x x

Transkript

1 Gleichungen und Ungleichungen x x ,5, x + x = Gleichung, die sich im Gleichgewicht befin det! 55 + x = x = 60 / x = x = 5 / : x : = 5 : x =,5 auf beiden Seiten werden 55 (kg) entfernt. auf beiden Seiten wird durch geteilt. Das fehlende Gewicht beträgt,5 kg. Probe: (Man setzt den für x gefundenen Wert in die erste Zeile der Gleichung ein!) ,5 +,5 = = = 60 L = {,5} Übung dazu: 3x + 8 = 6 / 8 3x = 6 8 3x = 18 / : 3 3x : 3 = 18 : 3 x = x = 54 / x = x = 45 / : 5 5x : 5 = 45 : 5 x = 9 7x 8 = 6 / + 8 7x = x = 70 / : 7 7x : 7 = 70 : 7 x = 10 6x = 0 / 6x = 0 6x = 18 / : ( 6) 6x : ( 6) = 18 : ( 6) x = 3 Probe: 3x + 8 = = = 6 6 = 6 (w) Probe: 9 + 5x = = = = 54 (w) Probe: 7x 8 = = = 6 6 = 6 (w) Probe: 6x = 0 6 ( 3) = = 0 0 = 0 (w) L = { 6} L = { 9} L = { 10} L = { 3} Seite 1 von 36

2 Einfache Gleichungen zum Üben Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen und fertige eine Probe (P) an: 1.) x + 18 = 1.) 6y 5 = 5 3.) + 5a = 17 { 6} { } { } x = 3 L = 3 y = 5 L = 5 a = 1 L = 1 P : ( 3) + 18 = 1 1 = 1 P : = 5 5 = 5 P : + 5 ( 1) = = 17 4.) 45 7s = 3 s = 6 L = P : = 3 3 = 3 5.) 10x + 19 = 31 6.) 8 17c = 6 c = L = 7.) y = 9 8.) x = 91 9.) 8 = 5t 7 10.)6 = 1 + 7s x = 5 L = 5 P : 10 ( 5) + 19 = = 31 y = 8 L = 8 x = 7 L = 7 t = 3 L = 3 s = L = P : 8 17 ( ) = 6 6 = 6 P : ( 8) = 9 9 = 9 P : ( 7) = = 91 P : 8 = = 8 P : 6 = = 6 11.) 3 = 1a 45 a = 4 L = 4 P : 3 = 1 ( 4) 45 3 = 3 1.) 59 = x x = 3 L = 3 P : 59 = ( 3) 59 = 59 Seite von 36

3 Merke: 1.) Ziel einer Gleichung ist es, durch Umformungsschritte den Wert der Variablen zu ermitteln..) Zum Umformen kann man die vier Rechenarten ( + : ) beachten, wenn man sie auf beiden Seiten der Gleichung anwendet. 3.) Das Ende einer Gleichung ist dann erreicht, wenn die Variable mit der Vorzahl 1 alleine auf einer Seite der Gleichung steht. 4.) Nach dem Lösen der Gleichung wird eine Probe (P) angefertigt und die Lösungsmenge (L) bestimmt. Grundmenge (G) - Lösungsmenge (L) Subtrahiert man das 3-fache einer natürlichen Zahl von 0, so erhält man 56. Wie heißt diese natürliche Zahl? G = N Als Lösung dieser Aufgabe darf nur eine natürliche Zahl auftreten! 0 3x = 56 / x = x = 36 / : ( 3) 3x : ( 3) = 36 : ( 3) x = 1 Da man als Lösung keine natürliche Zahl, sondern eine ganze Zahl erhält, gibt es keine Lösung für diese Aufgabe. Man sagt, die Lösungsmenge ist leer und schreibt: L = Grundmenge: Lösungsmenge: Unter der Grundmenge einer Gleichung versteht man die Zahlen, die zur Lösung der Aufgabe zur Verfügung stehen. In sie werden die Zahlen eingetragen, die die Gleichung erfüllen. Die Lösungsmenge ist dabei immer abhängig von der Grundmenge. Beispiele dazu: G = N 3x + 5 = 1 / 5 3x = 1 5 3x = 4 / : 3 3x : 3 = 4 : 3 1 x = 1 3 G = N L = G = Z L = 1 G = Q L = 1 3 Seite 3 von 36

4 Das x kommt mehrmals vor x x x 0 0 x x x x x x = x + x + x = x + x + x + x + x / T (zusammenfassen!) x = x / x = x x = 5x / 3x x 3x = 5x 3x 30 = x / : 30 : = x : 15 = x Probe: x = x = = = 105 (w) L = 15 Übung dazu: 5x 45 81x + 33x = 3x 5 / T 4x 45 = 3x 5 / + 5 4x = 3x x 40 = 3x / 4x 4x 4x 40 = 3x 4x 40 = 1x / : ( 1) 40 : ( 1) = 1x : ( 1) 40 = x = = = 115 L = 40 Die Schritte zum Lösen einer Gleichung sind: 1.) Fasse so weit wie möglich getrennt die linke und rechte Seite der Gleichung zusammen..) Isoliere die Variable mit Hilfe der Umformungsschritte + : 3.) Notiere die Lösungsmenge, beachte die Grundmenge. 4.) Fertige eine Probe an. Seite 4 von 36

