Definitions- und Formelübersicht Mathematik

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1 Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar sein, ob ein Element zu der Menge gehört oder nicht. Zahlenbereiche sind spezielle Mengen: Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen { } Reelle Zahlen : Menge aller endlichen unendlichen Dezimalbrüche Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen zwei gegebenen Zahlen liegen, wobei ist. Das Zeichen benutzt. bedeutet ist Element von wird sowohl bei Mengen als auch bei Intervallen bedeutet im Umkehrschluss ist nicht Element von. Grrechenarten Strichrechnung Summand + Summand = Summe Minuend Subtrahend = Differenz Die Gegenzahl zu einer Zahl das Negative einer Zahl Es gilt: sowie ist Der Betrag einer Zahl, in einer Formel, ist ihr absoluter Wert: { Punktrechnung Faktor Faktor = Produkt Dividend : Divisor = Quotient Wichtig: Durch darf man nicht teilen! Der Kehrwert zu einer Zahl ist Es gilt: sowie Rechengesetze Für alle gelten: das Kommutativgesetz: das Assoziativgesetz: 1

2 Definitions- Formelübersicht Mathematik das Distributivgesetz: ( ausklammern ) Wichtig: Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Nur Klammern können diese Reihenfolge ändern! Bruchrechnung Erweitern Kürzen Addition Subtraktion gleichnamiger Brüche Multiplikation Division Prozentrechnung : Prozentsatz (%) : Prozentwert : Grwert Allgemeines zu Gleichungen Funktionen Eine Konstante ist ein Platzhalter für einen festen Zahlenwert. Eine Variable ist ein Platzhalter für einen veränderlichen Zahlenwert. Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Kombination aus Zahlen, Konstanten, Variablen, Klammern Rechenoperationen. Eine Gleichung ist ein mathematisches Gebilde der Form ein Term = ein (anderer) Term. In einem Produkt aus Zahl Variable wird die Zahl als Koeffizient bezeichnet. Die Menge aller Zahlen, die als Lösung einer Gleichung grsätzlich infrage kommen, wird Definitionsbereich genannt (Formelzeichen: ). Eine Zahl heißt Lösung einer Gleichung, wenn sie Element des Definitionsbereichs ist beim Einsetzen dieser Zahl in die Gleichung beide Seiten gleich groß werden. Die Menge aller Lösungen wird Lösungsmenge genannt (Formelzeichen: ). Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge, Definitionsbereich (Formelzeichen: ) genannt, genau ein Element einer anderen Menge, Wertebereich (Formelzeichen: ) genannt, zuordnet. Lineare Gleichungen Funktionen Lineare Gleichungen sind Gleichungen, in denen nur spezielle Terme erlaubt sind zwar: Produkte aus Konstanten, Zahlen einer Variable sowie Summen aus diesen Produkten Zahlen. Lineare Funktionen lassen sich hilfe der allgemeinen Geradengleichung beschreiben: der Steigung dem y-achsenabschnitt Der Graphen einer linearen Funktion ist eine Gerade. 2

3 Definitions- Formelübersicht Mathematik Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Potenzen Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise: der Basis dem Exponenten Wichtig: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Zu beachten: für für gerade z.b. für Die Potenzgesetze Für oder für gelten: 1. Potenzgesetz 2. Potenzgesetz 3. Potenzgesetz 4. Potenzgesetz ( ) 5. Potenzgesetz Binomische Formeln 1. Binomische Formel 2. Binomische Formel 3. Binomische Formel 3

4 Definitions- Formelübersicht Mathematik Wurzeln dem Radikanden dem Wurzelexponenten Zu beachten: 0 Da sich Wurzeln als Potenzen, nämlich, schreiben lassen, reichen die Potenzgesetze. Logarithmen Zu beachten: der Basis dem Argument Die Logarithmengesetze Für ; gelten: 1. Logarithmengesetz 2. Logarithmengesetz ( ) 3. Logarithmengesetz ( ) Namenskonventionen:,, Quadratische Gleichungen Funktionen Quadratische Gleichungen sind Gleichungen von folgender Form den Koeffizienten Lösung z.b. über die p-q-formel: ( ) Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ist, spricht man von einer Normalparabel. Für ist die Parabel nach oben geöffnet, für nach unten. Bezogen auf die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion : eine Streckung : eine Stauchung : eine Verschiebung nach rechts : eine Verschiebung nach links : eine Verschiebung nach oben : eine Verschiebung nach unten 4 bewirkt:

5 Definitions- Formelübersicht Mathematik Besondere Punkte von Funktionen Eine Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle, wenn gilt. Eine Funktion hat an der Stelle ein Minimum (Tiefpunkt), wenn in einer gewissen Umgebung von der kleinste Funktionswert ist. Eine Funktion hat an der Stelle ein Maximum (Hochpunkt), wenn in einer gewissen Umgebung von der größte Funktionswert ist. Eine Funktion hat an der Stelle ein Extremum, wenn in ein Minimum oder ein Maximum hat. Ungleichungen Ungleichungen werden im Großen Ganzen wie Gleichungen gelöst, allerdings muss in einigen Fällen das Vergleichszeichen umgedreht werden, z.b. bei der Multiplikation negativen Zahlen. Geometrie Höhe: die Strecke, die rechtwinkelig auf einer Dreiecksseite steht durch die gegenüberliegende Ecke verläuft, hier: Katheten: die Seiten im rechtwinkligen Dreieck, die an den rechten Winkel angrenzen, hier: Hypotenuse: die Seite im rechtwinkligen Dreieck, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, hier: Hypotenusenabschnitte: die Abschnitte der Hypotenuse, die durch den Schnittpunkt von Höhe Hypotenuse entstehen, hier: Satz des Pythagoras: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten entspricht dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse, hier: Höhensatz: Der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seiten die Hypotenusenabschnitte sind, hier: Kathetensätze: Der Flächeninhalt des Quadrats über einer Kathete entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seiten die Hypotenuse der zur Kathete gehörende Hypotenusenabschnitt sind, hier: Umrechnung Gradmaß-Bogenmaß: Winkelsummensatz: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt Trigonometrie (Bezeichnungen: siehe Dreieck oben) Sinus: Kosinus: Tangens: Ankathete eines Winkels: Kathete, die an diesen Winkel angrenzt Gegenkathete eines Winkels: Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt Es gilt : Trigonometrischer Pythagoras: Es gilt : 5

6 Definitions- Formelübersicht Mathematik Ableitungen Die Ableitung (sprich: "f Strich von x") einer Funktion ist (vorausgesetzt die Ableitung existiert, was nicht immer der Fall ist) die Funktion, die das Steigungsverhalten von beschreibt. Ableitungsregeln Ausgangsfunktion Ableitung Faktorregel ( Summenregel Produktregel Quotientenregel ( ) Kettenregel ( ) ( ) Einige Funktionstypen ihre Ableitungen Potenzfunktion Polynomfunktion Exponentialfunktion,, : Grad des Polynoms Wurzelfunktion Logarithmusfunktion Sinusfunktion Kosinusfunktion Tangensfunktion Integrale Gilt, so ist eine Stammfunktion der Funktion. Die Menge aller Stammfunktionen nennt man unbestimmtes Integral schreibt dafür: (sprich: Integral f von x dx gleich groß-f von x plus c ). Bestimmte Integrale von (zur Bestimmung orientierter Flächeninhalte) berechnet man über die Stammfunktion : [ ] (sprich: Integral von a bis b über f von x dx gleich groß-f von x in den Grenzen a b gleich groß-f von b minus groß-f von a ). 6