60 = 8x 4 8x 4 = x = x = x 8 = 56 8 x = 7

Transkript

1 ganz klar: Mathematik - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger Gleichungen lösen durch Umformen Zum Lösen der Gleichung werden Äquivalenzumformungen angewendet. Das heißt, man muss auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Rechenoperationen vornehmen, damit die Gleichung äquivalent (gleichwertig) bleibt. 0 = x x = 0 + x + = 0 + x = x = x = 7 Man darf beide Seiten vertauschen auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren beide Seiten mit derselben Zahl ( 0) multiplizieren oder durch dieselbe Zahl ( 0) dividieren. Probe: 0 = ( 7) 0 = Bei der Probe wird die Lösung für x 0 = 0 in die Gleichung eingesetzt. Löse die Gleichungen und kontrolliere mit der Probe! a) x = x + b) x + 9 = x c) 7x = x + d) x + 0 = x + e) x + = x f) a 9 = a + g) b = b h) 9x = x + 9 (x ) = 0 + x. Klammer auflösen. Durch Umformung alle Variablen x auf eine Seite und alle Zahlenwerte auf die andere Seite bringen. x berechnen 0x 0 = 0 + x + 0 0x = 0 + x x x = 0 x = a) (x ) = 9 + x b) x 7 = ( x) c) 7(x ) = x d) ( x) = x + e) + x = ( x) f) (x ) = x + Wie lautet jeweils die Lösung für die Variable x? a) x (x ) = ( 7x) b) + x (x ) = ( + x) + 0 c) a (a + ) = 7a (a ) d) (x ) x = (x ) +

2 ganz klar: Mathematik - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger x(x ) = x² +. Klammer auflösen. Nachdem auf beiden Seiten gleich viele x² sind, heben sich diese auf.. Durch Umformung alle Variablen x auf eine Seite und alle Zahlenwerte auf die andere Seite bringen. x berechnen x(x ) = x² + x² x = x² + x = ( ) x = a) x(x + ) = + x² b) x² 9 = x( + x) c) x(x + ) = + x² + x d) x² + x = x( x) e) x(x ) = 7x + x² + f) x² = x(x ) Gleichungen mit Brüchen lösen. Bei Gleichungen mit Brüchen wird zuerst der gemeinsame Nenner gesucht und auf diesen alle Brüche der Gleichung erweitert.. Anschließend wird die gesamte Gleichung mit dem Nenner multipliziert und somit die Gleichung bruchfrei gemacht.. Schritt _ x = _ _ x = 0_ _ x = 0 _ x = 0 x = Gemeinsame Nenner:. Schritt _ x _ = _ x _ = _ x _ = _ x x = x + x = x + x = x = x Gemeinsamer Nenner: Mit jener Zahl erweitern, sodass alle Brüche den gleichen Nenner haben Die Nenner kürzen sich durch die Multiplikation mit der Zahl weg Gleichung wie gewohnt lösen Löse die Gleichungen mit Brüchen! _ x a) = _ b) _ x 0 = _ c) = _ d) = _ e) = _ f) = _ g) _ = _ x h) _ 7 = a) = _ b) _ x + = _ c) _ x = _ d) = _

