ALGEBRA UND MENGENLEHRE

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1 ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter werden Variablen genannt. Eine Variable ist ein Zeichen, welches für ein Objekt (zum Beispiel eine mögliche Zahl) gesetzt wird. Variable werden meist durch Buchstaben dargestellt: etc. ) zu Termen zusammenge- Variable werden durch Operationszeichen (zum Beispiel fasst. Ein Term ist eine sinnvolle Zeichenreihe ohne Relationszeichen 2. Beispiele für Terme: RECHNEN MIT VARIABLEN UND TERMEN: TERMUMFORMUNGEN ZUSAMMENFASSEN Variable, welche in einem Term mehrfach als gleiche Summanden vorkommen, können zusammengefasst werden. Variable, welche in einem Term mehrfach als gleiche Faktoren vorkommen, können als Potenz (Basis hoch Hochzahl) zusammengefasst werden. Der Hochzahl sagt man auch Exponent. 1 Ausführungen nach Duden Mathematik, Basiswissen Schule, 1. Auflage, Mannheim, Relationszeichen sind zum Beispiel etc.

2 2 Algebra und Mengenlehre eine Einführung Die Zahl, die vor einer Variable (oder einer Gruppe von Variablen) steht, heisst Koeffizient. Treten in algebraischen Summen bzw. Differenzen gleiche Variablen mit unterschiedlichen Koeffizienten auf, so werden sie zusammengefasst, indem man die Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert. Beachten Sie: Es dürfen nur gleiche Potenzen auf diese Art zusammengefasst werden. ADDITION UND SUBTRAKTION VON TERMEN, VERWENDEN VON KLAMMERN Beim Addieren oder Subtrahieren von zwei Summen (oder Differenzen) setzt man die Summen (oder Differenzen) in Klammern und schreibt das Operationszeichen dazwischen. Beispiel: Term, Term Klammern können wie folgt aufgelöst werden. Steht vor der Klammer ein, so wird die Klammer weggelassen. Steht vor der Klammer ein, so wird die Klammer und das Zeichen weggelassen und in der Klammer werden alle Zeichen gewechselt: wird dann zu und wird zu.

3 3 Algebra und Mengenlehre eine Einführung MULTIPLIKATION EINES POLYNOMS MIT EINER VARIABLEN ODER EINER ZAHL Für spezielle Terme sind auch andere Begriffe gebräuchlich. Eingliedrige Terme nennt man auch Monome, zweigliedrige Binome, dreigliedrige Trinome und mehrgliedrige Polynome. ist ein Monom. ist ein Binom. ist ein Trinom. ist ein Polynom. Ein Polynom wird mit einer Variablen (oder einer Zahl) multipliziert, indem man jedes einzelne Glied des Polynoms mit der Variablen (bzw. der Zahl) multipliziert. Die Umkehrung dieses Ausmultiplizierens ist das Ausklammern. Aus einem Polynom kann man eine Variable (oder eine Zahl) ausklammern, indem man die Variable (bzw. die Zahl) als Faktor vor das Polynom stellt und jedes Glied des Polynoms durch die Variable (bzw. die Zahl) dividiert.

4 4 Algebra und Mengenlehre eine Einführung DIVISION EINES POLYNOMS DURCH EINE VARIABLE ODER EINE ZAHL Ein Polynom wird durch eine Variable (bzw. ein Monom oder eine Zahl) dividiert, indem man jedes Glied des Polynoms durch die Variable (bzw. das Monom oder die Zahl) dividiert. Beispiel: Vorsicht: Bei der Division durch ein Polynom darf nicht gliedweise dividiert werden! MULTIPLIKATION VON POLYNOMEN Zwei Polynome werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Glied des anderen Polynoms multipliziert. Dieses Gesetz nennt man Distributivgesetz. Beispiel 3 : FORMELN Es gibt gewisse Terme, welche häufig auftreten. Darum macht es Sinn, diese mithilfe von Formeln zu berechnen, da es aufwändig wäre, immer mit dem Distributivgesetz zu arbeiten. Binomische Formeln: Trinomische Formel: 3 Häufig ordnet man im Endresultat die Glieder des Polynoms alphabetisch an. Dies ist aber nicht zwingend.

