Mathematik im Berufskolleg II

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1 Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg II Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 6. Auflage 6 ISBN Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Merkur M Verlag Rinteln Umschlag: Adrian Schulz Foto: Mall of Berlin Bild Kreis links: Christian Schwier fotolia.com Bild Kreis rechts: Kirill Kedrinski fotolia.com

2 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite d) f(x) = cos(πx) + ; a = ; p = π π = ; = (Mittellinie) x e) f(x) = 6sin( ); a = 6; p = π = π; = π f) f(x) = cos( x) ; a = ; p = π = ; = π Lehrbuch Seite 7 6 a) sin(x) = sin(x) = WTR: x =,7 Mit Hilfe der Sinus-Kurve: x = π,7 =, Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π liegen nicht im gegebenen Intervall. Lösungen: x =,7;, b) sin(x) = WTR: x =, Mit Hilfe der Sinus-Kurve: x = π, =,8 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π liegen nicht im gegebenen Intervall. Lösungen: x =,; x =,8 c) sin(x) = 5 =,6 WTR: x =,6 z =,6 z =,6; z = π +,6 =,78 Mit z = x: x =,;,89 Weitere Lösungen im gegebenen Intervall durch Addition der Periode p =π: x =, + π =,8; x =,89 + π = 5,; x =, + π = 5,96

3 Lehrbuch Seite a) cos(x) =,5 WTR: x = π Wegen Smmetrie zur -Achse: x = π Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x = π + π = π x = π + π > 6,5 Lösungen: π ; π b) cos(x) = WTR: x = Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x = π Lösungen: x = ; π c) cos(x) = WTR: x =,8 Wegen Smmetrie zur -Achse: x =,8 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x =,8 + π =,6 x =,8 + π >6,5 Lösungen: x =,8;,6

4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 5 a) f (x) =,5 sin (x) +,5; x e [ ; π] f(x) = sin (x) = Nullstellen von f: π 6 ; 7 6 π; 6 π b) f(x) = sin (x) = Schnittstellen: x = π 6 ; x = 5 6 π π Schnittpunkte: S ( 6,5); S ( 5 6 π,5) c) f* (x) =,5 sin (x + ) +,5 S S =,5 K f 5 6 x Um nach links verschieben heißt x durch (x + ) ersetzen. Lehrbuch Seite 56 a) ( 7 7 ) ( ) ~ ( 5 x = ; x = ; x = ; Lösungsvektor: x = ( ) b) ( 5 ) ~ ( ) ~ ( 8 ) ~ ( 5 ) ) 5 x =,5; x = ; x = ; Lösungsvektor: x = (,5 )

5 5 Lehrbuch Seite 57 7 Es können x ME an W, x ME an W und x ME an W hergestellt werden. ( 8 ) ~ ( ) ~ ( ) x = 9; x = 88; x = 6; Lösungsvektor: x = ( ) Es können 6 ME an W, 88 ME an W und 9 ME an W hergestellt werden. Lehrbuch Seite 6 c) ( 6,5 ) ~ ( 8 6 6,5 ) ~ ( ) x = r; 8 x 6r = x = r; x + ( r) + 6r = x = + r; Lösungsvektor:,5 + r x = (,5 r r ) d) ( ) ( ~ x = r; 5 x 5r = 5 x = + r ) ~ ( ) x + 5( + r) r = x = 7r Lösungsvektor: x 7r = ( + r ) r

6 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 6 9 ( 5 ) ( ~ 6 ) ( ~ ) x = r; x + r = x = r x ( r) + r = x = r Lösungsvektor: r x = ( r ) r Einsetzen von x = ( 5 ) ergibt z. B. 5 = r und 8 = r 8 Es gibt also kein r, so dass x 5 = ( ) ein Lösungsvektor ist. 8 x + x + x = : r + r + r = r =,5 spezielle Lösung:,5 x = (,5 ),5 Lehrbuch Seite 66 Es werden x, x, x g der Präparate P, P, P genommen., x +, x +, x = LGS: x + x + x =, x +,5 x +,5 x =, LGS in Matrixform: (,5,5 ) ( ~ 5 5 ) x = ; 5 x + 5 = x = x + + = x = 5 Lösungsvektor: x = ( 5 ) Die Mischung enthält 5 g von P, g von P und g von P.

7 7 Lehrbuch Seite 7 f(x) = x x a) Mittlere Änderungsrate auf [; 5]: f(5) f() =,5 5 b) Sekante g durch P( ) und Q(5,75): g: =,5x 7,5 Schaubilder von f und g: 5 Graph von g Graph von f 5 waagrechte Tangente x c) Momentane Änderungsrate in x = : f( + h) f () = ( + h) ( + h) + = h h = + h + h 6 h + = h für h h Die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = ist null, waagrechte Tangente.

