Download. Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

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2 Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Mathematik üben Klasse 8 Über diesen Link gelangen Sie zur entsprechenden Produktseite im Web.

3 Einfache Gleichungen Regeln für das Lösen von Gleichungen x soll alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen. Dazu darfst du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Beispiele: x + = 9 x = + x + = 9 x + = + x = x = 8 Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens darfst du mit derselben Zahl (ungleich null) multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl (ungleich null) dividieren. Beispiele: x = 6x = 6 : 6 x = 6x : 6 = 6 : 6 x = x = 6 Gleichartige Glieder können zusammengefasst werden. Beispiel: x + + x + + 7x + x + = 0 ordnen x + x + 7x + x = 0 zusammenfassen 9x + = 0 9x = 9 : 9 x = Terme und Gleichungen

4 Einfache Gleichungen. Stelle eine Gleichung auf und berechne x. Gleichung: Gleichung: Lösung: x =. Bestimme die Lösungsmenge durch Anwenden der Umkehroperation. a) x + 7 = b) x = c) x = d) x = e) x = f) x + = g) x = h) x + = 6 i) 6x = j) x = 8 k) x = 7 l) 7x = 9 m) x = n) x = o) x = 7 p) 7 x = q) 8 x = r) x = 8. Forme die Gleichung um und bestimme die Lösungsmenge. a) x + = b) 0 + x = c) x = 8 d) x + = e) 7x = f) 6x = g) x = h) 8x + = 7 i) x + 6 = 6. Fasse zunächst zusammen. Bestimme anschließend die Lösungsmenge. a) x + 7x + = 0 b) x + x = c) x + = 6 x d) x + = x e) 7x + 7 = f) x + x = g) 76 x = x h) 7x + x = 6 i) x + 8x = 6 j) kg kg kg kg kg 6 Terme und Gleichungen Lösung: x = x + x = k) + x = 0 l) x x + = 6. Löse die Bruchgleichungen. a) x + = b) x + x = kg x kg kg kg kg kg kg kg c) x x x + + x =6 x

5 Einfache Gleichungen. Stelle eine Gleichung auf und berechne x. Gleichung: Gleichung: kg x kg kg kg kg kg kg x kg x kg Lösung: x =. Bestimme die Lösungsmenge durch Anwenden der Umkehroperation. a) x + = b) x = 7 c) x = d) x 7, =, e), x = f) x +, =, g) x = 8 h) x = 8 i) 6x = j) x = k) 8 x = l) x = 9 m) 7 x = n) x = p) x = 9 8 o) 8 x = 0 q),x = 8, r),x = 7,6. Forme die Gleichung um und bestimme die Lösungsmenge. a) x + = b) + 7x = c) 7 x = d) x + = 6 e) x = 7 f) 0 + x = 6 g) 0,x = h),x + 7, =,7 i),7x + = 0. Fasse zunächst zusammen. Bestimme anschließend die Lösungsmenge. Lösung: x = a) x x + = 70 b) x x = c) x + 0,7 = 6, x d), x + 7, = x e),,6x + 7, = f) x 8 + x = g) x = 9 x h) 7 8 x x = i) 6,6 + 7 x =,6 7 x j) x + = 8 x k) 6,x = 0 7,x l) x 8 = 6 8 x. Löse die Bruchgleichungen. a) x = b) x+ x+ + = kg kg kg kg kg kg c) kg x kg x x+7 x x+ + 0= 6 Terme und Gleichungen 7 x

6 Einfache Klammerterme Klammern in Summen oder Differenzen Du kannst Klammern in Termen unter Beachtung folgender Regeln weglassen:. Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Beispiel: 8 Terme und Gleichungen x + (7 x) = x + 7 x. Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer weglassen, wenn du aus jedem Plus in der Klammer ein Minus und aus jedem Minus in der Klammer ein Plus machst. Beispiel: x (7 x) = x 7 + x Multiplikation oder Division mit einer Klammer. Beim Multiplizieren einer Summe oder Differenz mit einer Zahl oder einer Variablen können wir die Klammer weglassen, wenn wir folgende Regel beachten: Jede Zahl oder Variable in der Klammer muss mit der Zahl oder Variablen vor (oder hinter) der Klammer multipliziert werden. Beispiele: ( ) (x ) = ( ) x + ( ) ( ) = x + 0 (x + 6) = x + 6 = 6x + 8. Beim Dividieren einer Summe oder Differenz durch eine Zahl oder eine Variable können wir die Klammer weglassen, wenn wir folgende Regel beachten: Jede Zahl oder Variable in der Klammer muss durch die Zahl hinter der Klammer dividiert werden. Beispiel: (7x 9) : ( ) = 7x : ( ) + ( 9) : ( ) = 9x +

7 Einfache Klammerterme. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? Notiere die Ziffer der Fläche hinter den Termen. A = a d u = e + a e A = b c u = a + d A = (a + b) c A = a (d + e) u = (a + b) + c u = a + (d + e). Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben Farbe aus. (x + ) x + x 7x 0,x(6 + 8) 0x + 6x 0x + 7x. Vereinfache die Terme so weit wie möglich. a) + (x ) + x b) (x + ) 7 c) (0 + x) 8 d) (x + 7) + (6x ) e) 8x + (x 0) + f) (, x) ( + x) g) (6x + ) (x 6) h) x(9 + x) + (x + 8x). Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle die leeren Felder. 8, x Dividend x : x +,6 x x + x 8x + 6 x 8 x + y x(0x + 8) (x + ) x x + (x + y) x + 0y 0,. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen. a) x 7(x ) b) (a + b) + (a b) (a + b) c) ( + x) + x(x ) d) x + x(7x ) + 6(x ) e) 0,(x 6), 8x +,(x + 8) f) [(x ) 6( x)] Terme und Gleichungen 9 d a b c

