Mathematik im Berufskolleg

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1 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab. Auflage 06 ISBN Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Merkur M Verlag Rinteln Umschlag: Adrian Schulz Foto: Mall of Berlin Bild Kreis links: Christian Schwier fotolia.com Bild Kreis rechts: Kirill Kedrinski fotolia.com

2 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite a) Die Stelle wird mit x = bezeichnet. Funktionswert ist ein -Wert bzw. f(x)-wert. f() = b) Der zugeordnete -Wert ist 4, der Funktionswert f(x) ist 4. f(x) = 4 c) x =, = 5 Für schreibt man f(x). f() = 5 d) Funktionswert wird mit f(x) bezeichnet. f(x) = 4 e) Funktionswert wird mit f(x) bezeichnet. f(x) > 7 für alle x e R f) Stelle ist ein x-wert: x = 7 Der Funktionswert ist 9. f( 7) = 9 g) Der -Wert an der Stelle x = ist null. f() = 0 h) Funktionswert ist f(x). f(x) = 5 für alle x e R i) Koordinaten x und stimmen überein: = x Für schreibt man f(x). f(x) = x j) Schnittpunkt mit der -Achse: x = 0 -Wert ist 4 f(0) = 4

3 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 9 f(x) = 5 x ; x R a) Vergleich mit der Wertetabelle ergibt: 9 P( 5 0) liegt auf dem Schaubild von f: f( 9 5 ) = 0 Q( 0 ) liegt oberhalb des Schaubildes von f: f() = 4 < 0 R( 0 ) liegt unterhalb des Schaubildes von f: f( ) = 9 > 0 b) Ansatz: f(x) = Umformung: 5 x = 5 x = 5 x = Interpretation: Der Punkt P( ) liegt auf dem Schaubild von f. 9 c) f( ) = Da der neue Funktionswert an dieser Stelle sein soll, muss die Gerade um die Differenz ( 9 ) = verschoben werden. Verschiebung um nach oben: = 5 x + 5 d) Ansatz: f() = a = a Wert für a: a = Der Punkt P ( ) liegt auf der Geraden. Lehrbuch Seite Ansatz: G(x) = mx + b; x in ME und G(x) in GE Stückgewinn (Gewinn pro ME): m = 75 ( GE ME ) Bei ME Gewinn 50 GE entspricht dem Kurvenpunkt P( 50). Gewinnfunktion: Punktprobe mit P( 50): G(x) = 75x + b 50 = 75 + b b = 00 Gewinnfunktion G mit G(x) = 75x 00 Ansatz: G(x) = x 00 = 075 Produktionsmenge: x = 4,64 Bei einer Produktionsmenge von 4,64 ME ist der Gewinn 075 GE.

4 4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 6 Schnittpunkt mit der -Achse: f(0) = S (0 ) Schnittpunkt mit der x-achse: N(0,5 0) Begründung: Die Nullstelle liegt rechts von x = 0 (VZW der -Werte). Vergrößert sich x um, so vergrößert sich um. Vergrößert sich x um 0,5, so vergrößert sich um, also ist x = 0,5 eine Nullstelle und damit N(0,5 0). Funktionsterm bestimmen: Ansatz: = mx Punktprobe mit z. B. P( ): = m m = Funktionsterm: f(x) = x Varianten Aus der Tabelle lässt sich ablesen: Vergrößert sich x um, so vergrößert sich um, d.h. die Steigung der Geraden beträgt m =. Der -Achsenabschnitt ist b =. Funktionsterm: f(x) = x oder Steigung der Geraden: m = ( ) x x = 0 = -Achsenabschnitt: b = Funktionsterm: f(x) = x

5 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 8 a) Ansatz für G: g(x) = 4x + b G schneidet die x-achse in x = 4: g(4) = b = 0 b = 6 Gleichung von G: g(x) = 4x 6 b) H verläuft durch P( ) und schneidet die x-achse in x = : Ansatz: = mx + b Punktprobe mit P( ): m + b = Punktprobe mit N( 0): m + b = 0 4m = m = 0,5 Einsetzen ergibt b: 0,5 + b = b = 0,75 Gleichung von H: h(x) = 0,5x + 0,75 ( ) Variante: Bestimmung der Steigung aus P( ) und N( 0): m = 0 ( ) = 4 Punktprobe mit P( ) in = x + b: = b b = 4 Gleichung von H: h(x) = 4 x + 4

6 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 40 6 K: f(x) =,75x + 8 = 7 4 x + 8 a) Schaubild K von f b) G schneidet die -Achse in S(0,5) G schneidet die Gerade K senkrecht: m G = 4 7 k(x) = 4 7 x + Gleichsetzen: 7 x + 8 = x x + 4 = 6x x = 8 x = 4 5 Einsetzen ergibt: = f( 4 5 ) = 7 4 ( 4 ) + 8 = Schnittpunkt von G und K: S( 5 0 ) 4 S(,8,) K 8 x c) Ansatz für H: h(x) =,75x + b P(0 8) wird auf P*( 8) abgebildet. Punktprobe mit P*( 8) ergibt: 8 =,75 + b b = 4,5 Geradengleichung von H =,75x + 4,5 H schneidet die -Achse in 4,5. Variante: Verschiebung von K um nach rechts: h(x) = f(x ) =,75(x ) + 8 Ausmultiplizieren ergibt h(x) =,75x + 4,5 H schneidet die -Achse in 4,5.

