Skript Mathematik Klasse 10 Realschule

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1 Skript Mathematik Klasse 0 Realschule

2 Das vorliegende Skript wurde erstellt durch: Marco Johannes Türk Die aktuellste Version dieses Skriptes ist online auf zum Download zu finden. 30. März 05 Marco Johannes Türk

3 Inhaltsverzeichnis Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme Das Additions-Verfahren zur Lösung von LGS Das Gleichsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren Lösungsmengen von Linearen Gleichungssystemen Geometrische Deutung der Lösungsmengen Quadratische Gleichungen Lösungsmengen quadratischer Gleichungen Geometrische Deutung der Lösungsmengen Bruchgleichungen Funktionen. Geraden Zeichnen von Geraden Bestimmen von Geradengleichungen Fall : zwei Punkte sind gegeben Fall : ein Punkt und Steigung gegeben Parabeln Parabeln der Form y = a x Parabeln der Form y = ax + c Parabeln der Form y = (x d) + c Die allgemeine Parabel y = x + px + q Bestimmen von Parabelgleichungen Fall : der Scheitelpunkt ist gegeben Fall : zwei Punkte sind gegeben Fall 3: zwei Nullstellen sind gegeben Untersuchung von Funktionen Schnittpunkte mit der x, bzw. y-achse Schnittpunkt zweier Geraden Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel - Schnittsituationen Schnittpunkte zweier Parabeln Schnittpunkte zweier Parabeln - Schnittsituationen Berühren zweier Schaubilder Fall : eine Gerade berührt eine Parabel Fall : Bestimmen der Tangente in einem Punkt Fall 3: zwei Parabeln berühren sich Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem Prozentrechnung 4 3. Grundlagen Prozentuale Zunahme Prozentuale Abnahme Zinsrechnung Zinseszins mit gleichbleibendem Zinssatz Zinseszins mit jährlich änderdem Zinssatz i

4 Inhaltsverzeichnis 4 Diagramme und Auswerten von Daten Auswerten von Listen Das arithmetische Mittel (Durchschnitt) Der Zentralwert (Median) Quartile Daten auswerten, Kastendiagramme (Boxplots) Kreisdiagramme Wahrscheinlichkeitsrechnung Ergebnisse und Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit Baumdiagramme Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm Das Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen Ziehen ohne Zurücklegen Der Erwartungswert Geometrie Dreiecke Der Satz des Pythagoaras Winkelberechnungen im rechtwinkligen Dreieck Das allgemeine Dreieck Besondere Dreiecke Der Kreis Spezielle Vierecke Prismen Besondere Prismen: Der Quader Besondere Prismen: Der Würfel Zylinder Kugel Kegel Pyramiden Die allgemeine Pyramide Besondere Pyramiden: Die vierseitige Pyramide ii

5 Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem (oft auch einfach kurz LGS) besteht in der Regel aus Gleichungen mit Unbekannten. Es besitzt z.b. die Form 4a + 6b = 4 3a + b =.. Das Additions-Verfahren zur Lösung von LGS Man löst ein lineares Gleichungssystem, indem man es zunächst mit Äquivalenzumformungen auf die Stufenform bringt und danach schrittweise nach den Variablen auflöst. Erlaubte Äquivalenzumformungen sind: Gleichungen miteinander vertauschen. Dies entspricht dem Vertauschen von Zeilen. Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren (bzw. durch eine Zahl dividieren), hierzu multipliziert man jeden Eintrag einer Zeile mit dieser Zahl. eine Gleichung durch die Summe oder Differenz zweier Gleichungen ersetzen. D.h. man addiert eine Gleichung (eine Zeile) zu einer anderen Gleichung (Zeile). Ein lineares Gleichungssystem liegt in der Zeilenstufenform vor, wenn es die folgende Form besitzt: Wobei irgendwelche Zahlen darstellen. a + b = b = Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mit dem Additionsverfahren: a + 6b = 3a + b = Lösung: Zunächst multiplizieren wir die erste Zeile mit 3, damit in jeder Gleichung vor a die selbe Zahl steht. I a + 6b = Ia = 3 I II 3a + b = Das neue Gleichungssystem lautet: Ia 3a + 8b = 6 II 3a + b = Danach ersetzen wir die zweite Gleichung durch die Differenz aus der zweiten und der ersten Gleichung: Ia 3a + 8b = 6 II 3a + b = IIa = II Ia

6 Gleichungen Somit lautet das fertig umgeformte Gleichungssystem: Ia 3a + 8b = 6 IIa 0 6b = 8 Jetzt können wir schrittweise die Lösung des linearen Gleichungssystems ablesen, indem wir die einzelnen Gleichungen nacheinander auflösen: 6b = 8 b = Aus der ersten Gleichung folgt nun, indem wir das Ergebnis aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung einsetzen: 3a + 8b = 6 ( 3a + 8 ) = 6 3a 9 = 6 3a = 3 a = Somit besteht die Lösung aus dem Tupel: ( ; ). Die Lösungsmenge Lautet: L = { ( ; ) } Die Lösung eines LGS besteht aus einem Tupel aus drei Zahlen, diese schreibt man in der Form (a; b). Die Lösungsmenge ist dann L = {(a; b)}. Man kann dieses Tupel auch als einen Punkt im Koordinatensystem auffassen und in der Form (a b) schreiben. Der Punkt ist S(a b).

7 Gleichungen.. Das Gleichsetzungsverfahren Man löst ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren, indem man die folgenden Schritte durchführt:. Löse die beiden Gleichungen nach einer Variablen auf, so dass diese die z.b. die Form a = b + besitzen, wobei wieder irgendwelche Zahlen darstellen.. Setze die beiden rechten Seiten der Gleichungen gleich. 3. Löse die neu erhaltene Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 4. Setze das erhaltene Ergebnis in eine der ersten beiden Gleichungen ein, um ein Ergebnis für die andere Variable zu erhalten. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren: a + 6b = 3a + b = Lösung: Zunächst multiplizieren wir die erste Zeile mit 3, damit in jeder Gleichung vor a die selbe Zahl steht. I a + 6b = Ia = 3 I II 3a + b = Danach bringen wir alles was nichts mit a zu tun hat auf die andere Seite: Ia 3a = 6 8b II 3a = b Nun können wir die beiden rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen, da auf der linken Seite jeweils das Gleiche steht: Ia = II 6 8b = b 6b = 8 b = Nun setzt man das erhaltene Ergebnis entweder in Ia oder in II ein und löst diese Gleichung dann nach a auf: 3a = 6 8b 3a = 6 8 3a = a = 3 a = ( ) Somit lautet die Lösung des Gleichungssystems L = { ( ; ) }. 3

8 Gleichungen..3 Das Einsetzungsverfahren Man löst ein lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, indem man die folgenden Schritte durchführt:. Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen auf, so dass diese die z.b. die Form a = b + besitzen, wobei wieder irgendwelche Zahlen darstellen.. Setze dies für die entsprechende Variable in die andere Gleichung ein. 3. Löse die neu erhaltene Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 4. Setze das erhaltene Ergebnis in eine der ersten beiden Gleichungen ein, um ein Ergebnis für die andere Variable zu erhalten. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren: a + b = 4 3a + b = Lösung: Zunächst teilen wir die erste Zeile durch, damit in dieser Gleichung vor a eine steht. I a + b = 4 II 3a + b = Ia = I : Wir erhalten das neue Gleichungssystem: Ia a + 6b = II 3a + b = Danach bringen wir in Gleichung Ia alles was nichts mit a zu tun hat auf die andere Seite: Ia a = 6b II 3a + b = Nun können wir die Gleichung Ia in die Gleichung II einsetzen: 3a + b = 3 ( 6b) + b = 6 8b + b = 6b = 8 b = Nun setzt man das erhaltene Ergebnis entweder in Ia oder in II ein und löst diese Gleichung dann nach a auf (hier wird Ia gewählt): a = 6b a = 6 a = + 3 a = ( ) Somit lautet die Lösung des Gleichungssystems L = { ( ; ) }. 4

9 Gleichungen..4 Lösungsmengen von Linearen Gleichungssystemen Ein lineares Gleichungssystem besitzt entweder keine, eine, oder unendlich viele Lösungen. Man sieht dies folgendermaßen: keine Lösung: Ein lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung, wenn nach dem Umformen eine falsche Aussage im Gleichungssystem steht. Eine falsche Aussage wäre z.b.: 0 = 6 oder 4 = 9. eine Lösung: Ein lineares Gleichungssystem besitzt eine Lösung, wenn man es mit Umformungen auf die Zeilenstufenform brigen kann, wenn man also ein Ergebnis erhält. unendlich viele Lösungen: Ein lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn in einer Zeile eine wahre Aussage steht. Wenn man also nach Umformen die Gleichung 0 = 0 oder 7 = Geometrische Deutung der Lösungsmengen Man kann ein Lineares Gleichungssystem auch interpretieren als die Aufgabe zwei Geraden auf gegenseitige Lage zu untersuchen. Unter gegenseitiger Lage versteht man, die Lage zweier Geraden im Koordinatensystem zueinander. Mögliche Lagen sind: parallel, sie schneiden sich, oder sie sind identisch. Keine Lösung - Die Geraden sind parallel Sind zwei Geraden parallel, so haben diese keinen gemeinsamen Punkt. Das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Geradengleichungen hat damit keine Lösung. Beispiel: Die beiden Geraden y = x + und y = x sind parallel, da diese die selbe Steigung besitzen. Somit gibt es keinen Schnittpunkt, im Schaubild sieht dies folgendermaßen aus: 3 y y = x + y = x x 3 5

10 Gleichungen Eine Lösung - Die Geraden schneiden sich Schneiden sich zwei Geraden, so haben diese einen gemeinsamen Punkt. Das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Geradengleichungen hat damit eine Lösung. Beispiel: Die beiden Geraden y = 0, 5x +, 5 und y = x schneiden sich, im Schaubild sieht dies folgendermaßen aus: 3 y y = x 0 x y = 0, 5x +, 5 3 Unendlich viele Lösungen - Die Geraden sind identisch Sind zwei Geraden identisch, so haben diese alle Punkte gemeinsam. Das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Geradengleichungen hat damit unendlich viele Lösungen. Beispiel: Die beiden Geraden y = 3 x + und y = 3x + sind identisch. y 3 y = 3 x y = 3 x x 3 6

11 Gleichungen. Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x +b x+c = 0, wobei a, b, c irgendwelche Zahlen sind und a nicht 0 ist. Die p-q-formel: Ist eine Gleichung der Form x + px + q = 0 gegeben. Dann erhält man die Lösungen dieser Gleichung durch die folgende Formel: x ; = p ± (p ) q Wichtig: Um diese anwenden zu können, muss man beachten, dass die Zahl, welche vor x steht, gleich ist. Steht z.b. eine vor x muss man noch die komplette Gleichung durch teilen. Beispiel: Bestimme die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung: x x 4 = 0 0 = x x 4 Zunächst muss man die Gleichung durch teilen, damit vor dem x eine steht. 0 = x x x ; = ± ( ) + = ± 4 + = ± 9 4 = ± 3 x = x = Die Lösungsmenge lautet somit L = { ; }... Lösungsmengen quadratischer Gleichungen Eine quadratische Gleichung hat entweder keine, eine, oder zwei Lösungen. keine Lösung: Eine quadratische Gleichung besitzt keine Lösung, wenn bei der p-q-formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann. Sie besitzt also keine Lösung, wenn ( p ) q < 0 ist. eine Lösung: Eine quadratische Gleichung besitzt eine Lösung, wenn bei der p-q-formel unter der Wurzel 0 steht, da p ±0 = p ist. Sie besitzt also eine Lösung, wenn ( p q ) = 0 ist. zwei Lösungen: Eine quadratische Gleichung besitzt zwei Lösungen, wenn bei der p-q-formel unter der Wurzel eine Zahl größe 0 steht. Sie besitzt also zwei Lösungen, wenn ( p ) q > 0 ist. 7

