Optimale Vorbereitung auf die Mathematik-Prüfung zur Fachhochschulreife (am Berufskolleg) Verständliche Zusammenfassungen und Basisübungen

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1 Ott Rosner Optimale Vorbereitung au die Mathematik-Prüung zur Fachhochschulreie (am Beruskolleg) Verständliche Zusammenassungen und Basisübungen Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschatswissenschatliche Bücherei ür Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Stean Rosner Lehrer an der aum. Schule in Schwäbisch Hall Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedar der vorherigen schritlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile düren ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch ür Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Coverbild (Joker): otomaedchen - Fotolia.com * * * * *. Aulage 8 7 b MERUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. G, 75 Rinteln ino@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 I. Grundlagen Analsis. Parabel schneidet die -Achse, eine Gerade bzw. eine weitere Parabel Hierdurch erhält man stets eine quadratische Gleichung, welche durch die abc- oder pq-formel gelöst wird. abc-formel : Dabei wird der Term unter der Wurzel als Diskriminante (D) bezeichnet. pq-formel : Deren Vorzeichen entscheidet über die Anzahl an Lösungen der Gleichung und damit über die Anzahl der Schnittstellen. Beispiel: = Ansatz : = Parabel und - Achse (im Fall D > ) ± ( ) 4 / / ( ür einsetzen) abc-formel oder pq-formel ± 4 a b b a c p p ± q (,5) (,5) = = ± ± 9 (D > ) ± = = =,5±, 5 (D > ) =,5±,5 = ; = ( Lösungen) =, 5, 5 = ; =, 5 +, 5 = Parabel und Gerade (im Fall D = ) = + = + Ansatz : +, 5 = +, 5 + = Beispiel:, 5 (Parabel);, 5 (Gerade) ± ( ) 4 / / / ( gleichsetzen) abc-formel oder pq-formel = = ( ) ± ( ) ± (D = ) ± = = = = ± (D = ) = ± = ( Lösung) = ± = Parabel und weitere Parabel (im Fall D < ) Beispiel:,5;,75 = + = + Ansatz : +,5 = +,75 4+ = / ( gleichsetzen) abc-formel oder pq-formel +, 5 = ( 4) ± ( 4) 4 / = / = ( ) ± ( ), 5 4 ± 8 (D < ) = ( Lösungen) = ±, 5 (D < ) 4 4

4 I. Grundlagen Analsis Übersicht: Gegenseitige Lage in Abhängigkeit von der Diskriminante (D) Parabel und -Achse Parabel und Gerade Parabel und weitere Parabel D> Lösungen, Schnittstellen D= Lösung, Schnittstelle D< Lösungen, Schnittstellen Hinweis: Umrahmt ist jeweils die au der Vorseite berechnete Situation. 5

5 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis. Funktionen. Funktionen. Ganzrationale Funktionen (Polnome). Ganzrationale Funktionen (Polnome). Grades (Geraden). Grades (Parabeln). Grades (Geraden). Grades (Parabeln) Hauptorm : = m + b Allg.: = a + b + c Hauptorm : = m + b Allg.: = a + b + c Scheitelpunkt-Ansatz: Steigung aus Punkten: m = Scheitelpunkt-Ansatz: Steigung aus Punkten: m = = a ( s) + s mit S( s s) = a ( mit S( ) s) + s s s Punkt-Steigungs-Form (PSF): a > : nach oben geönet bzw. Punkt-Steigungs-Form (PSF): a > : nach oben geönet bzw. = m ( ) + Verlau von II. in I. Quadrant = m ( ) + Verlau von II. in I. Quadrant Steigungswinkel aus Steigung bestimmen: a < : nach unten geönet bzw. Steigungswinkel aus Steigung bestimmen: a < : nach unten geönet bzw. m = tan( α) Verlau von III. in IV. Quadrant m = tan( α) Verlau von III. in IV. Quadrant Parallele Geraden: Bei Smmetrie zur -Achse: Parallele Geraden: Bei Smmetrie zur -Achse: m = m (gleiche Steigung) = a + c (nur gerade Hochzahlen m = m (gleiche Steigung) = a + c (nur von gerade ) Hochzahlen von ) Senkrechte (orthogonale) Geraden: Senkrechte Steigungen (orthogonale) sind negative Geraden: ehrwerte Steigungen sind negative ehrwerte voneinander: m = bzw. m m = voneinander: m = mbzw. m m = m. Winkelhalbierende: = ( m= ).. Winkelhalbierende: Winkelhalbierende: = = ( m ( = m ) = ). Winkelhalbierende: = ( m= ) h h h h i - i i i - g - g g - g : =, 5+ g: =, 5 : =, 5+ g: =, 5 h: =, i : =, : =, : =, h i : = : g = g : = g : g = h : h = + h : h = + ( ) ( ) ( ) ( ) i : i = + : i = + i