5 Gleichungen Bestimme das Ergebnis der folgenden Gleichungen und fertige eine Probe an: 1.) 7x 4 + x = 5 5x.) x + 3x 15 = 17 + x 3.) 35 x + 4x = x ) 40 x + 5x = 68 + x 5.) ,5x = 5 x 6.) x + 18 = 1,5x ) 15 0,5x = 35 x 8.) 90 x 6x = 4x 0 9.) x 36 13x = 14 x 10.) 18x 5 11x + 49 = 3 11.) 3,7x + 0,8 = 6,1 5,3x + 0,7 1.) = x + + x + + x ) 5x 45 81x + 33x = 3x 5 14.) x 4 = 19x x 15.) 14x 7 8x = 1x 3 10x 16.) 17 +,5x 13 = 1,8x + 1,1x Lösungen in nicht geordneter Reihenfolge: x=10; x=-3; x=16; x=40 x=14; x=; x=-5; x=40 x=15; x=-1/3; x=4; x=10 x=14; x=10; x=/3; x=1 (ohne Gewähr!) Löse die folgenden Zahlenrätsel, indem du eine Gleichung aufstellst! 1.) Wenn man 11 zum Doppelten einer Zahl addiert, erhält man das Dreifache der gesuchten Zahl..) Wenn man von 5 eine Zahl subtrahiert, erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. 3.) Das Fünffache einer Zahl, verringert um 7, ist so groß wie das Doppelte der Zahl, verringert um 7. 4.) Wenn man zum Fünffachen einer Zahl 44 addiert, erhält man das Neunfache der gesuchten Zahl, verringert um ) Wenn man von 75 das Siebenfache einer Zahl subtrahiert, erhält man das Elffache der gesuchten Zahl, vermehrt um 3. Löse die folgenden Aufgaben, indem du eine Gleichung aufstellst! 1.) Ein Reisebus hat eine 800 km lange Strecke in zwei Tagen zurückgelegt. Am zweiten Tag fuhr der Bus 70 km mehr als am ersten Tag. Wie viel Kilometer fuhr der Bus am ersten Tag, wie viel Kilometer am zweiten Tag?.) Ein Vater und sein Sohn sind zusammen 40 Jahre alt. Der Vater ist 6 Jahre älter als der Sohn. Wie alt ist der Sohn, wie alt ist der Vater? 3.) Drei Brüder Erik, Felix und Tom sind zusammen 44 Jahre alt. Felix ist 4 Jahre älter als Erik; Tom ist doppelt so alt wie Erik. Wie alt sind Erik, Felix und Tom? 4.) Ute kauft bei einem Bäcker 7 Stücke Kuchen der gleichen Art und außerdem ein Brot zu 1,85. Sie zahlt insgesamt 6,40. Wie viel kostet ein Stück Kuchen? Seite 5 von 36

6 Gleichungen (Lösungen) Gleichungen: 1.) 7x 4 + x = 5 5x.) x + 3x 15 = 17 + x 3.) 35 x + 4x = x x 4 = 5 5x / + 5x 4x 15 = 17 + x / x x = x + 65 / x 14x 4 = 5 / + 4 x 15 = 17 / x = 65 / 35 14x = 56 / : 14 x = 3 / : x = 30 / : x = 4 x = 16 x = 15 = L = 4 L = 16 L 15 4.) 40 x + 5x = 68 + x 5.) ,5x = 5 x / + x 6.) x + 18 = 1,5x + 5 / 1,5x x = 68 + x / x ,5x = 5 / 10 0,5x + 18 = 5 / x = 68 / 40 1,5x = 15 / : 1,5 0,5x = 7 / : 0, 5 x = 8 / : x = 10 x = 14 x = 14 L = L = 14 { 10} L = { 14} 7.) 15 0,5x = 35 x / + x 8.) 90 x 6x = 4x 0 9.) x 36 13x = 14 x ,5x = 35 / x = 4x 0 / + 0 1x 36 = 14 x / + 1x 0,5x = 0 / : 0, x = 4x / + 7x 36 = x / 14 x = = 11x / : = 10x / :10 L = = x 5 = x L = 10 L = 5 10.)18x 5 11x + 49 = 3 11.) 3,7x + 0,8 = 6,1 5,3x + 0, )0 = x + + x + + x x + 4 = 3 / 4 3,7x + 0,8 = 6,8 5,3x / + 5,3x = 3x x = 1 / : 7 9x + 0,8 = 6,8 / 0,8 0 = 3x + 1 / 1 x = 3 9x = 6 / : 9 1 = 3x / : L = { 3} x = = = x L = L = ) 5x 45 81x + 33x = 3x 5 14.) x 4 = 19x x 15.)14x 7 8x = 1x 3 10x 4x 45 = 3x 5 / x = 6x + 5 / 6x 6x 7 = x 3 / x 4x = 3x + 40 / 3x x = 5 / 13 4x 7 = 3 / + 7 x = 40 L = 6x = 1 / : 6 4x = 4 / : 4 40 x = x = 1 L = L = 1 16.)17 +,5x 13 = 1, 8x + 1,1x 4 +,5x = 0,7x + / 0,7x 4 + 1,8x = / 4 1,8x = 18 / : 1, 8 x = 10 L = { 10} Seite 6 von 36

7 Zahlenrätsel: 1.) x + 11 = 3x.) 5 x = 4x 3.) 5x 7 = x 7 11 = x 5 = 5x 5 = x 3x 7 = 7 3x = 0 x = 0 4.) 5x + 44 = 9x 10 5.) 75 7x = 11x + 3 5x + 54 = 9x 7 7x = 11x 54 = 4x 7 = 18x 13, 5 = x 4 = x Allgemeine Aufgaben: 1.) Strecke am 1.Tag : x.) Alter des Vaters : x 3.) Alter von Erik : x Strecke am.tag : 800 x Alter des Sohnes : 40 x Alter von Felix : x + 4 Alter von Tom : x x = 800 x 70 x 6 = 40 x x + x x = 44 x = 730 x x 6 = 40 4x + 4 = 44 x = 730 x = 66 4x = 40 x = 365 x = 33 x = 10 1.Tag : 365 km Alter des Vaters : 33 Alter von Erik :10.Tag : = 435 km Alter des Sohnes : = 7 Alter von Felix : = 14 Alter von Tom : 10 = 0 4.) Pr eis für 1Stück Kuchen : x 7x + 1,85 = 6,40 7x = 4, 55 x = 0,65 Pr eis für 1Stück Kuchen : 0,65 Seite 7 von 36

8 Gleichungen in Textaufgaben 1. Bildet man die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, so erhält man 600. Wie heißen diese drei natürlichen Zahlen? x:. Ein Dreieck besitzt einen Umfang von 34 cm. Die Seite c ist 5 cm länger als die Seite a und 3 cm länger als die Seite b. Wie lang ist die Seite a, wie lang ist die Seite b, wie lang ist die Seite c? x: b a c 3. 3 Jungen sind zusammen 5,55 m groß. Peter ist 8 cm größer als Dirk, Jürgen ist 11 cm kleiner als Dirk. Wie groß ist Peter, wie groß ist Jürgen, wie groß ist Dirk? x: 4. Auf einer 3-Tages-Fahrt legt ein Bus insgesamt 950 km zurück. Am ersten Tag fährt er 75 km mehr als zweiten Tag und 86 km weniger als am dritten Tag. Wie viel km legt der Bus am ersten Tag zurück, wie viel km am zweiten Tag, wie viel km am dritten Tag? x: Seite 8 von 36

9 Bruch- und Dezimalrechnung in Q ) + 1 = ) 6 = ) ( 8) = 5 4.) 6 ( ) = ) 7 : ( 11) = 3 6.) 9 : = 5-19/0-9 59/60-4 4/5 1 1/3 -/3 3 3/ ) 3 3 = ) 4 :1 = ) 7 84 = ) : = ) ,8 = 1.) 9, 5,9 3,8,7 4,6 + 8,5 = 13.) 7,5 4,88 = 14.) 1,7 : ( 4) = 15.) 345,69 : ( 9) = 16.) 3,7 : 0,15 = 17.) 3,715 : (,5) = 18.) 0,0975 : 0,05 = 1-1/ /9-1/ -49, 0,7-134, -3,18 38, ,485-3,9 Seite 9 von 36