8 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 9 f(x) = x (x ) = x x ; f (x) = x x a) Tangente in W( ): f () = : Einsetzen in = mx + b: = + b b = = x + b) Stellen mit Steigung 9 Bedingung: f (x) = 9 x x = 9 Lösungen: x = ; x = Tangente in x = : Tangente in x = : = 9 x 7 = 9 x + 5 c) Stellen mit Steigung (negativer Kehrwert von,5) Bedingung: f (x) = Stellen: x = ; x = Tangente in x = : Tangente in x = : = x + 7 = x d) Punkte mit waagrechter Tangente Bedingung: f (x) = Stellen: x = ; x = Punkte: O( ); E( ) e) Stellen mit Steigung 5 (negativer Kehrwert von, = 5 ) Bedingung: f (x) = 5 Stellen: x = 5 ; x = Kurvenpunkte: P ( ); P ( 7 )

9 9 Lehrbuch Seite 9 6 f(x) = x x ; f (x) = x Steigung in x = : f () = Steigung entspricht einem Steigungswinkel von 5 (bzw. 5 ). Der Geländewagen kommt die Rampe wahrscheinlich nicht hoch. Lehrbuch Seite 9 Gemeinsame Punkte aus der Zeichnung oder durch Berechnung. f(x) = g(x) 8 ( x 6 x + ) = x 8 x x = Ausklammern: x ( 8 x + ) = Satz vom Nullprodukt: x = ; x = Berührpunkt in S( ): f() = g() = und f () = g () = Schnittpunkt in S( ): f( ) = g( ) = Lehrbuch Seite 97 und f ( ) =,5 g ( ) = 5 K C: K hat für < x < eine positive Steigung, C verläuft für < x < oberhalb der x-achse. K ist der Graph einer Polnomfunktion. Grades, C eine Parabel. G B: G ist steigend. Die Ableitungsfunktion hat keine Nullstelle, sie nimmt nur positive Werte an. H A: H hat in x,7 eine waagrechte Tangente. Die Ableitungsfunktion hat in x,7 eine Nullstelle. Die Steigung von H in x = ist ca., dies entspricht dem -Achsenabschnitt von A.

10 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 6 a) f (x) > Die Steigung des Graphen von f ist größer als, f ist streng monoton wachsend. Z. B. f(x) = x + x oder z. B. f(x) = x Graph von f x b) f (x) f ist monoton fallend. Graph von f Z. B. f(x) = e x der Graph von f kann z. B. auch eine Parallele zur x-achse sein. x c) f (x) ; ] f ist (streng) monoton wachsend. Steigungen zwischen und Z. B. f(x) = x + sin(x) Waagrechte Tangente in x = ± π oder z. B. f(x) =,5x d) f(x) [ ; ] Funktionswerte zwischen und Z. B. f(x) = cos(x) 5 Graph von f 5 5 x 5 5 Graph von f 5 5 x 5

11 Lehrbuch Seite 9 a) f (x) = x + x ; f (x) = x + ; f (x) = < Bedingung: f (x) = x + = x = f () < und f() = ergibt H( ). b) f (x) = x x; f (x) = x ; f (x) = 6x Bedingung: f (x) = x = x = ± Mit f ( ) = 6 < und f( ) = erhält man H( ) Mit f () = 6 > und f() = erhält man T( ) c) f (x) = ( e x x); f (x) = ( e x ); f (x) = e x Bedingung: f (x) = ( e x ) = x = Mit f () > und f() = erhält man T( ). d) f (x) = cos(x); x e ] ; 5[ ; f (x) = sin(x); f (x) = cos(x) Bedingung: f (x) = sin(x) = x = ; π; π;... Mit f () < und f() = erhält man H( ). Mit f (π) > und f(π) = erhält man T(π ). Hinweis: Kosinuskurve: H( ); T(π ) Das Schaubild von f erhält man durch Streckung von G: = cos(x) in -Richtung mit Faktor : H( ); T(π )

12 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 7 a) f (x) = 8 x x; f (x) = 9 8 x ; f (x) = 9 x W( ); f () = Wendetangente: = x b) f (x) = x x x + 5; f (x) = x 6x ; f (x) = 6x 6 W( ); f () = Wendetangente: = x + 6 c) f(x) = cos(x) ; < x < ; f (x) = sin(x); f (x) = 8cos(x) π Wendepunkte: W ( ); W π ( ) Wendetangente: = x + π = x π

