Reelle Zahlen (R)

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1 Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große Lücken..) Das gilt auch für die ganzen Zahlen. Q , ,6....) Die rationalen Zahlen liegen sehr dicht zusammen. Das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer noch unendlich viele weitere rationale Zahlen. Das kann man auch auf dem Zahlenstrahl für die einzelnen Zahlbereiche erkennen: Zahlenstrahl für N: Zahlenstrahl für Z: Zahlenstrahl für Q: Der Zahlenstrahl für die Rationalen Zahlen könnte man jetzt noch weiter vergrößern und sich dann den Zwischenraum von -/ bis +/ anschauen: Oder man könnte berechnen: Welche Rationale Zahl liegt in der Mitte zwischen und? in der Mitte liegt also : 6 Seite von

2 Oder man berechnet den Mittelwert zwischen und : + : + : 6 6 : 6 Bisher sind folgende Arten von Dezimalzahlen bekannt:.) Abbrechende Dezimalzahlen:,,7 6,0 usw..) Reinperiodische Dezimalzahlen:,, 0, usw..) Gemischtperiodische Dezimalzahlen:, 0, usw. Umwandlung dieser Dezimalzahlen in Brüche und umgekehrt:.) Abbrechende Dezimalzahlen Brüche:.) Brüche Dezimalzahlen: 0, 0 9 0, 00 0, 000 : 0,6 7 7 : 0,7 6 6 : 7 0,7 7.) Reinperiodische Dezimalzahlen Brüche:, : 9, ,7 6 : 99, ) Gemischtperiodische Dezimalzahlen Brüche: 0,,,, MERKE: Jede Dezimalzahl lässt sich in einen Bruch umformen und umgekehrt. Das gilt für alle Rationalen Zahlen. Seite von

3 Irrationale Zahlen y O 6 x.) Zeichne in das Koordinatensystem ein Quadrat mit einer Fläche von cm. Ein Eckpunkt des Quadrats soll dabei bei (0/0) liegen. Wie lang ist dann die Seite dieses entsprechenden Quadrats? Messe nach und kontrolliere durch Rechnung, ob der gemessene Wert genau ist. Gemessene Seitenlänge: Kontrollrechnung: A.) Verlängere die Seiten des gefundenen Quadrats von (0/0) aus in beide Richtungen, zeichne dann neue Quadrate, deren Eckpunkte auf vollständigen Koordinaten liegen, bestimme deren Flächeninhalte und denke über die Seitenlängen der Quadrate nach. Notiere deine Ergebnisse in der folgenden Tabelle: Nr. Fläche des Quadrats Seitenlänge des Quadrats.) Wie groß wäre die Fläche eines so gefundenen 0. Quadrates (. Quadrates, n-ten Quadrates)? Fläche des 0. Quadrates : A 0 cm Fläche des. Quadrates: A cm Fläche des n-ten Quadrates: A n cm Seite von

4 Irrationale Zahlen y O 6 x.) Zeichne in das Koordinatensystem ein Quadrat mit einer Fläche von cm. Ein Eckpunkt des Quadrats soll dabei bei (0/0) liegen. Wie lang ist dann die Seite dieses entsprechenden Quadrats? Messe nach und kontrolliere durch Rechnung, ob der gemessene Wert genau ist. Gemessene Seitenlänge:, cm Kontrollrechnung: A,,,96 cm.) Verlängere die Seiten des gefundenen Quadrats von (0/0) aus in beide Richtungen, zeichne dann neue Quadrate, deren Eckpunkte auf vollständigen Koordinaten liegen, bestimme deren Flächeninhalte und denke über die Seitenlängen der Quadrate nach. Notiere deine Ergebnisse in der folgenden Tabelle: Nr. Fläche des Quadrats Seitenlänge des Quadrats cm,... cm,... cm,6... cm, ) Wie groß wäre die Fläche eines so gefundenen 0. Quadrates (. Quadrates, n-ten Quadrates)? Fläche des 0. Quadrates : A 0 00 cm Fläche des. Quadrates: A 0 cm Fläche des n-ten Quadrates: A n n cm Seite von