3 ganz klar: Mathematik - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger Formeln umformen Nachdem jede Formel eine allgemeingültige Gleichung darstellt, kann sie mithilfe der Äquivalenzumformungen beliebig umgeformt und somit eine nicht bekannte Größe berechnet werden. Z. B.: Umfang eines Rechtecks u = a + b I a a b u a = b b =? b = _ u a I Forme die Formel so um, dass die Länge der Seite c eines Dreiecks berechnet werden kann, wenn u, a und b bekannt sind! u = a + b + c u = a + b + c a c =? u a = b + c b u a b = c 7 Forme die Formeln so um, dass du die gesuchte Variable berechnen kannst! a) Flächeninhalt Deltoid: A = _ e f e =? b) Umfang Rechteck: u = (a + b) b =? c) Umfang Dreieck: u = a + b + c b =? d) Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: A = _ a b a =? Forme die Formeln aus der Physik so um, dass du die gesuchte Variable berechnen kannst! a) Kraft: F = m a a =? b) Erdbeschleunigung: g = c) Spannenergie: E = _ G M r =? r _ D s² s =? d) Hebelgesetz: M = F s F =? Gleichungen aufstellen Textaufgaben kann man in eine Gleichung übersetzen und somit lösbar machen.. Für die unbekannte, gesuchte Größe setzt man eine Variable (Platzhalter), z. B. x, y,, ein.. Die Aufgabe wird mithilfe von Variablen, Zahlen und Operationszeichen in eine Gleichung übersetzt. Z. B.: Zu welcher Zahl muss man 9 addieren, um zu erhalten? x + 9 = Gleichung aufstellen: x + 9 = 9 Gleichung lösen: x = 9 x = Die gesuchte Zahl lautet.

4 ganz klar: Mathematik - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger 9 Stelle eine Gleichung auf und löse sie anschließend! a) Zu welcher Zahl muss man addieren, um zu erhalten? b) Von welcher Zahl muss man subtrahieren, um zu erhalten? c) Zu welcher Zahl muss man 9 addieren, um 7 zu erhalten? d) Von welcher Zahl muss man subtrahieren, um 9 zu erhalten? 0 Stelle eine Gleichung auf und berechne die Unbekannte! a) Das Vierfache einer Zahl addiert zu ergibt. b) ist gleich das Doppelte einer Zahl plus. c) ist gleich wie das Doppelte der Summe von einer Zahl x und. d) Wenn man vom Viertel einer Zahl abzieht, erhält man. Welche Gleichung passt zum Text? a) Wird vom Doppelten einer Zahl abgezogen, so erhält man 7. A x = 7 B x = 7 C 7 = x + b) Wird zu einer Zahl addiert, so erhält man 9. A x = 9 B + x = 9 C 9 = x Oma ist viermal so alt wie ihr Enkel Tim. Zusammen sind sie 7 Jahre alt. Wie alt ist Tim?. Variable festlegen Tim = x Oma = x. Gleichung aufstellen x + x = 7. Gleichung lösen x = 7 x =. Antwortsatz schreiben: Tim ist Jahre alt. Frau Riedl ist dreimal so alt wie ihre Tochter Mia. Zusammen sind sie Jahre alt. Wie alt ist Mia? Claudia hat um Paar mehr Schuhe als ihre Freundin Sabi. Gemeinsam haben sie Paar Schuhe. Wie viele Paar Schuhe besitzt Claudia? Helmut ist um Jahre älter als sein Bruder Tom. Gemeinsam sind sie Jahre alt. Wie alt sind die beide jeweils?

5 ganz klar: Mathematik - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger Lösungen a) x = b) x = 9 c) x = d) x = e) x = f) a = g) b = h) x = a) x = b) x = c) x = d) x = e) x = f) x = a) x = b) x = 7 c) a = d) x = a) x = b) x = c) x = d) x = e) x = f) x = a) x = _ b) x = _ c) x = 9 d) x = _ e) x = _ f) x = _ g) x = _ h) x = 9 a) x = b) x = _ c) x = _ d) x = 9 7 a) e = A_ f b) b = u_ a c) b = u a c d) a = A_ b a) a = F_ m b) r = _ G M g c) s = _ E D d) F = M_ s 9 a) x + = ; x = 0 b) x = ; x = c) x + 9 = 7; x = d) x = 9; x = 0 0 a) x + = ; x = b) = x + ; x = 9 c) = (x + ); x = d) = ; x = 0 a) A b) B Mia ist 9 Jahre alt. Claudia besitzt 9 Paar Schuhe. Tom ist Jahre alt und Helmut Jahre.