6 I. Grundlagen Analsis. Grades 4. Grades Allg.: = a + b + c + d a > : Verlau von III. in I. Quadrant a < : Verlau von II. in IV. Quadrant Ansatz bei Smmetrie zum Ursprung: = a + c von ) (nur ungerade Hochzahlen Allg.: = 4 a b c d e a > : Verlau von II. in I. Quadrant a < : Verlau von III. in IV. Quadrant Ansatz bei Smmetrie zur -Achse: = a + c + e von ) 4 (nur gerade Hochzahlen h g g - - h : = g= g :, 5 h h : = : = 4 g : g =,5 + 4 h : h 4 = + Die Quadranten II I III IV 7

7 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis. Der Nullstellenansatz und die Vielachheit von Nullstellen. Der Nullstellenansatz und die Vielachheit von Nullstellen Beispiele Beispiele g g h h : =,5 ( + 5) ( + ) : g =,8 ( + ) ( ) : h = ( 4) :,5 ( 5) :,8 : ( 4) g h = + + g g = + h h = Aubau des Nullstellenansatzes (am Beispiel) Aubau des Nullstellenansatzes (am Beispiel) g =,8 ( + )( ) g =,8 ( + )( ) Verlau = // =+ von Verlau III ist einache = ist dreiache // =+ nach von IVIII Nullstelle ist einache Nullstelle ist dreiache nach IV Nullstelle Nullstelle Übersicht (ür ganzrationale Funktionen) Übersicht (ür ganzrationale Funktionen) Vielachheit Faktor im Nullstelle Vielachheit Nullstellenansatz Faktor im Nullstelle Nullstellenansatz Einache Nullstelle: Einache Nullstelle: =... ( )... =... ( )... Skizze Skizze Beschreibung Beschreibung Schaubild schneidet Schaubild -Achse schneidet (mit Vorzeichenwechsel (mit Vorzeichen- VZW) -Achse wechsel VZW) Doppelte Nullstelle: Doppelte Nullstelle: =... ( )... =... ( )... Schaubild berührt Schaubild -Achse berührt (ohne -Achse VZW) (ohne VZW) Dreiache Nullstelle: Dreiache Nullstelle: =... ( )... =... ( )... Schaubild schneidet und Schaubild berührtschneidet -Achse und (mit berührt VZW) -Achse (mit VZW)

8 I. Grundlagen Analsis 4. Dierenzialrechnung 4. Ableitungsregeln Nr. Beispiel Vorgehen Elementarregeln 5 = = 5 = = = ( = ) = = = = = Eponent = = Eponent (Potenzregel) Eponent 4 = e = e = sin = cos = cos = sin Abschreiben sin cos cos sin ( Im Uhrzeigersinn! ) Vorgehensregeln 5 = = = 6 Zahlen mit oder : bleiben (Faktorregel) 6 = + = Zahlen mit + oder verschwinden 7 = 4 = 4 + und Zeichen unterteilen die Funktion in Teilunktionen, welche einzeln abgeleitet werden (Summenregel) 4

9 I. Grundlagen Analsis Nr. Beispiel Vorgehen Anwendungen der ettenregel 8 9 = e = e = sin = cos = cos = sin k = e = k e k = sin( k) = k cos( k) = cos( k) = k sin( k) Die allgemeine ettenregel, aus welcher sich die Regeln 8- ergeben, lautet: = uv = u v v Äußere Ableitung Innere Ableitung 5

