4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite a) Seite 107

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1 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite Gleichungen. Ungleichungen Auftakt Seiten 104, 105 Seite Er muss die Stange in der Mitte anfassen. 2 Die sechs Steine auf der rechten Seite wiegen insgesamt ebenfalls 5 kg. So könnte sich das Gewicht verteilen: 0,6kg 0,5kg 0,3kg 0,8kg 1,2kg 1,6kg 3 Auf der rechten Seite des Schiffes sind mehr Container geladen als auf der linken Seite. Wichtig ist, dass beide Seiten gleich schwer sind. Vermutlich sind auf der linken Seite einige Container besonders schwer beladen. Es könnte auch sein, dass rechts im nicht einsehbaren Bereich Lücken sind. 1 Gleichungen durch Probieren lösen Seiten 106, 107 Seite 106 Einstieg Drei Kugeln wiegen so viel wie ein Würfel. Bei Marius wiegen 5 Würfel soviel wie 15 Kugeln. Da 15 : 5 = 3, wiegt ein Würfel soviel wie drei Kugeln. Also ist ein Würfel bei Marius genauso schwer. Waage von Svenja: 5 + = 8 Waage von Marius: 5 = 15 1 a) 2 9 b) = = 5 Probe: = 32 Probe: = 17 c) = d) + 37 = 15 0 Probe: 15 3 = 12 Probe: = 3 e) 8 : 6 f) = 132 : 12 = 8 = 11 Probe: 6 8 = 48 Probe: = 132 g) 5 5 h) 4 = 125 = 12 Probe: 125 : 5 = 25 Probe: 12 : 4 = 3 2 a) linker Term 2 7 = 21 rechter Term = Lösung: = 14 b) linker Term = 14 rechter Term = Lösung: c) linker Term = 99 rechter Term = Lösung: = 12 d) linker Term 15 9 = 6 rechter Term = 6 6 Lösung: = 1 3 a) 3 7 b) 2 = 14 7 : 3 = 14 : 2 = 9 = 7 c) + 4 = 15 d) 7 = 9 = 15 4 = = 11 = 16 Seite Zur Waage A gehört die Gleichung 2 = 6. Umkehraufgabe: = 6 : 2 Lösung: Zur Waage B gehört die Gleichung = 6. Lösen durch systematisches Probieren: linker Term = 6 rechter Term = 6 6 Lösung: Zur Waage C gehört die Gleichung = 6. Lösen durch systematisches Probieren: linker Term = 6 rechter Term = 6 6 Lösung: = 1 79

2 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite 107 A Lösen mithilfe der Umkehraufgabe: a) = b) 6 = 74 = 18 Probe: = 103 Probe: 18 : 6 = 3 c) Lösen durch Probieren: linker Term = 62 rechter Term = Lösung: = 15 d) Lösen durch Probieren: linker Term 49 2 = 17 rechter Term = Lösung: = 16 B a) b) c) d) = 1 Seite 107, links 5 Lösen der Aufgaben mithilfe der Umkehraufgabe oder durch systematisches Probieren. a) Gleichung: 2 = 10 Umkehraufgabe: = 10 : 2 Lösung: = 5 b) linker Term 2 = 7 + rechter Term = Lösung: = 7 c) linker Term = 9 rechter Term = 9 9 Lösung: = 9 6 a) linker Term + 5 = 2 rechter Term = Lösung: = 5 b) 7 a) linker Term = 4 rechter Term = Lösung: linker Term = 68 rechter Term = Lösung: = 14 b) linker Term 5 13 = 67 rechter Term = Lösung: = 16 c) linker Term 4 : = 59 rechter Term : : = Lösung: = 13 d) linker Term = 56 rechter Term = Lösung: = 15 Seite 107, rechts 5 a) Gleichung: oder (2 + ) Lösung: Zwei Kugeln wiegen so viel wie ein Würfel. b) Gleichung: = 4 Lösung: Vier Kugeln wiegen so viel wie ein Würfel. 6 a) 3 4 = 20; Lösung: = 8 b) : = 11,5; Lösung: = 9 c) 2,5 = 12,5; Lösung: = 5 d) 16 2 ; Lösung: = 6 80