5 Die Seitenlänge des. Quadrates muss die Bedingung erfüllen, dass sie mit sich selbst multipliziert ergibt. Das folgt unmittelbar aus der Flächenformel des Quadrats: A a a Gesucht ist also eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert ergibt. Diese Zahl lässt sich durch abtragen der Länge auf die x-achse zeichnerisch finden. Man erkennt, dass diese Zahl zwischen und und kurz vor der Zahl, liegen muss. 7 cm 6 cm cm cm Wie heißt diese Zahl aber genau? Versuche, eine Zahl zu finden, die mit sich selbst multipliziert ergibt. Diese Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie ist eine Dezimalzahl, die niemals abbricht und sich in ihrer Ziffernfolge niemals wiederholt. Diese Zahl, die mit sich selbst multipliziert ergibt, wird in der Mathematik bezeichnet mit. Der Taschenrechner liefert für diese Zahl das Ergebnis,6. Dieses Ergebnis ist gerundet und bedeutet nicht den genauen Wert. Durch schriftliches Nachrechnen kann man das erkennen:, 6, Seite von

6 MERKE: Es gibt keine rationale Zahl x, die die Bedingung x x ; (x x ; x x ; x x ) erfüllt. Die Zahl, die die Bedingung x x erfüllt, ist eine irrationale Zahl. Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen, die niemals abbrechen, die aber auch keine Wiederholung in ihrer Ziffernfolge aufweisen. Irrationale Zahlen können deshalb nur gerundet angegeben werden. Die abkürzende mathematische Schreibweise für die irrationale Zahl x, die die Bedingung x x erfüllt, lautet (gelesen: Wurzel aus ) und lautet gerundet:,6.,6 Radikant Man fasst die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen zur Gruppe der reellen Zahlen (R) zusammen. R......, ,9... In einem Diagramm lassen sich die Zahlengruppen N, Z, Q, R wie folgt darstellen: R Q Z N Notierung der Wurzel der ersten 0 natürlichen Zahlen (gerundet auf Nachkommastellen): denn :, denn :,,,7 denn :,7,7 denn :,6 denn :,6,6 6,9 denn :,9,9 6 7,66 denn :,66,66 7, denn :,, 9 denn : 9 0,6 denn :,6,6 0 Seite 6 von

7 Man erkennt: Nur bestimmte natürliche Zahlen liefern als Ergebnis einer Wurzel wieder eine natürliche Zahl, z.b.,, 9. Setzt man diese Reihe fort, so erhält man:,, 9, 6,, 6, 9, 6,, 00,,, 69, 96,, 6, 9,, 6, 00,. Diese Teilmenge der natürlichen Zahlen nennt man Quadratzahlen Wurzeln aus Dezimalzahlen und Brüchen:,, denn :,,, 0,0 0, denn : 0, 0, 0,0 0, 0,9 denn : 0,9 0,9 0, denn : denn : denn : Kommaverschiebungsregel beim Wurzelziehen Betrachte folgende Reihe und versuche die Wurzel zu ziehen: 0, ,00 6 0,0000 0, , 0,000 0, ,00 0, , 0,0 0, , 0, , Seite 7 von

8 Quadrieren Radizieren a a a a a a ,,,,,06, n.l. n.l ,9 n.l. n.l. -0,9 0,0 0,9 Man erkennt: Bei positiven a (a 0) gibt es keine Unterschiede. Ist a aber negativ so gilt: 6 nicht lösbar nicht lösbar, aber : Merke:.) a 0 ( ) ( ) a a und : a a Beispiel : ( ) ( ) 9 9 und : 9 9 denn : 9 und : 9.) a < 0 ( ) { } ( ) a und : a a Beispiel : Daraus folgt: ( ) { } ( ) 9 und : 9 9 denn : und : 9 Ist die Zahl unter der Wurzel (Radikand) größer oder gleich Null, so spielt es keine Rolle, ob man zuerst quadriert und dann radiziert oder umgekehrt vorgeht, das Ergebnis bleibt gleich. Ist die Zahl unter der Wurzel aber negativ (kleiner als Null), so ergeben die beiden Vorgehensweisen unterschiedliche Ergebnisse. Deshalb ist die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert: 6 nicht lösbar! Seite von

9 Das Heron-Verfahren Frage: Wie kann man näherungsweise die Wurzel einer Zahl bestimmen? Hier einige Beispiele:, < < denn : < < 9 0, ( + ) 0,, (Mittelwert von und ) 0, (, + ) 0, (, + ) 0,,,, 0, (, + ) 0, (, +,) 0,,7,6, 0, (,6 + ) 0, (,6 +,60) 0,,76,606,6 0,79 < 0 < denn : 6 < 0 < 0, ( + ) 0, 9,(Mittelwert von und ) 0 0, (, + ) 0, (, +,) 0,,9,7, 0 0, (,7 + ) 0, (,7 +,70969) 0,,979,796,7 Bestimme mit diesem Heron-Verfahren näherungsweise folgende Wurzelwerte:.),7.) 0,67766.) 0,777 Rechnung Gegenrechnung Addition Subtraktion Subtraktion Addition : 6 6 Multiplikation Division bisher bekannte Gegenrechnungen! : 6 6 Division Multiplikation Seite 9 von

