Einführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne

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1 Einführung in die linearen Funktionen Autor: Benedikt Menne

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 Allgemeine Definition Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion Bestimmung der Steigung m durch zwei bekannte Punkte Bestimmung der Steigung m durch einen bekannten Punkt und b Bestimmung der Verschiebungskonstanten Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch zwei bekannt Punkte Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch einen bekannten Punkt und m Bestimmung der Nullstelle einer linearen Funktion Bestimmung der Nullstellen mit bekannter Steigung m und b Bestimmung der Nullstellen mit zwei bekannten Punkten Bestimmung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen Feststellung der Parallelität zweier linearer Funktionen Feststellung der Orthogonalität zweier linearer Funktionen... 0 Seite von

3 Vorwort Dieses Skript zur Einführung in die linearen Funktionen soll eine kleine Übersicht über den Umgang mit Funktionen linearer Natur bieten und verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung deren Elemente aufzeigen. Besonders geeignet ist dieses Skript zur Auffrischung bereits behandelter Inhalte, da es auf nachvollziehbare Art gängige mathematische Operationen Schritt für Schritt erklärt. Allgemeine Definition Eine lineare Funktion definiert sich auf Grund des mathematischen Konsenses wie folgt: Somit ist eine jede lineare Funktion als Polynom ersten Grades zu anzusehen. In der Graphentheorie wird häufig die folgende Form genutzt: In der Regel wird der y-wert einer Funktion mit f(x), gesprochen f von x, bezeichnet. Die obige Form definiert nun vier Elemente: x, y, m, b. Die Elemente x und y sind selbsterklärend und drücken die jeweiligen Koordinatenwerte aus. Das Element m definiert die Steigung der linearen Funktion. Das Element b gibt die Translation, also die Verschiebung, auf der Y- Achse an. Nachstehende Abbildung verdeutlicht einen Graphen einer linearen Funktion und visualisiert die verschiedenen eben besprochenen Elemente: Abbildung. Graph einer linearen Funktion Seite 3 von

4 Es ist klar ersichtlich, dass der Graph eine Verschiebung um + besitzt und somit definiert sich das Element b = +. Es ist unbedingt das Vorzeichen der Konstante b zu beachten. Eine negative Konstante würde eine Translation um den Wert zwei nach unten ausdrücken. Die Steigung m = ½ definiert sich, wie das Element b, auch durch den Graphen. Würde der Graph m = definieren, stiege die lineare Funktion pro horizontalem Kästchen um ein vertikales Kästen. Ist somit m = steigt die Funktion um 45 oder um arctan(). 3 Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion Eines der wichtigsten Elemente einer linearen Funktion ist deren Steigung m, deren Anwendung man auch später in der Differenzialrechnung häufig benötigt. Folgend werden zwei Möglichkeiten aufgezeigt um die allgemein mit m beschriebene Steigung zu bestimmen. 3. Bestimmung der Steigung m durch zwei bekannte Punkte Um eine beliebige Steigung einer linearen Funktion zu ermitteln müssen zwei ihrer Punkte mit vollständigem Koordinatenpaar vorliegen. Verfolgt man das obige Beispiel weiter und liest zwei beliebige Punkte des Graphen aus der Abbildung ab ergeben sich beispielhaft folgende Koordinatenpaare: P (;) und P (;3) Wird nun P und P in diese Gleichung eingesetzt ergibt sich als dessen Resultat die Steigung m. Die Herleitung der Formel zur Berechnung der Steigung m wird durch die Abbildung. dieses Kapitels deutlich (Steigungsdreieck). Da eine lineare Funktion stets linear ist, muss m also konstant sein. 3. Bestimmung der Steigung m durch einen bekannten Punkt und der Verschiebungskonstanten b Ist ein Koordinatenpaar und die Verschiebungskonstante b bekannt lässt sich die Steigung m in sehr trivialer Form bestimmen. Als Ursprungsgleichung wird erneut die Normalform der linearen Funktion herangezogen: Seite 4 von

5 Nun werden alle bekannten Werte in die Gleichung eingesetzt und das Element m bestimmt. Die beispielhaften Werte werden aus dem vorherigen Abschnitt übernommen. Somit ergeben sich P (;3) und b =. 3 = m + = m = m 4 Bestimmung der Verschiebungskonstanten Als weitere wichtige Eigenschaft einer linearen Funktion ist dessen Verschiebungskonstante b zu sehen. Sie gibt die konstante Verschiebung für den Graphen auf der Y-Achse an. Die nachstehende Abbildung illustriert diese treffend: Abbildung 4. Verschiebungskonstante 4. Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch zwei bekannt Punkte Die Verschiebungskonstante b, in der Literatur häufig als die Inhomogenität bezeichnet, lässt sich mit Hilfe der Steigung m = ½ und zwei bekannten Punkten P (-;) und P (;3) berechnen, indem in jeweils in die Normalform f(x) = mx + b eingesetzt wird. Somit ergeben sich nachstehenden Funktionen: = m + b Seite 5 von

6 3 = m + b Nun stellt man eine dieser Gleichungen nach m um und setzt diese in die zweite Gleichung ein. Dieses Verfahren ist allgemein als Einsetzungsverfahren bekannt. Selbstverständlich ist auch jedes andere Verfahren, zum Beispiel das Gleichsetzungsverfahren zulässig. Wird die zweite Gleichung nach m umgestellt ergibt sich folgendes Bild: 3 b = m 3 b = m Nun ist diese umgestellte Gleichung in die erste Gleichung einzusetzen und zu vereinfachen. 3 = b + b 3 b = + b = 6 + b + b = 3 + b + b = 3 + b 4 = b = b Es ergibt sich als Resultat des Gleichungssystems das b dem Wert + zugeordnet ist, was auch eindeutig mit der Abbildung übereinstimmt. 4. Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch einen bekannten Punkt und der Steigung m Ist von der linearen Funktion f(x) ein Punkt P und die Steigung m bekannt kann analog zu. verfahren werden. Es seien die exemplarischen Werte P (;3) und m = / bekannt: 3 = + b 3 = + b = b Seite 6 von