10 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis 4. Tangente 4. Tangente. Augabentp (Tangente im urvenpunkt). Augabentp (Tangente im urvenpunkt) Gegeben ist die Funktion Gegeben ist die mit = + Funktion,5. Bei dem mit ( -Wert ) = + wird,5. eine Tangente und Bei an dem das Schaubild -Wert wird angelegt. eine Tangente Berechnen und an das Sie deren Gleichung. angelegt. Berechnen Sie deren Gleichung. t t P (...) P Vorgehen: Ermittlung einer Tangente im urvenpunkt Vorgehen: Ermittlung einer Tangente im urvenpunkt (geg. und -Wert des urvenpunktes) (geg. und -Wert des urvenpunktes). -Wert des urvenpunktes berechnen. -Wert des urvenpunktes berechnen () = +,5 =,5 P(,5) (Einsetzen in ) () = +,5 =,5 P,5 (Einsetzen in ). Tangentensteigung berechnen =. Tangentensteigung berechnen = (Einsetzen in ) () = = ( = mt ) (Einsetzen in ) () = = ( = mt ) = mt + b, 5= = m t+ b+ b. Tangentengleichung berechnen, 5 = + b. Tangentengleichung berechnen, 5 = + b (Einsetzen in = m + b),5, = 5 = b + b (Einsetzen in = m + b),5= b Tangente: =,5 Tangente: =,5 Alternative: Durch Einsetzen in die nacholgende Punkt-Steigungs-Form (siehe Merkhile) Alternative: kann Durch alles Einsetzen einem Schritt in die ausgeührt nacholgende werden: Punkt-Steigungs-Form (siehe Merkhile) kann alles in einem Schritt ausgeührt werden: Formel (allg.): = ( u) ( u) + ( u) (mit u als Berührstelle) Formel (allg.): = ( u) ( u) + ( u) (mit u als Berührstelle) Einsetzen : = () ( ) + () Einsetzen : = = ( () ) ( +, ) 5 + () = = (, 5 ) (Tangente) +, 5 =, 5 (Tangente)

11 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis 5. Flächen zwischen Schaubild und -Achse 5. Flächen zwischen Schaubild und -Achse. Fläche oberhalb der -Achse. Fläche oberhalb der -Achse Beispiel Beispiel Gegeben ist die Funktion mit = +. Welchen Gegeben Inhalt ist die besitzt Funktion die schraierte mit = Fläche? +. Welchen Inhalt besitzt die schraierte Fläche? Ansatz Ansatz b b A = b d = [ F ] = F( b) F( a) a b A = a d = F = F( b) F( a) a [ ] a - - Lösung Lösung A = ( + ) d = + = + ( ) + ( ), FE A = ( + ) d = + = + ( ) + ( ), FE Rechte Grenze auleiten Rechte und linke Rechte nach oben, Grenze auleiten Grenze Rechte in Stammunktion und linke linke nach nach oben, unten Grenze einsetzen, Stammunktion linke nach unten voneinander einsetzen, subtrahieren voneinander subtrahieren rechte Grenze A = A = rechte Grenze linke Grenze linke Grenze Merkregel Merkregel (Funktionsterm) d (Funktionsterm) d. Fläche unterhalb der -Achse. Fläche unterhalb der -Achse Unterschied Unterschied A = d A = d Minuszeichen beachten! Sonst Minuszeichen : negatives beachten! Ergebnis Sonst : negatives Ergebnis Hinweis: Falls Sie ür das Integral ein negatives Ergebnis erhalten, können Sie ür den Wert Hinweis: des Flächeninhaltes Falls Sie ür das einach Integral den ein entsprechenden negatives Ergebnis positiven erhalten, Wert können nehmen. Sie ür den Wert des Flächeninhaltes einach den entsprechenden positiven Wert nehmen