3 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite a) linker Term 2 14 = 12 rechter Term = Lösung: = 13 b) linker Term 5 a + 6 = 2 a + 78 rechter Term = Lösung: a = 24 c) linker Term 4 y + 21 = 25 rechter Term = Lösung: y = 1 1 Gleichungen durch Probieren lösen Seite 108 Seite 108, links 8 a) Die Situation wird beschrieben durch die Gleichung: steht für den Preis einer ermäßigten Kinokarte. b) Lösung der Gleichung, z. B. durch Rückwärtsrechnen:,5 Eine Kinokarte für ein Kind kostet 4,50. 9 a) steht für den Preis eines Heftes. Gleichung: 8,5 + 4 = 11,5 Da drei mögliche Preise angegeben sind, ist es geschickt, die Gleichung durch Ausprobieren der gegebenen Werte zu lösen. linker Term 8,5 + 4 = 11,5 rechter Term 12,1 8, ,90 11,5 11,5 10,5 8, ,50 11,5 11,5 11,5 8, ,75 = 11,5 11,5 Lösung: = 0,75 Tom hat vier grüne Hefte für je 0,75 gekauft. 10 a) Lösen mithilfe der Umkehraufgabe: 1,99 = 5,97 = 5,97 : 1,99 Es wurden 3 kg Tomaten gekauft. b) Individuelle Lösungen Zum Beispiel: Die Gleichung 1,50 = 7,50 beschreibt den Einkauf von Karotten. Wie viel Kilogramm Karotten wurden eingekauft? (Antwort: Es wurden 5 kg Karotten eingekauft.) 11 a) = 17; Lösung: = 7 b) 2 3 = 17; Lösung: = 10 Seite 108, rechts 8 a) Preis für eine Brezel: 3,25 : 5 = 0,65 Anzahl Brezeln Preis in 1 0,65 2 1,30 3 1,95 4 2,60 5 3,25 6 3,90 7 4,55 8 5,20 9 5, ,50 b) Term, der den Gesamtpreis (in ) für eine beliebige Anzahl Brezeln () angibt: 0,65 9 a) = = 18 linker Term 3 3 = 18 rechter Term = Lösung: = 7 b) 3,8 2 2 = 1 3,8 4 = 1 linker Term 3,8 4 = 1 rechter Term 0,2 3, ,8 4 1,2 = 1 1 Lösung: = 1,2 c) = 0,4 4 = 0,4 linker Term 4 = 0,4 rechter Term ,4 0,4 0,4 4 0,1 = 0,4 0,4 Lösung: = 0,1 81

4 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite d) 4 + 0,2 + 8 = 1,5 0,8 8 0, = 0,7 8 linker Term 0, = 0,7 8 rechter Term 14 0, , , , , , , = 0, Lösung: 0 10 a) Individuelle Überprüfung durch Einsetzen von verschiedenen Werten für. b) Keine Lösung hat die Gleichung + 23 = c) Unendlich viele Lösungen haben die Gleichungen und + 4. d) Individuelle Lösungen Zum Beispiel: Gleichung mit unendlich vielen Lösungen: + 4 Gleichung ohne Lösung: 3 = 2 Gleichungen durch Umformen lösen Seite 109 Seite 109 Einstieg Wenn Leander das Lineal einmal in der Mitte faltet, dann halbiert er die Strecke: 72 : 2 = 36 Faltet er das Lineal noch einmal, dann hat er die Strecke insgesamt geviertelt: 72 : 4 = 18 Lösung: = 18 Leander faltet zunächst ein 6 cm langes Stück nach hinten. Die übrige Strecke wird gedrittelt. Also: 21 6 = 15; 15 : 3 = 5 Lösung: = 5 Individuelle Lösungen. Beispiele: = 21 (Lösung: = 5) (Lösung: ) 2 Gleichungen durch Umformen lösen Seiten 110, 111 Seite a) 1. Umformung: Auf beiden Seiten 3 Kugeln wegnehmen. 2. Umformung: Beide Seiten durch 2 teilen. Lösung: Ein Würfel wiegt so viel wie 3 Kugeln (). b) 1. Umformung: Auf beiden Seiten 5 Kugeln wegnehmen. 2. Umformung: Beide Seiten durch 3 teilen. Lösung: Ein Würfel wiegt so viel wie 2 Kugeln (). 2 a) : : 5 b) = 14 3 = 9 = 11 c) = d) : 3 = = 10 = 12 e) = 17 2 f) : 3 3 = 15 : 3 : : 7 = 5 3 a) + 11 = = 6 b) 2 = = 8 c) 5 5 : 5 = 7 d) 8 + = 17 8 = 9 e) : 5 = 2 5 = 10 f) 4 6 : 4 = 9 g) 9 = h) = 16 : 2 = 8 i) : 24 A a) 4 = = 12 : 3 b) = = 6 2 c) = = 6 : 2 B a) 17 + = Probe: = 19 b) 9 = = 11 Probe: 11 9 = 2 c) : 2 = 3 2 = 6 Probe: 6 : 2 = 3 82