10 6 6 6 Radizieren Quadrieren Quadrieren Radizieren neue Gegenrechnungen! MERKE: Das Quadrieren wird durch das Radizieren (Wurzelziehen) rückgängig gemacht und umgekehrt. Die Gleichung x a Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen (G R) und mache die Probe:.) x x Pr obe() : Pr obe() : x + 7 x ( ) ( ) 7 x x / 9 x x x (w) (w) { } L ;.) x + x + 6 Pr obe() : Pr obe() : x ( 6) + ( 6) + 6 { ; 6} x x 6 / x 6 x x 6 6 L (w) (w) Seite 0 von

11 .) x + 9 x + + x + Pr obe() : x + 9 x x 9 x 0 / x x 0 (x 0) (w) { } L 0.) x x + x 7 x 7 x 7 x L { } MERKE: Für die Gleichung x a mit a R gilt:.) Ist a >0, dann gibt es Lösungen: L { a ; a}.) Ist a 0, dann gibt es nur Lösung: L { 0}.) Ist a < 0, dann gibt es keine Lösung: L { } Seite von

12 .) Notiere, falls möglich, jeweils drei Zahlen, die a.) gleichzeitig zu N, Z und Q gehören b.) zu N aber nicht zu Z gehören c.) zu Q aber nicht zu Z gehören d.) zu R aber nicht zu Q gehören Reelle Zahlen (I).) Wie heißen die rationalen Zahlen, die auf dem jeweiligen Zahlenstrahl abgebildet sind. Notiere die Zahlen als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch. a.) 0 A B C D E F G H I b.) - 0 A B C D E F G H I.) Nenne eine rationale Zahl, die a.) zwischen 0,99 und liegt. b.) zwischen 0,9 und 0,99 liegt. c.) in der Mitte von,77 und,7 liegt. d.) in der Mitte von 0,6 und 0, liegt. e.) in der Mitte von -, und,76 liegt. f.) in der Mitte von und liegt. 6.) Wandle je nach Aufgabenstellung in einen Bruch oder in eine Dezimalzahl um: 7 7 a.) 0,7 b.) c.) 7,6 d.) e.) 0, f.) g.) 0 0 h.) 6, i.) j.), k.),66.) Es ist,7. Bestimme: a.) 00 b.) 0,0 c.) 0000 d.) 0,000 6.) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen (G R): a.) x 6 + x + 0x + x + b.) 7 x + 9x + 9 x c.) x 9 7x 9 x 9 Seite von

13 Reelle Zahlen (I) (Lösungen) zu.) a.),, usw. (alle natürlichen Zahlen) b.) Gibt es nicht. Eine Zahl, die zu N gehört, gehört auch automatisch zu Z. c.), ; ;,6 usw. d.) ; ; 0,00... ; usw. (alle irrationalen Zahlen) zu.) a.) A 0,7 B 0, C 0,7 D 0,6 6 7 E 0, F 0, G 0,96 H,6 I,6 6 b.) A, B,7 C,7 D 0,7 E 0,6 F 0, G 0,7 H 0,7 I, zu.) a.) z.b. 0,99 b.) z.b. 0,9 c.),77 d.) (0,6+0,) :, e.),76-(,76+,) :,70 f.) + : : 6 6 zu.) a.) 0,7 b.) : 0,6 c.) 7,6 7 7 d.) 7 : 0 0, e.) 0, f.),6 g.) 7 : 0,6 h.) 6, i.) : 0, j.),, k.),66 66, zu.),7 a.) 00 7, b.) 0,0 0,7 c.) , d.) 0,000 0,07 Seite von

14 zu 6.) a.) x 6 + x + 0x + x + b.) 7 x + 9x + 9 x x 6x x x x x x x 6 x x x x x x x { } { } L ; L ; c.) x 9 7x 9 x 9 x 9 0 x x 9 0 x x 0, x 0, nicht lösbar! x 0, nicht lösbar! L { } Seite von