12 Gleichungen.. Geometrische Deutung der Lösungsmengen Man kann die Lösung einer quadratischen Gleichung auch interpretieren als die Aufgabe die Schnittpunkte einer Parabel mit der x-achse (die Nullstellen) zu bestimmen. Mögliche Ergebnisse sind: es gibt keinen Schnittpunkt mit der x-achse, es gibt einen Schnittpunkt, die Parabel berührt die x-achse, und es gibt zwei Schnittpunkte mit der x-achse. Keine Lösung - Die Parabel schneidet die x-achse nicht Ist ( p ) q < 0 so steht bei der p-q-formel eine negative Zahl unter der Wurzel, es gibt somit keine Lösung für die quadratische Gleichung. Beispiel: Die Parabel y = x +x+ besitzt keine Schnittpunkte mit der x-achse, da die Gleichung x + x + 3 = 0 keine Lösung besitzt. 5 y y = x + x x Eine Lösung - Die Parabel berührt die x-achse Ist ( p ) q = 0 so steht bei der p-q-formel eine 0 unter der Wurzel, es gibt somit eine Lösung für die quadratische Gleichung. Beispiel: Die Parabel y = x x+ besitzt einen Schnittpunkt mit der x-achse, da die Gleichung x x + = 0 eine Lösung besitzt. y 5 4 y = x x + 3 ( 0) x 8

13 Gleichungen Zwei Lösungen - Die Parabel schneidet die x-achse Ist ( p ) q > 0 so gibt es zwei Lösungen für die quadratische Gleichung. Beispiel: Die Parabel y = x besitzt zwei Schnittpunkte mit der x-achse, da die Gleichung x x + = 0 zwei Lösungen besitzt. y y = x 4 3 ( 0) ( 0) x.3 Bruchgleichungen Schritte zum Lösen von Bruchgleichungen:. Bestimme zunächst die Definitionsmenge. Dies sind die reellen Zahlen ohne die Lösungen der Gleichungen, wenn man die einzelnen Nenner 0 setzt.. Zerlege die Nenner der Brüche so weit wie möglich in einzelne Faktoren. 3. Multipliziere die gesammte Gleichung mit dem Hauptnenner aller Brüche. 4. Kürze die einzelnen Brüche soweit wie möglich. 5. Löse die so erhaltene Gleichung. 6. Überprüfe, welche der Lösungen in der Definitionsmenge enthalten sind. 9

14 Gleichungen Beispiel: Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: x 3x + 8 = x + 4 x + 4x + x Zunächst bestimmt man die Definitionsmenge, hierzu setzt man die einzelnen Nenner 0.. Nenner:. Nenner: 3. Nenner: x + 4 = 0 x = 4 x + 4x = 0 x (x + 4) = 0 x = 0 x = 0 x = 4 Somit lautet die Definitionsmenge: D = R \ { 4; 0}. Der Hauptnenner der Brüche lautet: x (x + 4), nun multipliziert man die Gleichung mit dem Hauptnenner und kürzt soweit wie möglich: x 3x + 8 x (x + 4) = x + 4 x (x + 4) x (x + 4) + x (x + 4) x x x = 3x x + 4 Nun löst man die erhaltene quadratische Gleichung: x x = 3x x + 4 x = 4x + 3 x 4x 3 = 0 x ; = 4 ± x ; = ± x ; = ± 36 x ; = ± 6 x = 8 x = 4 ( 4 ) + 3 x = 8 liegt im Definitionsbereich und ist somit eine Lösung der Gleichung. x = 4 liegt nicht im Definitionsbereich und ist somit keine Lösung der Gleichung. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet L = {8}. 0

15 Funktionen. Geraden Eine Gleichung die eine ähnliche Form wie z.b. y = x hat, stellt in einem Koordinatensystem eine Gerade dar, um eine solche Gerade zeichnen zu können, muss man wissen, was die Zahlen, bzw bedeuten. Eine Gleichung der Form y = m x + b nennt man einen Geradengleichung, hierbei stellen m und b irgenwelche Zahlen dar. Die Bedeutung dieser Zahlen ist: m entspricht der Steigung der Geraden. Ist m > 0, so verläuft die Gerade aufwärts, für m < 0 abwärts. Ist die Steigung m = 0 so verläuft die Gerade waagrecht. b ist der y-achsenabschnitt, dies entspricht der Höhe des Schnittpunktes mit der y-achse. Die Steigung einer Geraden ist das Verhältnis aus senkrecht zurückgelegter Strecke zur Waagrecht zurückgelegten Strecke bei einem Steigungsdreieck. Steigung = senkrechte Strecke waagrechte Strecke Um ein Steigungsdreieck zu zeichnen, wählt man sich zwei Punkte auf der Geraden und verbindet diese durch eine waagrechte und eine senkrechte Stecke. Sind zwei Punkte P und Q gegeben, so berechnet man die Steigung einer Geraden mit der folgenden Formel: m = y P y Q x P x Q

16 Funktionen. Zeichnen von Geraden Um eine Gerade zu zeichen führt man die folgenden Schritte durch:. Markiere den y-achsenabschnitt im Koordinatensystem.. Gehe von dieser markierten Stelle aus die Zahl des Nenners (ist die Steigung eine ganze Zahl, so steht im Nenner eine ) der Steigung nach rechts und danach die Zahl des Zählers nach oben (positive Steigung) oder nach unten (negative Steigung) und markiere diesen Punkt. 3. Zeichne eine Gerade durch die beiden Punkte Beispiel: Zeichne die Geraden g : y = x +, 5 und h : y = 3x in ein Koordinatensystem ein. 3 y y = 3 x x 3 3 y = x +, 5 Herangehensweise beim Zeichnen: Für die gerade g : y = x +, 5:. Zunächst liest man den y-achsenabschnitt der Geraden ab, dieser ist bei P (0, 5).. Nun geht es an das Zeichnen des Steigungsdreiecks. Die Steigung ist eine ganze Zahl, weshalb man eine Längeneinheit nach rechts zeichnet. Die Steigung ist negativ, also zeichnet man Längeneinheiten nach unten und erhält den zweiten Punkt Q( 0, 5). 3. Zuletzt zeichnet man eine Gerade durch die beiden Punkte. Für die gerade h : y = 3 x :. Zunächst liest man den y-achsenabschnitt der Geraden ab, dieser ist bei P (0 ).. Nun geht es an das Zeichnen des Steigungsdreiecks. Zuerst zeichnet man die eine Strecke der Länge 3 (Zahl im Nenner) nach rechts und nach eine Strecke der Länge nach oben (Zahl im Zähler). Damit erhält man den zweiten Punkt Q(3 0). 3. Zuletzt zeichnet man eine Gerade durch die beiden Punkte.

17 Funktionen.3 Bestimmen von Geradengleichungen Es gibt zwei verschiedene Aufgabenstellungen bei welchen man Geradengleichungen bestimmen muss:. Gegeben sind zwei Punkte P und Q und man soll eine Gerade angeben, welche durch die beiden Punkte verläuft.. Gegeben ist die Steigung und ein Punkt P welcher auf der Geraden liegt und es soll eine Gerade angegeben werden, welche die angegebene Steigung besitzt und durch den Punkt verläuft..3. Fall : zwei Punkte sind gegeben Schritte zum bestimmen einer Geradengleichung bei zwei gegebenen Punkten:. Schreibe zunächst die allgemeine Geradengleichung auf.. Berechne die Steigung der Geraden. Für diese gilt: m = y P y Q x P x Q 3. Setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein. Löse die erhaltene Gleichung nach b auf. 4. Gib die Gerade mit den eingesetzten Werten für m und b an. Beispiel: Gib die Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte P ( ) und Q( 5) verläuft.. Die allgemeine Geradengleichung lautet: y = m x + b.. Die Steigung kann man mit der angegebenen Formel bestimmen: m = y P y Q x P x Q = 5 = 3 3 = 3. Nun wird die Steigung und z.b. der Punkt P ( ) in die Geradengleichung eingesetzt: y = m x + b = ( ) + b = + b 3 = b 4. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet: y = x

18 Funktionen.3. Fall : ein Punkt und Steigung gegeben Schritte zum bestimmen einer Geradengleichung bei gegebenem Punkt und gegebener Steigung:. Schreibe zunächst die allgemeine Geradengleichung auf.. Setze die Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein. Löse die erhaltene Gleichung nach b auf. 3. Gib die Gerade mit den eingesetzten Werten für m und b an. Es kann auch sein, dass die Angabe der Steigung versteckt ist, in einer Formulierung der Form: Gib eine Gleichung der Geraden g an, die zur Geraden h parallel ist und durch den Punkt P verläuft Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die selbe Steigung besitzen. Beispiel: Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt P ( 3) verläuft und die Steigung m = 4 besitzt.. Die allgemeine Geradengleichung lautet: y = m x + b.. Nun wird die Steigung und der Punkt P ( 3) in die Geradengleichung eingesetzt: y = m x + b 3 = 4 + b 3 = 4 + b = b 3. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet: y = 4 x. Beispiel: Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt P ( ) verläuft und Parallel zur Geraden h : y = x + ist.. Die allgemeine Geradengleichung lautet: y = m x + b.. Aus der anderen Geradengleichung liest man die Steigung ab: m = 3. Nun wird die Steigung und der Punkt P ( ) in die Geradengleichung eingesetzt: y = m x + b = ( ) + b = 4 + b 5 = b 4. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet: y = x

19 Funktionen.4 Parabeln Parabeln sind Funktionsgleichungen in denen ein Term x auftritt. Eigenschaften von Parabeln: Parabeln sind entweder nach oben, oder nach unten geöffnet. Man nennt den höchsten, bzw. den Tiefsten Punkt einer Parabel den Scheitelpunkt der Parabel..4. Parabeln der Form y = a x Eine Parabel der Form y = a x (a steht hierbei für eine beliebige Zahl) besitzt die folgenden Eigenschaften: Eine Parabel mit a = oder a = nennt man die Normalparabel Ist a > 0 so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a < 0 so ist die Parabel nach unten geöffnet. Eine Parabel y = a x ist steiler (bzw. flacher) als die Parabel y = a x, wenn a > a ist (bzw. a < a ). Der Scheitel dieser Parabel ist immer Bei S(0 0). Beispiel: In dem folgenden Schaubildern sind verschiedene Parabeln der Form y = a x eingezeichnet y 6 5 y = x y = x 4 y = 4 x x 5

20 Funktionen y x y = 3 6 x y =, 5 x y = x.4. Parabeln der Form y = ax + c Eine Parabel der Form y = ax + c (a und c stehen hierbei für beliebige Zahlen) besitzt die folgenden Eigenschaften: Parabeln dieser Form besitzen, bis auf den Scheitel, die Selben Eigenschaften, wie die aus dem Abschnitt zuvor. Die Zahl c verschiebt die Parabel nach oben (für c > 0), bzw. nach unten (für c < 0). Der Scheitel dieser Parabel ist bei S(0 c). Beispiel: In dem folgenden Schaubildern sind verschiedene Parabeln der Form y = a x + c eingezeichnet: y 4 y = x 3 0 x y = x y = x + 3 6