5 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite d) 3 = 12 : 3 Probe: 3 4 = 12 e) = : 2 = 13 Probe: = 32 f) 10 = = 60 : 60 = 1 Probe: 10 1 = = 10 Seite 110, links 4 a) 21 = = 90 b) 21 = c) + 9 = 28 9 = 19 d) = 9 e) 4 = 12 : ( 4) = 3 f) : 9 = g) 8 = 72 : 8 = 9 h) 5 = 30 : 5 = 6 Seite 110, rechts 4 a) 2,5 = 8 + 2,5 = 10,5 b) = = 60 : 2 0 c) 4 = = 6 : ( 1) = 6 d) 3 : 2 = 15 3 : 2 = 12 ( 2) = 24 e) 4 6 = = = 12 : 6 f) : 2 5 = : 2 = g) 5 9 = = 5 : 5 = 1 h) + 4,5 = 9, ,5 = 9,5 4,5 5 = 5 : 5 = 1 Seite 111, links 5 a) 2 = 18 :2 = 9 b) 4 3 = = 12 : 4 c) 4 1 = = 8 : 4 d) 3 = = 16 : 4 6 a) 2 = 14 = 7 b) 12 = 4 3 = c) : 3 = 4 = 12 : 2 : 4 3 aber aber aber 7 2 4; Lösung: = = 3 + 4; Lösung: = 17; Lösung: + 4 = 2; Lösung: = = 14 = = = = 8 3 = 4 = a) 1. Umformung: Auf beiden Seiten 4 Kugeln wegnehmen. 2. Umformung: Beide Seiten durch 4 teilen. Lösung: ; ein Würfel wiegt so viel wie 3 Kugeln. b) 3 : 2 3 : 2 83

6 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite a) = 9 b) = = = 2 : 2 = 1 c) = = : 12 d) = = = 15 : ( 5) e) = = = 15 : 3 = 5 Seite 111, rechts 5 a) 8 4 b) 3 = 12 = 4 : 8 : 3 c) = = 6 : = = 11 7 d) = 7 2 = 7 2 = 5 : ( 1) = = = = 9 : = 24 = = 12 = = 19; Lösung: = 11; Lösung: = = ; Lösung: = 1 4 = 3 + 4; Lösung: = 4 7 a) 4 8 = : 4 = 6 b) = = c) + 9 = = = 6 : ( 6) = 5 8 a) = = 28 : ( 7) b) 1,6 0,8 = 0,8 + 1,6 0,8 0,8 0,8 = 1,6 + 0,8 0,8,4 : 2,4 c) = = = 77 : 11 = 7 d) = = = 60 : ( 12) = 5 9 a) 4 a + 9 a 7 a a = a 2 = a = 56 : 28 a = 2 b) 1,5 + 5 b + 3,5 = 0,5 b b b = 2,5 b 3 2,5 b 2 + 2,5 b = 3 2 2,5 b = 5 : 2,5 b = 2 c) 40 z z = 7 z z 9 z 18 = 10 z z = 10 z z z = 38 d) ,5 y ,5 y = 14,5 y y = 14,5 y y = 14,5 y ,5 y 0,5 y = 10 : 0,5 y = 20 2 Gleichungen durch Umformen lösen Seite 112 Seite 112, links 10 a) 0,5 + 3 = 5 0,5 3,5 : 3 = 1,5 84

7 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite 112 b) 4 = = : 3 = 15 c) Individuelle Lösungen; zum Beispiel: = 17 (Lösung: ) Darstellung mit Plättchen: 5 = a) Zu seinen Überlegungen passt die Gleichung 350 = steht für die Anzahl der Monate, in denen er sein ganzes Taschengeld ansparen muss. b) 350 = = 30 : 30 5 = = 5 Jakob muss sein Taschengeld über 5 Monate ansparen. 12 Individuelle Lösungen Zum Beispiel: a) b) = = = = 11 c) = 4 : 2 = 4 : 2 : = 4 : : = 18 Seite 112, rechts 10 a) Als Erstes faltet man ein Stück der Länge 8 cm nach hinten. Es bleibt ein Stück der Länge 12 cm übrig. Dieses Stück wird nun geviertelt, indem man es zweimal halbiert. Übrig bleibt ein Stück der Länge 3 cm. Lösung:. b) Individuelle Lösungen Zum Beispiel: = 20 (Lösung: = 6); + 13 = 20 (Lösung: = 7); = 20 (Lösung: ); = 20 (Lösung: ) c) Der rechte Term ist immer gleich. Links vom Gleichheitszeichen wird immer eine Zahl zu oder einem Vielfachen von addiert. 11 a) Zu Lenas Plan passen zwei Gleichungen: = ; 400 = Dabei steht für die Anzahl der Monate, in denen sie die Hälfte ihres Taschengelds anspart. b) 400 = = 15 : 15 8 = = 8 Lena muss 8 Monate lang sparen. Hinweis: Wenn man die Gleichung = löst, erhält man die gleiche Lösung. 12 Pia multipliziert zuerst mit 3, sodass die Gleichung keinen Bruch mehr enthält und addiert anschließend. Dilara addiert zuerst und dividiert dann durch 1 3. Dilara muss weniger Rechenoperationen durchführen. Wenn man nicht gerne durch einen Bruch dividiert, ist Pias Lösungsweg geschickter. 13 Hinweis: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. 4 a) 10 = b) = = = 6 3 = 8 c) 6 4 = = = = 8 d) = = 8 2 = 12 85