10 Besondere Lösungsmengen Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung (G = Z): 11x x 11 = x 33 5x 6x + = + 6x 6x = 6x 0 = 0 L = Z oder : L = G Merke: Tritt in einer Gleichung auf der linken und rechten Seite der gleiche Term auf, so ist die Lösungsmenge gleich der Grundmenge (L = G), das heißt alle Zahlen der Grundmenge erfüllen diese Gleichung x 11+ 3x = 3x x x = 8x x = 8x = 4 L = Merke: Ergibt die letzte Zeile einer Gleichung eine falsche Aussage, so ist die Lösungsmenge leer (L = ), keine Zahl erfüllt die Gleichung. L = { 5, 6, 7,... } Ungleichungen Aufgabe: Addiert man zum 5-fachen einer natürlichen Zahl 3, so erhält man mehr als 7. G = N 5x + 3 > 7 5x > 4 x > 4,8 Aufgabe: Subtrahiert man vom 3-fachen einer rationalen Zahl 4, so erhält man weniger als 1,5. G = Q 3x 4 < 1,5 3x < 16, 5 x < 5, 5 { / x 5} L = x Q < 5, Seite 10 von 36

11 Es gibt vier Ungleichheitszeichen: < > kleiner größer kleiner/gleich größer/gleich höchstens mindestens Aufgabe: Bestimme jeweils die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen für die Grundmengen N, Z und Q: 1.) 5x + 4 (3x 7) x 0.) 7x ( 4x 8) + x 31 5x + 1x 8 x 0 7x + 4x x 31 16x x x 48 13x 39 x 4 x 3 N N {...} Z { } = { } L = 4, 3,,1 L = 1,, 3, 4... L = 4, 3,,1, 0, 1,, 3... L = 3,, 1, 0, 1,, 3, 4 L = x / x 4 L x / x 3 Q Q Z Aufgabe: Subtrahiert man von 8 das Doppelte einer ganzen Zahl, so erhält man mehr als 4. G = Z 8 x > 4 x > 16 / : ( ) x < 8 {, 11,... } L = 9, 10 Erklärung dazu : Wahre Behauptung : 5 < 7 / ( 1) Falsche Behauptung : 5 < 7 / Ungleichheitszeichen umdrehen! Wahre Behauptung : 5 > 7 Merke: Multipliziert oder dividiert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, so muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden. Seite 11 von 36

12 Termumformungen (II) Aufgabe: Bestimme auf verschiedene Arten den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks: Bestimme den Flächeninhalt des schraffier- Rechtecks: 5 x 3 3 A = 3 (x + ) A = 3 x + 3 A = 3x + 6 A = 3 (x 5) A = 3 x 3 5 A = 3x 15 x allgemein: b c a A = a b + a c oder : A = a (b + c) Wie groß wäre jeweils der Flächeninhalte der Rechtecke, wenn x = 8 cm wäre? Anwendungsaufgaben dazu: 1.) 5 (3 + x) = x = x.) 3x (6 x) = 3x 6 3x x = 18x 6x 3.) a (5c 3a) = a 5c a 3a = 10ac 6a 4.) 5y (6 3x) = 30y 15xy Merke: Man multipliziert einen Wert mit einer Klammer, indem man jeden Teil der Klammer mit dem Wert vor der Klammer multipliziert. a (b + c) = ab + ac Seite 1 von 36

13 Terme für die Fläche (A) und für den Umfang (u) Betrachte die 4 Flächen mit den entsprechenden Bezeichnungen unten und versuche dann die gestellten Fragen zu beantworten ).) y x 5 t ) a 4.) 10 Und jetzt die Fragen dazu: 1.) Gib jeweils einen Term für die Fläche (A) und den Umfang (u) des schraffierten Teils der Figuren 1 4 an und vereinfache ihn so weit wie möglich..) Gib jeweils einen Term für die gesamte Fläche (A) und den gesamten Umfang (u) der Figuren 1 und an und vereinfache ihn so weit wie möglich. 3.) Wie groß ist die schraffierte Fläche (A) der Figur 1, wenn x = 10 cm wäre? 4.) Wie groß ist der schraffierte Umfang (u) von Figur, wenn y = 1 cm wäre? 5.) Wie groß müsste das x gewählt werden, wenn der schraffierte Flächeninhalt von Figur 1 A = 80 cm betragen soll? 6.) Wie groß müsste das y gewählt werden, wenn der schraffierte Umfang von Figur u = 50 cm betragen soll? Seite 13 von 36

14 Terme für die Fläche (A) und für den Umfang (u) (Lösungen) zu 1.) Figur 1: Figur : Figur 3 : Figur 4 : A = 4 (x 6) A = 7 (y ) A = 5 (9 a) A = 7 (10 t) A = 4x 4 A = 7y 14 A = 45 5a A = 70 7t u = x x u = 7 + y y u = a a u = t t u = x 4 u = 10 + y u = 8 a u = 34 t zu.) Figur 1: Figur : A = (x 6) A = (y ) A = 4 + 4x 4 A = y 14 A = 4x A = 7y u = 6 + x x + 4 u = 7 + y y + u = x + 8 u = 14 + y zu 3.) zu 4.) A = 4x 4 u = 10 + y x = 10 y = 1 A = = 16 cm u = = 34 cm zu 5.) A = 4x 4 A = = 4x = 4x 1 = x u = 10 + y u = = 10 + y 40 = y 0 = y Seite 14 von 36

