Vorkurs: Mathematik für Informatiker Steven Köhler, Anja Moldenhauer, Marcel Morisse

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1 Vorkurs: Mathematik für Informatiker Steven Köhler, Anja Moldenhauer, Marcel Morisse Wintersemester 2014/15 Aufgaben I-1. Es seien die folgenden Mengen A = {5,7,9}, B = {5,6,7} und C = {1,3,5,7,9} gegeben. Bestimme: A B, A C, C \A sowie A B A B C P(B) A B I-2. Bestimme die Mengen P( ) sowie P(P( ))! III-1. Berechne die folgenden Werte. Gib die Ergebnisse (sofern möglich) in gekürzter Form an! ( : 12 ) III-2. Vereinfache die folgenden Brüche. 3x5 2x 3 a5 4a 4 (a2 ( 6a 2 10x2 y 3 ( 2xy) 2 e) ( a4 ab 4 f) a3 b 7 (a 7 g) x2 3 (ty) xt 3 y h) a3 (b 2 5 (a 3 2 III-3. Berechne die folgenden Werte. Gib die Ergebnisse in gekürzter Form an! 3 2a 2 4ab ab x x 2 xy y x 2 +xy a 3b 5a+1 25a 2 1 a 2 6ab+9b 2 2x 3 5x : 4x2 9 10x 2 x x 2 y 2 IV-1. Berechne die folgenden Potenzen. (Ohne Taschenrechner!) IV-2. Vereinfache so weit wie möglich: 7 x 6 y +3 x 4 y ,1 0,121 (a (a+ 3 3 ( 7) 2 ( 5) e) ( 3 2) 2 f) (5 3) 2

2 IV-3. Bestimme ohne Taschenrechner: IV-4. Bestimme ohne Taschenrechner: r = log 8 64 log r 125 = 3 log 10 r = 3 log 2 r = 4 r = log lne 1 = r r = log 2 32 log 2 16+log 2 8 r = log 2 8 IV-5. Täglich hört man in der Presse von der Teuerungsrate. Sie besagt, um wie viel das Leben innerhalb eines Jahres teurer geworden ist, d.h. das Geld weniger wert wurde. Man spricht auch von der Inflationsrate. Angenommen, die Inflationsrate beträgt 2%. Wie lange dauert es, bis 2000 Euro nur noch die Kaufkraft von 1000 Euro haben? Benötigt man zur Berechnung der Halbwertszeit des Geldes eine konkrete Startsumme wie in Aufgabe? Unter welcher Annahme ist die Rechnung sinnvoll? IV-6. Die Halbwertszeit von Radium 88 beträgt 1600 Jahre. Wie lange dauert es, bis 10g zu 1,25g zerfallen sind? Erstelle zunächst eine entsprechende Funktionsgleichung. V-1. Vereinfache die folgenden Terme! a 7 a 4 (5x)(4x 6 ) ( 3z 4 )( 3z 5 ) (20x 5 )( x 3 )(x 2 ) V-2. Vereinfache die folgenden Terme! a 3x a 2x x2 b x b 3x 0 y 2 a2 x b 6+y a 6 x b V-3. Vereinfache die folgenden Terme! 3 x x 18 3 x 9 7 a 10 : 4 a 5 V-4. Vereinfache die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich! log a 2b loga 3 +log b logab 2 log 3 a 2 loga+2log 1 7 a log a2 b 1 c ac 3 b ( a 2 c+ac e) log c ) ab b VII-1. Welche der folgenden Operationen sind assoziativ? Begründe deine Antworten. Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenzieren VII-2. Welche der folgenden Operationen sind kommutativ? Begründe deine Antworten. Addition

3 Subtraktion Multiplikation Division Potenzieren XI-1. Schreibe die folgenden Summen ohne das Summenzeichen: a k a i 1 k 4 1 j 15 j: Primzahl 1 i 10 i: gerade b j e) 1 k 50 k: Quadratzahl Hinweis: Es ist nicht notwendig, die Summen auszurechnen. XI-2. Bilde das Produkt der beiden folgenden Summen: 0 j 10 j: ungerade a k 2 j 3 a i und 3 ( ) 2 bj j=0 XI-3. Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. Begründe deine Antworten! n a i = n+4 n a i = n 1 a j 4 j=6 a i 1 i=0 5 i = 7 (i 2) 8 a k = 8 k=4 a 8 k k=4 XII-1. Gegeben seien die folgenden beiden Polynome a(x) und b(x). Berechne die folgenden Ausdrücke: a(x)+b(x) a(x) b(x) a(x) b(x) a(x) : b(x) a(x) = x 3 +2x 2 5x+3 b(x) = x+2 XIII-1. Löse die folgenden Gleichungssysteme. Wähle dazu möglichst geschickte Verfahren und mache die Probe. 3x 2y +7 = 7 x+2y = 5 x = 2y 5 0 = 3 y y = x y = 1 x

