Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A

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1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f a heißt K a a) Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von K exakt Zeichnen Sie K Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K, der y-achse und der Normalen im Wendepunkt von K eingeschlossen wird ( Punkte) b) Welche Parallelen zur Geraden mit y = x berühren K? ( Punkte) c) Beschreiben Sie den Verlauf des Schaubildes K a in Abhängigkeit von a (6 Punkte) d) Bestimme Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Kurvenschar Beschreiben Sie die Lage der Tiefpunkte der Kurvenschar Begründen Sie, dass alle Wendepunkte oberhalb der x-achse liegen ( Punkte) e) Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f a für einen bestimmten Wert von a Bestimmen Sie diesen Wert von a Begründen Sie Ihre Entscheidung ( Punkte) f) Gegeben ist die Funktion g mit g(x) =, x e,x mit x Ermitteln Sie die Stelle, an der die Funktionswerte von f und g am stärksten voneinander abweichen Wie groß ist die maximale Abweichung? ( Punkte)

2 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe B Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = x + cos(x) mit x R K ist das Schaubild von f a) Zeigen Sie, dass K symmetrisch zur y-achse ist Bestimmen Sie für K die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Hoch- und Tiefpunkte im Bereich - < x < Zeigen Sie, dass K für - < x < genau vier Wendepunkte hat Zeichnen Sie K ( Punkte) b) Das Schaubild der Funktion h mit h (x) = x, x R schneidet K im Bereich - < x < vier Mal, dh es gibt drei Flächenstücke zwischen K und dem Schaubild von h Berechnen Sie die exakten Inhalte dieser drei Flächenstücke mit Hilfe von Stammfunktionen Es gilt: ( f(x) h(x))dx = Interpretieren Sie dies im Hinblick auf die von K und dem Schaubild von h im Intervall ; eingeschlossene Fläche ( Punkte) c) K soll im Bereich x durch das Schaubild einer Polynomfunktion möglichst niedrigen Grades angenähert werden Man geht davon aus, dass das gesuchte Schaubild die Extrempunkte P(-,/-,); Q(/) und R(,/-,) hat Bestimmen sie den Funktionsterm (6 Punkte) d) Zeigen Sie, dass K keine Extrempunkte im Bereich x hat ( Punkte) e) In der folgenden Abbildung sind die Schaubilder von zwei Funktionen dargestellt Bestimmen Sie dazu passende Funktionsterme und beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise ( Punkte)

3 wwwmathe-aufgabencom Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Lösung Aufgabe A f (x) = x (x ) = x (x x+ 6) = (x x + 6x) f (x) = (x 6x+ 6) f (x) = (6x 6) und f (x) = 6= Wendepunkte: f (x) = (6x 6) = x= 6 f ( ) WP( / ) 7 Zeichnung für a = und für die Flächenberechnung: Für die Berechnung der Fläche muss die Gleichung der Normalen im WP aufgestellt werden: Steigung der Tangente im Wendepunkt: f ( ) = Aus mnorm mtang = ergibt sich m Norm = = 6 Aus der Punkt-Steigungs-Form folgt: y = (x 7 ) y= Achtung: Die beschriebene Fläche in der Aufgabenstellung ist nicht eindeutig Es könnte sowohl nach dem Inhalt der dunkleren Fläche in obigem Schaubild gefragt sein als auch nach der helleren Fläche 9 Berechnung der hellen Fläche: ( f(x) ( x ))dx 6, mit Hilfe des GTR 7 x 9 7