7 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 7 Lehrbuch Seite 4 a) Aus der Abbildung: G hat die Steigung m = und geht durch (0 ). 4 (Steigungsdreieck mit den Eckpunkten (4 0), (0 0) und (0 )) Gerade G: g(x) = 4 x + Aus der Abbildung: H verläuft durch (0 4) und (4 ). H hat also die Steigung m = und geht durch (0 4). 4 Gerade H: h(x) = 4 x 4 Gleichsetzen: x + = 4 4 x 4 4 x + = x 6 6x = 8 x = 8 6 = 4 Einsetzen: = Schnittpunkt von G und H: S( 4 ) b) G: S x (4 0); S (0 ) 6 H: S x ( 0); S (0 4) Fläche mit der x-achse: A x = ( 6 4) = Fläche mit der -Achse: A = 4 7 = 49 Die Behauptung stimmt. c) g(,5) h(,5) =,875 (,875) = 4,75 Der Abstand der Punkte P und Q ist gleich der Länge der Strecke PQ. g(,5) h(,5) > 0: G verläuft oberhalb von H in x =, A Ax 4 G Q P G H H x x

8 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 55 5 = 0, x a) g(x) = 0, x b) g(x) = 0, x = f(x) Die gespiegelte Parabel G und die Ausgangsparabel sind gleich. = 0,x G x c) g(x) = 0, (x ) = 0,(x ) = 0,x Ersetze x durch (x ) G d) g(x) = 0, x 4 e) Streckung in -Richtung mit Faktor 5: = 5 0, x = 0,5 x Verschiebung um nach links: = 0,5( x + ) Verschiebung um,5 nach oben: = 0,x x G 4 = 0,x 4 5 = 0,5(x + ) +,5 8 7 G 4 56 x = 0,5x = 0,x x = 0,5( x + ) +,5 g(x) = 0,5( x + ) +,5

9 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 6 a) h (t) = 4 t + 5 t + ; t 0 h(t) = 0 4 t + 5 t + = 0 Lösung der Gleichung: t = 0, < 0; t =,88 Interpretation: Nach,88 s kommt der Pfeil auf dem Boden (h = 0) an Schaubild von h 0 4 t b) Abschusshöhe: h(0) = h(t) = 4 t + 5 t + = 4 t + 5 t = 0 t( 4 t + 5) = 0 Lösungen der Gleichung: t = 0 ; t =,75 Nach,75 s hat der Pfeil wieder die Höhe von m erreicht. Hinweis: Die Lösung t = 0 bedeutet, dass die Abschusshöhe m ist.

10 0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 67 4 G 6 K: f(x) = 0,5 x x + G: g(x) = x 8x + K ist nach unten geöffnet, verläuft durch S (0 ) K x S (0 ) legt die Achseneinteilung auf der -Achse fest. S(,5) legt die Achseneinteilung auf der x-achse fest. G ist nach oben geöffnet; G hat Normalparabelform G schneidet die x-achse u. a. in N( 0) 4 h Gerade h verläuft durch S (0 ) und P( ). (P ist gleichzeitig Schnittpunkt von h und K.) h hat also die Steigung m = und damit die Gleichung = x +. Schnittpunkte mit K durch Gleichsetzen: 0,5 x x + = x + Nullform: 0,5 x + x = 0 Ausklammern: x( 0,5x + ) = 0 zwei einfache Lösungen: x = 0; x = h schneidet K in 0 und. Schnittpunkte mit G durch Gleichsetzen: x 8x + = x + Nullform: x 6x + 9 = 0 Binomische Formel: (x ) = 0 doppelte Lösung = Berührstelle: x = h berührt G in B( ).

11 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 7 a) Berühren bedeutet doppelte Lösung x = x =. Ansatz mit Linearfaktoren: = a(x + ) (x + ) Punktprobe mit A( 5 7): 7 = a ( 5 + ) ( 5 + ) Parabelgleichung: 7 = a ( ) ( ) 7 a = 4 = 7 4 (x + ) = 7 4 ( x + 6x + 9) b) Einfache Nullstellen: x = ; x = Ansatz mit Linearfaktoren: = a(x ) (x + ) Punktprobe mit A( ): = a( ) ( + ) = a( ) a = Parabelgleichung: = (x ) (x + ) = x x c) Verschobene Normalparabel: a = Berührstelle x = bedeutet doppelter Faktor (x + ) Ansatz mit Linearfaktoren: = (x + ) (x + ) = (x + ) Parabelgleichung: = (x + ) d) Ansatz wegen der = x + 4x + 4 Smmetrie zur -Achse: = a x + c Punktprobe mit A( 0,5): a + c = 0,5 Punktprobe mit A( 5,5): 4a + c = 5,5 ( ) Addition: a = 6 Lösung des Gleichungssstems: a = ; c =,5 Parabelgleichung: = x +,5

12 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 75 4 a) K schneidet die x-achse in 0 und in 4. f(x) = 0 0,5 x + x = 0 K Ausklammern: x( 0,5x + ) = 0 einfache Nullstellen: x = 0; x = 4 Aus Smmetriegründen gilt x S = G x Einsetzen von x = in f(x) ergibt: f() = Scheitelpunkt: S( ) b) Ursprungsgerade H durch P hat die Steigung m = =. Gleichung von H: =,5x Gleichsetzen: 0,5 x + x =,5x Nullform: 0,5 x +,5x = 0 Ausklammern: x( 0,5x +,5) = 0 einfache Lösungen: x = 0; x = 0 Einsetzen in die Geradengleichung ergibt die Schnittpunkte: S (0 0); S (0 5) c) Gleichung der Parallelen zu H: =,5x + b Gleichsetzen ergibt: 0,5 x + x =,5x + b Nullform: 0,5 x +,5x b = 0 Vereinfachung: x 0x + 4b = 0 Bedingung für Berühren: D = 00 6b = 0 b = 6,5 doppelte Lösung für b = 6,5: x = 0 = 5 Gleichung der Parallelen: =,5x + 6,5 (Tangente an K) Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Berührpunkt: B(5,5) d) Der Scheitelpunkt der Parabel G muss auf der x-achse liegen, also Verschiebung um nach unten: g(x) = 0,5 x + x