8 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite Individuelle Lösungen Zum Beispiel: a) 4 5 = 15 b) 18 = 20 3 Gleichungen mit Klammern Seite 113 Seite 113 Einstieg Æ Æ Gedachte Zahl: = 12; 12 2 = 24; = 1200; (5 + 6) = 1211 Gedachte Zahl: = 29; 29 2 = 58; = 2900; (22 + 6) = 2928 Gedachte Zahl: = 50; 50 2 = 100; = 5000; (43 + 6) = 5049 Es ist hilfreich, die Ergebnisse in Zweierblöcken zu notieren: Gedachte Zahl Ergebnis Man erkennt: Wenn man zur gedachten Zahl 7 addiert, erhält man die ersten beiden Ziffern des Ergebnisses. Wenn man zur gedachten Zahl 6 addiert, erhält man die beiden letzten Ziffern. Das bedeutet: Der Zauberer zieht von der Zahl, die die zwei letzten Ziffern bilden, 6 ab und erhält die gedachte Zahl. Beispiel: Bei dem Ergebnis 4746 rechnet der Zauberer 46 6 = 40. Die gedachte Zahl lautet 40. Individuelle Lösungen 1 a) 5 + (6 + ) = 15 Klammer auflösen = 15 zusammenfassen 11 + = b) 20 (5 ) = 32 Klammer auflösen zusammenfassen = 17 : 1 = 17 c) 9 = 7 ( + 3) Klammer auflösen 9 = : 2 = 10,5 d) 2 2 (3 ) = 12 Klammer auflösen = 12 zusammenfassen = = 16 : 2 = 8 2 a) 6 + ( 4) = 8 Klammer auflösen = 8 zusammenfassen 2 + = 8 2 = 6 b) 10 (4 ) = 7 Klammer auflösen = 7 zusammenfassen 6 + = 7 6 = 1 c) 5 + ( + 5) = 40 Klammer auflösen = 40 zusammenfassen d) ( + 4) = 24 Klammer aufl = 24 zusammenf = 16 e) 2 + (8 + 3 ) = Klammer aufl zusammenf = = 16 f) 50 (17 + ) = 24 2 Klammer aufl zusammenf = 9 3 a) 3 ( 4) = 15 Klammer auflösen 3 12 = : 3 = 9 Probe: 3 (9 4) = = = 15 b) 7 (5 + ) = 49 Klammer auflösen = 14 : 7 Probe: 7 (5 + 2) = = = 49 86

9 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite c) (8 + ) = 30 Klammer auflösen zusammenfassen = 10 : 2 = 5 Probe: (8 + 5) = = = 30 d) 50 2 (17 + ) = 24 Klammer auflösen zusammenfassen = 8 : ( 2) = 4 Probe: 50 2 (17 4) = = = 24 e) 2 ( 6) + 9 = 17 Klammer auflösen = 17 zusammenfassen 2 3 = : 2 = 10 Probe: 2 (10 6) + 9 = = = 17 f) (3 + 3 ) = Klammer auflösen zusammenfassen = = 16 : 4 Probe: ( ) = = = 34 3 Gleichungen mit Klammern Seiten 114, 115 Seite 114 A a) 9 (5 ) = 10 Klammer auflösen = 10 zusammenfassen 4 + = 10 4 = 6 b) 4 ( + 4) = 28 2 Klammer auflösen = = = 12 : 6 B a) 7 + ( ) = 29 Klammer auflösen zusammenfassen = 12 : 6 Probe: 7 + ( ) = = 29 b) 12 = 25 + (19 2 ) Klammer auflösen 12 = zusammenfassen 12 = = 3 : 3 2 = Probe rechter Term: (19 2 2) = (19 4) = = 12 c) 6 (3 + 5) + 2 = 4 Klammer auflösen = 4 zusammenfassen = = 36 : 18 = 2 Probe linker Term: 6 (3 ( 2) + 5) + 2 = 6 ( 6 + 5) + 2 = 6 ( 1) + 2 = = 4 d) = 5 (4 17) Klammer auflösen = zusammenfassen = = 17 6 = 11 Probe: = 5 11 ( ) = 55 (44 17) 28 = = 28 Seite 114, links 4 a) 4 + (2 + 6) = 14 Klammer auflösen = 14 zusammenfassen = : 2 b) (3 5) 11 = 8 Klammer auflösen = 8 zusammenfassen 3 16 = : 3 = 8 c) 2 + (3 4) 5 = 20 Klammer auflösen = 20 zusammenfassen : 3 = 9 d) 4 (2 + 2 ) = 10 Klammer auflösen = 10 zusammenfassen 2 2 = = 8 : ( 2) = 4 e) (7 + 5) + 18 = 27 Klammer auflösen = 27 zusammenfassen = = 14 : ( 7) = 2 87