4 Berechnung der dunklen Fläche: Linke Schnittstelle der Normalen und dem Schaubild von f(x): x=,967 (GTR) Daraus folgt:,967 9 (f(x) ( x ))dx,6 7 b) Die Steigung der Geraden ist c) Tangentensteigung ist m= Gesucht ist ein Punkt auf K, dessen f (x) = (x 6x+ 6) = x 6x+ 6= x 6x+ = Mit Hilfe des GTR oder mit der Mitternachtsformel folgt daraus x = oder x=, 9 Daraus ergeben sich die Berührpunkte B (/ f()) = (/ ) und B ( / ) 6 Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form ergeben sich die gesuchten Geraden: 9 g : y = (x ) y= x+ und 69 g : y = (x ) y= x 6 Mit Hilfe einer Skizze mit dem GTR für verschiedene Parameterwerte für a kann man aus den Scharkurven entnehmen: Alle Scharkurven verlaufen durch O(/) und besitzen an der Nullstelle P(a/) einen Tiefpunkt (doppelte Nullstelle) Die Scharkurven verlaufen nur im und im Quadrant Für x strebt f (x) Für x strebt f (x) Die Scharkurven haben im Quadrant noch einen Hochpunkt zwischen den beiden Nullstellen Zwischen Hoch- und Tiefpunkt liegt ein Wendepunkt

5 d) Um die Ortskurve der Hochpunkte zu berechnen, muss zunächst der allgemeine Hochpunkt der Kurvenschar berechnet werden fa (x) = x (x ax+ a ) = (x ax + a x) a a fa (x) = (x ax+ a ) und f a (x) = (6x a) a a Notwendige Bedingung für einen Hochpunkt: f a (x) = a± 6a a a± a (x ax+ a ) = x ax+ a = x, = = a 6 6 Daraus ergibt sich x = a und x = a Da bei x = a die doppelte Nullstelle mit dem Tiefpunkt vorliegt, kann der Hochpunkt nur bei x = a sein Kontrolle mit hinreichender Bedingung: f a ( a) = (a a) <, also Hochpunkt a f a( a) = a ( a a) = a = a, also HP( a / a ) a Ortskurve der Hochpunkte: x = a a= x Eingesetzt in den y-wert des Hochpunktes ergibt sich Ortskurve der Hochpunkte y = (x) = x und dies ist die 7 Alle Tiefpunkte T(a/) der Kurvenschar liegen auf der x-achse Der Wendepunkt einer Scharkurve liegt zwischen dem Tiefpunkt und dem Hochpunkt Da der Tiefpunkt auf der x-achse liegt und der Hochpunkt oberhalb der x-achse (der y- Wert des Hochpunktes ist für jeden Wert von Parameter a positiv), muss auch der Wendepunkt oberhalb der x-achse liegen (Man könnte auch alternativ die allgemeinen Koordinaten des Wendepunktes berechnen Dies wäre WP ( a / a ) Da der y-wert des Wendepunktes für alle Parameterwerte a 7 immer positiv ist, liegt er oberhalb der x-achse) e) Die Ableitungsfunktion schneidet an den Stellen die x-achse, an denen das Schaubild von f einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt (Extrempunkt oder Sattelpunkt) Aus dem Schaubild kann nun entnehmen, dass die Ableitungsfunktion die x-achse bei x = und x = schneidet Hierbei entspricht die Stelle x = dem Hochpunkt von Schaubild f (Vorzeichenwechsel von + nach -) und x = dem Tiefpunkt von Schaubild f (VZW von nach +) a a Da der allgemeine Hochpunkt den x-wert hat, gilt = a = Der allgemeine Tiefpunkt hat den x-wert a, also gilt auch hier a =

6 f) Die Schaubilder der beiden Funktionen g und f für x ergibt mit dem GTR folgendes: Daran erkennt man, dass in diesem Intervall mal das eine, mal das andere Schaubild oberhalb liegt Wenn das Schaubild von f oberhalb von g liegt, ist der senkrechte Abstand d(x) = f(x) g(x) Wenn das Schaubild von g oberhalb von f liegt, ist der senkrechte Abstand d(x) = g(x) f(x) Nun gibt es zwei Möglichkeiten: ) Man arbeitet mit der Betragsfunktion d(x) = f(x) g(x) und untersucht das Schaubild von d(x) (abgespeichert unter Y) auf Hochpunkte mit Hilfe des GTR Die maximale Abweichung befindet sich an der Stelle x =, und die Abweichung beträgt,9 ) Man arbeitet mit der Funktion d(x) = f(x) g(x) und untersucht das Schaubild von d(x) (abgespeichert unter Y) auf Hoch- und Tiefpunkte mit Hilfe des GTR Der y-wert des höchsten Punktes des Schaubildes beträgt,9 an der Stelle x =, Der tiefste Punkt befindet sich an der Stelle x =, mit y = -,7 Also ergibt sich als maximale Abweichung,9 6