13 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 76 8 f(x) = x + bx ; x, b R Das Schaubild K von f ist eine verschobene Normalparabel (a = ), nach oben geöffnet. K verläuft duch den Punkt S (0 ). Schaubild K ist eine nach unten geöffnete Parabel und somit kein Schaubild von f. Schaubild K ist keine verschobene Normalparabel. Vom Scheitelpunkt geht man nach rechts und (etwa) nach oben (a = ). K ist kein Schaubild von f. Schaubild K ist eine verschobene Normalparabel, vom Scheitelpunkt geht man nach rechts und nach oben (a = ). K verläuft durch den Punkt S (0 ). Punktprobe mit P( ): = + b Für b = ist K ein Schaubild von f. b =

14 4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 79 4 a) Nullstellen von f: f(x) = 0 5 x 9 + x = 0 Ausklammern: x( 5 x + 9 ) = 0 Einfache Nullstellen: x = 0; x =,8 Die Dicke des Diskus beträgt,8 cm. Scheitelkoordinaten: x S =,8 =,9 S = f(,9)= 5 (,9) 9 + (,9) S = 9, H 0 4 x Scheitelpunkt der Parabel: H(,9 9,05) Durchmesser: d = 9,05 = 8,05 Der Durchmesser beträgt 8,05 cm. b) Schnittstellen von Gerade und Parabel: 5 x 9 + x = Nullform und Vereinfachung: 0 x 76x + 65 = 0 76 ± 76 Lösung mit Formel: x = x = ± einfache Lösungen: x =,; x =,5 Die Dicke des Diskus an der Stoffgrenze beträgt,5cm, cm =, cm.

15 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 87 7 G(x) = x 4x a) G ist nicht punktsmmetrisch zu O. f() = 5; f( ) = 5 Die Bedingung für Punktsmmetrie f( x) = f(x) ist nicht erfüllt. G verläuft vom III. in den I. Quadranten. Verhalten für x + : f(x) + für x : f(x) b) H ist der höchste Punkt der Böschung. G ist smmetrisch zu P(0 ). Der tiefste Punkt (des Kanals) hat die Koordinaten x T,5 und T 5,08, denn,08 + =,08 und,08 = 5,08 Die größte Tiefe des Kanals beträgt 5,08 m.,6 H, x 4 5

16 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 9 7 A: Schaubild einer Polnomfunktion 4. Grades keine Smmetrie d. h. keine Parabel, nach oben geöffnet B: Schaubild einer Polnomfunktion. Grades, Smmetrie zur -Achse Parabelform C: Schaubild einer Polnomfunktion. Grades, Smmetrie zu P(0 ) D: Schaubild einer Polnomfunktion 4. Grades, Smmetrie zur -Achse Zwei Tiefpunkte" und ein Hochpunkt" Schaubild hat nicht die Form einer Parabel, ist somit kein Schaubild einer Polnomfunktion. Grades.

17 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 7 Lehrbuch Seite 97 a) Gleichung: x + 5 x = 4 x 4 x Nullform: x + x = 0 Ausklammern: x( + x )= 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder + x = 0 Mit + x 0 erhält man: x = 0 Lösung der Gleichung: x = 0 b) Gleichung: 5 ( x 0 x ) = 9 5 x ( 5) x 0 x = 9 x + 9x Nullform x 0 x + 9x = 0 Ausklammern: x( x 0 x + 9) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 0 x + 9 = 0 Lösungen: x = 0; x = 9; x = c) Gleichung: 8 ( x 0 x) = 0 8 x 0 x = 0 Ausklammern: x( x 0) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 0 = 0 Lösungen: x = 0; x = ± 0 d) Gleichung: 4 x = x 4 x 4 x = 8 x 6 x Nullform: x 8 x + 6 x = 0 Ausklammern: x( x 8 x + 6) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 8 x + 6 = 0 Lösungen: x = 0; x = 4

18 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 97 e) Gleichung: 9 x (x ) (x + 4) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x = 0 oder x + 4 = 0 Lösungen: x = 0; x = ; x = 4 f) Gleichung: x ( 4 x) = 0 8 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder 4 x = 0 Lösungen: x = 0; x = 4 g) Gleichung: x 0,5 x 4 = 0 Ausklammern: x( 0,5 x ) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder 0,5 x = 0 0,5 x = 0 Lösungen: x = x = 0; x = h) Gleichung: x 4 + x = 0 x 4 + x = 0 Ausklammern: x ( x + ) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x + = 0 Lösungen: x = 0; x 4 = i) Gleichung: ( x 4 x 48 x ) = 0 x 4 x 48 x = 0 Ausklammern: x ( x x 48) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x x 48 = 0 Lösungen: x = 0; x = 8; x 4 = 6

19 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 97 j) Gleichung: x 4 6 x + 9 x 8 = 0 6 x 4 8x + 8 x = 0 Ausklammern: x ( x 8x + 8) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 8x + 8 = 0 x 8x + 8 0, da D = 8 < 0 Lösung: x = 0 k) Gleichung: 0,4 x 4 x = 0,8 x 5 x 4 5x = 4 x 4 x Nullform: x 4 4 x 5x = 0 Ausklammern: x ( x 4 x 5) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 4 x 5 = 0 56 Lösungen: x = 0; x 4 = 4 4 ± l) Gleichung: x 4 = x x 4 = x Nullform: x 4 x = 0 Ausklammern: x ( x ) = 0 x Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x = 0 Lösungen: x = 0; x = ±

20 0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 08 5 Bogen: f(x) = 4 ( x 4 x + 5x 40) Probe: f() = 0; f(5) = 0 d.h. das Koordinatensstem kann wie abgebildet gezeichnet werden. Gebäudewand D P Bühnenrückwand Bühne Befestigungsseil B C x Mit f() = 5 ergibt sich P( 5). Gerade durch D(0 8) und P. Die Gerade hat die Steigung m =. Geradengleichung: = x + 8 Schnittpunkt mit der x-achse: Bedingung: = 0 0 = x + 8 x = 8 Die Gerade schneidet die x-achse in 8. Befestigungspunkt: C(8 0) Der Abstand des Punktes C vom Punkt B beträgt m.