7 4.3 Bestimmung der Nullstelle einer linearen Funktion Eine jede Funktion besitzt mindestens eine Nullstelle. Als Nullstelle wird jener Punkt bezeichnet, in der ein jeweiliger Graph die X-Achse schneidet und somit f(x), also y, den Wert Null zugeteilt bekommt. Eine Funktion hat maximal so viele Nullstellen wie ihr grad hoch ist. Beispielsweise besitzt eine quadratische Gleichung maximal zwei Nullstellen, da ihr höchster Exponent ist. Abbildung 4. - Nullstelle einer Funktion Wie obig aus der Visualisierung des Graphen hervorgeht liegt dessen Nullstelle bei x = -4. Da der Graph nicht immer modelliert werden kann und sollte muss nun eine Formel gefunden werden, mit welcher sich die Nullstelle bestimmen lässt. Generell existieren mehrere Möglichkeiten eine Nullstelle einer linearen Funktion zu bestimmen. Folgend sollten zwei dieser Möglichkeiten vorgestellt werden Bestimmung der Nullstellen mit bekannter Steigung m und der Verschiebungskonstanten b Ist die Steigung m und die Verschiebungskonstante b einer linearen Funktion bekannt gestaltet sich die Berechnung der Nullstelle X 0 äußerst trivial wie folgende Formel illustriert: x 0 = b m Es sind nun bekannte Werte in die Formel einzuführen. Zu Demonstrationszwecken sei hier m = ½ und b =. x 0 = 0,5 Seite 7 von

8 x 0 = 0, Bestimmung der Nullstellen mit zwei bekannten Punkten Sind zwei Punkte der linearen Funktion bekannt ist zuerst, wie in Kapitel behandelt, die Steigung und die Verschiebungskonstante zu ermitteln. Nun kann analog zu. mit Hilfe der beiden errechneten Elemente die Nullstelle berechnet werden. 5 Bestimmung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen Um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen festzustellen müssen zunächst deren Geradengleichungen bekannt sein. Beispielhaft seinen hier folgende Gleichungen angeführt: y = x y = x + Nun werden diese beiden Funktionen nach den Regeln des Gleichsetzungsverfahrens behandelt. Somit ergibt sich: x = x + x = 4 x = Das resultierende x ist nun der X-Wert des Schnittpunktes. Um den noch fehlenden Y-Wert zu ermitteln wird der eben berechnete X-Wert in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt: y = x + y = 3 + y = 3 3 Seite 8 von

9 Nun wurde der Schnittpunkt mit den Werten S(3;) vollständig bestimmt. Zur Kontrolle ist es nun ratsam den ermittelten X-Wert in die andere Funktionsgleichung einzusetzen und zu prüfen ob dessen Ergebnis äquivalent zu dem Resultat des ersten Einsetzvorganges ist. y = x y = 3 y = 6 Feststellung der Parallelität zweier linearer Funktionen Zur Feststellung der Parallelität zweier linearer Funktionen ist kein mathematischer Aufwand notwendig. Liegt bei beiden Funktionen die Steigung m vor muss diese verglichen werden. Ist nun die Steigung der ersten Funktion äquivalent zur Steigung der zweiten Funktion sind beide Funktionen parallel zueinander. m = m Anhand einer fiktiven grafischen Darstellung wird der Parallelitätsnachweis noch einmal verdeutlicht: Abbildung 6. - Parallele lineare Funktionen Seite 9 von

10 7 Feststellung der Orthogonalität zweier linearer Funktionen Stehen zwei lineare Funktionen orthogonal, also rechtwinklig, zu einander ergibt sich grafisch folgendes Bild: Abbildung 7. - Orthogonalität zweier Funktionen Stehen zwei lineare Funktionen also orthogonal zu einander steht eine Funktion sozusagen rechtwinklig auf der anderen Funktion. Um nun einen mathematischen Ansatz zur Orthogonalitätsfeststellung anzuführen müssen, ähnlich wie beim Parallelitätsnachweis, die beiden Steigungen der Funktionen betrachtet werden. Ist deren Produkt -, ist der Orthogonalitätsnachweis erbracht: m m = Nun ist in der Mathematik häufig ein lineare Funktion zu bestimmen, welche durch einen spezifizieren Punkt P verlaufen und gleichzeitig orthogonal zu einer anderen Gerade stehen soll. Gegeben sei ein Punkt P (4;5) und die lineare Funktion f(x) = x +. Soll nun die lineare Funktion einer Geraden bestimmt werden, welche durch den Punkt P verläuft und rechtwinklig zu f(x) = x + steht berechnet werden kann wie folgt vorgegangen werden: Zuerst muss die Steigung m der neuen Funktion, bezeichnen wir sie mit g(x), berechnet werden. Da das Produkt beider Steigungen - ergeben muss und eine der Steigungen bekannt ist wird folgender formaler Aufbau benötigt: m m = m = m Seite 0 von

11 m = m = Nun ist die Steigung der neuen Funktion g(x) bekannt und es ist noch die Verschiebungskonstante b zu ermitteln. Da drei Elemente der neuen Funktion bereits vorhanden sind bietet sich der Einsatz der Normalform an: g ( x) = m x + b 5 = 4 + b 5 = + b 7 = b Seite von