7 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Lösung Aufgabe A a) Symmetrie zur y-achse liegt vor, wenn gilt: f ( x) = f(x) Kontrolle: f( x) = ( x) + cos( x) = x + cos(x) = f(x) (Hinweis: Es gilt allgemein cos( x) = cos(x) ) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: y-achse: f () =, also ( /) x-achse: S y Mit Hilfe des GTR und aus Symmetriegründen ergeben sich folgende Schnittpunkte: N (,9 / ), N (, / ), N (, / ) und N (,9 / ) Aus dem GTR-Schaubild lassen sich ebenfalls die Extrempunkte entnehmen: HP(/) und TP(,/-,) und TP(-,/-,) Wendepunkte: f (x) = x sin(x) und f (x) = cos(x) Notwendige Bedingung für Wendepunkt: f (x) = Hinreichende Bedingung: f (x) oder Vorzeichenwechsel bei f (x ) Aus dem GTR-Schaubild für f (x) kann man Nullstellen für - < x < entnehmen: Da diese Nullstellen des Schaubildes von f alle einen Vorzeichenwechsel haben, liegen an allen Stellen des Schaubildes von f auch Wendepunkte vor 7

8 Zeichnung von K: b) Für die Berechnung der Fläche müssen die Schnittpunkte der Schaubilder ermittelt werden: f(x) = h(x) cos(x) = x = + k x = + k für k Z Für k = ergibt sich x = und für k = ergibt sich x = und für k = - ergibt sich x = Da die Flächen links und rechts der y-achse gleich groß sind, ergibt sich: A = cos(x)dx (f(x) h(x))dx + (h(x) f(x))dx = cos(x)dx + = sin(x) sin(x) = ( ) + ( ( ) ( ) ) = + Jedes dieser drei Flächenstücke hat den Inhalt, der Gesamtflächeninhalt beträgt somit A =

9 Das Integralwert von über dem Intervall ; bedeutet, dass die Fläche zwischen den Schaubildern der Funktionen f und h im Intervall ; genauso groß ist wie im Intervall ; c) Da die Polynomfunktion drei Extrempunkte hat, muss die erste Ableitung eine Funktion von mindestens Grad sein Also muss die Ausgangsfunktion einen Grad von mindestens haben Da die angegebenen Extrempunkte symmetrisch zur y-achse liegen, kann die Polynomfunktion ebenfalls als symmetrisch zur y-achse unterstellt werden Es kommen somit nur gerade Hochzahlen in der Polynomfunktion vor: Ansatz: p(x) = ax + bx + c mit p (x) = ax + bx Bedingungen: p(,) =,, a+, b+ c =, p () = c = p (,) =, Eingabe in den GTR: a+, b= Also p(x) =, x,96 x + d) Extrempunkte von K: f (x) = x sin(x) = sin(x) = x Für x ergibt die rechte Seite der Gleichung einen Wert, Da die Sinusfunktion jedoch maximal den Wert annehmen kann, ist die Gleichung für x nicht lösbar, also existiert für diesen x-bereich auch kein Extrempunkt e) Bei dem linken Schaubild handelt es sich um eine allgemeine Sinus- oder Kosinusfunktion Ansatz: y = a sin(b(x+ c)) + d Die Sinuskurve ist um nach unten verschoben, also d = - Die Amplitude beträgt a = Die Kurve ist nicht nach links oder rechts verschoben, also c = Die Periode des Schaubildes ist und aus der Formel p= folgt b = = b Also lautet die Funktionsgleichung y = sin( x) Bei dem rechten Schaubild handelt es sich um eine ganzrationale Funktion Grades, da das Schaubild drei Nullstellen besitzt Aufgrund der bekannten Nullstellen kann die Funktionsgleichung als Linearfaktorzerlegung dargestellt werden: y = a (x+ ) x (x ) Mit Hilfe des Punktes P(/-) kann nun a berechnet werden: = a ( ) a=, y =,(x + ) x (x ) 9