21 Funktionen.4.3 Parabeln der Form y = (x d) + c Eine Parabel der Form y = (x d) + c (d und c stehen hierbei für beliebige Zahlen) besitzt die folgenden Eigenschaften: Es handelt sich hierbei um eine verschobene Normalparabel. Die Zahl c verschiebt die Parabel nach oben (für c > 0), bzw. nach unten (für c < 0). Die Zahl d verschiebt die Parabel in x-richtung. Für d > 0 wird die Parabel nach rechts, für d < 0 wird die Parabel nach links verschoben Der Scheitel dieser Parabel ist bei S(d c). Man nennt diese Form der Parabel die Scheitelpunktform einer Parabel. Hier kann der Scheitel einer Parabel direkt abgelesen werden Beispiel: In dem folgenden Schaubildern sind verschiedene Parabeln der Form y = a x + c eingezeichnet: y 6 y = (x + ) y = (x ) 4 y = (x 3) x

22 Funktionen An den Gleichungen der Parabeln kann man die Scheitelpunkte ablesen, hierzu muss man diese eventuell umformen, dass ein Minuszeichen in der Klammer steht. Bei der Parabel mit der Gleichung y = (x ) 4 kann man den Scheitel direkt ablesen, da in der Klammer schon ein Minuszeichen steht. Der Scheitel befindet sich bei S( 4). Bei der Parabel mit der Gleichung y = (x 3) + kann man den Scheitel ebenfalls direkt ablesen, da in der Klammer schon ein Minuszeichen steht. Der Scheitel befindet sich bei S(3 ). Die Parabel y = (x+) muss man zunächst umformen um den Scheitel ablesen zu können: y = (x + ) y = (x ( )) Der Scheitel dieser Parabel liegt bei S( ) Man kann sich merken: Steht in der Klammer ein Plus, so ist der x-wert des Scheitels negativ. Steht ein Minus, so ist der x-wert des Scheitels positiv..4.4 Die allgemeine Parabel y = x + px + q Bei allgemeinen Parabeln ist es von interesse den Scheitel dieser Parabel zu bestimmen, hierzu führt man eine quadratische Eränzung durch um die Parabel auf die Scheitelpunktform zu bringen. Unter quadratischer Ergänzung versteht man den, dass man den Term der Parabel so umformt, dass man einen Teil davon mit einer Binomischen Formel zusammenfassen kann. Schritte um eine Parabel auf die Scheitelpunktform zu bringen:. Teile die Zahl p vor dem x durch und quadriere dann das erhaltene Ergebnis. Lautet die Gleichung der Parabel y = x 6x +, so ist p = 6, teilt man nun durch zwei und quadriert, erhält man 9. Addiere diese Zahl zur Parabel hinzu und ziehe sie gleich wieder ab, dadurch verändert man nicht den Funktionsterm. Fass an dieser Stelle die Zahlen noch nicht zusammen. In dem Beispiel würde dann die Parabelgleichung folgendermaßen lauten: y = x 6x Vertausche den y-achsenabschnitt mit der positiv hinzuaddierten Zahl: Am Beispiel ist klar, was gemeint ist: y = x 6x Die ersten drei Summanden können nun mit einer Binomischen Formel zusammengefasst werden: y = (x 3) + 9. Hierbei steht in der Klammer x minus die Zahl p durch zwei geteilt. 5. Fasse die Zahlen Außerhalb der Klammer zusammen. Die Parabel liegt dann in der Scheitelpunktform vor: y = (x 3) 7 Beispiel: Bestimme den Scheitel der Parabel y = x 3x + 3. Zunächst wird die Zahl p = 3 durch geteilt p =, 5, dies ist die Zahl bei der Binomischen Formel in der Klammer. Das Quadrat von p wird zum Funktionsterm hinzugezählt und gleich wieder abgezogen: y = x 3x + 3 +, 5, 5. Umsortieren ergibt: y = x 3x +, 5 + 3, 5, somit kann man wieder die Binomische Formel anwenden, und erhält: y = (x, 5) 0, 75. Der Scheitel dieser Parabel liegt bei S(, 5 0, 75). 8

23 Funktionen Der Scheitel einer Parabel y = x + px + q liegt bei ( p ( S p ) ) q Die Parabel lautet in der Scheitelpunktform: y = ( x + p ) ( p + q ) Beispiel: Man bringt die Parabel y = x + px + q mittels quadratischer Ergänzung auf die Scheitelpunktform:. Man teilt die Zahl p durch und quadriert das Ergebnis dann: ( p. Diese Zahl wird zur Parabelgleichung hinzuaddiert und gleich wieder Abgezogen: y = x + px + q + ( p ) ( p ). 3. Vertauschen der Summanden: y = x + px + ( p ) + q ( p ). 4. Zusammenfassen mit der Binomischen Formel: y = ( x + p ) + q ( p )..5 Bestimmen von Parabelgleichungen Es gibt drei verschiedene Aufgabenstellungen bei welchen man Parabelgleichungen bestimmen muss:. Gegeben ist der Scheitel der Parabel und es soll eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem angegebenen Scheitel bestimmt werden.. Gegeben sind zwei Punkte P und Q welche auf einer Parabel y = x + px + q liegen und es soll die Parabel dieser Form angegeben werden, auf welcher die beiden Punkte liegen. 3. Gegeben sind die beiden Nullstellen N und N der Parabel und es soll eine Parabel der Form y = x + px + q angegeben werden, welche die beiden Nullstellen besitzt..5. Fall : der Scheitelpunkt ist gegeben ) Ist der Scheitelpunkt S(x S y S ) gegeben so verwendet man die Gleichung für die Scheitelform um die Parabel anzugeben. Die Gleichung der gesuchten Parabel lautet dann: y = (x x S ) + y S Nach angeben der Scheitelform erhält man die Normalenform durch ausmultiplizieren. Bei solchen Aufgabenstellungen werden nur nach oben geöffnete Normalparabeln auftreten. Beispiel: Geben Sie die Parabelgleichung in der Normalenform einer nach oben geöffneten Normalparabel mit dem Scheitel S( 3) an. Aus der Scheitelform erhält man: y = (x x S ) + y S y = (x ) + 3 9

24 Funktionen Multipliziert man dies aus, erhält man die Normalenform: y = (x ) + 3 y = x x y = x x + 4 Die Normalenform der Gesuchten Parabel lautet: y = x x Fall : zwei Punkte sind gegeben Bestimmen der Parabelgleichung bei zwei gegebenen Punkten P (x P y P ) und Q(x Q y Q ):. Schreibe die Parabelgleichung in der Normalenform auf: y = x + px + q.. Setze nacheinander die beiden angegebenen Punkte in diese Parabelgleichung ein, indem man für x den x-wert des Punktes hinschreibt und y den y-wert dieses Punktes. Man erhält somit zwei Gleichungen für die Werte p und q. 3. Löse das so erhaltene Gleichungssystem für die Variablen p und q. 4. Schreibe die Parabelgleichung mit den eingesetzten Werten auf. Beispiel: Gib die Gleichung der Parabel an, die durch die Punkte P ( ) und Q( 3) verläuft.. Die allgemeine Gleichung einer Parabel in der Normalenform lautet y = x + px + q.. Nun setzt man nacheinander die Punkte P und Q in die allgemeine Gleichun ein: Der Punkt P : Der Punkt Q: y = x + px + q = + p + q = + p + q = p + q y = x + px + q 3 = + p + q 3 = 4 + p + q = p + q 3. Es wird nun das Gleichungssystem mittels einsetzungsverfahren gelöst: Hierzu wird die erste Gleichung nach z.b. p umgeformt: = p + q p = q Dies setzt man in die zweite Gleichung ein und Löst diese dann nach q auf: = p + q = ( q) + q = q + q 3 = q 3 = q 0

25 Funktionen um einen Wert für p zu erhalten setzt man den Wert von q in die vorherige Gleichung ein: p = q p = 3 = 4. Die Gleichung der Gesuchten Parabel lautet y = x x Fall 3: zwei Nullstellen sind gegeben Bestimmen der Parabelgleichung bei zwei gegebenen Nullstellen N (x 0) und N (x 0): Variante a: Gehe vor wie bei zwei Punkte gegeben aus dem vorherigen Abschnitt. Variante b: Der x-wert des Scheitelpunktes einer Parabel liegt immer genau in der Mitte zwischen den x-werten der Nullstellen:. Um die Mitte der x-werte der Nullstellen zu berechnen zähle die beiden x-werte der Nullstellen zusammen und teile das Ergebnis durch (Es gilt also x S = x +x ). Dies ist der x-wert des Scheitelpunkts.. Schreibe die allgemeine Scheitelpunktform auf: y = (x x S ) + y S. 3. Setze den ermittelten x-wert des Scheitels und eine Nullstelle in die allgemeine Scheitelpunktform ein und bestimme aus dieser Gleichung den y-wert des Scheitels. 4. Setze den x und den y-wert in die allgemeine Scheitelpunktform ein, dies ist die gesuchte Parabel. Variante c: Sind die beiden Nullstellen der Parabel bekannt, so kann diese in der Produktform der Nullstellen angegeben werden. Für die Gleichung der Parabel gilt dann: y = (x x ) (x x ) Wobei x und x die x-werte der Nullstellen sind. Ausmultiplizieren liefert die Normalengleichung der gesuchten Parabel. Beispiel: Das Schaubild zeigt einen Ausschnitt einer verschobenen Normalparabel p. y x p 3 4 5

26 Funktionen Geben Sie die Gleichung der Normalparabel p. Aus der Zeichnung entnimmt man die beiden Nullstellen N ( 0) und N (4 0).. Der x-wert des Scheitels liegt bei x S = +4 = =. Die allgemeine Scheitelpunktform lautet: y = (x x S ) + y S. 3. Nun setzt man den x-wert des Scheitels und eine Nullstelle in die allgemeine Scheitelpunktform ein um den y-wert des Scheitels zu bestimmen: y = (x x S ) + y S 0 = ( ) + y S 0 = ( 3) + y S 0 = 9 + y S 9 = y S 4. Die Gleichung der Gesuchten Parabel lautet: y = (x ) 9. Ausmultiplizieren liefert die Normalenform: y = x x 8. Lösung mit der Variante c: Man entnimmt aus der Zeichnung die beiden Nullstellen N ( 0) und N (4 0). Damit Lautet die Gleichung der gesuchten Parabel in der Produktform: y = (x x ) (x x ) y = (x ( )) (x 4) y = (x + ) (x 4) Ausmultiplizieren liefert die Gleichung der Parabel in der Normalenform: y = (x + ) (x 4) y = x + x 4x 8 y = x x 8 Die Gleichung der gesuchten Parabel lautet in der Normalenform: y = x x 8.