8 Einfache Klammerterme. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? Notiere die Ziffer der Fläche hinter den Termen. A = a e A = h (a + b) A = (g + f) b A = h (m a) A = (e + d) (a + b + c) 0 Terme und Gleichungen u = d + a u = f + c u = (g + f) + b u = (a + e) u = (a + b + c + h). Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben Farbe aus. 6x + 9,x +,x 0 ( x +,) x + 8 x x + x x +. Vereinfache die Terme so weit wie möglich. a) (x 9) + 8x b) (x + ) 0 d) x ( x ) 0 e) x ( x ) ( ) x x Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle die leeren Felder. x(x + ) (x + ) 7 x c),(,,6x) 9 (,x + 7,) f) ( x ) ( + x) , 8 x Dividend x : 6x +, x x + 7 x 6x + 7 x 0, x + 6. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen. a),x 0,(8x ) + b),(a + b) +,(a b) 0,(a + b) c) 7 ( + x) + x ( 6x ) 8 7 x + x + (x ) d) ( x ) a b c e d m f g h

9 Produkte von Summen Multiplizieren von Summen und Differenzen Wenn du zwei Summen miteinander multiplizieren willst, musst du jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. Es gilt: () (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd () (a + b) (c d) = ac ad + bc bd () (a b) (c + d) = ac + ad bc bd () (a b) (c d) = ac ad bc + bd Beispiele: () ( + x) ( + y) = + y + x + xy oder: (s + t) (s + u) = s s + s u + t s + t u = 6s + 8su + st + ut () ( x) ( y) = y x + xy oder: (s t) (s + u) = s s + s u t s t u = 6s + 8su st ut () ( + x) ( y) = y + x xy oder: (s + t) (s u) = s s s u + t s t u = 6s 8su + st ut () ( x) ( y) = y x + xy oder: (s t) (s u) = s s s u t s + t u = 6s 8su st + ut Terme und Gleichungen

10 Produkte von Summen. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? Notiere die Ziffer der Fläche unter den Termen. A = (c + d) (e + f) A = c (b e) A = (e + f) d A = (b f) (a d) A = (c + d) f A = (a c) e A = a f c f A = b c f c. Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich. a) (a + b) (x + y) b) (c + d) (e f) c) (a b) (s + t) d) (a b) (c d) e) ( + x) ( + y) f) ( x) (8 + y) g) (a + ) ( b) h) (7 + x) (7 + y) i) ( + a) ( + b) j) (s ) (t + ) k) (a + ) (b ) l) (x ) (y ) m) ( + x) (y + ) n) (a b) ( + b) o) (7c a) (b + 8d) p) (m n) (m + n). Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben Farbe aus. (x + y) (x + y) + y + x + xy x + xy + y y x + xy 6x + x 8 (x ) ( x) x + y + xy + x (x + ) (x ) (x + ) (y ) ( + x) ( + y) (x + ) ( + y). Vereinfache die Terme so weit wie möglich. a) (x + ) (y + ) xy b) xy (y + ) (x + ) c) + (x ) (y + ) d) (y + ) ( x) + x e) 8x + (x 0) (x + ) x f) (, x) ( + x) + x g) ( x + y ) (6 + y) 0y h) xy + (x + 0,y) ( x) i) 7 + (xy ) ( x y ). Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle die leeren Felder. x x x + y 0,y 0,x x y x + 6 c a d f e b Terme und Gleichungen

11 Produkte von Summen. Welcher Term passt zu welcher(n) Fläche(n)? A = a (e + f) A = (a c) f A = (e + f) (a c) A = f (a d) A = c f + d f A = a e c e A = a f d f A = b c f c. Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich. a) (6a + ) ( + y) b) (x + y) (e f) c) ( x) (6y 9) d) (0,a +,) (c ) e) (, b) (8 + y) f) (x y) (,x + y) g) ( a + 7 ) ( b ) j) (,x ) ( t + ) h) 7 ( + x ) ( 60 + y 7 ) k) (, b 8 ) ( b, 9 ). Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben Farbe aus. ( x + y ) ( x y ) x x 0 (x ) ( x) i) ( x a 6 ) ( + b ) l) ( ) x + y ( x y ) x 6 x + 6xy ( ) y x + y ( ) x y x y x + 6xy 8x + y (x + ) (y ) (x + ). Vereinfache die Terme so weit wie möglich. a) ( x + ) ( y + ) xy b),xy + ( ) e) ( ) x + (6x,) (x + 8) f) +,6x d) (y + 0,) ( 8x). Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle die leeren Felder. x 6 x y x +, x 6x y + (x + ) c) 7, + (0,x ) (y + ) c ( + x) x + y y,x a Terme und Gleichungen d f e b

12 Gleichungen mit Klammern Lösen von linearen Gleichungen mit Klammern Du kannst eine Gleichung immer mithilfe der folgenden Umformungen lösen: Du kannst die Klammer(n) auf beiden Seiten der Gleichung auflösen. die Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen oder umformen. auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. die beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ( 0) oder demselben Term multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl oder denselben Term dividieren. beide Seiten der Gleichung vertauschen. Beispiel: (x + 7) x = x + 6 Klammern auflösen x + x = x + 6 gleichartige Terme zusammenfassen x + = x + 6 x auf beiden Seiten der Gleichung 8x + = 6 auf beiden Seiten der Gleichung 8x = 0 : 8 auf beiden Seiten der Gleichung x = L = {} Anzahl der Lösungen von linearen Gleichungen Lineare Gleichungen können entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Beispiel: (keine Lösung) (x + ) = (x + ) x Klammern auflösen x + 0 = x + 6 x zusammenfassen x + 0 = x + 6 x 0 = 6 L = { } Terme und Gleichungen Beispiel: (unendlich viele Lösungen) (x + ) = x + 6 Klammern auflösen x + 6 = x x = x L = { } Diese Gleichung hat keine Lösung, weil nach den Umformungen eine falsche Aussage entstanden ist. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, weil nach den Umformungen eine Aussage entsteht, die immer wahr ist. Die Gleichung ist allgemeingültig.

