Die Formelsammlung: Meine Mathematische Werkzeugkiste Formel, Skizze BESCHREIBUNG ergibt Beispiel(e) Alle Summanden addieren bestimmt den... einer...

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1 1. Rechenvorteile, Rechengesetze Summand 12 plus Summand 4 ist gleich dem Wert der Summe: 46. Minuend 10 minus Subtrahend 7 ist gleich dem Wert der Differenz: Dividend 10 geteilt durch Divisor 4 ist gleich der Wert des Quotienten: 2,5 Faktor 20 mal Faktor,5 ist gleich der Wert des Produkts: 70 a +z +b = a +b +z Alle Summanden addieren bestimmt den... einer... Vom Minuenden den Subtrahenden abziehen bestimmt den... einer... Beide Zahlen dividieren bestimmt den... des... Alle Faktoren multiplizieren bestimmt den... eines... Summanden können bei ihrer Berechnung beliebig vertauscht werden. Dies ist die Tauscherlaubnis beim Addieren und der Fachausdruck lautet... für = = 10 : 4 = 2,5 20,5 = 70, ,8 =,2 + 0, = = 147 a z b = a b z (z+a)+b= z+(a+b) (z a) b = z (a b) a (x + y) = ax + ay oder auch: a(x+y+z)=ax+ay+az ax + az = a (x + z) und sogar auch: ax+ay-az= a(x+y-z) Faktoren können bei ihrer Berechnung beliebig vertauscht werden. Dies ist die Tauscherlaubnis beim Multiplizieren oder auch das... bei... Summanden können bei ihrer Berechnung beliebig vorgezogen werden. Dies ist die Vorzieherlaubnis beim Addieren und der Fachausdruck lautet... für... Bestimmte Faktoren können bei ihrer Berechnung beliebig vorgezogen werden. Dies ist die Vorzieherlaubnis beim Multiplizieren oder auch das... bei... Ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Zahl oder Variable a ist und der andere Faktor eine Summe (x+y) ist, darf wie folgt 'ausgepackt' geschrieben werden: Der Faktor a wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. Dieses 'Auspacken' heißt.... Eine Summe, deren Summanden die Produkte der Form ax und ay aufweisen dürfen auch 'eingepackt' geschrieben werden: Der Faktor a wird jeweils vor die Klammer geschrieben und in der Klammer bleibt die Summe x+y. Dieses in Klammern 'Packen' heißt , 2 = 5 2 4, = 10 4, = 4 (1,56+2,2) + 0,8 = 1,56 + (2,2+ 0,8) = 1,56 + = 4,56 (,2 2,5) 4 =,2 (2,5 4) =,2 10 = 2 4,1 (10 + 2) = 4, ,1 2 = ,2 = 49,2 oder: 1,5 (20+2+0,01) =1,5 20+1,5 2+1,5 0,01=,15,6 5, +,6 4,7 =,6 (5,+4,7) oder: 9,9 1,1+9,9,1-9,9 2,2 = 9,9(1,1+,1-2,2) = 9,9 2 Name: Mathematische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 1

2 2. Brüche a b x y = a x b y a b + x y =a y b y + b x b y a b : x y =a b y x =a y b x Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner berechnet das... von zwei... Beide Nenner zunächst gleichnamig machen, die neuen Zähler addieren, doch den gleichnamigen Nenner übernehmen berechnet die... von zwei... Vom zweiten Bruch den Kehrwert bilden, nun aber diesen neuen zweiten Bruch mit dem ersten Bruch multiplizieren berechnet die... von zwei = = = = = : 5 2 = =16 15 = Quadratwurzeln a b z= a b z a+2 a+ a =(1+2+) a =6 a x=z mit z ²=x x=z mit z ³=x x ² z=x z Mehrere Radikanden innerhalb eines Wurzelzeichens multipliziert ist die geschickte Umformung eines... von... Gleiche Wurzeln, die sich in ihrer Häufigkeit unterscheiden dürfen, kann man durch Ausklammern geschickter schreiben. Gleiche Wurzeln darf stets man so.... Gesucht ist diejenige positive Zahl z, die quadriert (z²) genau den Radikanden innerhalb der Wurzel ergibt. Diesen Vorgang nennt man.... Gesucht ist diejenige positive Zahl z, die dreimal mit sich selbst multipliziert (z³) den Radikanden innerhalb der Wurzel ergibt. Diesen Vorgang nennt man das Ziehen.... Findet man in der Produktform des Radikanden einer Quadratwurzel eine Quadratzahl oder eine quadrierte Variable, so kann man diese vor die Wurzel ziehen. Diesen Vorgang nennt man = = = = =4 6=6 49 x ²=7 x 64=4 8 x ³=2 x 75 x ² y= 25 x ² y =5 x y Name: Mathematische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 2

