Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1

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1 Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1 Seite 1 Lineare Funktionen ohne Parameter: 1. Die Gerade g ist durch die Punkte A ( 3 4 ) und B( 2 1 ) festgelegt, die Gerade h durch die Punkte C ( 5 3 ) und D ( -2-2 ). a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von g und h b) Wo schneiden g und h die x- bzw. y-achse c) Welche y - Koordinate muss gewählt werden, damit der Punkt P ( 5 y P ) auf g liegt? d) Welche x - Koordinate muss gewählt werden, damit der Punkt Q ( x Q 3 ) auf h liegt? e) Wo schneiden sich die Geraden g und h? Überprüfen Sie das Ergebnis auch zeichnerisch. 2. Gegeben sind die Geraden g: y = 3x + 4 und h, wobei h durch die Punkte Q ( -1 0 ) und P ( 5 3) verläuft. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Stellen Sie die Funktionsgleichung von h auf. c) Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und h. d) Ermitteln Sie den Neigungswinkel der beiden Geraden. 3. Vorgegeben sind die Punkte A ( -2 1 ) und S ( 1 2). Dabei ist S der Schnittpunkt zweier Geraden g und h. a) Die Gerade g verläuft außerdem durch den Punkt A. Stellen Sie die Funktionsgleichung von g auf. b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen. c) Die Gerade h hat eine Nullstelle bei x = 3. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von h. d) Stellen Sie die Geradengleichung der Geraden h* auf, wobei h* parallel zu h verläuft und den Punkt A enthält. e) Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt B ( ) oberhalb, unterhalb, oder auf g liegt.

2 Seite 2 Lineare Funktionen mit Parameter: 4. Gegeben ist das Geradenbüschel b m : y = m ( x - 2 ) + 3. a) Für welchen Wert von m enthält die Gerade b m den Punkt P ( 1 2 )? b) Berechnen Sie sämtliche Nullstellen der Büschelgeraden. Gibt es Geraden aus dem Büschel, die keine Nullstellen besitzen? Lässt sich das rechnerisch erkennen? c) Geben Sie die Funktionsgleichung derjenigen Büschelgeraden an, die senkrecht zu Büschelgerade b 0,5 steht. d) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Punkt P ( 3 2 ) auf allen Geraden der Schar g k liegt. Welche besondere Rolle nimmt demnach P in Bezug auf die Geradenschar ein? e) Wie muss k gewählt werden, damit g k durch den Punkt ( 1 4 ) verläuft? f) Gehört die Gerade g: 5x - y - 23 = 0 zu der gegebenen Geradenschar? 5. Gegeben sind die Geradenscharen g k : y = kx k und h k : y = x - k a) Berechnen Sie die Nullstellen der Geraden g k in Abhängigkeit von k. Führen Sie bezüglich k eine Fallunterscheidung durch und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse geometrisch. b) Zeigen Sie, dass der Punkt P ( 1 3 ) auf allen Geraden der Schar g k liegt. Welche besondere Rolle nimmt demnach P in Bezug auf die Geradenschar ein? c) Beschreiben Sie die Lage der Schar der Geraden h k möglichst genau in eigenen Worten. d) Berechnen Sie die Schnittstellen der beiden Geradenscharen. Diskutieren Sie eventuelle Sonderfälle in Abhängigkeit von k und interpretieren Sie diese geometrisch.

3 Seite 3 Anwendungsaufgaben: 6. Vier Anbieter für Internetanschlüsse legen folgende Angebote vor: Angebot 1: 4,90 Grundgebühr / Monat und 0,49 / Stunde Angebot 2: 9,90 Grundgebühr / Monat und 0,09 / Stunde Angebot 3: 49,00 Grundgebühr / Monat und 0,00 / Stunde Angebot 4: 0,00 Grundgebühr / Monat und 0,01 / Minute a) Erstellen Sie alle Funktionsgleichungen der Kostenfunktionen b) Zeichnen Sie die vier Kostenfunktionen in ein Diagramm ein c) Entscheiden Sie rechnerisch, welches Angebot Sie wählen, wenn Sie monatlich 20 Stunden das Internet nutzen wollen. 7. Für verschiedene Volumina V in Liter (l) und das zugehörige Gewicht in kg von Heizöl wurden folgende Werte gemessen: V in l 0, ,5 5 m in kg 0,41 0,83 1,66 2,91 4,15 a) Stellen Sie m in Abhängigkeit von V graphisch dar. Entscheiden Sie, ob zwischen diesen Größen eine direkte Proportionalität besteht. b) Berechnen Sie den Quotienten für die Messwertepaare aus der Wertetabelle. Was stellen Sie fest? Welche Einheit und welche physikalische Bedeutung haben diese Quotienten?