13 Gleichungen mit Klammern. Stelle eine Gleichung auf und berechne x. a) c) A = 68 cm x + cm u = 0 cm cm cm x + cm b) d) x cm. Löse die Gleichungen und bestimme die Lösungsmenge. 0 cm 6 cm A = 6 cm x cm A = cm cm a) + (x + 7) = 6 b) x (x ) = c) (x + ) 6 = x (x + 7) d) (x + 7) = 7 e) x (x + ) = ( + x) f) 7(6 x) = (x + ) g) (x + ) = (x + ) ( ) h) (x + y) = y 0 i) (7 + x) ( ) = ( x ) j) (x + ) (x ) = 8 k) (8x ) = l) (0, + x) 0 = (x ) m) ( x + ) = 0 (0x 70) n) ( 8 x ) = o) ( 0 x 0,) = p) (x + ) ( + x) = (x + 6) (x ) q) ( x) ( + x) = (7 x) (x + ) r) ( x) ( x) = (x + ) (x + ) s) (x + ) (x + 6) = (x ) (x + ). Kreuze die richtige Lösung an. L = { } a) ( + x) = + 0x L = { } L = c) x (x + ) = (x + 0) L = { } L = { } L = L = { } b) + 7 (9 x) = x L = { } L = d) (x + ) (x ) = x + x. Zahlenrätsel. Stelle eine Gleichung auf und berechne die gesuchte Zahl. L = { } L = { 0 } L = Das Zehnfache der gesuchten Zahl vermindert um das Fünffache der um vergrößerten Zahl ergibt 0. Terme und Gleichungen

14 Gleichungen mit Klammern. Stelle eine Gleichung auf und berechne x. a) A = m m c) 7 m A = 90 m b) x + m h= m 0 x+ m A = 9,8 m 6 Terme und Gleichungen d) 9 x 0 m. Löse die Gleichungen und bestimme die Lösungsmenge. A = 0, m x 0 m m a) (x + 7) = 8 b) x (x + ) = c) (8x + 6) + 6 = x (x + 7) d) 7 x = ( x + 8) e) (x + y) 0,y = y f) (x + 7) (x + ) = (x + ) (x ) g) ( x) ( x) = (x ) (,x + ) h) ( x ). Kreuze die richtige Lösung an. L = { } a) ( + x) = +,8x L = { } L = L = { } c) 8 x (x + ) = (x + ) L = { 66} L = e) 0,7( 6x + ) = 0,(9x + ) L = { } L = { } L = 8 (8 + x) + 6 ( ) = x (x + ) L = { } b) ( x) = ( + 0,x) L = { } L = d) ( x + )( x ) f) ( x )( x + ) = x + x = (x x), L = { } 6 L = L = { }. Zahlenrätsel. Stelle eine Gleichung auf und berechne die gesuchte Zahl. Das Produkt aus der Zahl und deren Nachfolger ist um 8 größer als das Quadrat des Vorgängers der Zahl. L = { } L = { 0 } L =

15 Anwendungsaufgaben von Gleichungen Bedienungsanleitung zum Lösen von Sachaufgaben Die folgenden Schritte erleichtern dir das Lösen von Sachaufgaben mithilfe von Gleichungen: Beispiel: Mario hat einen Bruder und eine Schwester. Sein Bruder ist Jahre älter als er selbst und seine Schwester ist halb so alt wie sein Bruder. Zusammen sind er und seine Geschwister Jahre alt. Wie alt ist Mario? Variable festlegen: x entspricht dem Alter von Mario. Übersetzen des Textes in Terme: Alter von Mario: x Alter des Bruders: x + Alter der Schwester: (x + ) Aufstellen der Gleichung: Die Summe der Altersangaben ergibt. x + (x + ) + (x + ) = Gleichung lösen: x + (x + ) + (x + ) = Klammern auflösen x + x + + x +, = zusammenfassen x + 7, = 7, Lösung mithilfe der Probe überprüfen: x = 7, : x = (7 + ) + (7 + ) = = = = wahre Aussage 6 Überprüfen, ob die Lösung Sinn ergibt: Mario ist 7 Jahre alt. Sein Bruder ist Jahre und seine Schwester ist 6 Jahre alt. Gemeinsam ergibt das Jahre. 7 Antwortsatz formulieren: Mario ist 7 Jahre alt. Terme und Gleichungen 7