27 Funktionen.6 Untersuchung von Funktionen Man kann Funktionen auf besondere Punkte untersuchen. Unter Besondere Punkte versteht man Schnittpunkte der Schaubilder von Funktion mit der x, bzw. y-achse und Schnittpunkte der Schaubilder zweier Funktionen miteinander. Man sagt zwei Schaubilder zweier Funktionen schneiden sich, wenn ein Punkt im Koordinatensystem auf beiden Schaubildern liegt..6. Schnittpunkte mit der x, bzw. y-achse Den Schnittpunkt mit der y-achse bestimmt man, indem man für x in die Geraden, oder Parabelgleichung 0 einsetzt. Man nennt diesen Schnittpunkt auch den y-achsenabschnitt. Diese Schnittpunkte haben die Form P (0 c) wobei c eine Zahl ist. Schnittpunkte mit der x-achse bestimmt man, indem man für y in die Geraden, oder Parabelgleichung 0 einsetzt und die entstandene Gleichung löst. Man nennt diese Schnittpunkte auch die Nullstellen der Funktion, diese haben die Form N(x 0)m wobei x eine Zahl ist. Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Geraden g : y = x 3 mit der x und der y-achse. Schnittpunkte mit der y-achse: setze hierzu für x null in die Geradengleichung ein: y = x 3 y = 0 3 y = 3 Der Schnittpunkt mit der y-achse lautet: S y (0 3). Schnittpunkte mit der x-achse: Hierzu setzt man für y null ein und löst die erhaltene Gleichung nach x auf: y = x 3 0 = x 3 3 = x 3 = x Der Schnittpunkt mit der x-achse lautet: S y ( 3 0). 3

28 Funktionen Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: 3 y y = x 3 S x x 3 S y Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Parabel p : y = x 4x + 3 mit der x und der y-achse. Schnittpunkte mit der y-achse: setze hierzu für x null in die Parabelgleichung ein: y = x 4x + 3 y = y = 3 Der Schnittpunkt mit der y-achse lautet: S y (0 3). Schnittpunkte mit der x-achse: Hierzu setzt man für y null ein und löst die erhaltene Gleichung nach x auf: y = x 4x = x 4x + 3 Die erhaltene Gleichung kann man mit der p-q-formel lösen: 0 = x 4x + 3 ( 4 x ; = 4 ) ± 3 x ; = ± 3 x ; = ± x ; = ± x = 3 x = Die Nullstellen lauten: N ( 0) und N (3 0). 4

29 Funktionen Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: y 5 y = x 4x S y 3 0 N N x 5

30 Funktionen.6. Schnittpunkt zweier Geraden Schritte zum Bestimmen des Schnittpunktes zweier Geraden: Variante a: Gleichsetzen der Geradengleichungen.. Setze die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich.. Löse die erhaltene Gleichung nach x auf. Dies ist der x-wert des Schnittpunktes. 3. Setze diesen x-wert in eine der beiden Geradengleichungen ein, um den y-wert des Schnittpunktes zu erhalten. Variante b: Fasse die beiden Gleichungen als ein Lineares Gleichungssystem auf und Löse dieses Gleichungssystem wie in. beschrieben. Zwei Geraden können sich entweder schneiden, sind parallel oder identisch. Diese drei Fälle sind in..4 und..5 beschrieben. Beispiel: Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g : y = x und h : y = 4 x Zunächst setzt man die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich: x = 4 x + 8. Löse die erhaltene Gleichung nach x auf: Der x-wert des Schnittpunktes ist x S = 4 x = 4 x + 9 x + 4 x = x + 4 x = x = 9 x = x = 4 3. Diesen Setzt man in eine der beiden Geraden ein, z.b. in g: Der Schnittpunkt Lautet S(4 7). g : y = x y = 4 y = 7 Graphisch ist der Schnittpunkt der Punkt im Koordinatensystem, in welchem sich die beiden Schaubilder schneiden. Für ein entsprechendes Bild siehe Abschnitt..5. 6

31 Funktionen.6.3 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel Schritte zum Bestimmen der Schnittpunkte zwischen Gerade und Parabel:. Setze die rechten Seiten der Geradengleichung und der Parabelgleichung gleich.. Löse die erhaltene Gleichung mithilfe der p-q-formel. Dies ergibt die x-werte der Schnittpunkte. 3. Setze diese x-werte in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-wert des Schnittpunktes zu erhalten. Am besten verwendet man hier die Geradengleichung, da dies einfacher auszurechnen ist. Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Geraden g : y = x + mit der Parabel p : y = x x.. Zunächst setzt man jeweils die rechten Seiten der Gleichungen gleich:. Wir lösen die erhaltene Gleichung: x + = x x 0 = x x + x 0 = x + x 0 = x + x x ; = ± ( ) ( ) x ; = ± 4 + x ; = ± x ; = ± 9 4 x ; = ± 3 x = x = 3. Nun setzt man die x-werte in die Geradengleichung ein um die Schnittpunkte zu erhalten: Für x : g : y = x + y = + y = Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y =. 7

32 Funktionen Für x : g : y = x + y = ( ) + y = 4 + y = 5 Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y = Die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden lauten S ( ) und S ( 5). Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: 6 y S y = x x S x y = x + 8

33 Funktionen.6.4 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel - Schnittsituationen Untersucht man eine Gerade und eine Parabel auf Schnittpunkte, so gibt es drei möglich Lagen:. Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.. Die Parabel und die Gerade schneiden sich in einem Punkt, man sagt auch die Parabel und die Gerade berühren sich. 3. Die Parabel und die Gerade scheiden sich in keinem Punkt. Fall : zwei Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung zwei Ergebnisse für x liefert, dies entspricht der Situation aus dem Abschnitt zuvor. Beispiel: Die Gerade g : y = x + und die Parabel p : y = x x schneiden sich in zwei Punkten. 6 y S y = x x S x y = x + 9

34 Funktionen Fall : ein Schnittpunkt Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung ein Ergebnis für x liefert, dies ist also der Fall, wenn unter der Wurzel der p-q-formel eine 0 steht. Beispiel: Die Gerade g : y = x und die Parabel p : y = x x schneiden sich in einem Punkt:Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x = x x 0 = x x x + 0 = x x + ( x ; = ) ± x ; = ± ( ) x = ± 0 = Damit schneiden sich die Gerade und die Parabel in einem Punkt. Der y-wert dieses Punktes muss noch bestimmt werden: y = x y = y = D.h. die Gerade und die Parabel schneiden sich im Punkt S( ). Graphisch bedeutet dies: y y = x x y = x S x 30

35 Funktionen Fall 3: keine Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung kein Ergebnis für x liefert, dies ist also der Fall, wenn unter der Wurzel der p-q-formel eine negative Zahl steht (da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann). Beispiel: Die Gerade g : y = x + und die Parabel p : y = x x + schneiden sich in keinem Punkt: Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x + = x x + 0 = x x + + x 0 = x + x ; = 0 ± (0 ) x ; = 0 ± (0) x = 0 ± Aus negative Zahlen kann man keine Wurzel ziehen, somit schneiden sich die Gerade und die Parabel nicht. Graphisch bedeutet dies: y 6 y = x x x y = x + 3

36 Funktionen.6.5 Schnittpunkte zweier Parabeln Schritte zum Bestimmen der Schnittpunkte zweier Parabeln:. Setze die rechten Seiten der Parabelgleichungen gleich.. Löse die erhaltene Gleichung mithilfe der p-q-formel. Dies ergibt die x-werte der Schnittpunkte. 3. Setze diese x-werte in eine der beiden Gleichungen ein, um den y-wert des Schnittpunktes zu erhalten. Beispiel: Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln p : y = x +4x und p : y = x 4x+4.. Zunächst setzt man jeweils die rechten Seiten der Gleichungen gleich: x + 4x = x 4x = x 4x x 4x + 0 = x 8x + 6. Wir lösen die erhaltene Gleichung (zunächst muss man diese durch teilen): 0 = x 8x = x 4x + 3 ( 4 x ; = 4 ) ± 3 x ; = ± ( ) 3 x ; = ± 4 3 x ; = ± x ; = ± x = 3 x = 3. Nun setzt man die x-werte in die eine der Parabelgleichungen ein um die y-werte der Schnittpunkte zu erhalten: Für x : p : y = x + 4x y = y = 9 + = Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y =. Für x : p : y = x + 4x y = + 4 y = + 4 = Somit lautet der y-wert des ersten Schnittpunktes y =. 3

37 Funktionen 4. Die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden lauten S ( ) und S (3 ). Graphisch sieht dies folgendermaßen aus: 4 y y = x 4x S S x y = x + 4x.6.6 Schnittpunkte zweier Parabeln - Schnittsituationen Untersucht zwei Parabeln auf Schnittpunkte, so gibt es drei möglich Lagen:. Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.. Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt, oder berühren sich in einem Punkt 3. Die Parabeln sich in keinem Punkt. Fall : zwei Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Parabelgleichungen diese Gleichung zwei Ergebnisse für x liefert, dies entspricht der Situation aus dem Abschnitt zuvor. Beispiel: Die Parabeln p : y = x + 4x und p : y = x 4x + 4. schneiden sich in zwei Punkten (siehe vorheriger Abschnitt) Fall : ein Schnittpunkt Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Parabelgleichungen diese Gleichung ein Ergebnis für x liefert, dies ist der Fall, wenn nach Gleichsetzen der x Term wegfällt. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x 4x + 4 schneiden sich in einem Punkt x x + = x 4x = x 4x + 4 x + x 0 = x = x, 5 = x 33

38 Funktionen Damit schneiden sich die beiden Parabeln in einem Punkt. Der y-wert dieses Punktes muss noch bestimmt werden: p : y = x x + y = (, 5), 5 + y =, y = 0, 5 D.h. die Parabeln schneiden sich im Punkt S(, 5 0, 5). Graphisch bedeutet dies: 3 y y = x 4x + 4 y = x x + S x Fall 3: ein Berührpunkt Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Parabelgleichungen diese Gleichung ein Ergebnis für x liefert, dies ist der Fall, wenn beim Lösen der Gleichung unter der p-q-formel eine 0 steht. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x + 4x 3, 5 berühren sich in einem Punkt. x x + = x + 4x 3, 5 0 = x + 4x 3, 5 x + x 0 = x + 6x 4, 5 0 = x 3x +, 5 (3 x ; = 3 ) ±, 5 x ; =, 5 ± (, 5), 5 x ; =, 5 ±, 5, 5 x ; =, 5 ± 0 x =, 5 Damit berühren sich die beiden Parabeln in einem Punkt. Der y-wert dieses Punktes muss noch bestimmt werden: p : y = x x + y = (, 5), 5 + y =, y = 0, 5 D.h. die Parabeln berühren sich im Punkt S(, 5 0, 5). Graphisch bedeutet dies: 34

39 Funktionen y 3 y = x x + S 0 x 0 y = x + 4x 3, 5 3 Zwei Parabeln: können sich in einem Punkt schneiden, wenn beide nach oben geöffnet sind. (Wenn also bei beiden vor dem x eine positive Zahl steht) können sich in einem Punkt berühren, wenn eine Parabel nach oben und eine Parabel nach unten geöffnet ist. (Wenn also vor bei einer vor x eine positive und bei der anderen vor x eine negative Zahl steht) Fall 4: keine Schnittpunkte Dieser Fall liegt vor, wenn nach Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Parabelgleichung diese Gleichung kein Ergebnis für x liefert, dies ist also der Fall, wenn unter der Wurzel der p-q-formel eine negative Zahl steht (da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann), oder wenn nach Gleichsetzen und auflösen der Gleichung eine falsche Aussage entsteht, z.b. = 7. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x + 4x 3 schneiden sich in keinem Punkt: Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x x + = x + 4x 3 0 = x + 4x 3 x + x 0 = x + 6x 5 0 = x 3x +, 5 (3 x ; = 3 ) ±, 5 x ; =, 5 ± (, 5), 5 x ; =, 5 ±, 5, 5 x ; =, 5 ± 0, 5 35

