Klasse 9+ (Mittelstufe Plus) Hinweise und Lösungen

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1 Klasse 9+ (Mittelstufe Plus) Hinweise und Lösungen. a) (x + y) (x y) = x + xy + y [x xy + y ] = = x + xy + y x + xy y = 4xy b) z 3 z ) = z + z z z(z ) z (z ) (z 0; ) c) (8a 3 b) = ( 3²a3 b) = 3 4 a 6 b = 3 = 3 (a b) 3 (² 3a b) a 6 b 3 4 b 6b d) ( x x ) = ( x x ) = ( 3 x ) = x 3 e) 0,5 6a 4 = 0,5 4(4a ) = 0,5 4a = 4a f) 04x 6 y 4 = 04 x 6 y 4 = 3x 8 y. Um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist, genügt es, ein Gegenbeispiel anzugeben. Z. B. ist für a = die linke Seite 4( ) ( ) = 4 + = 4 + = + = 3, also ungleich der rechten Seite. Die Umformung ist richtig für a 0, da dann a = a gilt. 3. Damit die Wurzel definiert ist, darf der Radikand nicht negativ sein. 3 x x x x 7 D max = ] ; 7 ] 6 Für die Lösung der Gleichung wissen wir dass =, also muss der Radikand gleich sein. 3 x 7 = 3 x = + 7 = 5 x = 4 5 = 5 =,5 L = {,5} Die Geraden y =,5x 5 und y = schneiden sich etwa bei x = 4,7 (exakt: x = 4, 6 ). 5. Zeichnet man ein Steigungsdreieck ein, erhält man z. B. d = 5cm und h =,6cm. m = h =,6cm = 3, = 0,3 = 3% d 5cm 0 6. a) Für den Schnittpunkt S mit der x-achse muss y = 0 sein. 0 = x x = 3 3 x = 3 6 S ( 3 6 0) b) Parallele Geraden haben die gleiche Steigung, also h: y = x + t Setzt man in diese Gleichung für x und y die Koordinaten von P ein, lässt sich der y-achsenabschnitt t berechnen und somit die Geradengleichung angeben. zu Aufgabe 4

2 7. Die Normalparabel y = x wurde um 4 Längeneinheiten nach rechts und Längeneinheit nach unten verschoben. Gleichung für die verschobene Parabel: y = (x 4) 8. y = x² bx c a) Die Parabel ist nach unten geöffnet (wegen des negativen Koeffizienten von x²). Die Parabel ist gegenüber der Normalparabel in y-richtung gestaucht (da der Betrag des Koeffizienten von x² kleiner als ist) d. h. breiter als die Normalparabel. b) Nullstellen von p: x = 0 und x = 3 y = 0,5 x (x 3) = 0,5 x² +,5 x b =,5 ; c = 0 Nullstellen von p: x = und x = y = 0,5 (x )(x + ) = 0,5 x² + 0,5 b = 0 ; c = + 0,5 Nullstellen von p3: x = 5 und x = y = 0,5 (x + 5)(x + ) = 0,5 x² 3,5x 5 b = 3,5 ; c = 5 9. a) y = x² 8 S( 0 / 8 ) a: x = 0 b) y = 3 x² x = 3 (x² x 3 ) = 3 x 6 S / 6 a: x = 6 alternativ über die Nullstellen der Parabel: y = 3x x = 3x (x 3 ) also sind die Nullstellen x = 0 und x = 3, die Symmetrieachse somit a: x = 6 y ( ) = 3 6 ( 6 ) = 3 = = S ( ) c) y =,5x² + 9x 3,5 =,5 (x² 6x + 9) =,5 ( x 3)² S( 3 / 0) a: x = 3

3 0. quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 Diskriminante D = b² - 4 ac ; D = 0 Die Gleichung hat genau eine Lösung, d.h. die Gleichung lässt sich in der Form a(x s)² = 0 schreiben.. a) (3 x)(3 + x) x² = ( x)(7 + x) D = R 9 x² x² = 7 3x x²; 9 = 7 3x; = - 3x; x = - 3 R; L = { - 3 } b) x x(x + ) x x D = R \ {-; 0} x² - (x+) = x(x + ); x² - x = x² + x; - = 3x; x = - D; 3 L = 3 c) x² - 6,5 = 0 D = R x² = 6,5; x/ = 6,5 ; x = +,5; x = -,5 L = { -,5; +,5 } d) 3x² + 8x = 0 D = R 8 8 x(3x + 8) = 0; x = 0; 3x + 8 = 0; x = - L = ; e) x² - x + = 0 D = R (x ) ² = 0; x = x = L = { } f) x² - x = 0 D = R x / = ± 4 4 ( ) = ± 8 = ± = (± ) = ± L = {- ; + } g) x² - x² = 0 D = R -x²- = 0 x² = - L = { } leere Menge die Gleichung ist nicht lösbar!. Quadratische Terme der Form x² +bx + c lassen sich mit Hilfe des Satzes von Vieta wenn überhaupt möglich leicht in Linearfaktoren zerlegen. Die Zerlegung ist möglich, wenn c das Produkt zweier Zahlen m und n und b die Summe der selben Zahlen ist: x² + bx + c = x² + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n ) a) x² + 7x + = (x + 3)(x + 4) b) x² x = (x + 3)(x 4) c) x² + 4x - = (x )(x + 6) d) x² 8x + = (x -)(x 6) 3. Gf hat den Scheitel S(-4 / 8) und die Nullstellen N(- / 0) und N(-6 / 0). * mit Hilfe der Nullstellenform: f(x) = a(x + )(x + 6) Scheitel einsetzen: 8 = a(-4 + )(-4 + 6) = a (-) = -4a; a = f(x) = (x + )(x + 6) * mit Hilfe der Scheitelform: f(x) = a(x + 4)² + 8 z. B. N einsetzen: 0 = a(- + 4)² + 8 = 4a + 8; 4a = 8; a = f(x) = (x + 4)² + 8 Gg hat den Scheitel S (-3 / -4) und den y-achsenabschnittspunkt T(0 / -). Scheitelform: g(x) = a(x + 3)² - 4 T einsetzen: - = a(0 + 3)² - 4; 3 = 9a; a = 3 g(x) = 3 (x+3)² - 4