4 XIII-2. Entscheide, ob die folgenden Gleichungssysteme keine, eine oder unendlich viele Lösungen besitzen. x+y = y = 2x 2x+y = 1 x+y +4 = 0 0 = 3x 3y +9 6y = 18+4x XIII-3. Paul und sein Vater sind zusammen 33 Jahre alt. In 30 Jahren wird Paul halb so alt wie sein Vater sein. Wie alt sind Paul und sein Vater? Michael ist jetzt halb so alt wie seine Mutter. In zwei Jahren werden beide zusammen 100 sein. Wie alt sind Michael und seine Mutter? XIII-4. Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. x 2 +2x 8 = 0 4x 2 8 = 20 3x 2 = x 5x 2 5x = 0 e) 49x 2 +16x = 12 f) 3x 2 = 2x 2 1 XV-1. Beweise die folgende Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl n ist stets ungerade. XV-2. Beweise die folgende Behauptung: Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (d.h n) ist gleich n(n+1) 2. XV-3. Ein Mensch besitzt typischerweise bis Haare, mit Sicherheit aber weniger als 1 Million Haare. Wie kann diese Aussage genutzt werden, um zu beweisen, dass in Hamburg mindestens zwei Menschen mit derselben Anzahl an Haaren leben? XV-4. Beweise die folgende Aussage: Die Zahl 3 ist eine irrationale Zahl. XV-5. Beweise die folgende Aussage: Es gibt unendlich viele Primzahlen. XV-6. Beweise die folgende Aussage mit vollständiger Induktion: n i 3 = n2 (n+1) 2. 4 XV-7. Beweise die folgende Aussage mit vollständiger Induktion: n ( ) ( ) 2. 2i+1 = n+1 i=0 XVI-1. Berechne die Summe und die Differenzen der beiden Vektoren a = (5,0,23) und b = (4,2, 7). BerechnedieSummeunddieDifferenzenderbeidenVektorena = (47, 8,0)undb = (3,42). XVI-2. Gegeben seien die Vektoren v 1 = (1,2,3), v 2 = (7,5, 3) und v 3 = (0,2,1). Berechne die Länge des Vektors v = v 1 v 2 +3v 3. XVI-3. Kannst du entscheiden, ob die Vektoren v 1 = (4, 2,5) und v 2 = ( 2,4,0) orthogonal sind?

5 XVI-4. Gegeben sind die folgenden Vektoren a, b und c: a = 1, b = 5 und c = Bestimme a b, a c sowie b c. Welche der Vektoren a, b und c sind senkrecht zueinander? Bestimme einen Vektor, der sowohl senkrecht zu a als auch senkrecht zu b ist. Gib diesen als normierten Vektor an. XVII-1. Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch die Punkte P 1 = (2,3) und P 2 = (4,4) verläuft. XVII-2. Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch die Punkte P 1 = (2,1), P 2 = (6,3) und P 3 = (4, 5 2 ) verläuft. XVII-3. Bestimme die Parameter- und Normalenform der Geraden, die durch die Punkte P 1 = (2,3) und P 2 = (4,4) verläuft. XVIII-1. Bestimme die Parameter- und Normalenform der Ebene, die durch die Punkte A = (3,4,5), B = (0, 1,2) und C = (1,0,2) beschrieben wird. XVIII-2. Stelle die folgende Ebene in Parameter- und Normalenform dar: 2x 1 +x 2 x 3 +4 = 0. XVIII-3. Gib die folgende Ebene in Parameterdarstellung an: 1 x x 2 1 = 0. 0 x 3 3 XIX-1. Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich. log a 2b log a b 2 logb 1 +log a2 b 1 XIX-2. Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich. XIX-3. Bestimme x! ( (1 2 a 3 a 3 a 1 (x4 z 3 ) 2 ) 0,5 ) x = 1 8 x 6 z 2 ( ) x = 9 log 3 a 2 loga+2log 1 7 a 7a4 b 6 49a 8 b 3 ( 0,4 0,25) x = 0,4 XIX-4. Beschreibe in deinen Worten, was die folgende Aussage bedeutet: Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch. Gib für die folgenden Funktionen die Periodenlänge an: ( ) 1 sin x cos(2x) sin 3 x XIX-5. Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen. 2x x 2 = 0 x2 +3x 1 = x 3 x 3 +2x 2 x 2 = 0 XIX-6. Gegeben sind die folgenden beiden Vektoren 1 2 a = 2 und b = 0. 3 x Bestimme x derart, sodass a b gilt!