21 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 Alle drei Nullstellen ; und 0 sind bekannt. Ansatz mit Produktform: f(x) = a(x + )(x )(x + 0) Für a < 0 verläuft der zugehörige Graph vom II. in das IV. Feld. Z. B.: a = f(x) = (x + )(x )(x + 0) Punktprobe mit P( 6): 6 = a( + )( )( + 0) 6 = a a = 6 Funktionsterm: f(x) = (x + )(x )(x + 0) 6 6 Gleichung der. Winkelhalbierenden: = x Punkte auf der. Winkelhalbierenden: A( ) und B( ) Ansatz: f(x) = x + b x + 4x + d Punktprobe mit A( ): + b 4 + d = Punktprobe mit B( ): 8 + 4b d = LGS: b + d = 4 4b + d = 4 ( ) Addition ergibt: b = 8 b = 6 Einsetzen von b = 6 in z. B: b + d = 4 ergibt: 6 + d = 4 d = 0 Ergebnis: b = 6 und d = 0 Funktionsterm: f(x) = x 6 x + 4x + 0

22 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 a) Der Wasserspiegel im Becken steigt in den ersten 6 s (Zuflussgeschwindigkeit positiv) und fällt von der 6. bis zur 9. Sekunde (Zuflussgeschwindigkeit negativ). b) Die ersten 6 Sekunden fließt Wasser in das Becken, danach wird Wasser entnommen. Nach 6 s befindet sich am meisten Wasser im Becken. Lehrbuch Seite 0 4 a) g(x) = f(x) + = e x + Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = ; b = b) g(x) = f(x) = e x Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = ; b = 0 c) g(x) = 0,5f(x) 6 = 0,5 e x 6 Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = 0,5; b = 6 d) g(x) = e (x ) = e x + = e e x Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = e ; b = 0 Bemerkungen: Eine horizontale Verschiebung lässt sich durch eine Streckung in -Richtung (Faktor e ) ersetzen (vgl. Potenzgesetze). Gemeinsame Eigenschaft: Alle Kurven haben eine waagrechte Asmptote.

23 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuchseite 5 K: f(x) = e x K verläuft vom. in das. Feld. Die Gerade mit = ist waagrechte Asmptote. Schnittpunkt mit der -Achse: S (0 ) Schnittpunkt mit der x-achse: S x ( 0,7 0) f( 0,70) 0,0 < 0; f( 0,69) = 0, > 0 VZW von f(x) zwischen 0,70 und 0,69. K entsteht aus dem Schaubild von g durch Spiegelung an der x-achse: = e x und Verschiebung um nach oben: = e x + = 4 5 K x

24 4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 4 5 a) Gleichung: e e 0,5x = 0 Umformung: e 0,5x = e Definition des Logarithmus: b) Gleichung: e 0,5x e = 0,5x = ln( e ) e x = ln( ) e x = 0 e x = e x = x = ln() x = ln() c) Gleichung: e x ( 5x) = 0 Satz vom Nullprodukt: e x = 0 5x = 0 wegen e x 0: 5x = 0 einzige Lösung: x = 5 d) Gleichung: e x = x = ln() x = ln() e) Gleichung: e 0,x + = 0 e 0,x + = 0,x + = ln() Mit ln() = 0: 0,x + = 0 x = 5

25 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 4 5 f) Gleichung: 0,5 e 0,5x = 0 0,5 e 0,5x = e 0,5x = 6 0,5x = ln(6) x = 4ln(6) g) Gleichung: ( + x) e x = 0 Satz vom Nullprodukt: + x = 0 e x = 0 + x = 0 wegen e x 0: x = (einzige Lösung) h) Gleichung: 8 e x = 7 e x 8 e x = 7 e x e x 8 e x e x = 7 7 Nullform: e x + 8 e x 7 = 0 Substitution: u = e x u + 8u 7 = 0 Lösung mit Formel: u = ; u = 7 Rücksubstitution: e x = x = 0 e x = 7 x = ln(7) Lösungen: x = 0; x = ln(7) i) Gleichung: e 0,5x = e x e 0,5x e x = 0 Ausklammern: e 0,5x ( e 0,5x ) = 0 Satz vom Nullprodukt: e 0,5x = 0 e 0,5x = 0 e 0,5x = 0 e 0,5x = wegen e 0,5x 0: e 0,5x = 0,5x = ln() einzige Lösung: x = ln()

26 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 44 b) Schnittpunkte von K und G Bedingung: f(x) = g(x) e x + 6 = 5 e x 5 e x Nullform: e x 5 e x + 6 = 0 Substitution: u = e x u 5u + 6 = 0 Lösung mit Formel: u = ; u = Rücksubstitution: e x = x = ln() e x = x = ln() Lösungen der Gleichung: x = ln(); x = ln() -Werte der Schnittpunkte: = g(ln()) = 5 e ln() = 5 = 0 = g(ln()) = 5 e ln() = 5 = 5 Schnittpunkte: S (ln() 0); S (ln() 5) c) Schnittpunkte von K und G Bedingung: f(x) = g(x) e x + x = x 5 x e x = 5 ( ) e x = 5 Definition anwenden: x = ln(5) : x = ln(5) ln(5) -Werte des Schnittpunktes: = 5 = ln(5) 5 ln(5) Schnittpunkt: S( ln(5) 5)