15 Wurzelgesetze und ihre Anwendungen Aufgabe: Vergleiche die folgenden Aufgaben und versuche, ein logisches Ergebnis zu finden. Formuliere dann Regeln für die unterschiedlichen Rechenarten:.) ) ) 6.) ) ) +, +,66 7,07 aber : + 9,6 aber : 6 + 6,0 aber : +, ) 6 : : 6 : ) 00 : 0 : 00 : 7 9.) : 0.) 6 6 aber : ,7.) 00 0 aber : ,66.) 7,66, 6, aber : , MERKE:.) Bei der Multiplikation (Division) von Wurzeln ist es gleichgültig, ob man zuerst die Wurzel zieht und dann multipliziert (dividiert) oder ob man erst multipliziert (dividiert) und dann die Wurzel zieht: Für alle a 0, b 0 gilt also : a b a b a : b a b a b.) Bei der Addition und Subtraktion gilt dagegen: a + b a + b a b a b Seite von

16 Wurzelziehen aus Potenzen: Aufgabe: Ziehe die Wurzeln aus folgenden Potenzen:.) x x.) a a 6.) y y 0.) c c 6 denn : x x x denn : a a a 6 denn : y y y denn : c 0 c c 6.) a a 6a a x x 6.) x : 0,x x x 0,x 0,x 7.) x x x y 9x x y y y y y y MERKE: Ist der Exponent der Variablen unter der Wurzel eine gerade Zahl, so lässt sich die Quadratwurzel ziehen. Dazu dividiert man den Exponenten der variablen durch. Addition und Subtraktion von Wurzeln:.) ) + denn : + ( + ).) denn : ( ) MERKE: Man addiert (subtrahiert) Wurzeln mit gleichen Radikanden, indem man die Vorzahlen addiert (subtrahiert) und die Wurzel beibehält: Für alle a 0 gilt also : a + a 7 a 7 a + a a Aber: Wurzeln mit verschiedenen Radikanden darf man weder addieren noch subtrahieren! Seite 6 von

17 Teilweises Wurzelziehen Mit dem Taschenrechner überprüfen lassen, ob die folgenden Behauptungen richtig sind. Danach wird eine Begründung erarbeitet: Behauptung:.) 9 9.) 7 7.) ) x x x.) a a a 6.) x x x x x x x a 6 a a 6a a a a y y 7 y y y y MERKE: Man zieht die Wurzel teilweise, indem man den Radikanden in ein geeignetes Produkt aus einer Quadratzahl und einer Zahl zerlegt. Danach zieht man die Wurzel aus der Quadratzahl und behält die Zahl unter der Wurzel bei. Aufgabe: Vorfaktor unter das Wurzelzeichen Bringe den Faktor vor der Wurzel unter das Wurzelzeichen:.) 0.) ) 0, 0 0, 0 0,0 0,.) ) a x a x a x x x x x 6.) y y y y y y y Die Definitionsmenge einer Wurzel Da man nur die Wurzel aus einer Zahl oder einem Term ziehen kann, der positiv ist, ist es bei Wurzeln mit Termen notwendig herauszufinden, welche Bedingung die Variable erfüllen muss damit der Term insgesamt positiv ist. Die Menge aller Zahlen für diese Variable, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Definitionsmenge (D). Seite 7 von

18 Beispiele: Welche Bedingung muss die jeweilige Variable erfüllen, damit man die Wurzel ziehen kann? Wie lautet also die Definitionsmenge (D):.) x +.) x.) a. ) x + x 6 x + 0 { } x D x / x x 0 x { } x, D x / x, a 0 a { a } a D a/ x + x 6 0 x 0 0 x 0 { x } x D x / Wurzelterme Berechne bis zu einem möglichst einfachen Endergebnis:.) 6 ( 6 ) ) x ( x + xy) x + x y x + x y.) ( 0 ) : 9.) ( ) ) ( 6) ( + ) ) ( x + y) ( x xy) x x y + xy xy x x y + xy y 7.) ( + ) ( + ) x Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln bis zu einem möglichst einfachen Endergebnis: Die binomischen Formeln:.) (a + b) a + ab + b.) (a b) a ab + b.) (a + b) (a b) a b Seite von