13 Lehrbuch Seite 8 9 f (x) = für x = und x = : f hat zwei Stellen mit waagrechter Tangente; f ist eine Polnomfunktion. Grades f () = f (,9) < ; f (,)> Die Bedingungen bedeuten: Bei x = wechselt f (x) das Vorzeichen von minus nach plus, x ist Wendestelle. Bei x = liegt ein Krümmungswechsel von Rechtskurve zu Linkskurve vor. f ( ) < und f () > : Zwischen und liegt eine Minimalstelle (VZW von f (x) von /+) Tiefpunkt T( f()) x

14 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite Ansatz: f(x) = a x + b x + c x + d Ableitung: f (x) = a x + bx + c Bedingungen: geht durch den Ursprung: f() = d = durch A ( ): f() = : 8a + b + c + d = an der Stelle x = eine waagrechte Tangente: f () = a + b + c = In x = eine waagrechte Tangente: f () = 7a + 6b + c = LGS ( d = eingesetzt): 8a + b + c = In Matrixform: ( a = ; b = ; c = 9 ; d = A ist der Wendepunkt. a + b + c = 7a + 6b + c = 6 ) ~ ( 8 8 ) Funktionsterm: f(x) = x x + 9 x (Eine waagrechte Tangente in x = bzw. x = ergibt die Wendestelle x W =.) 5 f mit f(x) = asin(kx) + c Man liest ab: Amplitude a = keine Verschiebung in -Richtung: c = Periode p = π (Nullstellen bei und ± π ) also k = f(x) = sin(x) K f x

15 5 Lehrbuch Seite f (x) = a e x + b x; f (x) = a e x + b h (x) = x (x ) = x + x; h (x) = x + Bedingungen: f() = a e + b = h() = und f () = a e + b = h () = Gleichungssstem: a e + b = a e + b = Addition ergibt: b = b =,5 Einsetzen: a e +,5 = Ergebnis: a e =,5 e e e = a =,5e a =,5e; b =,5 und f(x) =,5e e x +,5 x

16 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 8 Abstand: d(x) = e x + x + ( x + ) = e x + x d'(x) = e x + ; d''(x) = e x > d'(x) = e x + = x = d''() = > d wird minimal für x =. Minimaler Abstand: d() = Randwertuntersuchung: d( ) = 5,9 d() =, Der minimale Abstand beträgt m. 6 Abstand: d(x) =, x,7x + 5,x d(x) =, x,7x + 5; x 7 Ableitungen: d (x) =, x,7; d (x) =, d'(x) =, x,7 = x =, Mit d (x) > gilt: d wird minimal für x =,. Minimaler Abstand: d(,) = 5,7 Randwertuntersuchung: d() = 5 d(7) = 8,86 Der minimale Abstand beträgt 5,7 m, die Vorschrift wird eingehalten.

17 7 Lehrbuch Seite h(t) = 8 8 e,5t ; h (t) =,8 e,5t Langfristig kann der Supermarkt mit 8 wöchentlich verkauften Tuben rechnen. Das Schaubild von h hat die Asmptote mit der Gleichung = 8. Momentane Änderungsrate in t = : h'() =,7; in t = : h'() =,7 Zu Beginn nimmt die Verkaufszahl um,7 Tuben pro Woche zu, nach Wochen ist die Zuwachsrate geringer, mit nur noch,7 Tuben pro Woche.

18 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite a) Ansatz: s(t) = a t + b t + ct + d; s (t) = a t + bt + c; s (t) = 6at + b Bedingungen: In t = sind Weg und Geschwindigkeit gleich null: s() = s () = v() = der Sprinter beschleunigt mit m/ s : s () = Bei t = 7,5 ist die Beschleunigung null: s (7,5) = LGS: d = c = b = b =,5 5a + b = Mit b =,5 ergibt sich a = 5 s(t) = 5 t + t ; v(t) = s (t) = 5 t + t b) Für t < 7,5 nimmt die Geschwindigkeit zu: s (t) > (Wendestelle t = 7,5) c) Laufzeit s(t) = für t =,89 (s) Z. B. mit einer verfeinerten Wertetabelle im WTR. 5 s in m 6 t in s d) Mittlere Geschwindigkeit: v =,9 = 8, Größte Geschwindigkeit: v (t) = s (t) = für t = 7,5; v max = v(7,5) =,5 Die größte Geschwindigkeit nach 7,5 s ist,5 m s.

