Leitprogramm Funktionen

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1 3. Quadratische Funktionen (Zeit 10 Lektionen) Lernziel: Grundform y = ax + bx + c und Scheitelform y = a(x + m) + n der Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen kennen. Bedeutung der Parameter a, b und c bzw. a, m und n kennen. Graph skizzieren, Scheitel, Nullstellen, Verschiebungen. Schnittpunkte mit Geraden, Tangenten, Anwendungen. Quadratische Funktionen und deren Graphen treten in der Physik (Wurfbahnen), in der Technik (Parabolantennen), in der Astronomie (Himmelsmechanik), in der Architektur (Bogenkonstruktionen) und natürlich in der Mathematik auf. Definition: Aufgabe 3.1 Lösen Sie Aufgabe 681 (Frommenwiler) Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Graph der Funktion y = x heisst Normalparabel. Aufgabe 3. Skizzieren Sie den Graphen der Normalparabel. Verwenden Sie dazu auch einen Graphikrechner. Eigenschaften der Parabel: Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = a(x + m) + n bzw. y = ax + bx + c heisst quadratische Funktion. Es gilt a, b, c R bzw. a, m, n R und a 0 Der Scheitelpunkt S ist der tiefste (bzw. höchste) Punkt der Kurve. Die Parabel ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-achse durch den Scheitelpunkt. Die Nullstellen N 1 und N sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-achse. Die Parabel Schneidet die y-achse im Punkt P. Die obige Parabel ist durch eine Verschiebung der Normalparabel entstanden. Die Verschiebung ist in den Parametern der Funktionsgleichung enthalten. Aufgabe 3.3 Skizzieren Sie die Parabeln mit den Gleichungen y = (x + ) und y = (x - 3) im gleichen Koordinatensystem. Verschobene Normalparabel: y = (x + m) Der Parameter m bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel in Richtung der x-achse. m > 0 gibt eine Verschiebung nach links um m Einheiten m < 0 gibt eine Verschiebung nach rechts um m Einheiten. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(-m;0) Siehe Figur auf der nächsten Seite. Quadratische Funktionen Seite 1 000, 001

2 Im Beispiel rechts Ist m = 3 bzw. m = - Aufgabe 3.4 Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung y = (x + 3) - Allgemeine Scheitelform der verschobenen Normalparabel: y = (x + m) + n. Der Parameter n bewirkt eine Verschiebung in Richtung der y-achse. Achtung! n > 0 gibt eine Verschiebung nach oben um n Einheiten n < 0 gibt eine Verschiebung nach unten um n Einheiten Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(-m;n) Im Beispiel links ist m = -3 und n = - In der Fachliteratur finden Sie auch die Form y = a(x - m) + n Der Scheitel hat dann die Koordinaten S(m;n) Aufgabe 3.5 Skizzieren Sie die Parabeln mit den Gleichungen y = x und y = -0.5x Quadratische Funktionen Seite 000, 001

3 Allgemeine Form: y = a(x + m) + n. Der Parameter a bewirkt eine Streckung in Richtung der y-achse. a > 1 gibt eine kleinere Parabelöffnung (nach oben) a = 1 gibt eine Normalparabel (nach oben) 0 < a < 1 gibt eine grössere Parabelöffnung (nach oben) a = 0 gibt keine Parabel (lineare Funktion) -1 < a < 0 gibt eine grössere Parabelöffnung (nach unten) a = -1 gibt eine Normalparabel (nach unten) a < -1 gibt eine kleinere Parabelöffnung (nach unten) Damit sind sämtliche Parameter der Scheitelform beschrieben. Viele Parabelgleichungen sind jedoch in der Form y = ax + bx + c gegeben. Mit einer quadratischen Ergänzung können sie in die Scheitelform umgeformt werden: Ein Vergleich mit der Scheitelform y = a(x + m) + n zeigt: a(x + m) + n = ax + bx + c (links ausrechnen) ax + amx + am + n = ax + bx + c (Koeffizientenvergleich) nach m und n auflösen: m = b a am = b und n = c - am Scheitelpunkt S( m; n)= S am + n = c b ;c a = c - a b 4a b oder S 4a = c - Aufgabe 3.6 Formen Sie die Gleichung y = x + 4x - 3 um in die Scheitelform und bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes. Die Nullstellen einer Funktion sind die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-achse. Da die y-koordinaten aller Punkte auf der x-achse 0 sind, muss man nur in der Funktionsgleichung für y = 0 einsetzen und die entsprechende quadratische Gleichung auflösen. Wie die Theorie der quadratischen Gleichungen lehrt, gibt es entweder keine, eine oder zwei reelle Lösungen. Somit haben wir entweder keine, eine oder zwei Nullstellen zu erwarten. b ; a Beispiel: y = x + x - 6 y = 0 setzen 0 = x + x - 6 mit der Lösungsformel x 1 = 1.5 x = - oder durch faktorisieren 0 = (x - 3)(x + ) oder mit dem Grafikrechner 0 = (x - 1.5)(x + ) b 4a 4ac b 4a Quadratische Funktionen Seite 3 000, 001

