Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap

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1 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Kurt Bohner Lehrauftrag Mathematik am BSW Wangen Studium der Mathematik und Physik an der Universität Konstanz Ronald Deusch Lehrauftrag Mathematik am BSZ Bietigheim-Bissingen Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Die in diesem Buch zitierten Internetseiten wurden vor der Veröffentlichung auf rechtswidrige Inhalte untersucht. Rechtswidrige Inhalte wurden nicht gefunden. Stand: Juni 06 Umschlag: frhuynh Fotolia.com, kleines Bild oben: Picture-Factory Fotolia.com, kleines Bild unten: Africa Studio Fotolia.com * * * * * * * * * * 7. Auflage by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de; lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

2 5 Vorwort Vorbemerkungen Der vorliegende Band Mathematisches Grundgerüst Ein Mathematikbuch für die Eingangsklasse ist ein Arbeitsbuch für alle beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg. Das Lehrbuch richtet sich exakt nach dem neuen Bildungsplan für die gymnasiale Oberstufe, Mathematik, in Baden-Württemberg vom Juni 04. Dabei berücksichtigt das Autorenteam sowohl die im Lehrplan geforderten inhalts- als auch die prozessbezogenen Kompetenzen (modellieren, Werkzeuge und mathematische Dar stellungen nutzen, kommunizieren, innermathematische Probleme lösen, Umgang mit formalen und symbolischen Elementen, argumentieren). Von den Autoren wurde bewusst darauf geachtet, dass die im Bildungsplan aufgeführten Kompetenzen und Zielformulierungen inhaltlich vollständig und umfassend thematisiert werden. Dabei bleibt den Lehrkräften genügend didaktischer Freiraum, eigene Schwerpunkte zu setzen. Hinweise und Anregungen, die zur Verbesserung beitragen, werden dankbar aufgegriffen. Die Verfasser Der Aufbau dieses Buches Der Stoff in den einzelnen Kapiteln wird schrittweise anhand von Musterbeispielen mit aus führlichen Lösungen erarbeitet. Dabei legen die Autoren großen Wert auf die Verknüpfung von Anschaulichkeit und sachgerechter mathematischer Darstellung. Die übersichtliche Präsentation und die methodische Aufarbeitung beeinflusst den Lernerfolg positiv und bietet dem Schüler die Möglichkeit, Unterrichtsinhalte selbstständig zu erschließen bzw. sich anzueignen. Beispiel x y) x <0 y,5) 4 ) x y) x > 0 y 5,5 x-koord Koordinate x=5,5 y-koordinate y =. Lösung y ) ) 4 ) x y x

3 6 Vorwort Jede Lerneinheit schließt mit einer ausreichenden Anzahl von Aufgaben ab. Diese sind zur Ergebnissicherung und Übung gedacht, aber auch als Hausaufgaben geeignet. Kompetenz orientierte Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad ermöglichen es dem Schüler, den Stoff zu festigen und zu vertiefen. Beispiele und Aufgaben aus dem Alltag und aus der Wirtschaft stellen einen praktischen Bezug her. 4 Aufgaben Die Heftklammer im Lehrbuch mit Seitenangabe weist auf einen entsprechenden Abschnitt im Kapitel Grundwissen hin. Seite 94 9 e) f) Aufgaben, zu deren Lösung der Einsatz von zusätzlichen elektronischen Hilfs mitteln sinnvoll oder notwendig ist, sind gesondert gekennzeichnet. Die Aufgaben Modellierung einer Situa tion und Test zur Überprüfung Ihrer Grundkenntnisse werden im Anhang ausführlich gelöst. e) I Funktionen Einführung infu Funktionen Modellierung einer Situation Test zur Überprüfung Ihrer Grundkenntnisse Für Aufgaben mit dem Download-Logo stehen ausführliche Lösungen zum Download bereit. Sie finden diese in der Mediathek zum Buch auf unserer Website Aufgaben oberhalb Definitionen, Festlegungen, Merksätze und mathematisch wichtige Grundlagen sind in Rot gekennzeichnet. Definition einer Funktion

4 7 Inhaltsverzeichnis Vorwort 5 I Funktionen 9 Einführung in Funktionen Das rechtwinklige Koordinatensystem Abhängigkeiten und grafische Darstellung Definition einer Funktion Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) Lineare Funktionen Einführung Die Steigung einer Geraden Punktprobe Aufstellen von Geradengleichungen Schnittpunkte Die Strecke AB Winkel bei Geraden Modellierung und anwendungsorientierte Aufgaben Quadratische Funktionen Einführungsbeispiel Von der Normalparabel zur allgemeinen Parabel Quadratische Gleichungen und geometrische Interpretation Aufstellen von Parabelgleichungen Modellierung und anwendungsorientierte Aufgaben Polynomfunktionen höheren Grades Potenzfunktionen Polynomfunktionen. Grades Einführung Polynomfunktionen 4. Grades Einführung Polynomgleichungen und geometrische Interpretation Aufstellen von Funktionstermen Modellierung und anwendungsorientierte Aufgaben Exponentialfunktionen Einführungsbeispiele Definition einer Exponentialfunktion Die Euler sche Zahl e Exponentialfunktionen zur Basis e Schaubilder von Exponentialfunktionen Exponentialgleichungen und geometrische Interpretation Der natürliche Logarithmus Exponentialgleichungen Bestimmung von Schnittpunkten Modellierung und anwendungsorientierte Aufgaben Exponentielles Wachstum Beschränktes Wachstum Trigonometrische Funktionen Einführungsbeispiele Definition der Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen für Winkel von 0 bis Definition der Winkelfunktionen für beliebige Winkel Das Bogenmaß eines Winkels Trigonometrische Funktionen Sinus- und Kosinusfunktion Funktionen der Form f (x) = a sin (x) + d bzw. f (x) = a cos (x) + d Funktionen der Form f (x) = a sin (bx) + d bzw. f (x) = a cos (b x) + d Funktionen der Form f (x) = a sin [ b (x ] + dbzw. f (x) = a cos [ b (x ] + d

5 8 Inhaltsverzeichnis 4.4 Trigonometrische Gleichungen und geometrische Interpretation Lösung von trigonometrischen Gleichungen Berechnung von Schnittstellen Modellierung und anwendungsorientierte Aufgaben Umkehrfunktionen Bestimmung einer Umkehrfunktion Logarithmusfunktion Wurzelfunktion Die Funktion f mit f (x) = x ; x Näherungsverfahren Intervallhalbierungsverfahren Regression II Stochastik 0 Zufallsexperimente..... Einstufiges Zufallsexperiment Mehrstufiges Zufallsexperiment Ereignisse Wahrscheinlichkeit..... Absolute und relative Häufigkeiten..... Definition der Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit bei Gleichverteilung (Laplace-Experiment) Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Additionssatz Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit von Ereignissen Kombinatorik Produktregel Stichproben Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Zufallsvariable Einführung Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert einer Zufallsvariablen Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen... 8 III Grundwissen 87 Intervalle als Teilmengen der reellen Zahlen Algebraische Begriffe und Vorübungen Begriffe Rechnen mit Summen und Differenzen Rechnen mit Brüchen Vereinfachung durch Ausklammern Rechnen mit Potenzen... 9 Gleichung und Gleichungssystem Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme Quadratische Gleichungen Anhang 0 Lösungen... 0 Lösungen der Modellierungen und Tests... 0 Lösungen der Aufgaben im Kapitel Grundwissen.... FREEGEO als weiteres elektronisches Hilfsmittel... 4 Mathematische Zeichen... 7 Stichwortverzeichnis Abbildungsverzeichnis.... 0