4 Gh hat den Scheitel S(3 / 5) und enthält z. B. den Punkt P(5 / ). Scheitelform: h(x) = a(x 3)² + 5 P einsetzen: = a(5 3)² + 5; 4 = 4a; a = h(x) = (x 3)² Schnittpunkte zweier Graphen berechnen: Funktionsterme gleichsetzen! x² = x + 6; x² x 6 = 0; Satz von Vieta: (x 3)(x + ) = 0; x = 3 und x = Schnittpunkte bestimmen: x-werte in eine der beiden Funktionsterme einsetzen oder (zur Kontrolle) in beide: y = 3² = 9 oder y = = 9 Q(3 / 9) y = ( )² = 4 oder y = + 6 = 4 P( / 4) 5. Ansatz für p: y = ax + bx + c Setzt man für x und y die Koordinaten der drei Punkte A, B, C ein, erhält man ein lineares Gleichungssystem. I 4 = 4a b + c II 4 = 4a + b + c III 5 = 9a + 3b + c Lösung dieses Systems (z. B. mit dem Additionsverfahren) gibt die drei Parameter a, b, c und damit die gesuchte Funktionsgleichung für p. 6. a) Bringt man in der zweiten Gleichung die 3 auf die rechte Seite, erhält man: I 6x + y 3z = 9 4 II x + y z = 3 III 5x 4y 4z = 0 I 4x + 4y z = 36 II 4x + 4y z = 6 III 5x 4y 4z = 0 I + III: 9x 6z = 36 3 II + III : 9x 6z = 6 8 IV 87x 48 z = 08 V 7x 48z = 48 IV V : 5x = 60 x = 4 x=4 in II + III: 9 4 6z = z = 6 30 = 6z 5 = z x und z in I: y = y 5 = y = 9 y = 0 L = {(4;0;5)}

5 oder: die erste Gleichung nach y auflösen: y = -6x + 3z + 9 dann den Term für y in II und III einsetzen und jeweils vereinfachen dann sind Gleichungen II und III nur noch abhängig von x und z Lösung des reduzierten Gleichungssystems: zwei Gleichungen zwei Unbekannte! 6. b) Löst man das Gleichungssystem analog zu a), ergibt sich als Lösung: L = {(0,5;4;-3)} 7. war der Nettopreis 99 :,6 = 7,55. Der neue Preis ist dann 7,55,9 = 04,4. Beachte: 6% mehr als 00% sind 6% =,6 dies ist der alte Prozentsatz. Der Nettopreis ist der Grundwert, also Prozentwert durch Prozentsatz. Der neue Bruttopreis ist 9 Prozent vom Grundwert (00% plus 9% Mehrwertsteuer), also Nettopreis mal,9. 8. a) Höhensatz: k² = m k² m b) Kathetensatz: c² = b a c b a c) Satz von Pythagoras: v² = w² + u² w² = v² u² w v² u² x 0 9. ; 5,6,4 5,6 x = 0 5,6 8 7 y,4 ; 4 y = 4, 9 =, 4,9 5, A(a) = (6a) 4 (3a) π = 36a 4,5a π = (36 4,5π)a getönte Fläche p = A getönt = (36 4,5π)a = 36 4,5π 0,607 = 60,7% Anteil der getönten Fläche A Quadrat 36a 36. a) U = rπ r = U π b) Der abgebildete Baumstamm ist näherungsweise ein Zylinder mit Radius r = 0,5m und Höhe h 5m (abmessen in der Zeichnung und Vergleich mit d = r = m). Sein Volumen entspricht dem eines Quaders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, also gilt: V (0,5m) π 5m 4m 3. a = h + ( a ) h = a ( a ) = a a 4 = 3 4 a h = 3 4 a = 3 a A(a) = a h = 3 3 a a = 4 a

6 3. Zeichne einen Kreis und trage auf der Kreislinie sechs Mal den Radius ab. Es entstehen sechs gleichseitige Dreiecke, die zusammen das gesuchte Sechseck ergeben. 4. Der Umkreismittelpunkt liegt genau dann außerhalb des Dreiecks, wenn dieses stumpfwinklig ist. Es genügt also, irgendein stumpfwinkliges Dreieck zu zeichnen. Am einfachsten fängt man aber mit einem Kreis an und wählt drei Punkte A, B, C so auf dem Kreis, dass der Kreismittelpunkt U außerhalb des Dreiecks ABC liegt. 5. Zeichnet man die Diagonale [OU] ein, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke GOU und HUO mit gemeinsamer Hypotenuse [OU]. Es sei M der Mittelpunkt der Hypotenuse und k der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius OU. Dann liegen O und U auf k und nach dem Satz des Thales (zweimal angewandt) auch G und H. 6. In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck sind die Innenwinkel 45, 45 und 90. Nach dem Ähnlichkeitssatz WWW sind diese Dreiecke alle ähnlich.