19 9 Lehrbuch Seite 56 a) F (x) = sin( x) + c; F(π) = ergibt c = F (x) = sin( x) b) F (x) = x x + c; F() = ergibt c = F (x) = x x c) F (x) =,5 e x + x + x + c; F( ) = ergibt:,5 e + c = c =,5 e 6 + (= 6,6) F (x) =,5 e x + x + x +,5 e 6 + d) F (x) = x x + c; F() = ergibt c = F (x) = x x + e) F (x) = x 8 + π cos ( π x ) + c; F( ) = ergibt c = F (x) = x + 8 π cos ( π x ) Lehrbuch Seite 6 9 Nullstelle von f Extremstelle von F Graph von F A Graph von f x

20 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 76 a) Nullstellen: ; Skizze: - ( x )(x + )dx = - ( x x )dx = 9 A = 9 F(x) = x x x x b) Nullstellen: ; 6 Skizze: 6 ( x + x )dx = 7 F(x) = 6 x + x x c) Nullstellen: ; Skizze: ( x + x x )dx = 7 A = 7 x F(x) = 5 x 5 + x x

21 Lehrbuch Seite 78 8 Giebelrand: f(x) = 6 x x + Probe: f() = ; Smmetrie zur -Achse f(x)dx = [ x 5 6 x + x ] = 7,7 Fläche zum Streichen: 7,7 m Farbverbrauch: 5 cm 7,7 = 597,5 cm 597,5 c m =,99 Liter Es müssen mindestens Dosen Farbe geliefert werden. ( Dosen zu je 5 Liter reichen nicht.) Lehrbuch Seite 8 a) f(x) =,5( x ); g(x) =,5x kein Schnittpunkt K verläuft oberhalb von G (f(x) g(x)) dx =,67 ; A =,67 b) K: f(x) = x(x ); Normalparabelform G: g(x) = sin( π x) Schnittstellen: x = und x = K verläuft unterhalb von G auf [; ] (f(x) g(x)) dx =,88 A =,88

22 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 85 a) f(x) = x + ; g(x) = x + Schnittstelle von f und g: x = (f(x) g(x)) dx = 7 6 ; (f(x) g(x)) dx = 6 A = 7 6 b) f(x) = x x ; g(x) = x Schnittstellen von f und g: x = ; x = ± (f(x) g(x)) dx = + 6 = Wegen der Smmetrie der beiden Kurven zum Ursprung: A = 8 c) f(x) = cos(x) + ; g(x) = Schnittstellen von f und g: x = ±,5π,5π (f(x) g(x)) dx = Beide Kurven sind smmetrisch zur -Achse, die Fläche besteht aus drei gleichgroßen Teilen: A = = 6

23 Lehrbuch Seite 9 f(x) = 8 x x + ; f (x) = 8 x x; f (x) = x ; f (x) = a) Wendepunkt: f (x) = für x = f () ; f() = ergibt den Wendepunkt W( ); Mit f () = und Punktprobe mit W in = x + b: Wendetangente mit = x + 5 Fläche zwischen Wendetangente und Kurve: ( x + 5 f(x)) dx = ; A = 5 5 x b) f( ) = ; f(6) = ergibt Steigung m = = 8 Punktprobe mit (6 ) in =,5x + b ergibt b =. Gerade g mit g(x) =,5x + Schnittstellen: x = ; x = ; x = 6 (f(x) ( x + )) dx = 8 A = x c) Fläche setzt sich aus Flächenstücken zusammen. Dreiecksfläche: A = = f(x)dx =,5; A = +,5 = 5,5

24 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg II Lehrbuch Seite 9 Steigung der Tangente f'() = π Tangente t mit Steigung π durch ( ): t (x) = πx + Die Gerade mit = t (x) = πx + π + ist Tangente an K f an der Stelle x =, da m = f '() = π und ( ) liegt auf K f und auf der Geraden: f() = t () = Die Fläche ist smmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x =. ( t (x) f(x))dx = (πx + (sin( π x) + ))dx = (πx sin( π x))dx π = [ x π + π cos( x) ] = π π Flächeninhalt: A = ( π π )= π 8 π Lehrbuch Seite 97 a) (8 f(x))dx =,; A =, Der Wasserquerschnitt ist etwa dm groß. b) Höhe,5: Bedingung: f(x) =,5 x + x =,5 Durch Substitution erhält man: x = ± ( x = ± 5,9) (,5 f(x))dx = 9,7 Es fließen 9,7 = 6,6 % der maximalen Wassermenge.,

25 5 Lehrbuch Seite a) Schaubild einer Stammfunktion F von v mit F() =,5 F(t) =,5 e,5t + b) v(t) dt : Höhenzuwachs im. Jahr v(t) dt : Höhenzuwachs vom. bis zum. Jahr,5 + v(t) dt : Höhe nach Jahren Graph von F t Lehrbuch Seite 7 Entnahmegeschwindigkeit in m pro Stunde: f(x) = x x ; x a) f(x)dx = 5,67 Zwischen Uhr und Uhr werden dem Speicher 5,67 m Wasser entnommen. b) 8 5 f(x)dx = 5,67 5 f(x)dx gibt die Entnahme in den ersten 5 Stunden an. Zu Beginn sind 8 m im Speicher. Im Wasserspeicher sind nach 5 Stunden noch 5,67 m Wasser.