3 4. Mittelwerte Summe derwerte m= Alle Zahlen addieren (ihre Summe) und durch Anzahlder Werte ihre Anzahl dividieren bestimmt m= = =4 den Flächeninhalte von Figuren A = m h oder A = ½ (a+c) h A = a h a A = ½ g h u = a+b+c A = a b A = a² Der Mittelwert m (Länge der Mittelparallele m) der beiden parallelen Seiten a und c, multipliziert mit der Höhe h bestimmt Die Länge einer Seite a mal zugehörige Höhe ha bestimmt den... eines... Die halbe Länge der Grundseite g mal der zugehörigen Höhe h bestimmt Die Länge der drei Seiten a, b, c addiert bestimmt den... eines... Die Länge a mal Breite b ergibt Das Quadrat der beiden gleich langen Seiten: ergibt den... eines... A= ½ (4+6) 7 cm² = 5cm² A = 4 4,5 cm² = 18 cm² A = ½ 7 8 cm² = 28 cm² u = (2++4)cm= 9cm A = 4,5 cm² = 14 cm² A = 1,5² cm² = 2,25 cm² Name: Mathematische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite

4 6. Binomische Formeln (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by Das Produkt zweier Summen (a+b)(x+y) lässt sich nach dem Prinzip 'jeden Summand vom 1.Faktor mal jeden Summand vom 2. Faktor' in eine... umformen. (5+x)(+z) = 15+5z+x+xz (4-a)(7-a) = 28-4a-7a+a² = 28 11a + a² (a+z)²=a²+2az+z² (a-z)² = a² 2az+z² Der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge a, dessen beide Seiten man um z verlän- = x + x² (4+x)² = 4² x +x² gert, kann auch in Summenform als a² plus dem verdoppelten Produkt von a und z und plus z² schreiben. Dies ist die.... Der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge a, dessen beide Seiten man um z verkürzt, kann man auch in Summenform als a² minus dem verdoppelten Produkt von a und z und plus z² schreiben. Dieses verkleinerte Quadrat ist die Anschauung für die.... (5 y)² = 5² 2 5 y +²y² = 25 0y + 9y² (a+z)(a-z) = a² z² Der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge a, dessen eine Seiten man um z verkürzt und die andere um z verlängert, kann auch additiv als a² minus z² geschrieben werden. Der Flächeninhalt des sich jetzt ergebenden Rechtecks ergibt sich aus der.... (7 x)(7+x) = 7² ²x² = 49 9x² 7. Prozent und Zinsrechnung W = G p% q = 1 + p% Der Grundwert mal dem Prozentsatz bestimmt den.... Die Zahl 1 plus dem Prozentsatz bestimmt den... für den... W = 75 10% = 7,50 q=1+5%=1,05 q = 1 p% Die Zahl 1 minus dem Prozentsatz bestimmt den... für q=1-7%= 0,9 den... Z = K p% =K 0 q 1 q 2 q q n Das Kapital multipliziert mit dem Zinssatz bestimmt den Betrag der... für das... Das Anfangskapital, multipliziert mit den verschiedenen Wachstumsfaktoren ergibt das... beim... Z = % Z = : 100 Z = 240 = 80 1,0125 1,05 1,2 = 102,06 Name: Mathematische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 4