10 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite 114 f) 6 ( + 2) 12 = 24 Klammer auflösen = 24 zusammenfassen 6 4 : 6 g) 3 ( 1) Klammer auflösen zusammenfassen = : 4 = 7 h) 13 (2 3) = 22 Klammer aufl = 22 zusammenf = 8 : 2 5 Der Fehler ist in der 2. Zeile zu finden. Beim Auflösen der Klammer wurde ein Vorzeichenfehler gemacht. Richtig ist: 21 ( + 1) = Klammer auflösen 21 1 = zusammenfassen = = 8 : ( 4) = 2 6 Lösungswort: MALTA a) 18 ( 2) = Lösung: = 5 b) 4 (2 + 3) = Lösung: = 3 c) 2 (0,5 + 2) = Lösung: d) (3 + 6) Lösung: e) 4 (2 + 4) = 12 Lösung: = 6 Seite 114, rechts 4 a) (2 7) = Klammer aufl = zusammenf = = 12 : 2 = 6 Probe: (2 6 7) = = = 37 b) 4 + ( ) + (25 + ) = 88 4 Kl. aufl = 88 4 zus = = : 12 Probe: ( ) + (25 + 4) = = = 72 c) 3 (5 + 2 ) = 3 Klammer auflösen = = 18 : 6 = 3 Probe: 3 (5 + 2 ( 3)) = 3 3 (5 6) = 3 3 = 3 d) (45 15 ) = 15 3 Kl. aufl = 15 3 zus = = : 27 = 1 Probe: ( ) = = = 12 e) 2 (3 + 9) = Klammer auflösen = = = 63 : ( 9) = 7 Probe: 2 ( ) = = = 60 f) (3 5) 7 = : = = = 6 : 2 Probe: (3 3 5) 7 = = = 28 5 Den Fehler findet man in der 2. Zeile auf der linken Seite der Gleichung. Beim Auflösen der Klammer muss man den Faktor 5 auch mit 9 multiplizieren. Richtig ist: 5 ( + 9) 4 = 12 ( + 1) Klammer auflösen = 12 1 zusammenfassen = = = 30 : 6 = 5 6 Lösungswort: SCHWEDEN a) (2 + ) = vereinfachen = zusammenf. 18 = = 64 : 8 = 8 88

