Exemplar für Prüfer/innen

Transkript

1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 5 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck Von einem Dreieck ABC kennt man die Länge der Seite b = 8 m und die Größe der Winkel β = 45 und γ 1 = 60. C b a h c A c B Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Länge der Seite a des Dreiecks ABC! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise anhand der vorgegebenen Skizze! Leitfrage: Nachstehend ist ein Kreis mit dem Radius r = 1 dargestellt. y 1 P 1 x Begründen Sie für α [0 ; 360 ) Ihre Antworten auf alle folgenden Fragestellungen anhand der Abbildung! Geben Sie die Koordinaten des Punktes P in Abhängigkeit vom Winkel α an! Geben Sie die Minimal- und Maximalwerte von sin(α) und cos(α) an! Begründen Sie die Gültigkeit der Gleichung sin(α) = sin(180 α)! Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Mögliche Berechnung: cos(γ 1 ) = h c b h c = b cos(γ 1 ) = 4 sin(β) = h c a a = h c sin(β) a = 4 2 5,7 m Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge der Seite a richtig angegeben wird und die Vorgehensweise korrekt erläutert wird. Toleranzintervall: [5,6; 5,7] Lösungserwartung zur Leitfrage: P = (cos(α) sin(α)). Minimalwert von sin(α) und cos(α) ist jeweils 1; Maximalwert von sin(α) und cos(α) ist jeweils 1. Begründung der Gleichung sin(α) = sin(180 α) anhand der Skizze: y 1 P sin(180 ) sin( ) 180 x 1 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle in der Leitfrage angeführten Fragestellungen (sinngemäß) richtig beantwortet und anhand der Skizze begründet werden. Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Gleichungssysteme und ihre Lösungsfälle Gegeben ist folgende grafische Darstellung: 4 y x 2 3 Aufgabenstellung: Geben Sie ein dieser Grafik entsprechendes lineares Gleichungssystem mit den Variablen x und y sowie die Lösung des Gleichungssystems an! Leitfrage: Ändern Sie eine der beiden Gleichungen so, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat! Begründen Sie Ihre Vorgehensweise und erklären Sie, welche Auswirkung diese Änderung auf die Lagebeziehung der beiden Geraden hat! Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Gleichungssysteme und ihre Lösungsfälle Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: I: y = x + 4 II: y = 2 5 x + 1 oder: I: x + y = 4 II: 2x + 5y = 5 Lösung: x = 5 und y = 1 bzw. L = { (5 1) } Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl ein richtiges Gleichungssystem als auch die richtige Lösung angegeben wird. Äquivalente Gleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten. Lösungserwartung zur Leitfrage: Mögliche Änderung: I: y = x + 4 II: y = x + 1 oder: I: x + y = 4 II: 2x + 2y = 5 Mögliche Begründungen: lineare Abhängigkeit der Koeffizienten, wobei die Gleichungen nicht äquivalent sein dürfen gleiche Steigung, aber unterschiedlicher Abschnitt auf der y-achse Die Geraden sind dann parallel. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine Gleichung entsprechend geändert, die Vorgehensweise (sinngemäß) korrekt begründet und die Parallelität der beiden Graphen angegeben wird. Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Graphen von Potenzfunktionen In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Potenzfunktion p mit p(x) = a x n + b mit n Z\{0} und a, b R, a 0 dargestellt. Die Punkte P und Q liegen auf dem Graphen von p und besitzen ganzzahlige Koordinaten. 8 p(x) 6 P p 4 2 Q x Aufgabenstellung: Geben Sie an, welche Werte aufgrund des Graphen von p für den Exponenten n in Frage kommen, und bestimmen Sie die Funktionsgleichung von p für n = 2! Leitfrage: Geben Sie an, für welche Exponenten n der Graph von p symmetrisch zur senkrechten Achse verläuft, und erklären Sie den Einfluss der Parameter a, b allgemein auf den Verlauf des Graphen und speziell auf die Symmetrie des Graphen bezüglich der senkrechten Achse! Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Graphen von Potenzfunktionen Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Da der Graph von p eine Parabel ist, kommen für den Exponenten n nur positive und gerade (ganzzahlige) Werte in Frage. Funktionsgleichung: p(x) = 2x Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn angegegeben wird, dass für den Exponenten n nur gerade positive ganze Zahlen in Frage kommen (auch die Aufzählung n = 2, 4,... ist zulässig), und wenn eine korrekte Funktionsgleichung angegeben wird. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten. Lösungserwartung zur Leitfrage: Für positive geradzahlige n ist der Graph eine Parabel mit Scheitelpunkt S = (0 b). b bewirkt eine vertikale Verschiebung der Parabel und hat keinen Einfluss auf die Symmetrie. a beeinflusst nur, wie flach bzw. steil die Parabel verläuft und ob sie nach unten oder nach oben geöffnet ist, hat also auch keinen Einfluss auf die Symmetrie bezüglich der senkrechten Achse. Für negative geradzahlige n besteht der Graph von p aus zwei Hyperbelästen, die symmetrisch zur senkrechten Achse verlaufen. Die Parameter a und b haben keinen Einfluss auf die Symmetrie, sondern bewirken wie bei den Parabeln nur eine vertikale Verschiebung bzw. wie steil die Hyperbeln verlaufen. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtig angegeben wird, dass für alle geradzahligen n die Graphen symmetrisch zur senkrechten Achse verlaufen und der Lösungserwartung (sinngemäß) entsprechend erklärt wird, warum die Parameter a und b die Symmetrie nicht beeinflussen. Die Ausdrücke Parabel und Hyperbel müssen dabei nicht erwähnt werden. Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Leistung einer Maschine Die physikalische Leistung P ist als zeitliche Ableitung der Arbeit W definiert: P(t) = W (t) = dw(t) dt Die Leistung einer Maschine nimmt im Lauf der Zeit ab. Diese abnehmende Leistung kann durch eine Funktion P mit P(t) = 0, t 2 0,1545 t modelliert werden. Dabei wird die Leistung P in Watt und die Zeit t in Sekunden angegeben. Der Graph der Funktion P ist über einen Zeitraum von etwas mehr als 100 Betriebsstunden ( Sekunden) im nachstehenden Koordinatensystem dargestellt P(t) in Watt P t in Sekunden Aufgabenstellung: Stellen Sie die Arbeit, die von dieser Maschine in einem Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] verrichtet wird, mithilfe eines bestimmten Integrals der Funktion P dar! Stellen Sie den Wert des Integrals für ein beliebiges (frei wählbares) Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] im obigen Diagramm grafisch dar! Leitfrage: Berechnen Sie die Arbeit, die von dieser Maschine in den ersten 100 Betriebsstunden geleistet wird! Geben Sie auch an, wie viel Arbeit die Maschine in diesem Zeitraum mehr verrichten würde, wenn ihre Leistung konstant auf dem Anfangswert bliebe! Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Leistung einer Maschine Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Die von einer Maschine in einem Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] verrichtete Arbeit kann durch den Ausdruck P(t)dt dargestellt werden. t 2 t 1 Die Darstellung der Arbeit im Diagramm entspricht der Fläche unter der Kurve im Intervall [t 1 ; t 2 ]. Exemplarisches Diagramm für [80 000; ]: P(t) in Watt P t in Sekunden Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Darstellung angegeben wird. Äquivalente Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu werten. Auch die Darstellung als Fläche muss erfolgt sein. Lösungserwartung zur Leitfrage: t t W( ) = P(t)dt = 0, , t Joule 2, Joule = 20,3 Gigajoule Bei konstanter Leistung von Watt über 100 Stunden würden Joule Arbeit verrichtet. Der Unterschied beträgt also ungefähr 8 Gigajoule. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Werte korrekt berechnet werden. Toleranzintervall für W( ): [20 GJ; 21 GJ] Toleranzintervall für den Unterschied: [8 GJ; 9 GJ] Anmerkung: Eine Angabe in Joule reicht, das Umrechnen in GJ oder eine Angabe in Zehnerpotenzen ist nicht notwendig. Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Schulweg Lisa fährt manchmal mit dem Fahrrad und manchmal mit dem Bus zur Schule. Sie notiert über einen bestimmten Zeitraum die Zeiten (in Minuten), die sie für den Schulweg benötigt. Damit erhält sie folgende Liste: Bus Fahrrad Aufgabenstellung: Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die (empirische) Standardabweichung für die Fahrzeit mit dem Bus! Leitfrage: Für die Fahrzeit mit dem Fahrrad wurden die entsprechenden statistischen Kennzahlen ermittelt: Das arithmetische Mittel beträgt 20,5 Minuten, die Standardabweichung 0,9 Minuten. Vergleichen Sie die für den Bus ermittelten statistischen Kennzahlen (arithmetisches Mittel und Standardabweichung) mit den angegebenen Werten der Fahrzeit mit dem Fahrrad. Begründen Sie, warum sich die Standardabweichungen so stark unterscheiden, und geben Sie eine mögliche Erklärung dafür an! Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Schulweg Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: arithmetisches Mittel: 17,25 Minuten Standardabweichung 11 Minuten Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Kennzahlen richtig berechnet werden. Toleranzintervall für das arithmetische Mittel: [17; 17,3] Toleranzintervall für die Standardabweichung: [10,9; 11,9] Lösungserwartung zur Leitfrage: Die Standardabweichung der Busfahrzeiten ist deutlich größer als die der Radfahrzeiten, weil die Daten der Busfahrzeiten stärker um das arithmetische Mittel streuen. Der Ausreißer 45 macht diese Abweichung noch deutlicher. Die große Schwankung der Busfahrzeiten kann mit der unterschiedlichen Verkehrslage und der Abhängigkeit der Fahrzeit davon erklärt werden. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine (sinngemäß) richtige Begründung und eine richtige Erklärung genannt werden. Kompensationsprüfung 5 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13