15 1.) Minusklammer :.) Plusklammer : 10x (5 + 3x) = 8 + (3x 4) = 10x 1 (5 + 3x) = (3x 4) = 10x 5 3x = 7x x 4 = 4 + 3x 3.) (6x 7) = 1 (6x 7) = 6x + 7 Gemischte Aufgaben dazu: 1.) x (x + 5) (3x 1) + (5x 8) = x x 5 3x x 8 = 3x 1.) 5a + (3a 7) (6 7a) + 3(a 3) = 5a + 3a a + 6a 9 = 1a 3.) 5(3y 1) 3(4 y) (8y 5) + (y 1) = 15y y 8y y = 15y 14 Merke: Man löst eine Minusklammer indem man jeden Teil der Klammer mit -1 multipliziert. Man löst eine Plusklammer indem man jeden Teil der Klammer mit + 1 multipliziert. 1.) x + y = ( x + y) Summe Produkt.) 16b + 4a = 4 (4b + a) = (8b + a) = 4 ( 4b a) = ( 8b a) 3.) 5xy x = x (5y 1) Ausklammern ( Faktorisieren) 4.) 5 10 a a = 5 a (a ) Merke: Man klammert aus, indem man den größten gemeinsamen Faktor der Summe oder Differenz vor die Klammer zieht. Durch das Ausklammern wird aus der Summe oder der Differenz ein Produkt. Gleichungen mit Klammern Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen (G = N): 1.) 7 (x 4) 1 = 3x x 8 1 = 3x x 9 = 3x x 9 = 4 11x = 33 x = 3 L = 3.) x (3x 4) + 5 = 3x 7 x 3x = 3x 7 x + 9 = 3x 7 x + 16 = 3x 16 = 4x x = 4 L = { 4} 3.) 5x 3(4x + 8) + 7 (x 3) = x + (8 + x) 5x 1x x + 3 = x x 9x 14 = x + 8 9x = x + 11x = x = L = Seite 15 von 36

16 Wiederholung und Übung 1.) Berechne jeweils die Summe, die Differenz, das Produkt und den Quotienten der folgenden Zahlenpaare: a.) und + 8 (6) ( 10) ( 16) ( 0,5) c.) und b.) 4 und 10 ( 14) (6) (40) (0,4) d.) 3,5 und 0,05 (3,45) (3,55) ( 0,175) ( 70).) Vereinfache so weit wie möglich die folgenden Terme: a.) 1r 16s 15r + 36s + 3r = 0r + 0s b.) 8,6x 11,5y + 0,8y 10,1x + 9,y = 1,5x 1,5y c.) 3,3x + ( 4,5y) ( 6,1x) ( + 3,y) 7x + 8y =,4x + 0,3y d.) 8x (3x + 5) + ( x) 9 = 4x 1 e.) (10x 1) 3(6x + 3) + 4x (8x + 7) = 1x 17 f.) (7a 3) (6 a) (1 a) + (9a 5) = 8a ) Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen und Ungleichungen (G = Z): a.) 9x + 33 (45 15x) = 15 3x x = 1 b.) 4(x + 3) = 3(3x + ) x = 6 c.) ( 3y) 5 + (8 y) ( 4) = 0 y = d.) 5(6 + x) < (3x 5) 8 x > 5 e.) 8(6x ) (36x + 108) (5x 5) 15 x 1 f.) 1 4 (x 7) < x x > 4 4.) Betrachte die Figur rechts (Maße in cm, Zeichnung nicht maßstabsgerecht!): 8,5 a.) Stelle einen Term für den Umfang (u) der Figur auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. b.) Stelle einen Term für den Flächeninhalt (A) der Figur auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. c.) Die Länge von x soll 3,5 cm betragen. Berechne den Umfang (u) und den Flächeninhalt (A) der Figur. d.) Wie groß muss x gewählt werden, damit der Umfang (u) der Figur 1 m beträgt? x 4 5 u = 4x + 35 A =17x +,5 u = 49 cm A = 9 cm x = 16,5 cm x 5.) Addiert man zum 4-fachen einer Zahl die Zahl 6 und multipliziert das Ergebnis mit 7, so erhält man das 14-fache der gesuchten Zahl. (x = - 3) 6.) Übersetze in einen mathematischen Term: a.) die Summe von gleichen Zahlen b.) Die Summe aus dem 3-fachen einer Zahl und 15 c.) addiere zum Doppelten einer Zahl die Hälfte der gleichen Zahl Seite 16 von 36

17 Multiplikation von Klammern Aufgabe: a.) Bestimme auf Arten den Flächeninhalt (A) des gesamten Rechtecks: x 4 x x x = x 4 x (x + 1) 1 1 x 4 1 (x + 4) 1. Möglichkeit: A = x x + 4 x + 1 x A = x + 4x + x + 4. Möglichkeit: A = x + 5x + 4 A = (x + 4) (x + 1) A = x + 1x + 4x + 4 A = x + 5x + 4 b.) Gib nun einen Term für den Umfang (u) des gesamten Rechtecks an: u = x x x + 1+ x u = 4x + 10 oder: u = (x + 4) + (x + 1) u = x x + u = 4x + 10 c.) Bestimme auf Arten den Flächeninhalt (A) des gesamten Rechtecks: x 1 x 1 (y + ) y x y 1 y (x + 1) 1. Möglichkeit: A = x + 1+ x y + 1 y A = x + + xy + y. Möglichkeit: A = (x + 1) (y + ) A = xy + x + 1y + A = xy + x + y + d.) Gib nun einen Term für den Umfang (u) des gesamten Rechtecks an: u = x y + 1+ x + y + u = x + y + 6 oder: u = (x + 1) + (y + ) u = x + + y + 4 u = x + y + 6 Seite 17 von 36

18 e.) Bestimme auf Arten den Flächeninhalt (A) des gesamten Rechtecks: a b d A1 = a d A3 = b d c A = a c A4 = b c 1.) A = (a + b) (c + d).) A = ac + ad + bc + bd f.) Benutze die Terme, um folgende Aufgaben zu lösen. 1.) (x 1) (4 + y) =.) (4x 3) ( x 6) = 4x + xy 4 y 8x 4x 6x + 18 = 8x 30x + 18 MERKE: Man multipliziert zwei Klammern miteinander, indem man jeden Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten Klammer unter Berücksichtung der Vorzeichen multipliziert. (a + b) (c d) = ac ad + bc bd Übungen dazu: Zeichne ein Rechteck, das den folgenden Flächentermen entspricht, und unterteile das Rechteck in die dabei entstehenden Teilflächen: 1.) A = (x + ) (x + 1).) A = (x + ) (y + 3) 3.) A = (x + 1) (3x + ) Multiplikation von Klammern innerhalb anderer Rechnungen 1.) x 3y + (y ) (3x + 4) + 8 = x 3y + ( 6xy + 8y 6x 8) + 8 = x 3y + 6xy + 8y 6x = 6xy + 5y 4x Punkt vor Strichrechnung! =.) 5a (3a 1) (a 5) 3a 1 5a 6a + + = ( 15a a 5) 3a 10 Minusklammer! 5a 6a 1 + 8a 9a 15 5a + a + 5 3a + 10 = Punkt vor Strichrechnung! 3.) (7x y) (5 3y) (8x 4) (y + 3) (y + 5) + (x 6) = (35x 1xy 10y 6y ) (16xy 4x 8y 1) y 5 x = 35x 1xy x 37xy 3y 6y 0y 6y 16xy 4x 8y 1 y 5 x = Seite 18 von 36