27 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 7 Lehrbuchseite 5 Reale Situation In einem See von der Größe 8 ha wachsen Seerosen. Reales Modell Die bedeckte Fläche nimmt wöchentlich um 0% zu. Anfangs sind 50 m der Oberfläche bedeckt. Annahme: Die Zunahme erfolgt exponentiell. Die bedeckte Fläche nach t Wochen (t = 0 entspricht dem Beginn der Messung) soll durch eine Funktion beschrieben werden. Mathematisches Modell: B(0) = 50; B(t): bedeckte Fläche in m Mit a =,0 ergibt sich: B(t) = 50,0 t Dieser Funktionsterm beschreibt die bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der Zeit t. Schreibweise mit e-basis mit,0 = e ln(,0) = e 0,64 Funktionsterm: B(t) = 50 e 0,64t Mathematische Lösung: Ansatz: B(t) = ,0 t = Logarithmieren: oder mit der Basis e:,0 t = 5, ln(,0) t = ln(5,) t =,9 Ansatz: B(t) = e 0,64t = Logarithmieren: Bewertung: e 0,64t = 5, 0,64 t = ln(5,) t = ln(5,) =,9 0,64 Die Wasserrose bedeckt die gesamte Fläche nach ca. 4 Wochen. Exponentielles Wachstum ist also nur in den ersten 4 Wochen möglich.

28 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuchseite 5 8 a) Jahr 009: t = 0 Jahr 09: t = 0 Anzahl der Einwohner: h(0) = 085,5 Zu Beginn des Jahres 09 sind ca Einwohner zu erwarten. b) h() 788, = h(0) 7500,0 =,057 oder e 0,05,057 Die jährliche Zunahme beträgt,6%. c) Verdoppelungszeit Bedingung: h(t) = 7500 e 0,05 t = 0,05 t = ln() t = ln() = 60,7 0,05 In etwa 60 Jahren kann man von einer Verdoppelung der Einwohnerzahl ausgehen.

29 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 54 Ansatz: g(t) = a 0 e kt ; t 0; a, k > 0 a) t = 0: g(0) = a 0 e k 0 = a 0 t = 0: g(0) = a 0 e 0k Aus g(0) = 0 folgt: a 0 = 0 a = 0 Aus g(0) = 6, folgt: a 0 e 0k = 6, a = 0 eingesetzt: 0 0 e 0k = 6, Auflösung nach k: 0 e 0k =,679 e 0k = 0,679 0 k = ln(0,679) k = ln(0,679) = 0, , 0 Funktionsterm: g(t) = 0 0 e 0, t b) Für t : g(t) 0 wegen e 0,t 0 Das Schaubild von g hat die waagrechte Asmptote mit der Gleichung = 0. Die Biomasse strebt gegen 0 0 Tonnen. c) 95 % von 0 = 9 Bedingung: g(t) = e 0, t = 9 0 e 0, t = e 0, t = 0, 0,t = ln(0,) t = 0 ln(0,),0 Die Zeit bis zur Verwertung beträgt etwa Jahre.

30 0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 75 d) f(x) = 4cos(πx) + ; a = 4; p = π π = ; = (Mittellinie) x e) f(x) = 6sin( ); a = 6; p = π = 4π; = π f) f(x) = cos( x) ; a = ; p = π = 4; = π Lehrbuch Seite 8 6 a) sin(x) = 0 sin(x) = WTR: x = 0,7 Mit Hilfe der Sinus-Kurve: x = π 0,7 =,4 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π liegen nicht im gegebenen Intervall. Lösungen: x = 0,7;,4 b) sin(x) = WTR: x = 0,4 Mit Hilfe der Sinus-Kurve: x = π 0,4 =,80 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π liegen nicht im gegebenen Intervall. Lösungen: x = 0,4; x =,80 c) sin(x) = 5 = 0,6 WTR: x = 0,64 z = 0,64 z = 0,64; z = π + 0,64 =,78 Mit z = x: x = 0,;,89 Weitere Lösungen im gegebenen Intervall durch Addition der Periode p =π: x = 0, + π =,8; x =,89 + π = 5,0; x = 0, + π = 5,96

31 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband Lehrbuch Seite 85 a) cos(x) = 0,5 WTR: x = π Wegen Smmetrie zur -Achse: x = π Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x = π + π = 4 π x = π + π > 6,5 Lösungen: π ; 4 π b) cos(x) = WTR: x = 0 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x = π Lösungen: x = 0; π c) cos(x) = 4 WTR: x =,8 Wegen Smmetrie zur -Achse: x =,8 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x =,8 + π = 4,46 x =,8 + π >6,5 Lösungen: x =,8; 4,46

32 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 90 4 a) f (x) = 0,5 sin (x) + 0,5; x e [ ; π] f(x) = 0 sin (x) = Nullstellen von f: π 6 ; 7 6 π; 6 π b) f(x) = sin (x) = Schnittstellen: x = π 6 ; x = 5 6 π π Schnittpunkte: S ( 6 0,5); S ( 5 6 π 0,5) c) f* (x) = 0,5 sin (x + ) + 0,5 S S = 0,5 K f x Um nach links verschieben heißt x durch (x + ) ersetzen. Lehrbuch Seite 0 a) ( ) ( ) ~ ( x = 4; x = ; x = ; Lösungsvektor: x = ( ) 4 b) ( 5 0 ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ) 0 5 x =,5; x = ; x = ; Lösungsvektor: x = (,5 )

33 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband Lehrbuch Seite 0 7 Es können x ME an W, x ME an W und x ME an W hergestellt werden. ( ) ~ ( ) ~ ( ) x = 90; x = 88; x = 60; Lösungsvektor: x = ( ) Es können 60 ME an W, 88 ME an W und 90 ME an W hergestellt werden. Lehrbuch Seite 08 c) ( ,5 ) ~ ( ,5 ) ~ ( ) x = r; 8 x 6r = x = 4 r; x + 4( 4 r) + 6r = 0 x = + r; Lösungsvektor: 0,5 + r x = ( 0,5 r r ) d) ( ) ( ~ x = r; 5 x 5r = 5 x = + r ) ~ ( ) x + 5( + r) r = 0 x = 0 7r Lösungsvektor: x 0 7r = ( + r ) r