19 .) ( + ) ) ( 7 6) ) ( + 6 ) ) ( x + y) x + xy + y x + xy + y.) ( a b) 9 a ab + b 9a ab + b 6.) ( ) ( + ) ) ( x x) ( x + x) 9 9x x 7x x 9x Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich:.) ( 7) + ( + 7) ( + 7) ( 7) ) ( + ) ( 7 + ) ( 6 + ) ) (a b ) (a + b) + (a + b) a ab 0 + b a ab b + a + b a ab 0 b ab + a + b.) (x 7 + y 0) (x y ) + (x 7 + y 0) x 7 (y 0 + x 7) x 6 xy + xy 0 y 0 + 7x + xy y xy 70 7x x xy + xy y 0 + 0y + xy 70 Seite 9 von

20 Reelle Zahlen (II).) Berechne die folgenden Wurzeln im Kopf und notiere das Ergebnis: a.) 6 b.) 0,6 c.), d.) 900 e.) 0,000 f.) g.) 6 69 h.) i.) 0 j.) 6 k.) 0,0 l.) 6.) Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegen die folgenden Wurzeln: a.) b.) 9 c.) 0 d.) 0 e.) f.) 0 g.) 90.) Notiere die folgenden Zahlen als Wurzel: a.) b.), c.) d.)0,6 e.) 9 f.)0 g.)6 h.) 000.) Gegeben ist und 0 6, 9. Bestimme durch Anwenden der Verschiebungsregel: a.) 00 b.), c.) 0, d.) 000 e.), f.) 0,00 g.) 0000.) Bestimme die Lösungsmenge (ohne Taschenrechner!) (GR): a.) a f.) x,96 6 b.) x g.) b c.) y 0 d.) z,6 e.) x x 6 ( ) h.) c ( ) i.) x (a + b) j.) 7 x x 0 6.) Bestimme die Definitionsmenge der folgenden Wurzelterme (GR): a.) f.) a b.) x + x + x g.) c.) x 6 (x ) (x + ) d.) 0,y 6 e.) h.) (x + ) a + 7a (x ) 7.) Vereinfache so weit wie möglich: a.) p p b.) 7q q c.) 0,r 0r d.) p 6pq r e.) u v f.) v w g.) 0,u w 6 h.) u v v i.) x : x j.) 9y : y.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen: a.) 7a b.) 6a c.) x d.) a b e.) 0,9xz f.) 0a b g.) a 9 h.) 0 a i.) a b j.) k.) 6 l.) 0 Seite 0 von

21 9.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen: a.) x y b.) 9x y c.) 6x 7 d.) a b e.) 6a b f.) ab ab g.) x 7y 0.) Bringe den Vorfaktor unter die Wurzel: a.) g.)0 m.) s.)a 0, 6 b b.) n.) t.)a h.)0, 0 0,c c.)7 o.) i.)0, p u.) q 000 q d.) 7 j.), p.) m v.) n n m e.)7 k.), q.) 0 w.)e e f.) l.) a x.), r.) 7 c.) Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln: a.) e.) ( 6 9) b.) ( + ) c.) ( 7 ) ( 7 + ) d.) ( + ) ( x ) f.) ( a + b ) g.) ( x x ) h.) ( x 7 + x ).) Vereinfache so weit wie möglich die folgenden Wurzelterme: a.) ( ) ( + 7 ) b.) x ( x + + ) c.) ( x y + ) ( y + x ) d.) x + ( 7 x ) ( x + ) ( x ) + x Seite von

22 Reelle Zahlen (II) (Lösungen).) Berechne die folgenden Wurzeln im Kopf und notiere das Ergebnis: a.) 6 b.) 0, 6 0, c.),, d.) e.) 0, 000 0, 0 f.) g.) h.) 69 i.) j.) 6 k.) 0, 0 0, l.) 6.) Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegen die folgenden Wurzeln: a.) 7 und b.) 9 9 und 0 c.) 0 und 6 d.) 0 0 und e.) und 9 f.) 0 0 und g.) 90 und.) Notiere die folgenden Zahlen als Wurzel: 6 7 a.) 96 b.), 66, c.) d.) 0, 6 0, e.) f.) g.) 6 h.) ) Gegeben ist und 0 6, 9. Bestimme durch Anwenden der Verschiebungsregel: a.) 00 0 b.),, 69 c.) 0, 0, 69 d.) , e.),, f.) 0, 00 0, 069 g.) ) Bestimme die Lösungsmenge (ohne Taschenrechner!) (GR): a.) a, 96 b.) x c.) y 0 d.) z, 6 e.) x x 6 a, x y 0 L { } x a, x y 0 x L {, ;, } L ; L { 0 ; 0} L { ; } ( ) f.) x 6 g.) b h.) c ( ) i.) x (a + b) j.) 7 x x 0 x 6 b c x a + b x x 6 b c x (a + b) x 7 7 L { 6 ; 6} L { ; } L { ; } L {(a + b) ; (a + b) } L ; 7 7 Seite von