4 Seite 4 Lösungen 1. a) m g = = = =5 Einsetzen von A in g: 4 = 5 * 3 + t t = -11 => g: y = 5 x - 11 Steigung von h: m h = ( ) = = = Einsetzen von D in h: - 2 = ( 2)+ t = => h: y = b) Wegen g(0) = -11 ist S y ( 0-11 ) der Schnittpunkt von g mit der y-achse; der Schnittpunkt mit der x-achse ergibt sich über die Nullstelle von g: g(x) = 0 5x - 11 = 0 x = Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten S x ( 0 ). Für h gilt S y ( 0 - ). Nullstelle von h: x - = 0 *7 - x - 16 = 0 x = -16 => S x (-16 0 ) c) x P in g einsetzen: y P = g(5) = 5 * 5-11 = 14 => P ( 5 14 )

5 Seite 5 d) y P = 3 in h einsetzen: 3 = = - x -16 x Q = -37 => Q (-37 3 ) e) Ansatz: g(x) = h(x) 5x - 11 = * 7 35x - 77 = - x x = 61 x S = = - 1,69 Eingesetzt in g: y S = 5 * - 11 = - = - 2,53 => ungefährer Schnittpunkt von g und h: S ( 1,69-2,53 ) graphische Lösung:

6 Seite 6 2) a) Schnittpunkt mit der y - Achse: g(0) = 4 => S y ( 0 4 ) Schnittpunkt mit der x - Achse: g ( x ) = 0 3x + 4 = 0 x = - => S x ( - 0 ) b) Steigung von h: m h = () = Einsetzen von Q in h: 0 = *(- 1) + t t = => h : y = x + c) Schnittpunkt: g(x) = h(x) 3x + 4 = x + x = -1,4 => Schnittpunkt S (-1,4-0,2) d) m g = 3 => a = 71,6 m h = => a = 26,6 3) a) Steigung von g: m g = t = => g : y = x + = ( x + 5)

7 Seite 7 b) Schnittpunkt mit der y-achse S y ( 0 ) Schnittpunkt mit der x - Achse S X (-5 0 ) c) h: y = -x + 3 d) h* : y = - x + t (gleiche Steigung wie h wegen Parallelität zu h) Einsetzen von A in h* ergibt t = -1, also h*: y = -x-1 e) Es wird berechnet, welchen Funktionswert g an der Stelle x = 200 hat: g(200) = 68,33 Der Punkt B liegt also höher als die Gerade g 4. a) g 1 : y = x - 1 g 2 : y = 2x - 4 Schnittpunkt x -1 = 2x - 4 x = 3 Einsetzen in eine der Gleichungen => y = 2 => S ( 3 2 ) b) Zeichnung:

8 Seite 8 c) P in g K einsetzen: 2 = k * k 2 = 2 (wahre Aussage, das Ergebnis ist unabhängig von k) Damit liegt P auf allen Geraden. P ist der Fixpunkt des Geradebüschels d) Ansatz: g k (x) = 0 kx + 2-3k = 0 Fallunterscheidung: Fall 1: 0 x = 3 - Für 0 liegt bei x = 3 - eine Nullstelle vor. Fall 2: k = 0 0 = -2(falsche Aussage) Für k = 0 besitzt g k keine Nullstelle; g 0 ist parallel zur x-achse e) ( 1 4 ) einsetzen in g k 4 = k + 2-3k k = -1 Der Punkt liegt auf der Geraden g -1 f) g wird nach y aufgelöst: y = 5x -23 Nun wird geprüft, ob sich diese Geradengleichung für ein bestimmtes k ergibt. Das k müsste, damit zumindest die Steigungen übereinstimmen gleich 5 sein. Dann sind aber die y-achsenabschnitte verschieden. g 5 : y = 5x g ist damit keine Gerade der Schar g k. 5) Nullstellen von g k : g k (x) = 0 kx k = 0 Fall 1: 0 x = =1 Für 0 liegt bei x = 1 eine Nullstelle vor.

9 Seite 9 Fall 2: k = 0 0 = -3 (falsche Aussage) Für k = 0 besitzt g k keine Nullstelle; g 0 ist parallel zur x-achse b) P einsetzen in g k 3 = k k 3 = 3 (wahre Aussage, immer gültig) damit ist P der Fixpunkt des Büschels c) Aus der Darstellung h k : y = x - k liest man direkt ab: Es handelt sich um lauter parallele Geraden mit der Steigung 1. d) Ansatz: g k (x) = h k (x) (k-1)x = -3 => Fallunterscheidung Fall 1: 1 (k-1)x = -3 x = Fall 2: k = 1 Hier ist der Faktor ( k -1 ) gleich null. Die Gleichung lautet dann: 0 = -3 (falsche Aussage) => für k = 1 gibt es keinen Schnittpunkt, in diesem Fall sind g 1 und h 1 parallel. 6. a) K 1 : y = 0,49x + 4,9 K 2 : y = 0,09x + 9,9 K 3 : y = 49 K 4 : y = 0,6x (Vorsicht: 0,01 pro Minute, d.h. 60cent pro Stunde!) b) Zeichnung: c) Es wird für das x überall 20 eingesetzt für die Nutzungsdauer. => Anbieter 2 ist der günstigste 11,70 Euro. (Anbieter 1: 14,7, Anbieter 3: 49, Anbieter 4: 12 )

10 Seite 10 6.a) Zeichnung Da die Messpunkte auf einer (gedachten) Ursprungsgeraden liegen, sind m und V direkt proportional zueinander. b) V in l 0, ,5 5 m in kg 0,41 0,83 1,66 2,91 4,15 0,82 0,83 0,83 0,830 0,83 Die Quotienten sind (im Rahmen der Messgenauigkeit) konstant. Es gilt also m = 0,83 * V, d.h. es liegt direkte Proportionalität vor. Physikalisch entspricht der Quotient der Dichte eines Stoffes. Da diese Dichte hier kleiner als 1 ist, schwimmt Heizöl auf dem Wasser, dass eine Dichte von 1 hat.