19 Die binomischen Formeln Aufgabe: Bestimme auf verschiedene Arten den Flächeninhalt des gesamten Quadrats: a b 1.) (a + b) (a + b) a A1 = a a A3 = a b.) (a + b) 3.) a b + b b + a b + a a = ab b ab a = a + ab + b b A = a b A4 = b b Binomische Formel heißt: Multiplikation von Klammern, die die gleichen Teile besitzen. 1. Binomische Formel : (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b Aufgaben dazu: 1.) (x + 3) = (x + 3) (x + 3) = x + 3x + 3x + 9 = + + x 6x 9.) (y + 5) = (y + 5) (y + 5) = y + 5y + 5y + 5 = + + y 10y 5 3.) (a 10) (a 10) (a 10) a 10a + = + + = a = a + + 0a = + + = ) (6 5) (6 5) (6 5) = = 11 Aber : ( 6 + 5) = 11 = 11 5.) (k lim+ bim) = (klim + bim) (k lim+ bim) = k lim + k limbim + k limbim + bim = klim + klimbim + bim MERKE: Man berechnet eine binomische Formel nach folgenden Schritten: 1.) Quadrat des ersten Teils der Klammer (a ).) Das doppelte Produkt der zwei Teile in der Klammer (ab) 3.) Quadrat des zweiten Teils in der Klammer (b ) Seite 19 von 36

20 Aufgaben dazu: 1.) (3x 4) 9x + 4x + 16.) (5y 8) 5y + 80y = + = ) (4x 6y) ) a + + = 16x 4xy 36y x + 3 x 3ax 9a = + 4. Binomische Formel : (a b) = (a b) (a b) = a ab ab + b = a ab + b 3. Binomische Formel : (a + b) + = (a b) = a ab ab b a b Ergänze die fehlenden Teile der folgenden binomischen Formeln: 1.) (x + y) = x + + y.) (a b) = 4ab + b + = ) ( 3) 9c 9 4.) (5 ) = c 5.) ( ) 9x 36 + = + + = + 6.) ( ) 4b 1 1.) (x + y) = x + xy + y.) (a b) = 4a 4ab + b 3.) ( 3c + 3) = 9c + 18c ) ( 5 4c) = 5 40c + 16c 5.) ( 3x + 6) = 9x + 36x = ) ( 1b ) 4b 4b Seite 0 von 36

21 Terme und Gleichungen mit binomischen Formeln Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich: 1.) (x 3) (x 4).) (5y 8) (3y )(3y ) + + = + + = 9x 4x 16 x 8x 16 5y 80y 64 9y = + + = 10x + 16x y 80y + 6 ( ) ( ) 3.) (4x ) (7x + 5) = 4.) 6 3a 5a + 1 (a 10)(a 10) + = + + = x 16x (49x 70x 5) 36 36a 9a (5a 10a 1) (4 33x 86x 5 0a 46a 0 a 100) = 16x 16x 49x 70x 5 = 36 36a + 9a 5a 10a 1 4a = Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen (G=Z) und fertige eine Probe (P) an: 1.) (6x + 3) = (x 4)(18x + 5) 69 P : (6 ( 1) + 3) = ( ( 1) 4)(18 ( 1) + 5) 69 36x 36x 9 36x 10x 7x 0 69 ( 3) ( { 1}.) (x ) (x + 1) + 36x = 5 + (5 x) ( + + = + = 6) ( 13) 69 36x + 9 = 6x 89 9 = x = 98 9 = 9 x = 1 L = x x + 3)(x 3) 4x + 4 4x 4x 1+ 36x = x + x 4x + 9 3x + 8x + 3 = x 3x 8x + 3 = x 18x = 36 x = L = + P : ( ) ( + 1) + 36 = 5 + (5 + ) ( + 3)( 3) = = = 47 Seite 1 von 36

22 Arbeiten mit binomischen Formeln Versuche, die fehlenden Teile der binomischen Formeln zu ergänzen: 1.) (x + 3) =.) ( c + 1) = 3.) (x 7) = 4.) (4x 5) = 5.) ( 5y 9) = 6.) (8a + 7b) = 7.) (5x + 10y) = 1 8.) + a = 9.) 5 x = ) x y = 4 11.) x + 6x + 9 = ( ) 1.) c 8c + 16 = ( ) 13.) 4a 1ay + 9y = ( ) 14.) a = ( ) 15.) 16x - + y = ( ) 16.) 36t r = ( ) 17.) x + 4x + = ( ) 18.) +16ac + a = ( ) 19.) 5t 30st + = ( ) 0.) k 1,8k + = ( ) Seite von 36

23 Arbeiten mit binomischen Formeln (Lösungen) Versuche, die fehlenden Teile der binomischen Formeln zu ergänzen: 1.) (x + 3) =.) ( c + 1) = 3.) (x 7) = 4.) (4x 5) = 5.) ( 5y 9) = 6.) (8a + 7b) = 7.) (5x + 10y) = x + 6x + 9 c c + 1 4x 8x x 40x + 5 5y + 90y a + 11ab + 49b 5x + 100xy + 100y 1 8.) + a = 1 a 4a ) 5 x = x + x ) x y = x xy + y ) x + 6x + 9 = 1.) c 8c + 16 = (x + 3) (c 4) 13.) 4a 1ay + 9y = (a 3y) 14.) a + 1a + 36 = 15.) 16x 8xy+ y = 16.) 36t - 96rt + 64r = (a + 6) (4x y) (6t 8r) 17.) x + 4x + 4 = 18.) 64c + 16ac + a = 19.) 5t 30st + 9s = 0.) k 1,8k + 0,81 = (x + ) (8c + a) (5t 3s) (k 0,9) Seite 3 von 36

24 Terme und Gleichungen mit binomischen Formeln Aufgabe: 1.) Berechne die folgenden Terme: 1.) (x 1) (3x ) + + =.) (4a ) (6 3a) = 3.) (5y 7) (5y 7) (y 7) (3y 8) = 4.) 8x (5x 7) (3x 5) (x 6) (3x 5) (x 8) = 1.) (x 1) (3x ) + + = 4x 4x 1 9x 1x = 13x 8x + 5.) (4a ) (6 3a) = 16a 16a a 9a = 7a + 0a 3 3.) (5y 7) (5y 7) (y 7) (3y 8) = 5y 49 y 14y y 48y + 64 = 33y 6y 34 4.) 8x (5x 7) (3x 5) (x 6) ( x 5) (x + 8) = 8x 5x 7 + 9x 30x x 40 = 14x x 5 x 1x 36 6x 4x 1 8.) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen und Ungleichungen (G = Z): 1.) (x + 5) = x + 45.) (x + 1) = (x + 3) 3.) (t 1) = (t 1) (t + 1) 4.) (3x + 3) > (3x + 9) (3x 7) 5.) (x + 1) (x 1) < 5x 4 6.) (x + 3) > (3x + 1) (x ) 7.) (x 9) (x + 6) = (x + 5) (x + 8) 8.) (y + 3) (3y + 4) = 7 (y 5) 1.) (x + 5) = x + 45.) (x + 1) = (x + 3) x + 10x + 5 = x + 45 x + x + 1 = x + 6x x + 5 = 45 x + 1 = 6x x = 0 x 8 = 6x x = L = 8 = 4x = x L = Seite 4 von 36