40 Funktionen Aus negative Zahlen kann man keine Wurzel ziehen, somit schneiden sich die Parabeln nicht. Graphisch bedeutet dies: 3 y y = x x + 0 x 0 y = x + 4x 3 3 Beispiel: Die Parabeln p : y = x x und p : y = x x schneiden sich in keinem Punkt: Gleichsetzen und nach x-auflösen liefert: x x = x x 0 = x x x + x 0 = 3 Dies ist eine falsche Aussage, somit schneiden sich die Parabeln nicht. Graphisch bedeutet dies: y 3 y = x x 0 0 x y = x x 3 36

41 Funktionen.7 Berühren zweier Schaubilder.7. Fall : eine Gerade berührt eine Parabel Eine Gerade g soll so verschoben werden, dass diese eine Parabel in einem Punkt berührt. Schritte zum bestimmen der neuen Geradengleichung:. Füge am Ende der Geradengleichung noch einen Term +d an.. Setze die Geradengleichung und die Parabelgleichung gleich und Löse die Gleichung so weit wie möglich auf. 3. Unter der Wurzel der p-q-formel steht ein Term, in dem d enthalten ist. Setze diesen Term gleich 0 und Löse diese Gleichung nach d auf. 4. Setze das Ergebnis in die Gerade aus Punkt. ein. Man nennt die verschobene Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt auch die Tangente an die Parabel in diesem Punkt. Beispiel: Die Gerade g : y = x 3 und p : y = x + 4x + schneiden sich in keinem Punkt. Verschiebe die erste Parabel so, dass sich die beiden Parabeln berühren.. Zunächst fügt man am Ende der Geradengleichung noch einen Term +d an. y = x 3 + d. Nun setzt man die Geraden-und die Parabelgleichung gleich und löst die Gleichung so weit wie möglich auf: x 3 + d = x + 4x + 0 = x + 4x + x + 3 d 0 = x + x + 4 d x ; = ± ( ) 4 + d x ; = ± 4 + d x ; =, 5 ± 4 + d x ; =, 5 ± 3 + d 3. Nun setzt man den Term unter der Wurzel 0: 0 = 3 + d 3 = d 4. Somit lautet die Gleichung der verschobenen Geraden: g : y = x 37

42 Funktionen.7. Fall : Bestimmen der Tangente in einem Punkt Es soll eine Gerade bestimmt werden, welche die Parabel in einem Punkt P (der auf der Parabel liegt) berührt. Schritte zum bestimmen der Tangenten:. Schreibe die allgemeine Geradengleichung auf.. Setze den Gegebenen Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein und löse diese nach dem y-achsenabschnitt b auf. Setze diesen wieder in die allgemeine Geradengleichung ein. (Die Geradengleichung hängt nun nur noch von der Steigung m ab. 3. Setze die Geradengleichung und die Parabelgleichung gleich und Löse die Gleichung so weit wie möglich auf. 4. Unter der Wurzel der p-q-formel steht ein Term, in dem m enthalten ist. Setze diesen Term gleich 0 und Löse diese Gleichung nach m auf. 5. Setze das Ergebnis in die Gerade aus Punkt. ein. Beispiel: Bestimme die Tangente an die Parabel p : y = x x + im Punkt ( ).. Die allgemeine Geradengleichung lautet y = m x + b. Nun setzt man den gegebenen Punkt in die Gerade ein und bestimmt den y-achsenabschnitt in abhängigkeit von m: m = b y = m x + b = m + b Dies setzt man nun wieder in die Geradengleichung ein: y = m x + b y = m x + m 3. Nun setzt man die Geraden-und die Parabelgleichung gleich und löst die so erhaltene neue Gleichung so weit wie möglich auf: x x + = mx + b x x + mx + m = 0 x x mx + m = 0 An dieser Stelle muss man ausklammern, damit die p-q-formel angewandt werden kann: x x mx + m = 0 x ( + m)x + m = 0 ( ( ) ( + m) + m) x ; = ± m ( + m) ( + m) x ; = ± m 4 38

43 Funktionen 4. Nun setzt man den Term unter der Wurzel gleich 0: 0 = ( + m) 4 m Man multipliziert mit 4 damit in der Gleichung kein Bruch mehr enthalten ist: 0 = ( + m) 8m 0 = 4 + 4m + m 8m 0 = m 4m + 4 ( 4 m ; = 4 ) ± 4 m ; = ± 4 m ; = ± 4 4 m ; = ± 0 m ; = ± 0 m = Somit hat man bestimmt, dass die steigung der Geraden 0 sein muss. 5. Nun setzt man das Ergebnis in die Geradengleichung ein, welche nur noch von m abhängt: y = m x + m y = x + y = x 3 Die Gleichung der Tangenten in dem Punkt ( ) an die Parabel p lautet somit y = x 3. 39

44 Funktionen.7.3 Fall 3: zwei Parabeln berühren sich. Eine Parabel p soll so verschoben werden, dass sie eine andere Parabel in einem Punkt berührt (dies funktioniert nur, wenn eine Parabel nach oben und eine Parabel nach unten geöffnet ist). Schritte zum bestimmen der neuen Parabel:. Füge am Ende der Parabelgleichung der zu verschiebenden Parabel noch einen Term +d an.. Setze die beiden Parabelterme gleich und Löse die Gleichung so weit wie möglich auf. 3. Unter der Wurzel der p-q-formel steht ein Term, in dem d enthalten ist. Setze diesen Term gleich 0 und Löse diese Gleichung nach d auf. 4. Setze das Ergebnis in die Parabel aus Punkt. ein. Beispiel: Die Parabeln p : y = x x + und p : y = x + 4x 3 schneiden sich in keinem Punkt. Verschiebe die erste Parabel so, dass sich die beiden Parabeln berühren.. Zunächst fügt man am Ende der ersten Parabelgleichung noch einen Term +d an. y = x x + + d. Nun setzt man die beiden Parabelterme gleich und löst die Gleichung so weit wie möglich auf: x x + + d = x + 4x 3 x x + + d + x 4x + 3 = 0 x 6x d = 0 x 3x +, 5 + 0, 5d = 0 ( 3 x ; = 3 ) ±, 5 0, 5d x ; =, 5 ± (, 5), 5 0, 5d x ; =, 5 ±, 5, 5 0, 5d x ; =, 5 ± 0, 5 0, 5d 3. Nun setzt man den Term unter der Wurzel 0: 0 = 0, 5 0, 5d 0, 5 = 0, 5d 0, 5 = d 4. Somit lautet die Gleichung der verschobenen Parabel: p 3 : y = x x +, 5 40

45 Funktionen.8 Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem Gegeben sind zwei Punkte P und Q im Koordinatensystem, gesucht ist der Abstand dieser beiden Punkte zueinander. Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass für den Abstand dieser beiden Punkte zueinander gilt: d = (x P x Q ) + (y P y Q ) Dies folgt graphisch aus: y Q 0 0 P 3 x Beispiel: Bestimme den Abstand der Punkte P ( ) und Q(3 5) zueinander. Nach der angegeben Formel gilt: d = ( 3) + ( 5) d = ( 5) + ( 3) d = d = 34 5, 83 Der Abstand der beiden Punkte zueinander beträgt ungefähr 5, 83 LE. Beispiel: Bestimme den Abstand der Schnittpunkte der Gerade g : y = x + mit der Parabel p : y = x x zueinander. Im Abschnitt zuvor haben wir bereits die Schnittpunkte berechnet, diese sind: S ( ) und S ( 5). Damit folgt für den Abstand der beiden Schnittpunkte zueinander: d = ( ( )) + ( 5) d = (3) + ( 6) d = d = 45 6, 7 Der Abstand der beiden Schnittpunkte zueinander beträgt ungefähr 6, 7 LE. 4

46 3 Prozentrechnung Ein Prozent (man schreibt hierfür %) entspricht einem Hundertstel ( 00) von einem Ganzen. p Prozent (man schreibt hierfür p %) entspricht p Hundertstel ( p 00) von einem Ganzen. 3. Grundlagen Die Prozentrechnung spielt beim Berechnen von Zinsen und im Alltag eine wichtige Rolle. Der Prozentsatz p % gibt einen Anteil von einem Grundwert G an. Die errechnete Zahl nennt man den Prozentwert W Für die Formel zum Berechnen des Prozentwertes gilt: W = p 00 G Für die Formel zum Berechnen des Grundwertes gilt: G = 00 p W Für die Formel zum Berechnen des Prozentsatzes gilt: p = W G 00 Beispiele: 30 % von 300 kg = kg = 390 kg. Herr W. hatt 0 % Körpergewicht zugenommen, dies entspricht einer Gewichtszunahme von 9 kg, wie schwer war er zuvor? Hier möchte man den Grundwert berechnen, dazu verwendet man die entsprechende Formel und erhält: Sein Ausgangsgewicht betrug 90 kg. G = 00 p W G = kg G = 0 9 kg G = 90 kg 4

47 3 Prozentrechnung Ein Kapital wächst von 830 auf 50 an. Um wieviel Prozent ist dies angewachsen? Hier ist der Prozentsatz gesucht, zunächst berechnet man um wie viel das Kapital zugenommen hat. Dies entspricht: = 40, damit lässt sich nun der Prozentsatz berechnen: 3. Prozentuale Zunahme p = W G 00 p = p 50, 6 % Eine Zunahme um p % bedeutet, dass zu dem Grundwert G ein Anteil von p % hinzukommt: G + p 00 G Ausklammern liefert: ( G + p ) 00 Man nennt die Zahl q = ( + 00) p den Prozentfaktor. Beispiel: Prognosen zufolge wird der Preis für ein Produkt im nächsten Jahr um 7 % steigen. Derzeit kostet der Artikel 36, wie viel kostet dieser Artikel nächstes Jahr? zunächst berechnet man den Prozentfaktor: Damit gilt für den neuen Preis: q = + p 00 q = q = + 0, 07 =, 07 36, 07 = 38, 5 Beispiel: Ein Kapital von 00 wächst um 0% an, berechne den neuen Wert des Kapitals = , 00 = 00 ( + 0, ) = 00, =

48 3 Prozentrechnung 3.3 Prozentuale Abnahme Eine Abnahme um p % bedeutet, dass zu dem Grundwert G ein Anteil von p % abgezogen wird: G p 00 G Ausklammern liefert: ( G p ) 00 Beispiel: Herr Weber reduziert sein Körpergewicht von 9 kg um 3 %, wie schwer ist er nun? Zunächst wird wieder der Prozentfaktor berechnet: q = p 00 q = 3 00 q = 0, 3 = 0, 87 Damit gilt für das neue Gewicht: 9 kg 0, 87 = 80, 04 kg 3.4 Zinsrechnung Die Zinsrechnung ist eine spezielle Anwendung der Prozentrechnung, hierbei entspricht: Der Zinssatz (z.b.:, 5 %) dem Prozentsatz p. Das zu verzinsende Kapital K entspricht dem Grundwert G. Der gesuchte Zins Z entspricht dem Prozentwert W. Dann gilt für den Gesuchten Zins: p Z = K 00 Man erhält das Kapital nach der Verzinsung indem man das Kapital mit dem Prozentfaktor multipliziert ( K = K + p ) 00 Beispiel: Ein Kapital von wird verzinst, Berechne die Zinsen am Ende des Jahres. Anwenden der Formel liefert: p Z = K 00, 5 Z = Z = , 05 = 35 44