34 4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 09 9 ( 5 ) ( ~ ) ( ~ ) 0 x = r; x + r = x = r x ( r) + r = x = r Lösungsvektor: r x = ( r ) r Einsetzen von x = ( 5 ) ergibt z. B. 5 = r und 8 = r 8 Es gibt also kein r, so dass x 5 = ( ) ein Lösungsvektor ist. 8 x + x + x = : r + r + r = r = 0,5 spezielle Lösung: 0,5 x = (,5 ) 0,5 Lehrbuch Seite Es werden x, x, x g der Präparate P, P, P genommen. 0, x + 0, x + 0, x = LGS: 0 x + 0 x + 0 x =00 0, x + 0,5 x + 0,5 x =, LGS in Matrixform: ( 0 0,5 0, ) ( ~ ) x = ; 5 x + 5 = 0 x = x + + = 0 x = 5 Lösungsvektor: x = ( 5 ) Die Mischung enthält 5 g von P, g von P und g von P.

35 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 7 4 f(x) = 4 x x a) Mittlere Änderungsrate auf [; 5]: f(5) f() =,5 5 b) Sekante g durch P( ) und Q(5,75): g: =,5x 7,5 Schaubilder von f und g: 5 4 Graph von g Graph von f 4 5 waagrechte Tangente x c) Momentane Änderungsrate in x = : f( + h) f () = 4 ( + h) ( + h) + = h h = + h + 4 h 6 h + = h 0 für h 0 h 4 Die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = ist null, waagrechte Tangente.

36 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 4 f(x) = 4 x (x ) = 4 x 4 x ; f (x) = 4 x x a) Tangente in W( ): f () = 4 : Einsetzen in = mx + b: = 4 + b b = 4 = 4 x + 4 b) Stellen mit Steigung 9 4 Bedingung: f (x) = x x = 9 4 Lösungen: x = ; x = Tangente in x = : Tangente in x = : = 9 4 x 7 4 = 9 4 x c) Stellen mit Steigung (negativer Kehrwert von,5) Bedingung: f (x) = Stellen: x = 4 ; x = Tangente in x = 4 : Tangente in x = : = x = x d) Punkte mit waagrechter Tangente Bedingung: f (x) = 0 Stellen: x = 0; x = Punkte: O(0 0); E( ) e) Stellen mit Steigung 5 (negativer Kehrwert von,4 = 5 ) Bedingung: f (x) = 5 Stellen: x = 5 ; x = Kurvenpunkte: P ( ); P ( 7 )

37 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 7 Lehrbuch Seite 6 6 f(x) = x x ; f (x) = x Steigung in x = 4: f (4) = Steigung entspricht einem Steigungswinkel von 5 (bzw. 45 ). Der Geländewagen kommt die Rampe wahrscheinlich nicht hoch. Lehrbuch Seite 9 Gemeinsame Punkte aus der Zeichnung oder durch Berechnung. f(x) = g(x) 8 ( x 6 x + ) = x 4 8 x 4 x = 0 Ausklammern: x ( 8 x + 4 ) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0; x = Berührpunkt in S(0 4): f(0) = g(0) = 4 und f (0) = g (0) = 0 Schnittpunkt in S( 0): f( ) = g( ) = 0 Lehrbuch Seite 4 und f ( ) = 4,5 g ( ) = 4 5 K C: K hat für < x < eine positive Steigung, C verläuft für < x < oberhalb der x-achse. K ist der Graph einer Polnomfunktion. Grades, C eine Parabel. G B: G ist steigend. Die Ableitungsfunktion hat keine Nullstelle, sie nimmt nur positive Werte an. H A: H hat in x,7 eine waagrechte Tangente. Die Ableitungsfunktion hat in x,7 eine Nullstelle. Die Steigung von H in x = 0 ist ca., dies entspricht dem -Achsenabschnitt von A.

38 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 48 6 a) f (x) > Die Steigung des Graphen von f ist größer als, f ist streng monoton wachsend. Z. B. f(x) = x + x oder z. B. f(x) = x Graph von f x b) f (x) 0 f ist monoton fallend. Graph von f Z. B. f(x) = e x der Graph von f kann z. B. auch eine Parallele zur x-achse sein. x c) f (x) 0; ] f ist (streng) monoton wachsend. Steigungen zwischen 0 und Z. B. f(x) = x + sin(x) Waagrechte Tangente in x = ± π oder z. B. f(x) =,5x d) f(x) [ 4; 4] Funktionswerte zwischen 4 und 4 Z. B. f(x) = 4 cos(x) 4 5 Graph von f x Graph von f x 5

39 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 54 a) f (x) = 4 x + x ; f (x) = x + ; f (x) = < 0 Bedingung: f (x) = 0 x + = 0 x = f () < 0 und f() = ergibt H( ). b) f (x) = x x; f (x) = x ; f (x) = 6x Bedingung: f (x) = 0 x = 0 x = ± Mit f ( ) = 6 < 0 und f( ) = erhält man H( ) Mit f () = 6 > 0 und f() = erhält man T( ) c) f (x) = ( e x x); f (x) = ( e x ); f (x) = e x Bedingung: f (x) = 0 ( e x ) = 0 x = 0 Mit f (0) > 0 und f(0) = erhält man T(0 ). d) f (x) = cos(x); x e ] ; 5[ ; f (x) = sin(x); f (x) = cos(x) Bedingung: f (x) = 0 sin(x) = 0 x = 0; π; π;... Mit f (0) < 0 und f(0) = erhält man H(0 ). Mit f (π) > 0 und f(π) = erhält man T(π ). Hinweis: Kosinuskurve: H(0 ); T(π ) Das Schaubild von f erhält man durch Streckung von G: = cos(x) in -Richtung mit Faktor : H(0 ); T(π )