16 Anwendungsaufgaben von Gleichungen. Zahlenrätsel a) Addiere zu einer Zahl und multipliziere das Ergebnis mit der Zahl 8. Dasselbe Ergebnis erhältst du auch, wenn du die Zahl verdoppelst und dann 6 addierst. b) Vermehrt man die Hälfte einer Zahl um 8, so erhält man das Dreifache ihres Nachfolgers.. Altersrätsel a) Armin ist heute Jahre älter als Sophie. Vor 8 Jahren war er doppelt so alt wie Sophie. b) Max und Martin sind zusammen 0 Jahre alt. Vor Jahren war Max noch doppelt so alt wie Martin.. Aufgaben aus der Geometrie a) Das rechteckige Grundstück von Familie Schmidt hat einen Umfang von m. Dabei ist die eine Seite des Grundstücks m länger als die andere Seite. b) Von einem gleichschenkligen Dreieck ist der Umfang von cm bekannt. Außerdem ist jeder Schenkel dreimal so lang wie die Basis.. Bewegungsaufgaben a) In Frankfurt fährt um.00 Uhr ein Zug in Richtung München mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h ab. Eine Stunde danach verlässt ein ICE den Frankfurter Hauptbahnhof ebenfalls Richtung München. Der ICE hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 0 km/h. Um wie viel Uhr hat er den ersten Zug eingeholt? b) Zwei Flugzeuge starten zum gleichen Zeitpunkt von zwei verschiedenen Flughäfen aus in entgegengesetzte Richtung. Die Flughäfen liegen 00 km auseinander. Flugzeug fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h. Flugzeug fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 90 km/h. Nach welcher Zeit treffen sich die beiden Flugzeuge?. Verteilungsaufgabe Marc, Sebastian und Romero bilden eine Lotto-Tippgemeinschaft. Dabei zahlt Marc doppelt so viel wie Sebastian und Sebastian dreimal so viel wie Romero ein. Als sie 86 gewinnen, soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden. Wie groß ist der jeweilige Anteil? 6. Mischungsaufgaben Aus den beiden Kaffeesorten Arabica und Robusta soll die Kaffeemischung Delicio hergestellt werden. Dabei kostet ein Kilogramm der Sorte Arabica 7,0 und ein Kilogramm der Sorte Robusta,0. Die Mischung Delicio soll pro Kilogramm,6 kosten. Wie viel Kilogramm von jeder Sorte werden für 0 kg Delicio benötigt? 8 Terme und Gleichungen

17 Anwendungsaufgaben von Gleichungen. Zahlenrätsel a) Zeige rechnerisch, dass folgende Behauptung gilt: Die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist gleich der Summe dieser Zahlen. (Beispiel: = + ) b) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen beträgt 66. Wie lauten die drei Zahlen?. Altersrätsel Martins Vater ist heute dreimal so alt wie Martin. Vor Jahren war er noch fünfmal so alt. Wie alt ist Martin?. Aufgaben aus der Geometrie a) In einem Dreieck ist der Winkel bekannt. Er ist 0 groß. Von den anderen beiden Winkeln weiß man, dass deren Differenz viermal so groß wie der Winkel ist. Bestimme die Winkel und. b) Verlängert man die Kanten eines Würfels um cm, so erhöht sich dessen Oberfläche um cm. Berechne die Kantenlänge des Würfels.. Bewegungsaufgaben Marvin und Tristan wollen ein Fahrradrennen machen. Weil sich Marvin heute sehr fit fühlt, gibt er Tristan einen Vorsprung von zwölf Minuten. Tristan fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 0 km/h. Marvin erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit von km/h. Nach welcher Zeit hat Marvin Tristan eingeholt? Wie weit sind sie bis dahin gefahren?. Mischungsaufgaben a) Sophie möchte sich einen großen Kakao (00 ml) zubereiten. Leider findet sie im Kühlschrank nur noch 00 ml Milch mit einem Fettgehalt von, % und 00 ml Milch mit einem Fettgehalt von 0,%. Wie groß ist der Fettgehalt der Mischung? b) Welche Menge (ml) 9%-igen Alkohols wird benötigt, um mit 00 ml 0%-igem Alkohol eine Mischung mit % Alkohol herzustellen? 6. Sachaufgabe Auf dem Bauernhof von Jans Eltern leben viele Hühner und Kaninchen. Es sind zusammen 8 Tiere mit insgesamt 0 Füßen. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen leben auf dem Bauernhof? Terme und Gleichungen 9

18 Die binomischen Formeln Die erste binomische Formel (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b Beispiel: (x + y) (x + y) = (x + y) = (x) + x y + y = x + xy + y Du kannst auch eine Summe in ein Produkt umwandeln: 6x + 60x + = (6x) + 6x + () = (6x + ) = (6x + ) (6x + ) Berechnen von Quadratzahlen: 9 = (90 + ) = = = Terme und Gleichungen Die zweite binomische Formel (a b) = (a b) (a b) = a ab ab + b = a ab + b Beispiel: (x y) (x y) = (x y) = (x) x y + y = x xy + y Du kannst auch eine Summe in ein Produkt umwandeln: 6x 60x + = (6x) 6x + () = (6x ) = (6x ) (6x ) Berechnen von Quadratzahlen: 8 = (60 ) = = = 6 Die dritte binomische Formel (a b) (a + b) = a + ab ab b = a b (a + b) (a b) = a b Beispiel: (x + y) (x y) = (x) (y) = x y Du kannst auch eine Summe in ein Produkt umwandeln: 6x = (6x) () = (6x + ) (6x ) Berechnen von speziellen Produkten: 6 = (0 + ) (0 ) = 0 = = 8