12 I. Grundlagen Analsis. Zusammengesetzte Fläche 5 Beispiel : 6 die schraierte Fläche? Gegeben ist die Funktion mit =. Welchen Inhalt besitzt Vorgehen (am Beispiel). Nullstellen bestimmen = = ; = ; =,5 A = d, 56;,5,5. Teillächeninhalte bestimmen A = d,8; A = d,57. Gesamtlächeninhalt bestimmen A = A+ A + A,56 +,8 +,57 = 4, Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren! Ansonsten werden positive und negative Integralwerte zu einer Flächenbilanz verrechnet. 4. Interpretation von Flächeninhalten Der Inhalt der markierten Fläche gibt an Beispiel Beispiel Zulussgeschw indigkeit (in l/s) Momentane Fahrtgeschwindigkeit (in m/s) Zeit (in s) Zeit (in s) welche Wassermenge (in l) innerhalb von 5 s zugelossen ist. welche Strecke (in m) innerhalb von 5 s zurückgelegt wurde. m Tipp : Einheit Integral( Fläche ) = Einheit Funktion Einheit Variable (z.b. m= s) s 5

13 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis 5. Flächen zwischen zwei Schaubildern 5. Flächen zwischen zwei Schaubildern. Einzelläche. Einzelläche Beispiel Beispiel Gegeben sind die Funktionen mit = + und gmit g =. Welchen und gmit Inhalt g besitzt =. die schraierte Fläche? Welchen Inhalt besitzt die schraierte Fläche? Ansatz Ansatz b A = b ( g ) d A = a g d Gegeben sind die Funktionen mit = + a Lösung Lösung Rechte Grenze Oberer Funktions - Rechte nach oben, Grenze term Oberer minus Funktions unterer - eventuell linke nach oben, unten term Funktionsterm minus unterer vereinachen eventuell linke nach unten Funktionsterm vereinachen auleiten auleiten g - g - - A = ( ( + ) ( ) ) d = ( + ) d = + A = ( + ) ( ) ) d = ( + ) d = = 4,5 FE = + + = 4,5 FE Rechte und linke Rechte Grenze und inlinke Stammunktion Grenze in Stammunktion einsetzen, voneinander einsetzen, subtrahieren voneinander subtrahieren rechte Grenze A = rechte Grenze (oberer Funktionsterm unterer Funktionsterm) d A = linke Grenze (oberer Funktionsterm unterer Funktionsterm) d linke Grenze Merkregel Merkregel Bemerkung (Lage zur - Achse) Bei Bemerkung einer Fläche, (Lage die zur zwischen - Achse) zwei Schaubildern liegt, ist es hingegen völlig unerheblich, ob Bei sich einer diese Fläche, oberhalb die zwischen oder unterhalb zwei Schaubildern -Achse beindet. liegt, ist es hingegen völlig unerheblich, ob sich diese oberhalb oder unterhalb der -Achse beindet

14 II. Basisübungen zur Analsis Augabe : Skizzieren Sie die Schaubilder in das oordinatensstem. : = ( + 7) : g = ( + 5) ( + ) g h i h : = i : = ( ) ( 4) ( 5) ( 6) Augabe Ermitteln Sie die Funktionsgleichung zum nebenstehenden Schaubild mit Hile des Nullstellenansatzes Augabe 4 : Untersuchen Sie au Asmptoten wie im Beispiel. Funktion Asmptote ür + ür a) = e = X X b) = + e c + ) X d) = e = e + X ) e e = e + X X X X X X 6

15 II. Basisübungen zur Analsis Augabe 5 : Ergänzen Sie die olgenden Sätze. a) Das Schaubild der Funktion gmit g = e entsteht aus dem Schaubild von mit = e durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor in -Richtung und durch Verschiebung um nach. b) Das Schaubild der Funktion gmit g = e entsteht aus dem Schaubild von mit = e durch Spiegelung an der -Achse und Verschiebung um nach. c) Das Schaubild der Funktion gmit g = 4sin + entsteht aus dem Schaubild von mit = sin durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor in -Richtung und durch Verschiebung um nach. d) Das Schaubild der Funktion gmit g = sin + 4 entsteht aus dem Schaubild von mit = sin durch Streckung um den Faktor in -Richtung (Periodenlänge = ) und durch Verschiebung um nach. Augabe 6 : Ermitteln Sie jeweils eine mögliche zugehörige Funktionsgleichung. a) ( ) = b) ( ) = - c) ( ) = 64