49 3 Prozentrechnung 3.4. Zinseszins mit gleichbleibendem Zinssatz Bei der Zinseszinsrechnung mit gleichbleibendem Zinssatz wird das Kapital nachdem ihm der Zins zugeführt wurde wieder verzinst mit dem selben Zinssatz wie davor. Wird von dem Kapital nichts entnommen, so gilt für das Kapital nach n Verzinsungen K n (in der regel sind diese Schritte Jahresschritte): K n = K 0 q n Die Zahl q wird als Zinsfaktor bezeichnet (sie entspricht dem Prozentfaktor) und berechnet sich durch: ( q = + p ) 00 K 0 ist das Ausgangskapital Beispiel: Ein Kapital von wird auf einem Sparkonto zu einem Zinssatz von, 5 % angelegt. Berechne das Kapital nach Jahren. Zunächst wird der Zinsfaktor berechnet: q = + p 00, 5 q = + 00 q = + 0, 05 =, 05 Damit kann man das Kapital nach Jahren berechnen: K n = K 0 q n K n = 6000, , 55 Nach Jahren ist das Kapital auf 6 878, 55 angewachsen Zinseszins mit jährlich änderdem Zinssatz Bei der Zinseszinsrechnung mit jährlich änderdem Zinssatz wird das Kapital nachdem ihm der Zins zugeführt wurde wieder verzinst mit einem anderen Zinssatz wie das Jahr davor. Wird von dem Kapital nichts entnommen, so gilt für das Kapital nach n Verzinsungen K n (in der regel sind diese Schritte Jahresschritte): K n = K 0 q q... q n Die Zahlen q ; q ;...; q n sind die Zinsfaktoren in den entsprechenden Jahren. Beispiel: Ein Kapital von wird verzinst, im ersten Jahr beträgt der Zinssatz, 5 %, im zweiten Jahr 3 % und im dritten Jahr %. Berechne das Kapital nach drei Jahren. Zunächst werden die jeweiligen Zinsfaktoren berechnet: q = + 0, 05 =, 05 q = + 0, 03 =, 03 q 3 = + 0, 0 =, 0 Damit kann man das Kapital nach dem dritten Jahr berechnen: K 3 = K 0 q q q 3 K 3 = 6000, 05, 03, 0 = 646, 9 Nach dem dritten Jahr ist das Kapital auf 646, 9 angewachsen. 45

50 4 Diagramme und Auswerten von Daten 4. Auswerten von Listen Ein Mathematiklehrer schreibt sich nach der Klassenarbeit die einzelnen Noten der Schüler auf, hierbei erhält er die folgende Liste: 3,, 4, 3, 4,,, 3, 5, 4, 3,, 3,,, 4, 3, 6,, 3,, 3, 4, 3, 3,, 3, 4, 3, 4 Eine Häufigkeitstabelle ist eine Tabelle die zu jedem Objekt aus der List angibt, wie oft es in der Liste auftaucht. Hier in diesem Beispiel gibt eine Häufigkeitstabelle an, wie oft die jeweilige Note in der Liste auftaucht. Note Häufigkeit Eine Liste ist eine Zusammenstellung von Objekten. Eine Häufigkeitstabelle gibt an wie oft ein bestimmtes Objekt in einer Liste auftritt, aus dieser kann man entnehmen: Wie viele Einträge die Liste insgesammt enthält. Wie oft in der Liste eines von verschiedenen Objekten auftritt. (z.b. Note in der Klassenarbeit). Beispiel: Aus der Häufigkeitstabelle aus dem Einführungsbeispiel kann man die folgenden Informationen entnehmen: Alle Häufigkeiten zusammenaddiert ergibt 30, die Liste erhält somit 30 Einträge, es haben also 30 Schüler die Klassenarbeit geschrieben. Wie viele Schüler haben die Note 3 oder besser? Die Note tritt 3 mal auf, die Note 6 mal und die Note 3 mal auf. Somit haben Schüler eine 3 oder eine bessere Note. Die Note tritt 6 mal auf, da es insgesammt 30 Einträge in der Liste sind, haben 4 Schüler eine Note die keine ist. 4. Das arithmetische Mittel (Durchschnitt) Mit dem arithmetischen Mittel, kann man einen Durchschnittswert einer Datenreihe bestimmen. Dieser ist das Verhältnis aus der Summe aller Einträge zu der Anzahl. Dieser wird oft abgekürzt mit x. x = x + x x n n Beispiel: Ein Schüler hat die Mündlichen Noten, 5;, 75; ; 4, 5. Das arithmetische Mittel gibt die Durchschnittsnote an: x =, 5 +, , 5 4 D.h. die Durchschnittsnote der Mündlichen Noten ist, 8. =, 5 4, 8 46

51 4 Diagramme und Auswerten von Daten 4.3 Der Zentralwert (Median) Der Zentralwert (auch Median genannt) teilt einen Datensatz in zwei hälften ein. Es gibt: eine obere Hälfte. Hier sind 50 % aller Werte größer als der Zentralwert, oder gleich dem Zentralwert. eine untere Hälfte. Hier sind 50 % aller Werte kleiner als der Zentralwert, oder gleich dem Zentralwert. Schritte zum Bestimmen des Zentralwertes:. Ordne den Datensatz der Größe nach aufsteigend, oder absteigend an.. Der Zentralwert ist: a) bei einer ungeraden Anzahl an Werten, der Wert genau in der Mitte der Rangliste. b) bei einer geraden Anzahl an Werten, ist der Zentralwert das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte liegenden Werte. Beispiel: a) Eine ungerade Anzahl an Werten: Gegeben ist eine Liste der Noten einer Klassenarbeit in absteigender Reihenfolge: Rang Note,5,0,0,5,5,5,75,75 3,0 3,0 3,5 4,0 5,0 Hier ist der Median,75 mit dem Rang 7, hier liegen 6 Werte unterhalb und 6 Werte oberhalb dieses Rangs. b) Eine gerade Anzahl an Werten: Gegeben ist eine Liste der Noten einer Klassenarbeit in absteigender Reihenfolge: Rang Note,5,0,0,5,5,5,75,75 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 5,0 Die mittleren Einträge sind sind hier bei Rang 7 und Rang 8, denn unterhalb von Rang 7 liegen 6 Einträge und oberhalb von Rang 8 liegen 6 Einträge. Der Zentralwert ist damit das Arithmetische Mittel der beiden Einträge: Meidan =, 75 +, 75 =, 75 47

52 4 Diagramme und Auswerten von Daten 4.4 Quartile Quartile teilen einen Datensatz in vier gleich große Teile ein. Es gibt damit drei Quartile zu bestimmen: Das mittlere Quartil entsprich dem Zentralwert (Median). Für das untere Quartil gilt: q u = 5 % aller Werte sind kleiner oder gleich dem unteren Quartil. Für das obere Quartil gilt: q o = 5 % aller Werte sind größer oder gleich dem oberen Quartil. Schritte zum Bestimmen des unteren (bzw. oberen) Quartils:. Ordne den Datensatz der Größe nach aufsteigend, oder absteigend an.. Bestimme den Zentralwert. 3. Das untere Quartil ist der Zentralwert der unteren Hälfte, also der Zentralwert der Daten die kleiner als der Zentralwert des Gesammtendatensatzes sind. 4. Das obere Quartil ist der Zentralwert der oberen Hälfte, also der Zentralwert der Daten die größer als der Zentralwert des Gesammtendatensatzes sind. Beispiel: a) Eine ungerade Anzahl an Werten: Gegeben ist eine Liste der Noten einer Klassenarbeit in absteigender Reihenfolge: Rang Note,5,0,0,5,5,5,75,75 3,0 3,0 3,5 4,0 5,0 Hier ist der Median,75 mit dem Rang 7, hier liegen 6 Werte unterhalb und 6 Werte oberhalb dieses Rangs. Das untere Quartil ist der Median der Daten von Rang bis Rang 6. Somit ist das untere Quartil das arithmetische Mittel der Werte von Rang 3 und Rang 4: q u = +, 5 =, 5 Das obere Quartil ist der Median der Daten von Rang 8 bis Rang 3. Somit ist das obere Quartil das arithmetische Mittel der Werte von Rang 0 und Rang : q o = 3 + 3, 5 = 3, 5 b) Eine gerade Anzahl an Werten: Gegeben ist eine Liste der Noten einer Klassenarbeit in absteigender Reihenfolge: Rang Note,5,0,0,5,5,5,75,75 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 5,0 Die mittleren Einträge sind sind hier bei Rang 7 und Rang 8, denn unterhalb von Rang 7 liegen 6 Einträge und oberhalb von Rang 8 liegen 6 Einträge. Der Zentralwert ist damit das Arithmetische Mittel der beiden Einträge: Median =, 75 +, 75 =, 75 48

53 4 Diagramme und Auswerten von Daten Der Median der Werte von Rang bis Rang 7 entspricht dem unteren Quartil q u dieser entspricht dem Wert bei Rang 4, also ist das untere Quartil q u =, 5. Der Median der Werte von Rang 8 bis Rang 4 entspricht dem oberen Quartil q o dieser entspricht dem Wert bei Rang, also ist das untere Quartil q o = 3, Daten auswerten, Kastendiagramme (Boxplots) Kastendiagramme werden werden verwendet um die Verteilung von Daten in einer Rangliste darzustellen. Zum Zeichnen eines Kastendiagramms (auch Boxplot gennant) benötigt man die folgenden Größen: Das Minimum des Datensatzes, dies ist der kleinste Wert des Datensatzes. Das Maximum des Datensatzes, dies ist der größte Wert des Datensatzes. Die Quartile Das untere Quartil q u. Das mittlere Quartil, den Zentralwert z. Das obere Quartil q o. Schritte zum Malen eines Kastendiagramms:. Zeichne eine Achse auf der die Ergebnisse eingetragen werden können. Das Kastendiagramm wird oberhalb dieser Achse gezeichnet.. Mache jeweils einen senkrechten Strich oberhalb der entsprechenden Zah für das Minimum und für das Maximum. 3. Mache etwas größere Stiche bei den drei Quartile. 4. Verbinde unteres und Oberes Quartil mit einer Box. 5. Male einen Waagrechten strich vom Minimum zum unteren Quartil und vom oberen Quartil zum Maximum. Beispiel: Erstelle einen Boxplot zu dem folgenden Datensatz: Rang Note,5,0,0,5,5,5,75,75 3,0 3,0 3,5 4,0 5,0 Um den Boxplot zeichnen zu können müssen zunächst die benötigten Daten bestimmen werden: Maximum und Minimum können direkt aus dem Datensatz abgelesen werden, es gilt Max = 5, 0 und Min =, 5. Die Quartile wurden bereits im vorherigen Abschnitt bestimmt, es gilt: q u =, 5, q o = 3, 5 und der Zentralwert: z =, 75. Damit kann man nun nach dem beschriebenen Verfahren einen Boxplot zeichnen. 49

54 4 Diagramme und Auswerten von Daten Min q u z q o Max Beispiel: Der folgende Boxplot zeigt die Notenverteilung der Klasse 9a. Welche Daten kann man aus diesem Plot entnehmen? Min q u z q o Max Aus dem Plot liest man ab: Die beste Note (Minimum) ist,5. Die schlechteste Note (Maximum) ist 6. Das untere Quartil liegt bei q u = und das obere Quartil liegt bei q o = 3 Der Zentralwert liegt bei z =, % der Schüler haben eine Note zwischen und 3 geschrieben. 5 % der Schüler haben eine Note besser, oder gleich 5 % der Schüler haben eine Note schlechter, oder gleich 3 50

