung dieser Tangente. f) Die Sehne AB und die Tangenten in A und B bilden ein Dreieck. Berechne den dritten Eckpunkt C, den Innenwinkel α bei A und den Flächeninhalt. Aufgabe 8 Gegeben ist die Parabel K durch die Funktion 5 ( ) y = f x = x + x+ 4 4 a) Berechne Scheitel und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Zeichne die Parabel für mit Längeneinheit cm. b) Die Punkte A ( - 3 I y A ) und B ( 3 I y B ) liegen auf der Parabel K. Berechne die Gleichung der Geraden (AB). c) Es gibt eine Tangente an K, die parallel zu (AB) ist. Stelle ihre Gleichung auf. Der Berührpunkt heiße R. d) Die Tangenten in A und B bilden zusammen mit der Geraden g ein Dreieck ABC. Berechne den dritten Eckpunkt C, den Innenwinkel γ bei C sowie den Inhalt des Dreiecks ABC. 5 e) Die Gerade g: y = x schneidet K in P und Q. Das Viereck ABPQ ist ein Trapez. Der Inhalt dieses Trapezes kann auf kürzeste Weise berechnet werden, wenn es gelingt, diese in zwei günstige Dreiecke zu zerlegen. Wir groß ist der Inhalt?

4 Parabelfunktionen Aufgaben 4 bis 8 3 Lösung Aufgabe 4 a) Gegeben ist die Parabel durch: ( ) = = + + f' x = x+ y f x x x Bestimmung des Scheitels durch die Ableitungsfunktion: ( ) Scheitelbedingung: f' ( xs) = 0 (das heißt: Waagerechte Tangente) Aus - x S + = 0 folgt x S =. y-koordinate: ys = f() = + + = 5 Ergebnis: Parabelscheitel S ( I 5 ). Schnittpunkte mit der x-achse: Bed.: f( xn) = 0 d.h. + + = x x = 0 x x 0 Wir lösen eine quadratische Gleichung der Form ax + bx + c = 0 immer durch die allgemeine Lösungsformel (die im Volksmund auch "Mitternachtsformel" heißt: b± b 4ac x, = a Die sogenannte p-q-formel verwenden wir nie, weil sie bei vielen Aufgaben zu unhandlich ist. Hat eine quadratische Gleichung speziell den Koeffizienten a =, dann wird der Nenner a = und man benötigt Bruchstrich und Nenner nicht. Hier ist a =, b = - und c =. Daher liefert die Lösungsformel: N x = ± 4 ( ) = ± + = ± 0 Ergebnis: N ( + 0 0) ( 4, 0), N ( 0 0) (, 0) Schnittpunkt mit der y-achse: Bed.: x R = 0 also y R = f(0) =. ( R 0 ) b) ( ) f = 4 + = d.h. A ( ) f( 3) = + 3+ = 3 d.h. B( 3 3 ). Steigung der Geraden (AB): AB ( ) 3 Gleichung der Geraden (AB): ( ) Länge der Sehne AB: m 5 y 3 5 = = = = = x y 3= x 3 y= x Ergebnis: y= x+ ( ) AB= x + y = 5+ = 5 + = 5 =

5 Parabelfunktionen Aufgaben 4 bis 8 4 Schaubild der Parabel K: ( ) = = + + y f x x x B A c) Lot in A auf g = (AB). ml = =. A ( ). mab Gleichung der Lotgeraden: y = ( x+ ) y= x 4+ 7 Ergebnis: y= x Schnitt von L und K: 7 x + x+ = x x + 3x + 8 = 0 bzw. x 3x 8 = 0 8 xc = 3± 4 ( 8) = 3± + 6 = 3± 5= Da x = - die x-koordinate von A ist, bleibt x C = y = 8 = 6 = =,5 C Ergebnis: C( 8,5) A B C Da Dreieck ist bei A ( ) und AC als Höhe. rechtwinklig. Daher verwendet man AB als Grundseite ( ) AB= x + y = 5+ = 5 + = 5 = 5 (siehe oben) ( ) ( ) ( ) ( ) AC = 8 + +,5 0,5 = = = 0 + = Flächeninhalt: F= AB AC= = 5 0= 4

6 Parabelfunktionen Aufgaben 4 bis 8 5 d) Für Tangentensteigungen benötigt man die Ableitungsfunktion f' ( x) = x+. Steigung der Tangente in A ( ) : m = f' ( ) = 3 Steigung der Tangente in: B( 3 3 ) m = f' ( 3) = Steigung der Geraden AB: mab = 5 m mab 3 Schnittwinkel bei A: tan α = = = = mmab + o o o o Also ist α = 45 und α = = 35 o Schnittwinkel bei B: β = 0, denn m mab =, d.h. die Tangente in B und die Gerade g = (AB) sind orthogonal. Hinweis: Wer nicht erkennt, daß die Steigung von g der negative Kehrwert der Tangentensteigung in B ist und daher mit der Schnittwinkelformel arbeitet, der kommt in folgende Situation: m m tan β = = = = + m m AB AB ( ) Durch Null kann man nicht dividieren, also existiert kein Tangens des Winkels ß. Dann spätestens muß man erkennen, daß hier orthogonale Geraden vorliegen. Jetzt weist man nach, daß o m m = ist und hat das Ergebnis β = 0!!! AB d) Wo ist die Tangente parallel zu AB? Bedingung: m T = m AB =. d.h. ( ) f' x = x+ = also x D =. 3 ( ) y = f = + + = + 5= D Ergebnis: In ( ) D ist die Tangente parallel zur Geraden (AB). 8