Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung.

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1 Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universität München 17. Oktober / 9

2 Inhaltsverzeichnis 1 2 / 9

3 Inhaltsverzeichnis / 9

4 Inhaltsverzeichnis / 9

5 Inhaltsverzeichnis / 9

6 Inhaltsverzeichnis / 9

7 Inhaltsverzeichnis / 9

8 Quadratische Gleichung und Definition (Quadratische Gleichung) Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, mit a 0 heißt quadratische Gleichung. Dabei heißt ax 2 quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied der Gleichung. (Q) 3 / 9

9 Quadratische Gleichung und Definition (Quadratische Gleichung) Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, mit a 0 heißt quadratische Gleichung. Dabei heißt ax 2 quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied der Gleichung. Finde Lösungen von (Q), falls vorhanden. (Q) 3 / 9

10 Quadratische Gleichung und Definition (Quadratische Gleichung) Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, mit a 0 heißt quadratische Gleichung. Dabei heißt ax 2 quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied der Gleichung. Finde Lösungen von (Q), falls vorhanden. (Q) Voraussetzung Im folgenden betrachten wir zunächst nur den Fall a, b, c R. 3 / 9

11 Geometrische Geometrisch ist die äquivalent dazu wie oft der Graph des quadratischen Polynoms die x-achse schneidet. p(x) = ax 2 + bx + c 4 / 9

12 Geometrische Geometrisch ist die äquivalent dazu wie oft der Graph des quadratischen Polynoms p(x) = ax 2 + bx + c die x-achse schneidet. Es können drei Fälle auftreten: 4 / 9

13 Geometrische Geometrisch ist die äquivalent dazu wie oft der Graph des quadratischen Polynoms p(x) = ax 2 + bx + c die x-achse schneidet. Es können drei Fälle auftreten: Fall: Es gibt zwei Schnittpunkte 4 / 9

14 Geometrische Geometrisch ist die äquivalent dazu wie oft der Graph des quadratischen Polynoms p(x) = ax 2 + bx + c die x-achse schneidet. Es können drei Fälle auftreten: Fall: Es gibt zwei Schnittpunkte 2.Fall: Es gibt genau einen Schnittpunkt 4 / 9

15 Geometrische Geometrisch ist die äquivalent dazu wie oft der Graph des quadratischen Polynoms p(x) = ax 2 + bx + c die x-achse schneidet. Es können drei Fälle auftreten: Fall: Es gibt zwei Schnittpunkte 2.Fall: Es gibt genau einen Schnittpunkt 3.Fall: Es gibt keinen Schnittpunkt 4 / 9

16 Analog gibt es im reelen stets drei Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen. 5 / 9

17 Analog gibt es im reelen stets drei Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen. Eine Kriterium, wann Lösungen existieren, und eine Möglichkeit diese zu berechnen erhällt man durch Satz () Eine allgemeine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat im Fall b 2 4ac > 0 die Lösung(en) x 1,2 = b ± b 2 4ac. (1) 2a 5 / 9

18 Analog gibt es im reelen stets drei Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen. Eine Kriterium, wann Lösungen existieren, und eine Möglichkeit diese zu berechnen erhällt man durch Satz () Eine allgemeine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat im Fall b 2 4ac > 0 die Lösung(en) x 1,2 = b ± b 2 4ac. (1) 2a Bemerkung Formel 1 wird auch Mittenachtsformel genannt. 5 / 9

19 Weitere Anmerkungen zur Der Ausdruck D := b 2 4ac heißt Diskriminante. 6 / 9

20 Weitere Anmerkungen zur Der Ausdruck D := b 2 4ac heißt Diskriminante. Ist D = 0 so gibt es nur eine Lösung x 1 = x 2 = b 2a. 6 / 9

21 Weitere Anmerkungen zur Der Ausdruck D := b 2 4ac heißt Diskriminante. Ist D = 0 so gibt es nur eine Lösung x 1 = x 2 = b 2a. Im komplexen Fall, d.h. a, b, c C hat eine quadratische Gleichung auch im Fall D < 0 zwei Lösungen, nämlich x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a = b ± i 4ac b 2. 2a = b ± 1 4ac 4ac 2a 6 / 9

22 Weitere Anmerkungen zur Der Ausdruck D := b 2 4ac heißt Diskriminante. Ist D = 0 so gibt es nur eine Lösung x 1 = x 2 = b 2a. Im komplexen Fall, d.h. a, b, c C hat eine quadratische Gleichung auch im Fall D < 0 zwei Lösungen, nämlich x 1,2 = b ± b 2 4ac = b ± 1 4ac 4ac 2a 2a = b ± i 4ac b 2. 2a Im Spezialfall a = 1, b = p und c = q erhällt man die Nullstellen einer normierten quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 durch die pq-formel x 1/2 = b 2 ± p 2 4 q 6 / 9

23 I ergibt sich unmittelbar aus den folgenden Äquivalenzumformungen a (x 2 ba b2 + x + ( a x + b 2a ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx = c a (x 2 + ba ) x = c ) 4a 2 b2 4a 2 = c ) 2 b2 = c (2) 4a ( x + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 7 / 9

24 II Bemerkung ( x + b ) 2 = ± b2 4ac 2a 4a 2 x = b ± b 2 4ac 2a Der in (2) angewandte Umformungstrick wird quadratische Ergänzung genannt. 8 / 9

25 Beispiele 9 / 9

26 Beispiele 1 quadratische Gleichung 5x 2 + 7x + 2 = 0 hat die beiden Nullstellen x 1 = = 2 5 und x 2 = = 1. 9 / 9

27 Beispiele 1 quadratische Gleichung 5x 2 + 7x + 2 = 0 hat die beiden Nullstellen x 1 = = 2 5 und x 2 = x 2 6x + 9 = 0 hat hingegen nur eine Nullstelle x 1 = 6 2 ± = 3. = 1. 9 / 9

28 Beispiele 1 quadratische Gleichung 5x 2 + 7x + 2 = 0 hat die beiden Nullstellen x 1 = = 2 5 und x 2 = x 2 6x + 9 = 0 hat hingegen nur eine Nullstelle x 1 = 6 2 ± = 3. = 1. 3 Zuletzt hat x 2 + x + 1 = 0 die beiden komplexen Lösungen x 1 = i 2 und x 2 = i 2. 9 / 9