19 Die binomischen Formeln. Male gleichwertige (äquivalente) Terme mit derselben Farbe aus. x 0x + x 6xy + 9y x 9y (x ) (x + y) x y (x y) (y + x) (x y) (x + y) 9x + xy + y (x y). Wo wurden die binomischen Formeln korrekt angewendet? Kreuze an. a) (x + y) = x + 6xy + 6y b) (x y) (x + y) = x 6y c) (a b) = a ab + 9b d) (u + v) = u +uv + 9v. Schreibe als Term ohne Klammern. (Wende die binomischen Formeln an.) a) (a + b) (a b) b) (p + q) c) (9 z) d) (u + v) (u v) e) ( + k) f) (s t) g) (x + y) (x y) h) (x y) i) (st + z). Schreibe als Produkt. (Wende die binomischen Formeln rückwärts an.) a) u v b) s + st + t c) 9x 6xy + y d) a 8b e) 0b + b f) a + a + 6 g) 0,a b h) a s ast +t. Fülle die Lücken. a) ( y) = 9x + b) ( + ) ( ) = x c) (0,x + ) = + x + d) 6 x = ( ) ( ) 6. Wo wurden hier Fehler gemacht? Markiere und verbessere die Fehler. a) x + t = (x + t) (x t) b) (x + y) = 6x +6xy + y c) (a + b) (a b) = 8a b d) (0,9s xt) = 8,s,8stx + x t 7. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln. a) 6 = b) 7 = c) 0 = Terme und Gleichungen +

20 Die binomischen Formeln. Wo wurden die binomischen Formeln korrekt angewendet? Kreuze an. a) (s + t) = s +st + t b) x 9y = (x + 7y) (x 7y) c) (,a b) =,a + 9b 6ab d) (s t + x ) (s t x ) = s t 6 x e) ( ) a x 7 Terme und Gleichungen = 9 9 a 7 ax + 9 x f) ( ) a + 6x. Schreibe als Term ohne Klammern. (Wende die binomischen Formeln an.) = 9 a + a x + 6x a) ( + y) b) (s t) (s + t) c) (,x y) s + t 7 d) (,7u + v) (,7u v) e) ( 7 k) f) ( ) x 0y g) ( ) j) (,a ) + b (,a b ) h) (,a + b) (,a b) i) ( ). Schreibe als Produkt. (Wende die binomischen Formeln rückwärts an.) a + b k) (0,xz + 0,yz) a) x + xy + y b) 69 t c) a + ab + 9b d) 9a ab + 8b e) 6 s s + f) 7 9 v g) 6 a + ab + 9 b h) x s + xs t + 0,t i) x s xs t + t. Fülle die Lücken. a) (x + ) ( y) = b) (0,x ) = + 0,0 c) ( + ) = x + +, d) a b = ( +,) (,). Wo wurden hier Fehler gemacht? Markiere und verbessere die Fehler. a) (x + t) = x + xt t b) (x y) (x + y) = 9x 6y x y c) ( y) = 6 0y + y d) ( ) e) ( ) u + v 7 = 9 9 u + uv = 9 6 x 9 xy + y v f) ( x + y) ( x y) = 9 x 0,0y 6. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln. a) 7 = b) 9 =

21 Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln Lösen von linearen Gleichungen mit binomischen Formeln Binome auflösen: (x + ) = (x ) Binome auflösen Quadratische Summanden subtrahieren: x + 6x + 9 = x 0x + x Mithilfe von Äquivalenzum- 6x + 9 = 0x + + 0x formungen lösen: 6x + 9 = 9 6x = 6 : 6 x = L = { } Spezielle Gleichungen mit Produkten aus Summen oder Differenzen Manchmal ist es einfacher, eine Gleichung aus Produkten von Summen oder Differenzen zu lösen, wenn man die Klammern nicht auflöst. Beispiel: (x + ) (x ) = 0 Du weißt: Wenn ein Produkt den Wert null hat, ist mindestens ein Faktor null. Bei unserem Beispiel bedeutet das also: (x + ) = 0 oder (x ) = 0 Wir bekommen also zwei Gleichungen, die sehr leicht zu lösen sind: x + = 0 oder x = 0 + x = x = Wir erhalten also die Lösungsmenge L = { ; } weil beide Lösungen die Gleichung erfüllen: Probe: x = x = ( + ) ( ) = 0 ( + ) ( ) = 0 0 ( 8) = = 0 0 = 0 0 = 0 wahre Aussage wahre Aussage Terme und Gleichungen

22 Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln. Wiederholung: Bestimme die Lösungsmenge. a) 7(x + ) = 6 b) (x 7) = 8 c) (x + 6) x = d) (x ) + x = 8 e) 8(x ) = f) (x ) + = g) ( + x) + x = 7 h),( +x) x = 8 i) 7,(x + ) + x = 78 j) ( + x) + x = k) 7(x + ) + 99 = 97 l) 6(x +,) + x =. Multipliziere aus und gib die Lösungsmenge an. a) (x + 7) + (x ) = b) (x ) (x + ) = c) (x ) + (x + 7) + = 8 d) 9( + x) (x + ) = 86 e) (x ) + (x 0) + = f) 6( + x) + (x ) x = g) 6 + ( x) = 7(x + 6) h) (x + ) = (x ) + 8 i) (x ) + x = (x + 7) + j) x (x ) = (x + ). Multipliziere die Klammern aus und gib die Lösungsmenge an. a) (x + 7) (x ) = 6(x ) +x b) (x ) (x + ) + 7 = (x + ) (x ) c) (x + ) (x ) = (x 7) d) (x ) (x + ) = (x + 6) (6x + ) + 9. Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichungen. a) (x 7) = (x 9) b) (x + ) = (x + ) (x ) c) (x + 9) = (x ) d) (x 6) (x + 6) = (x + 8) (x 8) + x e) (x + ) = (x ) f) (x + ) + x = (x ). Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen. (Tipp: Manchmal muss man die Klammern nicht auflösen.) a) (x ) (x + ) = 0 b) (x + 8) (x + ) = 0 c) ( x) (x ) = 0 d) (0 x) ( + x) = 0 e) (x + ) = 0 f) (x ) = 0 g) (7 x) = 0 h) ( + x) = 0 6. Wende die binomischen Formeln rückwärts an und bestimme die Lösungsmenge. a) x = 0 b) x 6 = 0 c) x 69 = 0 d) x + 8x + 6 = 0 e) x + x + = 0 f) x 8x + 96 = 0 g) x x = 6 h) x 7 = 0 i) x + = 0x Terme und Gleichungen