11 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite b) (12 7) + 13 = (15 23) Kl. aufl = zus = = : 3 = 1 c) (6 8) = 2 (5 2 ) + 51 Kl. aufl = zus : 8 d) = (3 + 4) Klammer aufl = zusammenf = = : 5 = 8 e) 4 5 (2 3) = (2 + 4) 0,6 Klammer aufl. 1,6 2,4 = 1,2 + 2,4 + 2,4 1,6 = 1,2 + 4,8 1,2 0,4,8 : 0,4 = 12 f) 2 (1 2 ) = 2,5 3 5 Klammer aufl. 1 2,5 3 5 vereinfachen 0,5,5 0,6 + 0,6 0,5 0,4,5 0,5 0,4,0 : ( 0,4) = 5 g) 0,3 ( + 1) + 6,9 + 4 Klammer aufl. 0,3 + 0,3 + 6,9 + 4 zusammenf. 0,3 + 6,3, ,3 + 2,3,9 0,3 2,3,6 : 2,3 3 h) 5 ( ) 3 = 5 Klammer aufl. Seite 115, links = = 0 zusammenf = = a) (2 + 8) 5 = Klammer auflösen = zusammenfassen = = 1 3 = 2 : ( 1) b) 2 (3 5) 11 = 4 + Klammer auflösen = 4 + zusammenfassen 6 21 = = : 5 = 5 c) (3 4) = 19 Klammer auflösen = = 15 : ( 3) = 5 d) 1,5 3 (2 + 2 ) = 1,5 Klammer auflösen 1,5 6 6 = 1,5 zusammenfassen 4,5 6 = 1,5 + 4,5 6 = 6 : ( 6) = 1 e) 6 ( + 2) 12 = Klammer aufl = zusammenf = = : 6 = 8 f) 16 (2 + 8) = 2 + Klammer auflösen = 2 + zusammenfassen = 6 : ( 3) 8 Zur Gleichung 4 (10 + ) = 24 gehört der Satz: Multipliziere die Summe aus 10 und mit 4 und du erhältst (10 + ) = 24 Klammer auflösen = 16 : 4 = 4 Zur Gleichung 24 (10 ) = 8 gehört der Satz: Subtrahiere von 24 die Differenz aus 10 und und du erhältst (10 ) = 8 Klammer auflösen = 8 zusammenfassen 14 + = 8 14 = 6 Zur Gleichung 24 (10 + ) = 8 gehört der Satz: Ziehe von 24 die Summe aus 10 und ab und du erhältst (10 + ) = 8 Klammer auflösen = 8 zusammenfassen 14 = 8 14 = 6 : ( 1) = 6 89

12 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite a) Individuelle Lösungen Emma löst die Gleichung nach den gelernten Regeln und löst die Klammer durch ausmultiplizieren. Dieses Vorgehen klappt immer. Daniel löst die Klammer nicht durch ausmultiplizieren, sondern indem er die ganze Gleichung durch 2 dividiert. Auf diese Weise kommt er schneller zum Ziel. b) Gleichung 3 ( 4) = 18 Daniels Lösungsweg: 3 ( 4) = 18 : 3 4 = = 10 Emmas Lösungsweg: 3 ( 4) = 18 Klammer auflösen 3 12 = : 3 = 10 Gleichung 8 (2 + 2 ) = 48 Daniels Weg: 8 (2 + 2 ) = 48 : = : 2 Emmas Weg: 8 (2 + 2 ) = 48 Klammer auflösen : Individuelle Lösungen Beispiele: a) Gleichungen mit Ergebnis größer null: 2 ( + 1) 1 = 9 Lösung: (3 + ) + 5 = 12 Lösung: (3 + ) 12 = 5 Lösung: = 14 b) Gleichungen mit Ergebnis kleiner null: 2 ( + 1) + 12 = 5 Lösung: = 4,5 (3 + ) + 12 = 5 Lösung: = 10 Seite 115, rechts 7 a) 4 (3 2 2) = = Lösung ist falsch. Lösen der Gleichung: 4 (3 2) = Klammer auflösen 12 8 = = 9 : 9 = 1 b) Überprüfung: (6 4 5) = ( 15 4) 24 5 = ( 19) 19 = 19 Lösung ist richtig. c) Überprüfung: 3 ( ) = 36 (3 1) 3 24 = = 72 Lösung ist richtig. d) Überprüfung: 2,5 2 (2 3) = ( ,5) 5 ( 1) = 6 + 2,5 6 8,5 Lösung ist falsch. Lösen der Gleichung: 2,5 ( 3) = (3 + 2,5) Klammer auflösen 2,5 + 3 = 3 + 2,5 zusammenfassen 1,5 + 3 = 3 + 2,5 3 1,5 + 3 = 2,5 3 1,5 = 0,5 : ( 1,5) = (4 + ) = 15 Klammer auflösen = 15 zusammenfassen 13 + = Die gesuchte Zahl ist (18 + ) = 8 Klammer auflösen = 8 zusammenfassen 17 = 8 17 = 9 : ( 1) = 9 Die gesuchte Zahl ist 9. ( + 3) 4 = 20 Klammer auflösen = = 8 : 4 Die gesuchte Zahl ist ( + 2) Gleichung: 3 ( + 2) 12 = ( + 2) 12 = 180 vereinfachen 36 ( + 2) = 180 Kl. auflösen = = 108 : 36 90