5 5 Algebra und Mengenlehre eine Einführung MENGEN, AUSSAGEN UND AUSSAGEFORMEN MENGEN Der Begriff der Menge, welcher heute in der Mathematik eine zentrale Rolle spielt, wurde 1895 in ähnlicher Weise erstmals vom deutschen Mathematiker Georg Cantor ( ) verwendet. Sie kennen wahrscheinlich schon die Bezeichnung für die Menge der natürlichen Zahlen ( ) oder der ganzen Zahlen ( ). Eine Ansammlung von Elementen heisst Menge. Mengen werden in der Regel mit grossen Buchstaben mit einem zusätzlichen Strich bezeichnet:,, und so weiter. Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } eingeschlossen. Um zu zeigen, dass ein Element zu einer Menge gehört, schreiben wir das Zeichen. Entsprechend schreiben wir, wenn das Element nicht zur Menge gehört. Beispiel: Wir betrachten. Diese Menge besteht aus den drei Elementen 7, 9 und 16. Es gilt beispielsweise oder. Die wohl bekanntesten Mengen sind die Zahlenmengen: ist die Menge der natürlichen Zahlen.. Wenn die Null auch noch dazu genommen wird, schreibt man.. ist die Menge der ganzen Zahlen. Hier kommen noch die den natürlichen Zahlen entsprechenden negativen dazu.. ist die Menge der rationalen Zahlen. Darunter versteht man die Menge aller Brüche, wobei und. ist die Menge der reellen Zahlen. besteht aus den Zahlen aus und allen nichtrationalen Zahlen (zum Beispiel oder ). Man kann einer Zahlenmenge ein hochgestelltes Plus oder Minus anfügen. Dann meint man alle Zahlen der Menge, welche grösser bzw. kleiner als Null sind: zum Beispiel. Wenn die Null auch noch zur Menge gehören soll, so wird der Mengenbezeichnung der Index 0 angehängt: ist beispielsweise die Menge aller negativen reellen Zahlen inklusive der Null. AUSSAGEN UND AUSSAGEFORMEN Wir alle sprechen eine oder mehrere Sprachen: Deutsch, Französisch, Englisch, Griechisch usw. Man kann auch die Mathematik als eine Sprache auffassen; eine Sprache, in welcher

6 6 Algebra und Mengenlehre eine Einführung zum Beispiel Physiker, Biologen oder Chemiker miteinander sprechen. Auch Wirtschaftswissenschafter verwenden gelegentlich die Sprache der Mathematik. Darum ist es nicht verwunderlich, dass man in der Mathematik auch von Aussagen spricht. Ein Schweizer könnte die Aussage machen: Hüt regnets!. Dies ist entweder wahr oder falsch. Ein Franzose könnte sagen: La France est plus grande que la Suisse!. Diese Aussage ist immer wahr. Eine typische mathematische Aussage wäre (wahr) oder (falsch). Aussagen sind sinnvolle sprachliche Äusserungen beziehungsweise entsprechende Zeichenketten, die entweder wahr oder falsch sind. Es gibt auch Aussagen über Grössen, welche nicht klar bestimmt sind (Variable): Das Zehnfache einer Zahl ist grösser als 50. Hier ist nicht klar, über welche Zahl man spricht. Wenn für sie 3 eingesetzt wird, dann entsteht eine falsche Aussage, wenn man aber beispielsweise 9 einsetzt, so entsteht etwas Wahres. Eine Formulierung, welche eine Unbekannte (Variable) enthält, nennt man Aussageform. Wenn für diese Variable ein Wert eingesetzt wird, so entsteht also eine Aussage. Die Menge, aus welcher die Werte für die Variablen stammen, heisst Grundmenge und wird mit bezeichnet. Aussageformen bezeichnet man meistens mit kalligrafischen Buchstaben (,, usw.). Wenn nichts anderes angegeben ist, nehmen wir immer als Grundmenge an. Typische Aussageformen in der Mathematik sind Gleichungen, beispielsweise Wenn man für die Variable wahr oder falsch ist: einen Wert einsetzt, entsteht eine Aussage, welche entweder (falsch) (falsch) (falsch) (wahr) (falsch) (falsch) Uns interessieren natürlich nur diejenigen Zahlen, welche aus der Aussageform eine wahre Aussage machen, denn diese Zahlen lösen die Gleichung (und sind somit Elemente der Lösungsmenge).