55 4 Diagramme und Auswerten von Daten 4.6 Kreisdiagramme Schritte zum Bestimme von Kreisdiagrammen:. Erstelle, sofern nicht schon vorhanden, eine Häufigkeitstabelle des Datensatzes.. Bestimme die Gesamtzahl der Einträge in der Häufigkeitstabelle. 3. Bestimme den Prozentualen Anteil der jeweiligen Gruppe in der Häufigkeitstabelle von der Gesamtzahl. Hierbei gilt die Formel: A ist der Anteil und G die Gesamtanzahl. p = A G Bestimme mit den gerade ermittelten Prozentwerten die Prozentuale Anteile vom Vollwinkel eines Kreises ( 360 ). Hierfür gilt für die Prozentwerte: p ist der ermittelte Prozentsatz. W = p Die bestimmten Innenwinkel entsprechen der Innenwinkeln der einzelnen Sektoren beim Kreisdiagramm Beispiel: Nach einer Klassenarbeit ergibt sich die folgende Häufigkeitstabelle der Noten: Note Häufigkeit Hierbei wurden die Noten in entsprechende Klassen zusammengefasst, Noten Besser oder gleich, 5 wurden zu zusammengefasst, Noten schlechter, 5 bis, 5 wurden zu zusammengefasst usw.... Zunächst bestimmt man die Gesamtzahl, dies entspricht einfach der Summe aller Häufigkeiten: = 30 Nun muss man den Prozentualen anteil der Klassen von der Gesamtzahl bestimmen, hierzu kann man die angegebene Formel verwenden: Note : p = 3 00 = 0 % 30 Note : p = 6 00 = 0 % 30 Note 3: p = 00 = 40 % 30 Note 4: p = 7 00 = 3, 3 % 30 Note 5: p = 00 = 3, 3 % 30 Note 6: p = 00 = 3, 3 % 30 5

56 4 Diagramme und Auswerten von Daten Nun muss der Prozentuale vom Vollwinkel bestimmt werden: Note : W = = Note : W = = 7 00 Note 3: W = = Note 4: W = 3, = 83, 9 Note 5: W = 3, =, 9 00 Note 6: W = 3, =, 9 00 Mit diesen Winkeln kann das Kreisdiagramm gezeichnet werden:

57 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5. Ergebnisse und Ereignisse Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei welchem bei der Durchführung des Experiments mehrere Ausgänge möglich sind. Es ist jedoch nicht möglich vorherzusagen, welches Ergebnis bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes eintritt. Unter gleichbleibenden Bedingungen muss ein Zufallsexperiment beliebig oft wiederholt werden können. Beispiel: Der Wurf eines Würfels stellt ein Zufallsexperiment dar, man kann nicht vorhersagen, welche Augenzahl dieser nach dem Wurf anzeigt. Ein Zufallsexperiment ist erst dann vollständig beschrieben, wenn eine Menge von möglichen Ergebnissen e ; e ;...; e k festgelegt ist, so dass bei jeder Durchführung genau eines dieser Ergebnisse eintritt. Man nennt die Menge S = {e ; e ;...; e k } die Ergebnissmenge (auch Ausgangsmenge) Beispiel: Beim Werfen eines Würfels entspricht die Ergebnismenge den Augenzahlen die auftreten können, also S = {; ; 3; 4; 5; 6}. Man nennt zusammengesetzte Ergebnisse auch ein Ereignis. Ein Ereignis besteht also aus mehreren Ergebnissen. Beispiel: Der Wurf eines Würfels hat die Ergebnismenge S = {; ; 3; 4; 5; 6}. Mögliche Ereignisse wären: A: Die angezeigte Augenzahl ist Gerade: A = {; 4; 6}. Das Gegenereignis lautet: Die Augenzahl ist ungerade Ā = {; 3; 5} B: Die angezeigte Augenzahl ist entweder oder B = {; }. C: Die angezeigte Augenzahl ist kleiner als 4 C = {3; ; } Das Gegenereignis A eines Ereignisses A ist das Ereignis, welches die Ergebnisse enthält, welche nicht in A stehen. Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses Ā eines Ereignisses A gilt: P (Ā) = P (A) 53

58 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5. Die Wahrscheinlichkeit Die Wahscheinlichkeit (mit P abgekürzt) ist eine Zahl zwischen 0 und, welche angibt wie häufig ein Zufallsexperiment eintritt. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignis, d.h. ein Ereignis, das immer eintritt, ist ( 00 % ). Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses, d.h. ein Ereignis, das nie eintritt, ist 0 ( 0 % ). Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperients gleich wahrscheinlich (z.b. der Wurf einer fairen Münze, der Wurf eines fairen Würfels, oder das Ziehen aus einer Urne ), dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P (A) eines Ereignisses A: P (A) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt Anzahl aller möglichen Ergebnisse Beispiel: Beim Werfen einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen gleich groß es gilt P (Kopf) = und P (Zahl) =. Beispiel: Bei einer Lotterie enthält eine Urne 400 Lose; davon sind 0 Hauptgewinne und 90 Trostpreise. Alle Lose seien äußerlich gleich beschaffen, so dass man nach durchmischen davon ausgehen kann, dass alle Lose mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden können. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit: a) Einen Hauptgewinn zu ziehen. b) Einen Trostpreis zu ziehen. c) Eine Niete zu ziehen. d) Keine Niete zu ziehen Die Wahrscheinlichkeit für jedes Los dieses zu ziehen ist gleich groß, dann gilt für die Wahrscheinlichkeiten: a) Die Wahrscheinlichkeit einen Hauptgewinn zu ziehen: P (Hauptgewinn) = Anzahl der Hauptgewinne Gesamtzahl der Lose = b) Die Wahrscheinlichkeit einen Trostpreis zu ziehen: P (Trostpreis) = Anzahl der Trostpreise Gesamtzahl der Lose = c) Die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen. P (Niete) = d) Die Wahrscheinlichkeit keine Niete zu ziehen Anzahl der Nieten Gesamtzahl der Lose = P (keine Niete) = Anzahl der der Lose die keine Nieten sind Gesamtzahl der Lose =

59 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5.3 Baumdiagramme Ein Zufallsexperiment lässt sich in der Form eines Baumdiagramms darstellen, hierbei stehen auf den einzelnen Ästen des Baums die möglichen Ausgänge des Experimentes. Von einem Ausgang können sich dann (sofern man ein zweites Experiment durchführt) wieder einzelne Äste abzweigen. Am Ende von einem Pfad (möglicher Weg im Baumdiagramm) sehen dann die einzelnen Ergebnisse. Beispiel: Zunächst wird ein vierseitiger Würfel geworfen, das Ergebnis notiert, danach eine Münze geworfen und ebenfalls das Ergebnis notiert. Stellen Sie die möglichen Ausgänge in einem Baumdiagramm dar. Da im ersten Schritt ein vierseitiger Würfel geworfen wird, sind die möglichen Ergebnisse hier die Zahlen bis 4. im zweiten Schritt wird eine Münze geworfen, d.h. hier kann nur Kopf K oder Zahl Z auftreten. Damit lässt sich das Baumdiagramm zeichnen: 3 4 K Z K Z K Z K Z {;K} {;Z} {;K} {;Z} {3;K} {3;Z} {4;K} {4;Z} 5.3. Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Ergebnis eintritt auf die einzelnen Pfade geschrieben. Ist das Baumdiagramm ein Baumdiagramm eines mehrstufigen Zufallsexperiments so gilt die Pfadregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den einzelnen Stecken des Pfades. Beispiel: Zunächst wird ein fairer vierseitiger Würfel geworfen, das Ergebnis notiert, danach eine faire Münze geworfen und ebenfalls das Ergebnis notiert. Stellen Sie die möglichen Ausgänge in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A : Augenzahl gerade und die Münze zeigt Kopf. Lösung: Da es sich hierbei um einen fairen Würfel, bzw. um eine faire Münze handelt, sind die Wahrscheinlichkeiten für jede seite gleich groß, nämlich P () = P () = P (3) = P (4) = 4. Ebenso gilt dies für die Münze P (K) = P (Z) = hiermit kann man das Baumdiagramm zeichnen: 55

60 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung K P (; K) = 4 = 8 Z P (; Z) = 4 = 8 K P (; K) = 4 = 8 Z P (; Z) = 4 = 8 K P (3; K) = 4 = 8 Z P (3; Z) = 4 = 8 4 K P (4; K) = 4 = 8 Z P (4; Z) = 4 = 8 Um nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A zu bestimmen, müssen wir alle Pfade des Baumdiagramms herausfinden die zu dem Ereignis dazu gehören und die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade aufaddieren. Zu dem Ereignis A gehören die Pfade K und 4K, somit gilt für die Wahrscheinlichkeit P (A) = = Das Urnenmodell Viele Zufallsexperimente lassen sich im Urnenmodell darstellen. Dabei beziehen sich beim einstufigen Experiment die Kugelfarben auf die Ergebnisse und der jeweilige Farbanteil auf die Wahrscheinlichkeiten. In einer Urne befinden sich eine Anzahl n von der Form identische Kugeln. Die Kugeln in der Urne seien gut durchmischt, so dass man annehmen kann, dass die Wahrscheinlichkeit das man eine bestimmte Kugel zieht, für jede Kugel gleich groß ist. Diese Kugeln können nun mit einer Farbe markiert werden, so dass man die Wahrscheinlichkeit eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen folgendermaßen berechnen kann: P (Farbe) = Anzahl der Kugeln diser Farbe Gesamtzahl der Kugeln 5.4. Ziehen mit Zurücklegen Beim Ziehen mit Zurücklegen wird die Kugel nach dem Zug und dem Feststellen der Farbe wieder in die Urne gelegt, so dass sie für den nächsten Zug wieder zur Verfügung steht. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Farben sind nach dem Zug immer noch so groß wie vor dem Zug. Beispiel: In einer Urne befinden sich 3 weiße und rote Kugeln. Es wird zweimal mit zurücklegen gezogen und die Farben nacheinander notiert. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss A : mindestens eine rote Kugel gezogen. Lösung: Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben ergeben sich direkt: P (rot) = 5 P (weiß) = 3 5 Somit kann man für dieses Zufallsexperiment das folgende Baumdiagramm zeichnen: 56

61 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 r r P (rr) = 5 5 = 4 5 w P (rw) = = w 5 r P (wr) = = w P (ww) = = 9 5 Zu dem Ereignis mindestens eine rote Kugel zu ziehen gehören drei Pfade, somit gilt P (A) = P (rw) + P (wr) + P (rr) = =

62 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5.4. Ziehen ohne Zurücklegen Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird die Kugel nach dem Zug und dem Feststellen der Farbe nicht mehr in die Urne zurückgelegt, so dass für den nächsten Zug die Gesamtzahl der Kugeln um verringert ist und von dieser Farbe eine Kugel weniger zur Verfügung steht. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Farben ändern sich also nach dem Zug. Beispiel: In einer Urne befinden sich 3 weiße und rote Kugeln. Es wird zweimal ohne zurücklegen gezogen und die Farben nacheinander notiert. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss A : genau eine weiße Kugel gezogen. Lösung: Die Wahrscheinlichkeiten für den ersten Zug ergeben sich direkt: P (rot) = 5 P (weiß) = 3 5 Für den zweiten Zug stehen dann nur noch 4 Kugeln zur Verfügung, dies muss man beim Zeichnen des Baumdiagramms beachten: 5 r r P (rr) = 5 4 = 0 w P (rw) = = w 4 r P (wr) = = w P (ww) = = 6 0 Zu dem Ereignis genau eine weiße Kugel zu ziehen gehören zwei Pfade, es gilt somit: P (A) = P (rw) + P (wr) = = 0 58