13 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite a) Hier ist es geschickt, zuerst durch 3 zu dividieren, weil alle Summanden den Faktor 3 enthalten. b) 2 ( + 1) = : = : ( 1) = = 5 ( + 4) : = = 2 = 2 11 Individuelle Lösungen Beispiele: a) Gleichungen mit Ergebnis größer null: 2 ( + 1) + 1 = 9 Lösung: (3 + 2 ) + 1 = 9 Lösung:,5 2 ( + 1) + (3 + 2 ) = 9 Lösung: = 1 b) Gleichungen mit Ergebnis kleiner null: 2 ( + 1) + 9 = 1 Lösung: = 5 (3 + 2 ) + 9 = 1 Lösung: = 5,5 2 ( + 1) + (3 + 2 ) = 1 Lösung: = 1 c) Gleichungen, für die es keine Lösung gibt: 2 ( + 1) = (3 + 2 ) 2 ( + 1) (3 + 2 ) = 1 2 ( + 1) (3 + 2 ) = 9 4 Mit Gleichungen Fragen beantworten Seiten 116, 117 Seite 116 Einstieg 200 : 4 = 50 Eine Seite des Quadrats ist ungefähr 50 m lang. Gleichung für den Umfang des Zauns: 4 4 = = : 4 = 51 Eine Seite des Quadrats ist 51 m lang. 1 a) Skizze wie im Schülerbuch : die Länge eines Schenkels des Dreiecks = : 2 = 17 Die Schenkel des Dreiecks sind jeweils 17 cm lang. b) Skizze wie im Schülerbuch : die Länge der längeren Seite des Parallelogramms = 11 zusammenfassen = = 7 : 2,5 Die längere Seite des Parallelogramms ist 3,5 cm lang. Seite : Alter von Laura Skizze: Laura: Mutter: 4 55 Jahre Gleichung: + 4 = 55 zusammenfassen 5 = 55 : 5 = 11 Laura ist 11 Jahre alt und ihre Mutter ist 44 Jahre alt. A = 14 : 2 = 7 Die unbekannte Seite ist 7 cm lang. B a) Das Alter vor 12 Jahren mit 4 multipliziert, ergibt sein heutiges Alter: 4 = + 12 b) 4 = = 12 : 3 Vor 12 Jahren war Theo 4 Jahre alt. Heute ist er 16 Jahre alt. Seite 117, links = 23 zusammenfassen = = 12 : 3 Die kürzere Seite ist 4 cm lang und die längere Seite ist 8 cm lang. 4 a) 3 + (2 + 2) = + 10 zusammenfassen = = = 8 : 4 Die gedachte Zahl ist 2. 91

14 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite a) b) 5 3 = Es gibt keine Zahl, die dies erfüllt. Kai Loris Mira gesamt Gleichung: = 180 zusammenfassen 4 = 180 : 4 0 Kai erhält 90, Loris und Mira je 45. b) Lohn insgesamt: 180 Gesamtarbeitszeit: 20 h 180 : 20 = 9 Der Stundenlohn beträgt 9. Seite 117, rechts zusammenfassen 8 8 : 8 = 6 Die Seiten des Vierecks sind 12 cm, 18 cm, 6 cm und 12 cm lang. 4 a) = ,5 = 10 : ( 2,5) Die gesuchte Zahl ist 4. b) ( + 3) Klammer auflösen = Da der linke und rechte Term gleich sind, ist jede rationale Zahl eine Lösung des Zahlenrätsels. 5 Breite: ; Länge: 2 Gleichung: zusammenfassen 6 4 : 6 Das Gehege ist 4 m breit und 8 m lang. 6 a) Adler Bosch Conrad gesamt Gleichung: zusammenfassen 7 80 : 7 0 Frau Adler hat 4 40 = 160 bezahlt, Frau Bosch hat 40 bezahlt und Frau Conrad hat 2 40 = 80 bezahlt. b) Gleichung für die Einnahmen: = 630 zusammenfassen 7 = 630 : 7 = 90 Wenn man die Einnahmen im Verhältnis zu den Ausgaben verteilt, so bekommt Frau Adler 4 90 = 360, Frau Bosch 90 und Frau Conrad 2 90 = Ungleichungen Seiten 118, 119 Seite 118 Einstieg Zahlen die zu einer wahren Aussage führen: 0; 1; 2; 3 Das Mobile stellt keine Gleichung dar, weil zwischen dem linken und rechten Term kein Gleichzeichen (=) ist. Es handelt sich um eine Ungleichung, weil der linke und rechte Term durch ein Größerzeichen (>) miteinander verbunden sind. 1 G = Q; < 2 Zahlengerade (2) G = N; > 2 Zahlengerade (1) G = Z; < 2 Zahlengerade (4) G = Q; > 2 Zahlengerade (3) Seite a) G = Z 9 + < 10 9 < 1 L = {0; 1; 2; } b) G = N 4 > > 6 L = {7; 8; 9; } c) G = Q < 5 : ( 1) > 5 L = { > 5}

