Analysis leicht gemacht! Teil 2: Integralrechnung der ganzrationalen Funktion

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1 Scholtyssek Analysis leicht gemacht! Teil : Integralrechnung der ganzrationalen Funktion Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Verfasser: Hanspeter Scholtyssek Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Coverbild: Andres Rodriguez Fotolia.com * * * * *. Auflage by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 7 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 . Was man zuvor wissen sollte GTR: Alle screenshots sowie Tastenkombinationen beziehen sich auf den Sharp Bei der Fertigstellung dieses Arbeitsheftes erschien der Sharp 990 ein GTR in neuem Gewand, aber fast identisch mit dem Sharp 9900 SII. Sein Erscheinungsbild ist schwarz weiß mit progressiv wirkender Tastatur. Im CALC Menü ist der Menüpunkt 8 dx neu hinzugekommen. Durch Eingabe einer unteren und einer oberen Grenze wird das zu berechnende Flächenstück dunkel ausgefüllt. Weiterhin ist wie beim 9900 SII die PRGM Taste mit diversen Integralmodi bestückt sie sind selbsterklärend. Da bei der Drucklegung noch kein PC Link Kabel für screenshots vorlag, sind diese neuen features hier nicht dokumentiert. Sie sind, wie oben erwähnt, selbsterklärend. Ansonsten sind alle Bildschirmmasken und Tastaturbelegungen identisch geblieben. Exakte Zahlen: Siehe Teil, Seite 7 Geraden: Siehe Teil, Seite 8. Besonders wichtig sind die senkrechten Geraden von der Form x = a. Sie verlaufen parallel zur y-achse im Abstand a. Flächeneinheiten (FE) werden im allgemeinen nicht angegeben. Da das Koordinatensystem in Zentimeter unterteilt ist, ergibt sich als Maßeinheit für Flächen praktisch immer cm. Ergebnisse werden in der Regel mit 4 Nachkommastellen angegeben. Ausnahme: Prozentrechnung. Überhaupt sollte Kapitel von Teil verstanden worden sein. 7

4 . Prozentrechnen Mit der Integralrechnung werden Flächen berechnet. Fragen wie diese müssen beantwortet werden: Um wieviel Prozent ist die Fläche A größer als die Fläche B? Oder umgekehrt: Um wieviel Prozent ist die Fläche B kleiner als die Fläche A? Formeln: G sei die große Fläche, k sei die kleine Fläche. Formel für größer : Formel für kleiner : p = G - k k 00 p = k - G G 00 Beispiel : Große Fläche A = ; kleine Fläche B =. also p = - 00 = 66,67% bzw. p = - 00 = - 40% Das Minuszeichen zeigt an, dass nach einer Verkleinerung gefragt wurde. Dann ist A um 66,67% größer als B bzw. B ist um 40% kleiner als A. Beispiel : Große Fläche A = 00; kleine Fläche B = 0. p = = 00 p = = - 7 A ist um 00% größer als B, A ist das 4fache von B. B ist um 7% kleiner als A, B ist 4 von A. 8

5 Aus einer Autozeitung. Bestätige die Richtigkeit der folgenden Prozentzahlen. Modell Zulassungen 0 Zulassungen 0 Veränderung A ,6% B ,% C ,0% D ,7% E ,9% F ,0% G ,7% H ,% J ,0% K ,8% L ,7% M ,6% N ,9% O ,4% Beachte: 00% sind das Doppelte 00% sind das Dreifache 00% das Vierfache. Somit haben sich die Zulassungszahlen beim Modell O von ungefähr 600% fast versiebenfacht. Probe: 7 = 99 0% =. Somit sind die Zulassungen beim Modell F um zurückgegangen. Probe: von 08 = 4; = 4. Stammfunktionen 9

6 . Stammfunktionen Mit Stammfunktionen werden Integrale berechnet. Stammfunktionen werden mit großen Buchstaben bezeichnet wie F(x), G(x) usw. Sie werden durch das sogenannte Aufleiten gebildet. Die abgeleitete Stammfunktion ergibt wieder die Ausgangsfunktion. Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante C unterscheiden. Für ganzrationale Funktionen gilt ( n Z ): Funktion: Stammfunktion: Probe: f(x) = x n xn+ n+ + C; n - F (x) = (n+)xn n+ = xn = f(x) Die additive Konstante fällt beim Ableiten weg. Beispiele: f(x) = x x+ + C = x + + C F (x) = x = x f(x) = x 4 8x x - 8 x4 4 + C F (x) = x4 8x = x - x 4 + C f(x) = 6 = 6x 0 6 x + C = 6x + C F (x) = 6 f(x) = x - 8 x + x x4 8 - x 8 + x 6 - x + C F (x) = x - 8 x + x f(x) = - x - x - x- + x- + C F (x) = - x - x - 0