7 7 Algebra und Mengenlehre eine Einführung Alle, welche beim Einsetzen in die Aussageform eine wahre Aussage erzeugen, gehören zur Lösungsmenge von. Diese Menge wird mit bezeichnet. Beispiel: Gegeben ist die Aussageform ist ein Teiler von 12. Die Grundmenge sei. In diesem Fall ist die Lösungsmenge. Diese Form der Mengenangabe wird aufzählende Form genannt. Eine Menge kann aber auch in beschreibender Form angegeben werden, indem man sie mithilfe einer Aussageform darstellt: (gelesen: Die Menge aller x aus, für welche gilt: ) ÄQUIVALENZEN UND FOLGERUNGEN (IMPLIKATIONEN) Wir beginnen mit einem Beispiel. Beispiel: Gegeben sind die folgenden Aussageformen und : ist eine einstellige, ungerade Primzahl. ist ungerade, grösser als 2 und kleiner als 8. Die entsprechenden Lösungsmengen sind und. Sie sehen, dass diese Lösungsmengen identisch sind. In diesem Fall heissen die ursprünglichen Aussageformen äquivalent zueinander. Aussageformen mit gleichen Lösungsmengen heissen äquivalent. Man schreibt. Die folgende Definition benötigen wir, um die Implikation zu verstehen. Eine Menge heisst Teilmenge von, wenn alle Elemente von auch zu gehören. Man schreibt. Vorsicht: Verwechseln Sie nie die Zeichen (Element von) und (Teilmenge von). steht zwischen einem Element und einer Menge, wobei immer zwischen zwei Mengen steht! Wir haben oben den Begriff äquivalent eingeführt. Wenn wir nun zwei Aussageformen gegeben haben, bei welchen die Lösungsmengen nicht gleich sind, so kann immer noch die eine Lösungsmenge Teilmenge der anderen sein.

8 8 Algebra und Mengenlehre eine Einführung Wenn für die Lösungsmengen und der Aussageformen bzw. gilt, dass, dann schreibt man (gelesen: Aus folgt. oder impliziert. ). (Das Umgekehrte gilt nicht!) MENGENOPERATIONEN Gegeben sind zwei Mengen und. Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente, welche zu und zu gehören. Der schraffierte Bereich ist die Schnittmenge. Gegeben sind zwei Mengen und. Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente, welche zu oder zu gehören.

9 9 Algebra und Mengenlehre eine Einführung Der schraffierte Bereich ist die Vereinigungsmenge. Gegeben ist eine Grundmenge. Die Menge (gelesen: quer) ist die Menge aller Elemente aus, welche nicht zu gehören. heisst Ergänzungsmenge bzw. Komplementärmenge von bezüglich der Grundmenge. Der schraffierte Bereich ist die Komplementärmenge von bezüglich der Grundmenge. Die Differenzmenge (gelesen: ohne ) ist die Menge aller Elemente, welche zu aber nicht zu gehören. Es gilt:.

10 10 Algebra und Mengenlehre eine Einführung Der schraffierte Bereich ist die Differenzmenge.