4 Die Schreibweise y = (x - 1.5)(x + ) oder allgemein y = a(x + p)(x + q) wird auch als Produktform bezeichnet. In dieser Form sind die Nullstellen direkt ablesbar. Aufgabe 3.7 Lösen Sie Aufgabe 666 f), h) (Frommenwiler) Parabel und Gerade Eine Parabel und eine Gerade haben entweder keinen, einen oder zwei gemeinsame Punkte. Dies ist abhängig davon ob das zugehörige Gleichungssystem: y= px+ q y= a( x+ m) + n keine, eine oder zwei Lösungen hat. Durch Gleichsetzen px + q = a(x + m) + n folgt nämlich eine quadratische Gleichung mit maximal zwei reellen Lösungen. Beispiel: Parabel y = x - x - 3 und Gerade y = x - 5 Gleichsetzen: x - x - 3 = x - 5 Umformen: x -3x + = 0 Auflösen: x 1 =, x = 1 Es gibt somit zwei Schnittpunkte: S 1 (;-3), S (1;-4) Aufgabe 3.8 Lösen Sie Aufgaben 693, 696 (Frommenwiler) Haben Parabel und Gerade nur einen gemeinsamen Punkt, so handelt es sich bei der Geraden um eine Tangente. Die Diskriminante der gemeinsamen Gleichung ist dann Null. Mit dieser Eigenschaft lassen sich viele Tangentenaufgaben lösen. Beispiel: Die Gerade y = 4x + q soll Tangente an die Parabel y = x sein. Die gemeinsame Gleichung lautet x - 4x - q = 0 und die Diskriminante D = q Für q = -4 ist die Diskriminante Null und die zugehörige Geradengleichung y = 4x - 4 gibt eine Tangente an die Parabel y = x. Aufgabe 3.9 Lösen Sie die Aufgaben 698 und 705 (Frommenwiler) Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ein Extremwert. Je nach Öffnung der Parabel ist dort der grösste, bzw. kleinste Funktionswert. Man sagt die Funktion habe an dieser Stelle ein Maximum, bzw. ein Minimum. Dadurch bestimmt der Scheitelpunkt ebenso den Wertebereich der quadratischen Funktion. Beispiel: y = 0.8x + 8x - 0. Umgeformt auf die Scheitelform: y = 0.8(x + 5) - 40 folgt für den Scheitelpunkt S(-5;-40). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Scheitel ein Minimum. Der Wertebereich ist somit W= { y R y 40} Aufgabe 3.10 Lösen Sie die Aufgabe 716 (Frommenwiler) Quadratische Funktionen Seite 4 000, 001

5 Funktionsgleichungen bestimmen Durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen kann eine Parabel gelegt werden. Zur Bestimmung einer entsprechenden quadratischen Funktion eignet sich ein Gleichungssystem. Dazu werden in der Grundform y = ax + bx + c der Reihe nach die Koordinaten der drei Punkte eingesetzt. Beispiel: Parabel durch A(1;.5), B(;1), C(6;5) Grundform: y = ax + bx + c A eingesetzt.5 = a + b + c B eingesetzt 1 = 4a + b + c C eingesetzt 5 = 36a + 6b + c Das zugehörige Gleichungssystem hat die Lösung a = 0.5, b = -3 und c = 5. Die quadratische Funktion lautet somit y = 0.5x - 3x + 5 Ist einer der gegebenen Punkte der Scheitelpunkt der Parabel, so genügt ein weiterer Punkt wegen der Symetrieeigenschaft der Parabel. Aufgabe 3.11 Lösen Sie die Aufgabe 678 (Frommenwiler) Anwendungen Auf Aufgaben aus der Physik verzichten wir hier. Beispiel: Ein rechteckiges Grundstück wird auf drei Seiten mit einem Zaun der Länge 50 m abgegrenzt. Die vierte Seite grenzt an einen Fluss und muss daher nicht eingezäunt werden. Welche maximale Fläche kann mit dem Zaun abgegrenzt werden? Das Grundstück habe die Länge a und die Breite b. Es ist also b + a = 50 (oder a + b = 50). Umgeformt: a = 50 - b. Die Fläche beträgt F = ab und für a eingesetzt: F = (50 - b)b. Die Fläche ist somit nur noch abhängig von b, also eine Funktion von b: F(b) = (50 - b)b = 50b - b. Es handelt sich also um eine quadratische Funktion. Der maximale Funktionswert (der Scheitelpunkt) entspricht also der maximalen Fläche. Der Scheitel lässt sich hier bequem über die Symetrieeigenschaft der beiden Nullstellen bestimmen. Die Nullstellen sind bei b = 5 und b = 0. Der Scheitel somit bei b = 1.5. Der maximale Flächeninhalt ist also F(1.5) =... = 31.5 m Damit ist das dritte Kapitel abgeschlossen. Bevor Sie zum vierten Kapitel übergehen, melden Sie sich bitte beim Lehrer für den Kapiteltest. Die Lösungen zu den Kapitelaufgaben finden Sie auf der nächsten Seite. Quadratische Funktionen Seite 5 000, 001

6 Lösungen zu den Kapitelaufgaben: 3.1 f 1 ist nicht quadratisch (sondern biquadratisch) f ist weder quadratisch noch linear f 3 ist quadratisch (in Produktform) f 4 ist linear f 5 ist quadratisch f 6 ist weder quadratisch noch linear f 7 ist linear f 8 ist weder quadratisch noch linear f 9 ist quadratisch 3. Figur rechts oben y = x + 4x - 3 = (x + 1) - 5 Scheitel = S(-1;-5) 3.8 B(-5;75) S 1 ( ;-3) S (-4 ; 9) Diskriminante von 0.5x + 4x + c = 0.8x - 10 bestimmen und Null setzen: c = Tangentengleichungen y = ax, Diskriminante von x + 8x + 9 = ax Null setzen: y 1 = 14x und y = x x= 5 b) x = - c) x = In der Produktform f(x) = a(x - 1.5)(x + 3.5) einsetzen: f(4.5) = 4 = a( )( ). Somit a = 1 und y = (x-1.5)(x+3.5) = x + x Quadratische Funktionen Seite 6 000, 001