23 6.) Bestimme die Definitionsmenge der folgenden Wurzelterme (GR): a.) a a 0 b.) x + x + 0 c.) x 6 x 6 0 a x, x 9 { } { } { / x 9} D a / a D x / x, D x d.) 0, y 6 0, y 6 0 e.) a + 7a a + 7a 0 y 0 a 0, { y / y 0} D { a / a 0, } D R R f.) x + x x + x 0 g.) (x ) (x + ) (x ) (x + ) 0 7 x 0 x x x x 0 0 x 7 x 0 D x / x D { x / x 0} 7 R R R R R h.) (x + ) (x ) (x + ) (x ) 0 { 0 } D x / x, x + x + 6 x + 6x 9 0 x x 9 0 x x 0, R 7.) Vereinfache so weit wie möglich: 6 a.) p p p p b.) 7q q 96q q c.) 0, r 0r 6r r d.) p 6pq r p qr p qr e.) u v uv 6 6 f.) v w vw g.) 0, u w 0, 9uw h.) u v v 6u v uv x 9y i.) x : x x x j. ) 9y : y 9y 7y x y.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen: a.) 7a a 7 b.) 6a 6 a c.) x x x d.) a b ab e.) 0, 9xz 0, 7z xz f.) 0a b ab 0a a 0 a a g.) a h.) 0 i.) j.) 9 7 a a b b 0 k.) l.) 6 9 Seite von

24 9.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen: x x 7 9 x 6 x a a a.) b.) x c.) x d.) y y y y 7 7 b b 6a 6 ab ab x x x e.) a f.) b g.) b b ab ab 7y 9 y y 0.) Bringe den Vorfaktor unter die Wurzel: a.) b.) 7 c.) 7 9 d.) 7 e.) 7 9 f.) 0 60 g.) 0 0, 00 0, 0 h. ) 0, 0 0, 0 0 0, i.) 0, 0, j.),, 7 k.),, 6 l.), 6, 0 m.) 6 6 n.) o.) p.) q.) r.) s.) a b a b t.) a 0, c a 0, c p p p m n m n u.) q q v.) q n m q q n m m n a c a a w.) e e e x.) c c e e a c.) Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln: a.) c.) ( ) 7 6 b.) ( ) ( ) ( ) d.) ( ) ( ) ( + ) ( x ) ( 7 ) e.) x x x + f.) a b a + 0 ab + 9b g.) x x 0x x + x h.) x + x 6x + 0x + 0x x + 0x.) Vereinfache so weit wie möglich die folgenden Wurzelterme: ( ) ( 7) ( ) ( ) ( ) a.) + b.) x x + + c.) x y + y + x x + x + x xy + x x y 0 xy + 0 y + y + x xy + 0 x + y + x y 6 ( ) ( ) ( x ) d.) x + 7 x x + + x x + 9x x + x x x x + x + 7 Seite von

25 Die Kubikwurzel (. Wurzel einer Zahl) Aufgabe: Ein Würfel besitzt ein Volumen von V 6 cm. Welche Seitenlänge a besitzt dieser Würfel? V a V a a a 6 a a a Gesucht ist also eine Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert 6 ergibt. Diese Zahl nennt man die. Wurzel aus 6. 6 a Die gesuchte Seitenlänge a beträgt also 6 cm. 6 a / 6 a MERKE: Unter der. Wurzel (Kubikwurzel) einer Zahl a versteht man diejenige nichtnegative Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert die Zahl a ergibt. für. Wurzel aus a schreibt man abkürzend: a Auf dem Taschenrechner gibt es auch dieses Symbol Aufgabe: Welche. Wurzel einer natürlichen Zahl ergibt wieder eine natürliche Zahl? denn : 6 6 denn : denn : 7 denn : denn : 7 denn : 6 denn : denn : denn : denn : Aufgabe:.) Ein Würfel besitzt ein Volumen von V 00 cm. Bestimme seine Oberfläche O..) Ein Würfel besitzt eine Oberfläche von O 00 cm. Bestimme sein Volumen V. 00 a / O 6a 00 a 00 6a 6,7 cm a, a O 6a 9, cm a O 6 6,7 V a O 69, cm V 9, 7,7 cm Seite von