25 3.) (t 1) = (t 1) (t + 1) 4.) (3x + 3) > (3x + 9) (3x 7) t 4t = t 144 9x + 18x + 9 > 9x 1x + 7x 63 4t = x + 9 > 6x 63 4t = 88 1x + 9 > 63 t = 1 L = 1 1x > 7 x > 6 {..} L = 5 ; 4 ; ) (x + 1) (x 1) < 5x 4 6.) (x + 3) > (3 {...} {...} x + 1) (x ) x + x + 1 x + x 1 < 5x 4 x + 6x + 9 > 9x + 6x + 1 (4x 8x + 4) 4x < 5x 4 x + 6x + 9 > 9x + 6x + 1 8x + 16x 8 x < 4 x + + > + x > 4 L = 5 ; 6 ; 7.. 6x 9 x x 7 6x + 9 > x 7 6x + 16 > x 16 > 16x 1 > x L = 0 ; 1;. 7.) (x 9) + = + (x 6) (x 5) ( x + 8) x 18x + 81 x 1x 36 = x + 10x + 5 x 16x 64 30x + 45 = 6x = 4x = 4x = = = 3,5 = x 4 6 L = 8.) (y + 3) (3y + 4) = 7 (y 5) y + 6y + 9 9y 4y 16 = 7 (4y 0y + 5) = + 8y 18y 7 7 8y 40y 50 18y 7 = + 40y 7 = + 58y 9 = 58y 9 1 = = 0, 5 = x 58 L = Seite 5 von 36

26 Anwendungsaufgaben 1.) Wenn man zu einer Zahl 1 addiert und das Ergebnis mit sich selbst multipliziert, so erhält man dasselbe, als wenn man das Produkt aus der um verminderten Zahl und der um 7 erhöhten Zahl bildet. Die gesuchte Zahl: x (x + 1) = (x ) (x + 7) x x 1 x 7x x = + x + 1 = 5x 14 x + 15 = 5x 15 = 3x 5 = x Die gesuchte Zahl heißt 5..) Ein Rechteck ist 3 Meter länger als breit. Verlängert man beide Seiten um Meter, so nimmt der Flächeninhalt um 6 m zu. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Skizze zum Sachverhalt: x + 3 x + 5 x x (x + 3) + 6 (x+5) (x+) x + Gleichung in Worten: Fläche des kleinen Rechtecks + 6 = Fläche des großen Rechtecks Gleichung: x (x + 3) + 6 = (x + 5) (x + ) x + 3x + 6 = x + x + 5x x + 6 = 7x x + 16 = 7x 16 = 4x 4 = x Das ursprüngliche Rechteck war 4 Meter breit und 7 Meter lang. Probe: Fläche des 1. Rechtecks: 4 m x 7 m = 8 m Fläche des. Rechtecks: 6 m x 9 m = 54 m Die Fläche des. Rechtecks ist um 6 m größer! Seite 6 von 36

27 Umformen von Formeln 1.) Aufgabe: Ein Rechteck besitzt einen Umfang (u) von 64 cm und ist 11 cm breit (b). Wie lang ist das Rechteck (a)? Antwort: a = 1 cm b = 11 cm Um die Länge des Rechtecks zu erhalten, multipliziert man die Breite mit, subtrahiert das Ergebnis vom Umfang und dividiert das Ergebnis durch. Mit Buchstaben: u b (u b) : = a oder : = a Entwicklung der Formel: u = a + b / b u b = a / : u b = a MERKE: Innerhalb einer Gleichung (Formel) kann man mit Buchstaben (Variablen) die gleichen Umformungen vornehmen wie mit Zahlen. Aufgabe: Löse die Flächenformel für das Rechteck nach den Variablen a und b auf. 1. Auflösen nach a: A = a b / : b A = a b Wenn man die Fläche durch eine Seite dividiert, erhält man die andere Seite.. Auflösen nach b: A = a b / : a A = b a Wenn man die Fläche durch eine Seite dividiert, erhält man die andere Seite. Aufgabe: Für das Volumen eines Quaders gilt: V = a b c Volumen = Länge x Breite x Höhe. Löse die Volumengleichung nacheinander nach den Variablen a, b und c auf. Berechne mit Hilfe dieser Formeln die jeweils fehlende Größe: (1) () (3) 3 V = 480 cm b = 6 cm ; c = 8 cm a = 10 cm 3 V = 110 cm a = 8 cm ; b = 5,5 cm c =,5 cm 3 V = 174,08 cm a = 3, cm ; c = 8,5 cm b = 6,4 cm Seite 7 von 36

28 Aufgabe: 1.) Notiere eine Formel zum Materialbedarf (m) des folgenden Schmuckanhängers:.) Löse diese Formel dann nach den Variablen a und x auf. a 3.) Bei einem Materialbedarf (m) von 30 cm ist a = 4 cm. Wie lang ist dann x? 4.) Bei einem Materialbedarf (m) von 35 cm ist x = 4 cm. Wie lang ist dann a? a x a zu 1.) m = 6 a + x zu.) aufgelöst nach a: aufgelöst nach x: m = 6 a + x / x m = 6 a + x / 6a m x = 6a / : 6 m 6a = x / : m x m 6a = a = x 6 zu 3.) a = 4cm x = 4 cm m 6a m x x = a = x = a = x = a = x = = 3 cm a = = = 4,5 cm 6 Seite 8 von 36