40 40 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 6 4 a) f (x) = 8 x x; f (x) = 9 8 x ; f (x) = 9 4 x W(0 0); f (0) = Wendetangente: = x b) f (x) = x x x + 5; f (x) = x 6x ; f (x) = 6x 6 W( ); f () = 4 Wendetangente: = 4x + 6 c) f(x) = cos(x) ; 0 < x < ; f (x) = 4sin(x); f (x) = 8cos(x) π Wendepunkte: W ( 4 0); W π ( 4 0) Wendetangente: = 4x + π = 4x π

41 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 4 Lehrbuch Seite 6 9 f (x) = 0 für x = 0 und x = : f hat zwei Stellen mit waagrechter Tangente; f ist eine Polnomfunktion. Grades f () = 0 f (,9) < 0; f (,)> 0 Die Bedingungen bedeuten: Bei x = wechselt f (x) das Vorzeichen von minus nach plus, x ist Wendestelle. Bei x = liegt ein Krümmungswechsel von Rechtskurve zu Linkskurve vor. f ( ) < 0 und f () > 0: Zwischen und liegt eine Minimalstelle (VZW von f (x) von /+) Tiefpunkt T(0 f(0)) 4 4 x

42 4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 76 4 Ansatz: f(x) = a x + b x + c x + d Ableitung: f (x) = a x + bx + c Bedingungen: geht durch den Ursprung: f(0) = 0 d = 0 durch A ( ): f() = : 8a + 4b + c + d = an der Stelle x = eine waagrechte Tangente: f () = 0 a + b + c = 0 In x = eine waagrechte Tangente: f () = 0 7a + 6b + c = 0 LGS ( d = 0 eingesetzt): 8a + 4b + c = In Matrixform: ( a = ; b = ; c = 9 ; d = 0 A ist der Wendepunkt. a + b + c = 0 7a + 6b + c = ) ~ ( ) 0 Funktionsterm: f(x) = x x + 9 x (Eine waagrechte Tangente in x = bzw. x = ergibt die Wendestelle x W =.) 5 f mit f(x) = asin(kx) + c Man liest ab: Amplitude a = keine Verschiebung in -Richtung: c = 0 Periode p = π (Nullstellen bei 0 und ± π ) also k = f(x) = sin(x) K f x

43 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 4 Lehrbuch Seite 77 4 f (x) = a e x + b x; f (x) = a e x + b h (x) = x (x ) = x + x; h (x) = x + Bedingungen: f() = a e + b = h() = und f () = a e + b = h () = Gleichungssstem: a e + b = a e + b = Addition ergibt: b = b =,5 Einsetzen: a e +,5 = Ergebnis: a e = 0,5 e e e = a = 0,5e a = 0,5e; b =,5 und f(x) = 0,5e e x +,5 x

44 44 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 8 4 Abstand: d(x) = e x + x + ( x + ) = e x + x d'(x) = e x + ; d''(x) = 4e x > 0 d'(x) = 0 e x + = 0 x = 0 d''(0) = 4 > 0 d wird minimal für x = 0. Minimaler Abstand: d(0) = Randwertuntersuchung: d( ) = 5,9 d() =,4 Der minimale Abstand beträgt m. 6 Abstand: d(x) = 0,0 x,07x + 5 0,x d(x) = 0,0 x,7x + 5; 0 x 70 Ableitungen: d (x) = 0,04 x,7; d (x) = 0,04 d'(x) = 0 0,04 x,7 = 0 x = 0, Mit d (x) > 0 gilt: d wird minimal für x = 0,. Minimaler Abstand: d(0,) = 5,7 Randwertuntersuchung: d(0) = 5 d(70) = 8,86 Der minimale Abstand beträgt 5,7 m, die Vorschrift wird eingehalten.

45 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 45 Lehrbuch Seite 86 4 h(t) = e 0,5t ; h (t) = 4,84 e 0,5t Langfristig kann der Supermarkt mit 84 wöchentlich verkauften Tuben rechnen. Das Schaubild von h hat die Asmptote mit der Gleichung = 84. Momentane Änderungsrate in t = : h'() =,7; in t = 0: h'(0) =,7 Zu Beginn nimmt die Verkaufszahl um,7 Tuben pro Woche zu, nach 0 Wochen ist die Zuwachsrate geringer, mit nur noch,7 Tuben pro Woche.

46 46 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 89 a) Ansatz: s(t) = a t + b t + ct + d; s (t) = a t + bt + c; s (t) = 6at + b Bedingungen: In t = 0 sind Weg und Geschwindigkeit gleich null: s(0) = 0 s (0) = v(0) = 0 der Sprinter beschleunigt mit m/ s : s (0) = Bei t = 7,5 ist die Beschleunigung null: s (7,5) = 0 LGS: d = 0 c = 0 b = b =,5 45a + b = 0 Mit b =,5 ergibt sich a = 5 s(t) = 5 t + t ; v(t) = s (t) = 5 t + t b) Für t < 7,5 nimmt die Geschwindigkeit zu: s (t) > 0 (Wendestelle t = 7,5) c) Laufzeit s(t) = 00 für t =,89 (s) Z. B. mit einer verfeinerten Wertetabelle im WTR s in m t in s d) Mittlere Geschwindigkeit: v = 00,9 = 8,4 Größte Geschwindigkeit: v (t) = s (t) = 0 für t = 7,5; v max = v(7,5) =,5 Die größte Geschwindigkeit nach 7,5 s ist,5 m s.