23 Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln. Wiederholung: Bestimme die Lösungsmenge. a) (x ) x = 8 b) (x ) 0 = 0 c) 9(x + 7) + = 7 d),7(6 + x) 0x =, e) ( + x), +,x = 88 f) (x + ) + x = 0, g) ( 7 + 0x) x = h) ( x ). Multipliziere aus und gib die Lösungsmenge an. 6 = 8 6 i),7( x, ) a) (x + ) ( x ) = 0, b) ( x ) + (x + ) = 9 c) ( ) (x 7) +,6 = x d) 9 (8 +,x) (x + ) = 6. Multipliziere die Klammern aus und gib die Lösungsmenge an. x = 7 a) (x ) (x + ) = (x ) + x b) (x ) (x ) + 0x = (x 7) (x + ) + c) ( x) (x + ) = 8(x ) + 6 d) ( x ). Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichungen. (9x + ) = (x ) (x + ) a) (x + ) = (x + 8) 7 b) (x 0) = (x + 7) (x 7) c) ( x + ) = ( x ) x x + = x + x + x + + (x ) = (x + ) (x ) f) (x + ) = (x ) +x e) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen. (Tipp: Manchmal muss man die Klammern nicht auflösen.) a) (x ) (x + 9) = 0 b) ( x + 8 ) ( x + 7 ) = 0 c) (x +,) = 0 d) ( ) x 6 = 0 6. Wende die binomischen Formeln rückwärts an und bestimme die Lösungsmenge. a) x = 0 b) x, = 0 c) x + x + = 0 d) x +,x +,89 = 0 e) x 0,8x + 0,08 = 0 7. Zeige rechnerisch, dass folgende Behauptung gilt: Die Summe der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen (n und n + ) ist um größer als das doppelte Produkt dieser Zahlen. Terme und Gleichungen

24 Lösungen: Einfache Gleichungen. a) kg = x + Þ x = kg b) 6 kg = x x = kg Þ. a) x = b) x = 8 c) x = 8 d) x = 9 e) x = f) x = 8 g) x = 8 h) x = 7 i) x = 9 j) x = 7 k) x = l) x = 7 m) x = 6 n) x = 0 o) x = p) x = 77 q) x = 0 r) x =. a) x = b) x = 7 c) x = d) x = e) x = 8 f) x = 6 g) x = h) x = i) x =. a) L = { 9 } b) L = { 6 } c) L = { } d) L = { } e) L = { 7 } f) L = { } g) L = { 7 } h) L = { } i) L = { } j) L = { } k) L = {, } l) L = {,6 }. a) L = { } b) L = { 0 } c) L = {, } Terme und Gleichungen

25 Lösungen: Einfache Gleichungen. a) x + 7 kg = x + kg Þ x = kg b) 6 kg = x + kg Þ x = kg. a) x = 8 b) x = c) x = 6 d) x = e) x = 8,7 f) x = 9,7 g) x = 6 h) x = i) x = 9 j) x = 8 k) x = 6 l) x = m) x = n) x =, o) x = p) x = 9. Terme und Gleichungen q) x = 9 r) x = a) x = 8 b) x = 6 c) x = 9 d) x = 6 e) x = 7 f) x = g) x = 0 h) x = i) x = 8. a) L = { } b) L = { 9 } c) L = {,9 } d) L = {, } e) L = { 7, } f) L ={ 7 0 } g) L = { } h) L = { 7 } i) L = { } j) L = { 6 } k) L = { 0 } l) L = { 8 }. a) L = { } b) L = { } c) L = { 6 }

26 Lösungen: Einfache Klammerterme. A = a d u = e + a A = b c u = a + d A = (a + b) c + + u = (a + b) + c + + A = a (d + e) + u = a + (d + e) +.. a) x b) x + c) 8x + d) x 0 e) x + f) 7x +, g) x + 9 h) 8x + x. 8, x Dividend x 8x 6,x + x 6x : x +,6 x x + x 8x + 6 6x + 8 0x x + 8x x + 0,8 x x + x x 0 x, + 0x x x 8 8 x 0, + 8 x x x x + 0y 8x + 80y,x y x + 0xy 0, x + 8, x x + 8x. (x + ) x + x x(0x + 8) 7x 0x + 6x 0,x(6 + 8) 0x + 7x x + y a) 9x + b) a 9b c) x + 8x (x + ) x x + (x + y) d) x + x 9 e),x + 0 f) x Terme und Gleichungen

27 Lösungen: Einfache Klammerterme. A = a e u = d + a A = h (a + b) + + u = f + c A = (g + f) b u = (g + f) + b A = h (m a) + + u = (a + e) A = (e + d) (a + b + c) u = (a + b + c + h) x + 9,x +,x 0 ( x +,) Terme und Gleichungen x(x + ) (x + ) x + 8 x x + ( x x + 00 x x ) x (,x + 7,) 7 9 a) x + 0 b) x +,7 c) 6 7x d) x e) x x f) x., 8 x Dividend x : 6x +, x x + x 8 x 9 6 x 6 7 x 6x + x + 8x 0x + x x + 8 0, x x + x 7 x x 0, x 8, + x x x x 8 x 7 x x x 8 x 6 8 x + 8 x 8x + x x + 6 x. a) 0,7x + b) 8,a b c) 7x x 0 d) x 8 x