29 Binomische Formeln, Gleichungen bei Textaufgaben 1.) Berechne die folgenden Terme: a.) (x c.) (y + 1) + (x 3) = + 3)(y 3) (y + 3) + (y 3) = b.) (3a d.) (3x 4) (a + 1) = )(3x + 3) (3x ) + (3x + 3) = Gib für jede Aufgabe an, was mit der Variablen (x) bezeichnet wird, fertige bei Geometrieaufgaben eine Skizze an, stelle eine Gleichung auf und beantworte die entsprechenden Fragen: 7.) Ein Rechteck ist 3 Meter länger als breit. Verlängert man beide Seiten um Meter, so nimmt der Flächeninhalt um 6 m² zu. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Wie lang sind die Seiten des neuen Rechtecks? 8.) Die Seiten zweier Quadrate messen zusammen 44 cm, die Differenz ihrer Flächeninhalte beträgt 64 cm². Wie lang sind die beiden Quadratseiten? 9.) Die Länge eines Rechtecks ist 1½-mal so groß wie die Breite. Vergrößert man die Länge um 6 cm und verkürzt man die Breite um cm, so nimmt der Flächeninhalt um 9 cm² zu. Wie groß sind die Seiten des ersten Rechtecks? 10.) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel 15º größer als der Winkel an der Spitze. Wie groß sind die Winkel α, β und γ dieses gleichschenkligen Dreiecks? 11.) In einem Bus ist ein Drittel der Plätze mit Kindern besetzt. 6 Plätze mehr werden durch Erwachsene belegt. 9 Plätze bleiben frei. Wie viele Plätze hat der Bus? 1.) Claudia besitzt einen Sack Murmeln. Sie nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Danach gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack sind, Peter. Claudia hat dann sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack? 13.) Eine Bienenwachskerze und eine Parafinkerze brennen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Die zu Beginn 40 cm lange Parafinkerze brennt pro Stunde 6 cm ab, die 0 cm lange Bienenwachskerze cm. Wie lange dauert es, bis sie gleich lang sind? 14.) In jeder von fünf Kisten befindet sich genau die gleiche Anzahl von Aprikosen. Entnimmt man jeder Kiste 60 Aprikosen, bleiben in den Kisten insgesamt so viele Aprikosen übrig, wie vorher in zwei Kisten waren. Wie viele Aprikosen waren vorher insgesamt in den Kisten? 15.) Ein Witzbold ging an einem Gehege mit Hasen und Fasanen vorbei und sagte: Ich zähle Köpfe und 60 Füße. Wie viele Hasen und Fasane waren im Gehege? 16.) Im Frühjahr tauschen viele Autobesitzer ihre Winterräder wieder gegen die Sommerräder. Viele lassen das in einer Werkstatt machen. Der Lehrling will dem Meister so richtig zeigen, wie fit er ist und sagt bei Schichtabschluss: Es wurden an 14 Fahrzeugen die Räder gewechselt. Es waren Motorräder und Pkw dabei. Insgesamt waren es 40 Räder. Wie viele Pkw und wie viele Motorräder waren dabei? 17.) Julia und Ina stricken jede einen Schal. Julias Schal wird jede Stunde 3 cm länger, er ist bereits 30 cm lang. Inas Schal ist erst 0 cm lang, sie strickt in einer Stunde aber 5 cm. Nach wie vielen Stunden sind die Schals gleich lang? Seite 9 von 36

30 Binomische Formeln, Gleichungen bei Textaufgaben (Lösungen) zu 1.) a.) (x + 1) + (x 3) = b.) (3a 4) (a + 1) = 4x + 4x + 1+ x 6x + 9 = 9a 4a a 4a 1 = 5x x a 8a + 15 c.) (y + 3)(y 3) (y + 3) + (y 3) = d.) (3x )(3x + 3) (3x ) + (3x + 3) = 4y 9 4y 1y 9 + 4y 1y + 9 = 9x + 9x 6x 6 9x + 1x 4 + 9x + 18x + 9 = 4y 4y 9 9x + 33x 1 zu 1.) Breite des Rechtecks: x Länge des Rechtecks: x + 3 x x (x + 3) (x + ) (x + 3) x (x + 3) + 6 = (x + ) (x + 5) x + 3x + 6 = x + 5x + x x + 6 = 7x = 4x 4 = x Breite des ursprünglichen Re chtecks : 4 m Länge des ursprünglichen Rechtecks : 7 m Fläche des ursprünglichen Rechtecks : A = 4 7 = 8 m Breite des neuen Rechtecks : 6 m Länge des neuen Rechtecks : 9 m Fläche des neuen Rechtecks : A = 6 9 = 54 m zu.) 1. Quadratseite: x x (44 x) = 64 x x x = 64 88x = 00 x = 5. Quadratseite: 44 x 1. Quadratseite : 5 cm. Quadratseite : 44 5 = 19 cm Fläche des 1. Quadrats : A = 5 5 = 65 cm Fläche des. Quadrats : A = = 381cm zu 3.) Breite des Rechtecks: x 1½ x Länge des Rechtecks: 1½ x 6 x x 1½ x (x - ) (1½ x + 6) x 1,5x + 9 = (x ) (1,5x + 6) + = + 1,5x 9 1,5x 6x 3x 1 9 = 3x 1 1 = 3x x = 7 Breite des ursprünglichen Rechtecks : 7 cm Länge des ursprünglichen Re chtecks : 1,5 7 = 10,5 cm Fläche des ursprünglichen Rechtecks : A = 7 10,5 = 73,5 cm Breite des neuen Rechtecks : 5 cm Länge des neuen Rechtecks : 16,5 cm Fläche des neuen Rechtecks : A = 5 16,5 = 8,5 cm Seite 30 von 36

31 zu 4.) Winkel an der Spitze: x Jeder Basiswinkel: x + 15 x + (x + 15) + (x + 15) = 180 3x + 30 = 180 3x = 150 x = 50 Winkel an der Spitze : 50 Jeder Basiswinkel : 65 Winkelsumme des Dreiecks : = 180 zu 5.) Anzahl der Plätze im Bus: x Plätze mit Kindern besetzt: 1/3 x Plätze mit Erwachsenen besetzt: 1/3 x + 6 Plätze, die frei bleiben: x + ( x + 6) + 9 = x 3 3 x + 15 = x = x 3 x = 45 Anzahl der Plätze im Bus : 45 Anzahl der mit Kindern besetzten Plätze : 15 Anzahl der mit Erwachsenen besetzten Plätze : 1 Anzahl der frei bleibenden Plätze : 9 zu 6.) Anzahl der Murmeln im Sack: x Claudia: ½ x Peter: /3 ½ x Übrig bleibende Murmeln: x + x 6 x 3 + = 1 1 x + x + 6 = x 3 5 x + 6 = x = x 6 x = 36 Anzahl der Murmeln im Sack : 36 Claudia : 18 Peter : 1 Anzahl der frei bleibenden Plätze : 6 zu 7.) Höhe der Kerze: x 40 6x = 0 x 0 6x = x 0 = 4x x = 5 Nach 5 Stunden sind beide Kerzen gleich hoch (10 cm). zu 8.) Anzahl der Aprikosen pro Kiste: x 5(x 60) = x 5x 300 = x 300 = 3x x = 100 In jeder Kiste waren anfangs 100 Aprikosen. Seite 31 von 36