63 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5.5 Der Erwartungswert Kann eine Zufallsgröße X die Werte x, x,..., x r annehmen, so heißt E(X) = x P (X = x ) + x P (X = x ) x r P (X = x r ) der Erwartungswert der Zufallsgröße. Dieser gibt an, was in der Zukunkt im Mittel zu erwarten ist. Beispiel: Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen und die Augensumme notiert. Bestimmen Sie den Erwartungswert. Lösung: Die Zufallsvariable X gibt die Augensumme der beiden Würfel an. X kann somit die Werte ; 3;...; annehmen. Für den Erwartungswert gilt nun: µ = µ = D.h. bei sehr vielen Wiederholungen ist mit einer mittleren Augensumme von 7 zu rechnen. Beispiel: Bei einem Spiel mit einem fairen Würfel erhält der Spieler die von ihm erwürfelte Augenzahl in ausgezahlt. Würfelt er jedoch eine 6, so muss er 0 bezahlen. Berechne welchen Gewinn in der Zukunft im Mittel zu erwarten ist. Lösung: Die Zufallsvariable X, die die Höhe des Gewinns beschreibt, kann also die Werte ; ;...; 5 annehmen Wird eine 6 gewürfelt, so ist X = 4. Da die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf p = 6 ist, beträgt der erwartete Gewinn: E(X) = = 5 = 0, 83 6 Dies bedeutet, das man im Mittel bei jedem Spiel 0, 83 gewinnt. 59

64 6 Geometrie 6. Dreiecke 6.. Der Satz des Pythagoaras Der Satz des Pythagoras dient zur Längenberechnung in rechtwinkligen Dreiecken, wenn zwei der drei Seiten im Dreieck gegeben sind. B Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck: A c b a + b = c a C Ist das Dreieck zusätzlich gleichschenklig: B A c b a C Dann gilt a = b: a = c 60

65 6 Geometrie 6.. Winkelberechnungen im rechtwinkligen Dreieck Man definiert im rechtwinkligen Dreieck zu einem Winkel α verschiedene Seitenverhältnisse, diese hängen nur von dem Winkel aber nicht von den jeweiligen Seitenlängen ab. Hierbei liegt bei C der rechte Winkel. Die Seiten im Dreieck bekommen hierbei spezielle Namen: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Die Ankathete ist die Seite, die an dem betrachteten Winkel liegt. Die Gegenkathete ist die Seite, die dem betrachteten Winkel gegenüber liegt. C A α β B sin(α) = Gegenkathete Hypotenuse sin(β) = Gegenkathete Hypotenuse = BC AB = AC AB Ankathete cos(α) = Hypotenuse = AC AB Ankathete cos(β) = Hypotenuse = BC AB Gegenkathete tan(α) = = BC Ankathete AC Gegenkathete tan(β) = = AC Ankathete BC Die Ankathete liegt an dem Winkel α und die Gegenkathete liegt diesem gegenüber. Wichtig: Diese Formeln gelten nur im rechtwinkligen Dreieck. Ist ein gegebenes Dreieck nicht rechtwinklig, so kann man dies gegebenenfalls in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen und mit diesen weiterarbeiten. Anwendung: Diese Formeln werden verwendet, wenn bei einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein weiterer Winkel bekannt ist, dann man man mit diesen die restlichen Seiten des Dreiecks bestimmen. 6

66 6 Geometrie 6..3 Das allgemeine Dreieck Das allgemeine Dreieck hat keine besonderheiten vorzuweisen, es besitzt keinen Rechten Winkel, somit kann Sinus, Kosinus und Tangens, sowie der Satz des Pytagoras nicht angewandt werden, außerdem sind alle drei Seiten unterschiedlich lang. γ h C A α β B Allgemein gilt im Dreieck für die Summe der Innenwinkel: α + β + γ = 80 Sowie für dessen Flächeninhalt: A = c h Wobei h die höhe des Dreiecks ist, die Höhe steht senkrecht auf der Seite c, ist also der Winkel Alpha und die Seite AC oder der Winkel β und die Seite BC bekannt, so kann man die höhe mit dem Kosinus berechnen. 6

67 6 Geometrie 6..4 Besondere Dreiecke Gleichschenkliges Dreieck: Im gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Schenkel gleich lang, es gilt also: AC = BC und es gilt für die Winkel α = β. C γ h A α β B Gleichseitiges Dreieck: Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang: AB = BC = AC, sowie alle drei Innenwinkel sind gleich groß: α = β = γ = 60. C γ h A α β B Beim gleichseitigen Dreieck gilt für den Flächeninhalt: A = 4 a 3 63

68 6 Geometrie 6. Der Kreis Ein Kreis ist bestimmt durch einen Mittelpunkt und einen Radius r, dann versteht man unter einem Kreis alle Punkte die von dem Mittelpunkt den Abstand r besitzen: d r Der Radius ist die Länge der Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie. Der Durchmesser d ist doppelt so lang. Für den Umfang des Kreises gilt: Sowie für dessen Flächeninhalt: U = π r A = π r Für eine Kreisauschnitt mit den Innenwinkel α gilt analog: b r α r Für die Länge des Kreisbogens b gilt dann: und für die Fläche dieses Kreissegments: b = π r A = π r α 360 α

69 6 Geometrie 6.3 Spezielle Vierecke Allgemein gilt für ein Viereck, dass die Summe aller Innenwinkel 360 ergibt, Vierecke lassen sich immer mithilfe einer Diagonalen in zwei Dreiecke zerlegen, hierbei vereinfacht sich häufig die berechnen dieser Vierecke. Eine Raute besteht aus zwei parallelen Seiten, wobei die beiden Diagonalen gegeben sind: f e Für den Flächeninhalt dieser Raute gilt dann: A = e f Ein Paralellogramm besteht ebenfalls aus zwei parallelen Seiten, hierbei ist aber die Länge a einer Seite und der Abstand h a zur parallel liegenden Seite gegeben: a h a Für den Flächeninhalt dieser Figur gilt dann: a A = a h a Ein Trapez ist ein Viereck, bei welchem zwei Seiten (a und b) parallel sind, aber unterschiedliche Länge besitzen. b h a a Ist dann auch der Abstand h der Seiten a und b gegeben, dann gilt für den Flächeninhalt des Trapezes: A = (a + b) h 65

70 6 Geometrie 6.4 Prismen Unter einem Prisma versteht man einen Körper, der entsteht, wenn man ein Vieleck (Dreieck, Viereck,...) im Raum verschiebt und die Eckpunkte miteinander Verbindet. Ein Prisma besteht aus zwei gleich großen Grundflächen und aus den Seitenflächen. Der Abstand der Grundflächen zueinander nennt man die Höhe. h h G G Für das Volumen eines Prismas gilt: Oder als Formel: Volumen = Grundfläche Höhe V = G h Die Oberfläche setzt sich aus verschiedenen Flächen zusammen, zum einen hat man die Grundfläche G, welche zwei mal vorkommt die Mantelfläche M, die sich aus einer bestimmten Anzahl an rechtecken zusammensetzt. Es gilt dann für die Oberfläche: O = G + M Wobei man die Mantelfläche berechnen kann, indem man den Umfang des Prismas bestimmt und mit der Höhe multipliziert: M = U h Dann gilt für die Oberfläche: O = G + U h 66

71 6 Geometrie 6.4. Besondere Prismen: Der Quader Ein besonderes Prisma ist der Quader, er besitzt eine rechteckige Grundfläche. c d r a d f b Hierbei gilt für das Volumen des Quaders: und für seine Oberfläche: V = a b c O = ab + bc + ac Interessant bei einem Quader sind auch die Flächen bzw. Raumdiagonalen, diese kann man mithilfe des Satzes des Pytagoras bestimmen, wobei es bei einem Quader drei unterschiedliche Flächendiagonalen gibt, hier gilt: d f = a + b d r = a + b + c Flächendiagonale Raumdiagonale 67

72 6 Geometrie 6.4. Besondere Prismen: Der Würfel Ein besonderes Prisma ist der Würfel, er besitzt eine quadratische Grundfläche der Kantenlänge a und die Höhe ist ebenfalls so groß. a d r a d f a Hierbei gilt für das Volumen des Würfels gilt: und für seine Oberfläche: V = a 3 O = 6 a Interessant bei einem Würfel sind auch die Flächen bzw. Raumdiagonalen, diese kann man mithilfe des Satzes des Pytagoras bestimmen: d f = a + a = a d r = a + a + a = a 3 Flächendiagonale Raumdiagonale 68

73 6 Geometrie 6.5 Zylinder Unter einem Zylinder versteht man einen Körper, der entsteht, wenn man einen Kreis im Raum verschiebt und um Kreise einen Mantel legt. Ein Zylinder besteht aus zwei gleich großen Grundflächen und aus einer Mantelfläche. Der Abstand der Grundflächen zueinander nennt man die Höhe. h G Für das Volumen eines Zylinders gilt wie beim Prisma: Volumen = Grundfläche Höhe Oder als Formel: V = G h = π r h Die Oberfläche setzt sich aus verschiedenen Flächen zusammen, zum einen hat man die Grundfläche G, zwei Kreiseund die Mantelfläche M, die wenn man sie aufrollt ein Rechteck ist. Setzt man dies ein: O = G + M M = U h M = π r h Dann gilt für die Oberfläche: O = π r + π r h 69

74 6 Geometrie 6.6 Kugel Eine Kugel entsteht, wenn ein Kreis um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert. Auf einer Kugeloberfläche haben alle Punkte den selben Abstand r zum Mittelpunkt. r d Für das Volumen einer Kugel gilt: V = 4 3 π r3 und für die Oberfläche gilt: O = 4 π r 70

75 6 Geometrie 6.7 Kegel Eine Kugel entsteht, wenn man alle Punkte einer Kreislinie mit einem einzigen Punkt, der Spitze verbindet. Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt. s h r Für das Volumen eines Kegels gilt: V = 3 π r h Die Mantellinie s lässt sich mithilfe des Satzes des Pythargoras bestimmen: s = r + h Für die Mantelfläche gilt: Dann gilt für die gesamte Oberfläche: M = r s π O = π r + r s π Rollt man die Mantelfläche eines Kegels auf, so erhält man folgende Fläche: U α s Wobei die Länge des Kreisbogens dem Umfang der Grundkreises des Kegels entspricht. Für den Winkel α gilt: α = r s 360 7

76 6 Geometrie 6.8 Pyramiden 6.8. Die allgemeine Pyramide Eine Pyramide besteht aus einer regelmäßigen Vieleck als Grundfläche, von deren Eckpunkten Kantenlinien zu einer Spitze, die über der Mitte der Fläche liegt ausgehen: h hs Für das Volumen einer allgemeinen Pyramide gilt: V = 3 G h Die Oberfläche berechnet sich aus Grundfläche und Mantelfläche: O = G + M Wobei sich die Matelfläche aus einer entsprechenden Anzahl an gleichartigen Dreiecken zusammensetzt. 7

77 6 Geometrie 6.8. Besondere Pyramiden: Die vierseitige Pyramide Eine vierseitige Pyramide besitzt ein Quadrat als Grundfläche, von deren Eckpunkten Kantenlinien zu einer Spitze, die über der Mitte der Fläche liegt ausgehen: h h s a a d a Für das Volumen einer vierseitigen Pyramide gilt: V = 3 a h Die Mantelfläche berechnet sich durch: M = a h s Wobei man die Höhe einer Dreiecksseite mit dem Satz des Pythagoras bestimmen kann: (a ) h s = + h Dann gilt für die gesamte Oberfläche: O = a + a h s 73