7 Aufgabe a Ermittle für die folgenden Funktionen eine Stammfunktion. Überprüfe diese durch Ableiten! a) f(x) = x - b) f(x) = x + x c) f(x) = - x x + d) f(x) = 4x 8x + e) f(x) = - 8 x4-7 x f) f(x) = x - 8 x g) f(x) = x + x h) f(x) = - x 4 + 4x

8 Aufgabe b Beispiel : Gegeben ist die Funktion f(x) = x. Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( - )? x x + C beschreibt unendlich viele Stammfunktionen der Funktion f(x), die sich nur durch die additive Konstante C unterscheiden, z.b. x x + 7 oder x x oder x x + 7. Es gibt aber genau eine, die durch den Punkt P( - ) geht: x Wert und y Wert in die allgemeine Stammfunktion x x + C einsetzen: - = - + C - = - + C C = 0 Die Stammfunktion x x geht durch den Punkt P( - ). Beispiel : Gegeben ist die Funktion f(x) = x. Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( 4 )? x x + C 4 = C 4 = - + C C = 6 Die Stammfunktion x x + 6 geht durch den Punkt P( 4 ). a) f(x) = x Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( 6 )?

9 b) f(x) = x + x Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( - )? c) f(x) = - x x + Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( )? d) f(x) = 4x 8x + Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( 0 - )? e) f(x) = - 8 x4-7 x Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( 0 )? f) f(x) = x - 8 x Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( - )? g) f(x) = x + x Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( )? h) f(x) = - x 4 + 4x Welche Stammfunktion F(x) verläuft durch P( - 9,6 )?

10 . Integralrechnung Ziel der Integralrechnung ist es, krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen.. Fläche zwischen Kurve und x-achse Gegeben ist eine Funktion f(x), ihr Schaubild sei K f. y K f 4 0 a 4 b x Es soll die Fläche A zwischen x = a und x = b berechnet werden. Dies geschieht über das Integral: b A = f x)dx a Dabei bedeutet: a ist der linke Rand der zu berechnenden Fläche (auch untere Grenze genannt) b ist der rechte Rand der zu berechnenden Fläche (auch obere Grenze genannt) Das Integralzeichen summiert eine unendliche Anzahl hauchdünner Rechtecke der Höhe f(x) und der Minimalbreite dx auf. 4

11 Die eigentliche Rechnung geschieht über die Stammfunktion F(x). Zuerst wird die Variable x durch die obere Grenze b ersetzt, anschließend durch die untere Grenze a. Dann werden beide Ausdrücke subtrahiert: b a A = f x)dx = F(x) b a = F b) - F(a), wobei F (x) = f(x). Dies ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI). Der mathematische Hintergrund wird im Anhang B erklärt. Beispiel: Gegeben ist die Funktion f(x) = x - 9 x + x -. y x Sie hat als Stammfunktion 8 x4 - x + 4 x - x +C Es soll die Fläche A zwischen Kurve und x-achse von x = bis x = berechnet werden: A = x - 9 x + x - dx = 8 x4 - x + 4 x - x +C = ( C) - ( C) = (9 8 +C) - ( - 8 +C) = = 0 (FE)

12 Anmerkung: Wie man sofort sieht, hebt sich die additive Konstante C auf. Deswegen wird sie weggelassen: A = x - 9 x + x - dx = 8 x4 - x + 4 x - x = ( ) - ( ) = ( - 8 ) = = 0 (FE) Berechnung mit dem GTR: Funktion eingeben ggf. Schaubild betrachten Rechenfeld drücken Integral anwählen Mit übernehmen Grenzen eingeben Mit Funktion anwählen dx anwählen 6

13 und das Ergebnis steht: A = 0. Aufgabe Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion f und ihrer Stammfunktion F.. f(x) = x + x + x + C y 0 y x 0 x Schaubild von f(x) Schaubild von F(x) 7