47 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 47 Lehrbuch Seite 0 a) F (x) = sin( x) + c; F(π) = 0 ergibt c = 0 F (x) = sin( x) b) F (x) = x x + c; F(0) = ergibt c = F (x) = x x c) F (x) = 0,5 e x + x + x + c; F( ) = ergibt: 0,5 e + c = c = 0,5 e 6 + (= 6,6) F (x) = 0,5 e x + x + x + 0,5 e 6 + d) F (x) = x x + c; F() = ergibt c = 4 F (x) = x x + 4 e) F (x) = x 8 + π cos ( π x ) + c; F( ) = 0 ergibt c = F (x) = x + 8 π cos ( π x ) Lehrbuch Seite 05 9 Nullstelle von f Extremstelle von F Graph von F A Graph von f x

48 48 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite a) Nullstellen: ; Skizze: - ( x )(x + )dx = - ( x x )dx = 9 A = 9 F(x) = x x x x b) Nullstellen: 0 ; 6 Skizze: 6 0 ( x + 4 x )dx = 7 F(x) = 6 x x x c) Nullstellen: 0; Skizze: 0 ( x 4 + x x )dx = 7 0 A = 7 0 x F(x) = 5 x 5 + x 4 x

49 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 49 Lehrbuch Seite 8 Giebelrand: f(x) = 64 x 4 x + 4 Probe: f(4) = 0; Smmetrie zur -Achse 4 0 f(x)dx = [ 0 x x + 4x ] = 7,07 0 Fläche zum Streichen: 7,07 m Farbverbrauch: 50 cm 7,07 = 5974,5 cm 5974,5 c m =,949 Liter Es müssen mindestens Dosen Farbe geliefert werden. ( Dosen zu je 5 Liter reichen nicht.) Lehrbuch Seite 7 4 a) f(x) = 0,5( x ); g(x) = 0,5x kein Schnittpunkt K verläuft oberhalb von G (f(x) g(x)) dx = 4,67 ; A = 4,67 b) K: f(x) = x(x ); Normalparabelform G: g(x) = sin( π x) Schnittstellen: x = 0 und x = K verläuft unterhalb von G auf [0; ] 0 (f(x) g(x)) dx =,88 A =,88

50 50 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 0 a) f(x) = x + ; g(x) = x + Schnittstelle von f und g: x = 0 (f(x) g(x)) dx = 7 6 ; (f(x) g(x)) dx = 6 A = 7 6 b) f(x) = x x ; g(x) = x Schnittstellen von f und g: x = 0; x = ± 0 (f(x) g(x)) dx = = Wegen der Smmetrie der beiden Kurven zum Ursprung: A = 8 c) f(x) = cos(x) + ; g(x) = Schnittstellen von f und g: x = ± 0,5π 0,5π 0 (f(x) g(x)) dx = Beide Kurven sind smmetrisch zur -Achse, die Fläche besteht aus drei gleichgroßen Teilen: A = = 6

51 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 7 f(x) = 8 x 4 x + 4; f (x) = 8 x x; f (x) = 4 x ; f (x) = 4 a) Wendepunkt: f (x) = 0 für x = f () 0; f() = ergibt den Wendepunkt W( ); Mit f () = und Punktprobe mit W in = x + b: Wendetangente mit = x + 5 Fläche zwischen Wendetangente und Kurve: 0 ( x + 5 f(x)) dx = ; A = x b) f( ) = 0; f(6) = 4 ergibt Steigung m = 4 = 8 Punktprobe mit (6 4) in = 0,5x + b ergibt b =. Gerade g mit g(x) = 0,5x + Schnittstellen: x = ; x = ; x = 6 (f(x) ( x + )) dx = 8 A = x c) Fläche setzt sich aus Flächenstücken zusammen. Dreiecksfläche: A = 4 = 4 4 f(x)dx =,5; A = 4 +,5 = 5,5

52 5 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 8 0 Steigung der Tangente f'(0) = π Tangente t mit Steigung π durch (0 ): t (x) = πx + Die Gerade mit = t (x) = πx + π + ist Tangente an K f an der Stelle x =, da m = f '() = π und ( ) liegt auf K f und auf der Geraden: f() = t () = Die Fläche ist smmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x =. 0 ( t (x) f(x))dx = 0 (πx + (sin( π x) + ))dx = 0 (πx sin( π x))dx π = [ x 4 π + π cos( x) ] 0 = π 4 π Flächeninhalt: A = ( π 4 π )= π 8 π Lehrbuch Seite 4 4 a) 4 (8 f(x))dx = 4,; A = 4, Der Wasserquerschnitt ist etwa 4 dm groß. b) Höhe,5: Bedingung: f(x) =,5 x 4 + x =,5 Durch Substitution erhält man: x = ± ( x 4 = ± 5,9) (,5 f(x))dx = 9,07 Es fließen 9,07 = 6,6 % der maximalen Wassermenge. 4,

53 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 47 a) Schaubild einer Stammfunktion F von v mit F(0) = 0,5 F(t) =,5 e 0,5t + b) 0 v(t) dt : Höhenzuwachs im. Jahr 4 v(t) dt : Höhenzuwachs vom. bis zum 4. Jahr 4 0,5 + 0 v(t) dt : Höhe nach 4 Jahren 4 0 Graph von F t Lehrbuch Seite 48 7 Entnahmegeschwindigkeit in m pro Stunde: f(x) = 4x x ; 0 x 4 a) f(x)dx = 5,67 Zwischen Uhr und Uhr werden dem Speicher 5,67 m Wasser entnommen. b) f(x)dx = 54, f(x)dx gibt die Entnahme in den ersten 5 Stunden an. Zu Beginn sind 800 m im Speicher. Im Wasserspeicher sind nach 5 Stunden noch 54,67 m Wasser.