32 zu 9.) Zahl der Hasen: Zahl der Fasane: x - x 4x + ( x) = 60 4x + 44 x = 60 x + 44 = 60 Es sind 8 Hasen und 14 Fasane ( = Köpfe, = 60 Beine). x = 16 x = 8 zu 10.) Zahl der Motorräder: Zahl der Pkw: x 14 - x x + 4(14 x) = 40 x x = 40 x + 56 = 40 Es sind 8 Motorräder und 6 Pkw. x = 16 x = 8 zu 11.) Länge des Schals: x x = 0 + 5x x = 5x 10 = x x = 5 Nach 5 Stunden sind beide Schals gleich lang (45 cm). Seite 3 von 36

33 Gleichungen in Textaufgaben 1.) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen (G=Q): a.) ( x ) ( x 3) + ( 3x + 1) ( 4x 6) ( x 5) ( 7x + 9) 39 = 0 b.) ( x + ) ( x 9) + ( x + 3) = ( x 1) ( x + 5) ( x 5) c.) ( 7x ) ( x 4) ( x + 4) = ( 8x + 1) ( 8x 1) ( 4x + 3) + 30.) In einem Rechteck beträgt die Länge das Fünffache der Breite. Wird jede Seite um cm verlängert, so vergrößert sich der Flächeninhalt um 16 cm². Bestimme die Maße der ursprünglichen und der neuen Rechteckseiten. x 3.) In einem Dreieck mit dem Umfang 59 cm beträgt die Seite a drei Viertel der Länge von b, die Seite c ist 7 cm kürzer als b. Wie lang sind die Seiten a, b und c? 4.) Frau Hof vererbt ein Drittel ihres Vermögens an ihre Enkel, die Hälfte an ihre Kinder und den Rest von an eine wohltätige Organisation. Wie hoch war ihr Vermögen? 5.) Die Summe von fünf aufeinander folgenden Zahlen ist Wie heißen die fünf Zahlen? 6.) Subtrahiert man vom Achtfachen einer Zahl 14, so erhält man das Sechsfache der Zahl. 7.) Eine Spende von soll unter drei Familien so verteilt werden, dass die erste Familie 1.00 mehr als die zweite und diese 800 mehr als die dritte erhält. 8.) Ein Bauherr besitzt ein quadratisches Grundstück. Durch Zukauf kann er beide Quadratseiten um 8 m verlängern. Dies bedeutet eine Vergrößerung der Flächen um 336 m². Welche Maße haben das alte und das neue Grundstück? 9.) Löse die folgenden Gleichungen nach allen vorkommenden Variablen auf: a.) x - a = 5 b.) 8 - x = b c.) a(x+4) = 0 d.) Löse die Umfangsformel für das Rechteck nach allen auftretenden Variablen auf. e.) Die Formel zur Berechnung des Prozentwertes lautet: G p Pw = 100 Löse diese Formel nach allen auftretenden Variablen auf. (Pw = Prozentwert; G = Grundwert; p = Prozentsatz) f.) Die Formel zur Berechnung der Zinsen lautet: k i p z = 100 Löse diese Formel nach allen auftretenden Variablen auf. (k=kapital; p=zinssatz; i=zeit) Seite 33 von 36

34 Gleichungen in Textaufgaben (Lösungen) 1.) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen (G=Q): zu a.) zu b.) zu c.) (x )(x 3) + (3x + 1)(4x 6) (x 5)(7x + 9) 39 = 0 x 3x 4x x 18x + 4x 6 14x 18x + 35x = 0 (x + )(x 9) + (x + 3) = (x 1) (x + 5)(x 5) x 9x + 4x 18 + x + 6x + 9 = 4x 4x + 1 x + 5 3x + x 9 = 3x 4x + 6 x 9 = 4x + 6 5x = 35 x = 7 L = 7 (7x ) (x 4)(x + 4) = (8x + 1)(8x 1) (4x + 3) x 8x + 4 x + 16 = 64x 1 16x 4x x 8x + 0 = 48x 4x + 0 8x + 0 = 4x = 4x 0 = x L = { 0} 4x + 6 = 0 4x = 6 x = 1,5 {, 5} L = 1 zu.) 5x 5x x 5x (5x + )(x + ) x + 5x + 16 = (5x + )(x + ) 5x + 16 = 5x + 10x + x = 1x = 1x 1 = x Breite: 1 cm; Länge: 5 cm; neue Breite: 7 cm; neue Länge: 9 cm zu 3.) Länge der Seite b: x Länge der Seite a: ¾ x Länge der Seite c: x 7 x + 0,75x + x 7 = 59,75x 7 = 59,75x = 66 4 = x Seite b: 4 cm; Seite a: 18 cm; Seite c: 17 cm Seite 34 von 36

35 zu 4.) Vermögen: x Die Enkel bekommen: 1/3 x Die Kinder bekommen: 0,5 x 1 x + 0,5x = x 3 5 x = x = x = x Enkel: ; Kinder: zu 5.) 1. Zahl: x (198). Zahl: x + 1 (199) 3. Zahl: x + (00) 4. Zahl: x + 3 (01) 5. Zahl: x + 4 (0) x + (x + 1) + (x + ) + (x + 3) + (x + 4) = 1000 x + x + 1+ x + + x x + 4 = x + 10 = x = 990 x = 198 zu 6.) Gesuchte Zahl: x 8x 14 = 6x x = 14 x = 7 zu 7.). Familie: x 1. Familie: x Familie: x 800 x + x x 800 = x = x = x = 600. Familie: 600 ; 1. Familie: 7400 ; 3. Familie: 5400 zu 8.) Ursprüngliche Quadratseite: x Neue Quadratseite: x + 8 x = (x + 8) x = x + 16x = 16x = 16x x = Quadratseite: 17 cm;. Quadratseite: 5 cm Seite 35 von 36

36 zu 9.) zu a.) zu b.) x a = 5 x a = 5 8 x = b 8 x = b x = 5 + a a = 5 x x = b 8 b = 8 x 5 + a b 8 x = a = 5 + x x = 1 1 x =,5 + a x = b + 4 zu c.) a(x + 4) = 0 a(x + 4) = x + 4 = a = a x x = 4 a zu d.) u = a + b u = a + b u b = a u a = b u b u a = a = b 1 1 u b = a u a = b zu e.) G p G p Pw = Pw = Pw = G p 100 Pw = G p 100 Pw 100 Pw = G = p p G zu f.) k i p k i p k i p z = z = z = z = k i p 100 z = k i p 100 z = k i p 100 z 100 z 100 z = p = i = k k i k p p i Seite 36 von 36