28 Lösungen: Produkte von Summen. A = (c + d) (e + f) A = c (b e) A = (e + f) d A = (b f) (a d). A = (c + d) f + A = a f c f + A = (a c) e A = b c f c a) ax + ay + bx + by b) ce cf + de df c) as + at bs bt d) ac ad bc + bd e) 6 + y + x + xy f) 0 + y 8x xy g) a ab + 0 b h) 9 + 7y + 7x + xy i) 0 b + a +ab j) st + s t k) ab 6a + 0b 8 l) xy 6x y + m) 6y + xy + x n) 8a + 8ab 6b 6b o) bc + 6cd ab ad p) m n.. (x + y) (x + y) + y + x + xy x + xy + y y x + xy 6x + x 8 (x ) ( x) x + y + xy + x (x + ) (x ) (x + ) (y ) ( + x) ( + y) (x + ) ( + y) a) x + y + xy b) xy x y c) xy + 6x y d) y 6xy x + 7 e) x + x 0 f) 0,x x g) 6y +,xy + x 8y h) 0,xy + 0x 6x +,y i) 7 + x y xy x + y. x x x + y 0,y 0,x x y x x xy + y x x y + xy x + xy y xy + 0,x 0,y x + 6 x x 0 x x + x + xy + 6x + y xy x + y x Terme und Gleichungen

29 Lösungen: Produkte von Summen. A = a (e + f) A = (a c) f A = (e + f) (a c) A = f (a d) A = c f + d f + Terme und Gleichungen A = a f d f + A = a e c e A = b c f c. a) a + ay + y + 6 b) ex 6fx + ey 0fy c) 0y xy + 8x d) ac a + c 6 e) 8+ 9y 8b by f) 6x +,8xy y g) a y + x + ab + 7b h) xy i) x + bx 6 a 6 ab j) 8 xt,x t k) 8 7 b 8 9 b l) x 9 6 y.. ( x + y ) ( x y ) x x 0 (x ) ( x) x 6 x + 6xy ( ) y x + y ( ) x y x y x + 6xy 8x + y (x + ) (y ) (x + ) 6x a) x + y + b),xy + x + y + c) 0,xy +,x y +, d) 6y x xy +, e) 6x + 8 x 6 f) 8,8 + 6x + 7,x. x, x x + y 6 y,x x y x x xy + 6 y 8,8x x,y + xy x + 7 xy y,xy 8x y x + x 6 x x,8x + 8,8 x + xy + 8y + x,x + xy + 0y 8x

30 Lösungen: Gleichungen mit Klammern. a) 68 = (x + ) x = cm b) = 6 (x ) x = cm c) 0 = (x + ) + x =, cm d) 6 = (x ) x = 7 cm. a) L = { 8 } b) L = { } c) L = { } d) L = { 9 } e) L = { } f) L = {, } g) L = {, } h) L = { } i) L = { } j) L = { 8; 8 } k) L = { } l) L = { } m) L = { } n) L = { 8 } o) L = { } p) L = { 9 } q) L = { } r) L = { } s) L = { }. a) L = Q b) L = { } c) L = { } d) L = { 0 }. Gleichung: 0x (x + ) = 0 x = Terme und Gleichungen

31 Lösungen: Gleichungen mit Klammern. a) = b) 9,8 = ( x + 0 ) 0 x) (x + ) x = m Terme und Gleichungen x = 7 m c) 90 = 7 ( x = 0 m 9 d) 0, = 0 ( ) x x = 8 m. a) L = { } b) L = { } c) L = { } d) L = {, } e) L = { 6 } f) L = {,6 } g) L = { }. 9 h) L = { } a) L = Q b) L = { } c) L = { 66} d) L = { } e) L = { } f) L = { 0 }. Gleichung: x (x + ) 8 = (x ) x = 6

32 Lösungen: Anwendungsaufgaben von Gleichungen. a) Gleichung: (x + ) 8 = x + 6 x = Die Zahl lautet. b) Gleichung: x + 8 = (x + ) x = Die Zahl lautet.. a) x entspricht dem heutigen Alter von Sophie. Gleichung: (x + 8) = (x 8) x = Sophie ist Jahre alt. b) x entspricht dem Alter von Max.. Gleichung: (x ) = (0 x ) x = Max ist Jahre alt. a) x entspricht der Länge der kürzeren Seite in Metern. Gleichung: x + (x + ) = x = 0 Die kürzere Seite ist 0 m lang. b) x entspricht der Länge der Basis in Zentimetern.. Gleichung: x + x = x = Die Basis ist cm lang. a) x entspricht der Fahrzeit in Stunden. Gleichung: 80x = 0(x ) x = Die Züge treffen sich um 7.0 Uhr. b) x entspricht der Flugzeit in Stunden.. Gleichung: 80x = 00 90x x = Die Flugzeuge treffen sich nach Stunde und 0 Minuten. x entspricht Romeros Gewinnanteil. Gleichung: x + x + 6x = 86 x = 8,6 Romero bekommt 8,60 ; Sebastian bekommt 8,80 ; Marc bekommt 6 77, x entspricht der Menge Arabica in Kilogramm. Gleichung: 7,x +,(0 x) =,6 0 x =, Die benötigten Mengen betragen: Arabica:, kg und Robusta: 8, kg. Terme und Gleichungen