5 = K 0 q n u = 4a G + = G q G = G q Z = K p% t/60 Das Anfangskapital, multipliziert mit dem mit hoch n potenzierten Wachstumsfaktor (n ist die Anzahl der Jahre), ergibt das... und dies ist die... Die gesamte Länge der 4 gleich langen Seiten ergibt den... eines (einer)... Ein Grundwert mal seinem Veränderungsfaktor bestimmt den Das Kapital multipliziert mit dem Zinssatz multipliziert mit dem Bruch des Zeitfaktors (Taganzahl / 60) bestimmt die.... = ,05 8 = 1477,46 u = 4 cm = 12 cm G + = 100 1,1 = 110 G = 100 0,9 = 90 Z = 720 2% 40/60 Z = 1,60 8. Kreisflächen A = π r² u = π d u = 2 π r Die Kreiszahl multipliziert mit dem quadrierten Radius, ergibt Die Kreiszahl mal dem Durchmesser ergibt den... eines... A=π 4² cm²= π 16 cm² A,14 16 cm²= 50,24 cm² u = π 4 cm u,14 4 cm = 12,56 cm 9. Volumen und Oberfläche von Körpern V = a³ oder V = a a a O = 6 a² Länge, Breite und Höhe dieses Körpers sind gleich groß, daher bestimmt man aus der Seitenlänge a hoch drei (dreimal die Seitenlänge a multiplizieren) das... eines... Das 6-fache der quadrierten Kantenlänge: bestimmt die... eines... V = cm³ V = 11 cm³ O = 6 4² cm² = 96 cm² V = a b c O=2(a b+a c+b c) Länge a mal Breite b mal Höhe c bestimmt das... eines... Die Summe aller drei Einzelprodukte der drei Seitenlängen a, b und c (also: ab+ac+bc), das alles nochmal verdoppelt bestimmt die... eines... V = 4 2,5,5 cm³ = 5 cm³ O = 2 ( )cm² O = 52 cm² Name: Mathematische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 5

6 V= π r² h Die Kreiszahl multipliziert mit dem quadrierten Radius, multipliziert mit der Höhe ergibt das... eines... O= 2π r² +2π r h Die Grundfläche und Deckfläche dieses Körpers ist kreisförmig. Die verdoppelte Kreiszahl multipliziert mit dem quadrierten Radius bestimmt beider Flächeninhalt. Addiert man noch die Mantelfläche als verdoppelte Kreiszahl multipliziert mit dem Radius r und der Körperhöhe h erhält man die... eines... V= ⅓ π r² h Die gedrittelte Kreiszahl multipliziert mit dem quadrierten Radius, multipliziert mit der Höhe ergibt das... eines... O= π r² +π r s Die Grundfläche dieses Körpers ist kreisförmig. Die Kreiszahl, multipliziert mit dem quadrierten Radius ist der Flächeninhalt der Grundfläche. Addiert man noch die Mantelfläche durch Kreiszahl multipliziert mit dem Radius r und der Seitenlinie s erhält man die... eines... V= 4/ π r³ Die mit dem Bruch 4/ multiplizierte Kreiszahl:, dreimal multipliziert mit dem Radius (bzw. Radius hoch drei: ) ergibt das... einer... V= 4 π r² Die 4fache Kreiszahl, multipliziert mit dem quadrierten Radius ergibt die... einer... V= ⅓ a² h Bei diesem Körper ist die Grundfläche quadratisch. Der dritte Teil der quadrierten Seitenlänge: ⅓ multipliziert mit der Höhe ergibt das... einer quadratischen... O= a² +2 a h s Die Grundfläche dieses Körpers ist quadratisch. Die quadrierte Seitenlänge addiert mit der mit vervierfachten Fläche einer einzelnen Dreieckseite (halbe Grundseite a mal Höhe hs), also ergibt die... einer quadratischen... V = π 4² 10 cm³ = 160 π cm³ V 160,14 cm³ = 502,4 cm³ O = 2π,5² cm² + 2π,5 10 cm² O = 24,5π cm² +70π cm² O = 94,5π cm² O 94,5,14 cm² = 296,7 cm² V = ⅓ π ² 10 cm³ = ⅓ π 90 cm³ V 0,14 cm³ = 94,2 cm³ O = π 6² cm² + π 6 10 cm² = 6π cm² + 60π cm² = 96π cm² O 96,14 cm² = 01,44 cm² V = 4/ π ³ cm³ = 4/ π 27 cm³ V 4,14 9 cm³ = 11,04 cm³ V = 4π 5² cm²= 100 π cm² V 4,14 25 cm² = 14 cm² V = ⅓ 5² 12 cm³ V = ⅓ cm³ V = 100 cm³ O = 5² cm² cm² O = 25 cm² cm³ O = 125 cm³ Name: Mathematische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 6