16 II. Basisübungen zur Analsis. Gleichungen Augabe 7 Lösen Sie die Gleichungen. a) = 4 b) = c) 6 = d) e = 4 e) cos = ) e ( e ) = e g) = h) 4 = 7 + i) e 7e + 8 = j) = k) e e = e l) = sin,5 m) n) o) 5 ( e ) ( ) = ( e 7) ( 4) = cos,5= Geben Sie bei den trigonometrischen Gleichungen jeweils Lösungen an. Augabe 8 Entscheiden Sie, welchem Gleichungstp bzw. Lösungsvorgehen die Gleichungen zugeordnet werden können. Nr. Gleichung = Tp Tp Tp Tp 4 Gegen - operation S. v. Nullpr. abc - bzw. Substitution ührt zu pq - Formel... u +... u+... = = = 4 5 = 4 4 = 4 = 7 = + 8 e = 9 = e e e e = 65

17 III. Ausührliche Lösungen c) Schnitt von: Bild rechts = 4 4 und -Achse. Augabe Schnitt von: = und 4 Bild links Schnitt von: = und =,5 + + Bild mittig,5 = + h g i Hinweis: In allen Fällen erhält man einen Berührpunkt, da die Diskriminante den Wert hat. Augabe 9 = + von II nach IV; weder noch ; Grad ; S ( ); = + ; Grad ; S ( ); von III nach I; smm. zum Ursprung 4 = ; Grad 4; S ( ); von III nach IV; smm. zur -Achse 4 = + ; Grad 4; S ( ); von III nach IV; smm. zur -Achse Augabe Hinweis: Prüen Sie Grad, Schnittpunkt mit -Achse, Verlau und Smmetrie. a) A: B: 6 b) A: B: 5 C: C: 4 6 Augabe Ablesen: N ( ); N (4 ); P(,5) // 4 = a 4 Weiteren Punkt P(,5) einsetzen:, 5 = a ( 4), 5 = a ( ) ( 5),5 = 5 a : 5, = a =, 4 Augabe 4 Asmptote ür + ür a) = b) = c) = d) = + e) = Augabe : = 5 ( + 6) ( + 5) ( + 4) : = ( + ) g h : = ( ) ( 4) : = ( 7) i 8

18 III. Ausührliche Lösungen Augabe 5 a) Das Schaubild der Funktion g mit g = e entsteht aus dem Schaubild von mit = e durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor in -Richtung und durch Verschiebung um nach unten. b) Das Schaubild der Funktion g mit g = e entsteht aus dem Schaubild von mit = e durch Spiegelung an der -Achse und Verschiebung um nach unten. c) Das Schaubild der Funktion g mit g = 4sin + entsteht aus dem Schaubild von mit = sin durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor 4 in -Richtung und durch Verschiebung um nach oben. d) Das Schaubild der Funktion g mit g = sin + 4 entsteht aus dem Schaubild von mit = sin durch Streckung um den Faktor in -Richtung π (Periodenlänge = = π ) und durch Verschiebung um 4 nach oben. Augabe 6 = a sin k + b, = a cos k + b; a) Man erkennt, dass das Schaubild zu einer an der -Achse gespiegelten Sinuskurve gehört. b = Mittellinie au Höhe,5 + (,5) oder mit = = a =, 5 (ma. Abstand von,5 zur Mittellinie),5 (,5) oder mit = =, 5 a< : Spiegelung an -Achse π π b = = = p π =,5 sin + b) Man erkennt, dass das Schaubild zu einer Sinuskurve gehört. b = Mittellinie au Höhe + ( ) oder mit = = a = (ma. Abstand von zur Mittellinie) ( ) oder mit = = π π k = = = p π = sin c) Man erkennt, dass das Schaubild zu einer osinuskurve gehört. b =,5 Mittellinie au Höhe,5,5 +,5 oder mit = =,5 a = (ma. Abstand von zur,5,5 Mittellinie) oder mit = = π π k = = = π p = cos π +, 5 8