33 Lösungen: Anwendungsaufgaben von Gleichungen. a) x entspricht der gesuchten Zahl. Gleichung: (x + ) x = (x + ) + x x + = x + b) x entspricht der kleinsten gesuchten Zahl. Gleichung: x + (x + ) + (x + ) = 66 x = Die gesuchten Zahlen lauten,,.. x entspricht dem aktuellen Alter von Martin. Gleichung: x = (x ) x = 0 Martin ist heute 0 Jahre alt.. a) x entspricht dem kleineren Winkel. Gleichung: x + (x + 80) + 0 = 80 x = 0 Der kleinere der beiden gesuchten Winkel ist 0, der größere 0 groß. b) x entspricht der ursprünglichen Kantenlänge des Würfels.. Gleichung: 6(x + ) = 6x + x = 8 Die Kantenlänge des Würfels betrug 8 cm. x entspricht der Fahrzeit in Stunden. Gleichung: 0x = (x 0,) x = Marvin hat Tristan nach genau einer Stunde eingeholt. Sie sind bis dahin 0 km gefahren.. a) x entspricht dem Fettanteil der Mischung in Prozent. Gleichung: 00, , = 00 x x =,8 Der Fettgehalt der Mischung beträgt,8 %. b) x entspricht der Menge 9%-igen Alkohols in ml. 6. Gleichung: x 9 = (00 + x) x = 8 Es werden 8 ml von dem 9%-igen Alkohol benötigt. x entspricht der Anzahl Kaninchen. Gleichung: x + (8 x) = 0 x = 7 Es leben 7 Kaninchen und Hühner auf dem Bauernhof. Terme und Gleichungen

34 Lösungen: Die binomischen Formeln. x 0x + x 6xy + 9y x 9y (x ) (x + y) x y (x y) (x + y) (x y) (x + y) 9x + xy + y (x y). b) c). a) a b b) p + pq + q c) 8 8z + z d) u v e) k + k f) s 6st + 9t g) x 6y h) x xy + y i) s t + stz + z. a) (u + v) (u v) b) (s + t) c) (x y) d) (a + 9b) (a 9b) e) ( b) f) (a + 6) g) (0,a + b) (0,a b) h) (as t). a) (x y) = 9x 0xy + y b) (x + ) (x ) = x 9 c) (0,x + ) x ( = x ) ( x + ) = 0,x + x + d) 6 6. a) x t = (x + t) (x t) b) (x + y) = 9x +6xy + y c) (a + b) (a b) = 6a b d) (0,9s xt) = 0,8s,8stx + x t 7. a) 6 = (0 + ) (0 ) = = 8 b) 7 = (0 ) = = = 69 c) 0 = (00 + ) = = = 0 Terme und Gleichungen

35 Lösungen: Die binomischen Formeln. a) b) e). a) + 0y + y b) s t c) 6,x xy + y d),89u v e) 9 + k + k f) g) x 8xy + 00y h),a b i) j),69a 6 6 b k) 0,x z + 0,xyz + 0,09y z. Terme und Gleichungen 9 s + st + t a + ab + a) (x + y) b) ( + t) ( t) c) (a + b) d) (a 9b) e) ( s g) ( ). a b ) f) ( + v) b ( v) h) (xs + 0,t) i) ( ) x s t a) (x + y) (x y) = x 9y b) (0,x 0,) = 0,09x 0,x + 0,0 c) (x +,) = x +,x +, d) a b, = ( a b +, ) ( a b, ). a) (x + t) = x + xt + t b) (x y) (x + y) = 9x 6y x y c) ( y) = 6 0y + y d) ( ) e) ( ) 6. u + v 7 = 9 9 u + uv + 7 = 9 6 x + xy + y v f) ( x + y) ( x y) = 9 x y a) 7 = (0 + ) (0 ) = 00 9 = 9 b) 9 = (90 + ) = = = 8 69

36 Lösungen: Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln. a) L = { } b) L = { } c) L = { } d) L = { 7 } e) L = { } f) L = { } g) L = { 9} h) L = { 7 } i) L = { } j) L = { } k) L = { 9 } l) L = { 8}. a) L = { } b) L = { } c) L = { } d) L = { } e) L = { 0 } f) L = { } g) L = { } h) L = { 7 } i) L = { 9 } j) L = { }. a) L = { } b) L = { } c) L = { } d) L = { }. a) L = { 8 } b) L = { } c) L = { } d) L = { } e) L = { 0 } f) L = { }. a) L = { ; } b) L = { 8; } c) L = { ; } d) L = { ; 0 } e) L = { } f) L = { } g) L = { 7 } h) L = { } 6. a) L = { ; } b) L = { 6; 6 } c) L = { ; } d) L = { } e) L = { } f) L = { } g) L = { 6 } h) L = { ; } i) L = { } Terme und Gleichungen

37 Lösungen: Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln. a) L = { 8 } b) L = { 7} c) L = { } d) L = { 6} e) L = { } f) L = {, } g) L = Q h) L = { } i) L = { }. a) L = { 0, } b) L = { } c) L = { 7 } d) L = {, }. a) L = { } b) L = { 8} c) L = { } d) L = { 9 }. a) L = { } b) L = { 8 } c) L = { 8} d) L = Q e) L = { 0} f) L = { }. Terme und Gleichungen a) L = { 9; } b) L = { 8 ; 7} c) L = {,} d) L = { } 6. a) L = { ; } b) L = {,;, } c) L = { } 6 d) L = {,7 } e) L = { 0, } 7. n + (n + ) = n + n + n + = n + n + = (n + n) + = [n (n + )] +