15 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite 119 d) G = Q 5 > 20 : ( 5) < 4 L = { < 4} a) 6 < < 8 L = { < 8} Zahlengerade (4) b) > > 30 : 2 > 15 L = { > 15} Zahlengerade (1) c) 2 < 8 : ( 2) > 4 L = { > 4} Zahlengerade (2) d) 3 1 > > 15 : ( 3) < 5 L = { < 5} Zahlengerade (3) A a) G = N 7 < 14 : 7 < 2 L = {0; 1} b) G = Z > > 6 : 2 > 3 L = { 2; 1; 0; 1; } c) G = Q 5 > 15 : ( 5) < 3 L = { < 3} d) G = N < < 12 : ( 4) > 3 L = {0; 1; 2; 3; } Seite 119, links 4 a) 4 < 20 : 4 < 5 L = { } b) 2 6 > > 10 : 2 > 5 L = {6; 7; 8; } c) 2 > 6 : ( 2) < 3 L = { } d) < < 3 : ( 3) > 1 L = {2; 3; 4; } a) < < 2 : 2 < 1 L = { < 1} b) > > 4 4 > 0 L = { > 0} c) 9 > > 5 : 5 2 > L = { < 2} d) 10 4 > > 15 : 10 > 1,5 L = { > 1,5} e) 0,5 > 20 : ( 0,5) < 40 L = { < 40} f) 4 < 5 4 < 20 L = { < 20} 6 : Anzahl der Brezeln; Ungleichung aufstellen: 0,40 < 5 : 0,40 < 12,5 Jana hat höchstens 12 Brezeln gekauft. Diese haben einen Wert von 4,80. Also erhält sie noch 0,20 Rückgeld. 93

16 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite : Anzahl der Personen; Ungleichung aufstellen: < < 2 : 2 10 < L = {11; 12; 13; } Ab 11 Personen ist Angebot A günstiger als Angebot B. Seite 119, rechts 4 a) G = N 28 > > 4 : 4 8 > L = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} b) G = Q < < < 20 : 2 < 10 L = { < 10} c) G = Z 2 > 15 3 > 15 : ( 3) < 5 L = {4; 3; 2; 1; 0; 1; } d) G = Q 4 (5 + 4) < 2 vereinfachen < < 6 : ( 1) > 6 L = { > 6} e) G = Z 2 + (10 7) > 3 (3 2) ausmultiplizieren > > 1 L = {0; 1; 2; 3; } f) G = Q < < 1 : 5 < 5 L = { < 1 5 } g) G = N 6 4 > > 2 : ( 5) 2 < 5 L = { } b) 9 > 9 : 9 > 1 L = N c) 8 < < 14 : ( 7) > 2 L = N d) 3 4 > > 0 L = { } 6 a) < < < 170 < ,05 Da die Lösung ganzzahlig sein soll, darf höchstens 4 cm lang sein. b) Wenn cm, dann benötigt man insgesamt 168 cm Draht. Also bleiben noch 2 cm Draht für die Öse übrig. 7 : Anzahl der Personen; Ungleichung aufstellen: ,5 < ,5 8 < 0,5 : 0,5 16 < L = {17; 18; 19; } Ab 17 Personen ist Angebot A günstiger als Angebot B. Basistraining Seite 121 Seite a) = 56 : 7 b) 4 3 = 8 1 c) = d) 8 : 4 1 = 7 e) = 11 2 f) = = 103 g) 3 h) : 4 = 6 = 0,5 2 a) linker Term = 7 rechter Term = 7 7 Lösung: 5 a) 5 < < 0 L = { } 94

17 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite 121 b) linker Term 12 3 rechter Term Lösung: c) = 3 3 linker Term = 10 rechter Term = Lösung: d) linker Term 4 3 = 13 rechter Term = Lösung: e) linker Term + 2 = 1 rechter Term = 1 1 Lösung: = 1 f) linker Term 10 2 rechter Term = 4 4 Lösung: 3 a) 4 Kugeln wiegen so viel wie ein Würfel (). b) 5 Kugeln wiegen so viel wie ein Würfel ( = 5). c) 4 Kugeln wiegen so viel wie ein Würfel (). 4 a) + 4 = 20 4 b) 4 0 : 4 = 16 = 5 c) 6 = d) : 4 = = 80 5 Lösungswort: KOBOLD a) = = 16 : 4 b) : 10 c) 4 4 = = 56 : 4 = 14 d) = = : 5 = 5 e) 5 + 0,5 = + 20, ,5 = 20,5 0,5 4 0 : 4 = 5 f) 7, , , ,5 7,5 10 = 15 : 10 = 1,5 6 Gleichung 1 Gleichung 2 Lösung 4 5 = 7 4 = = = 0, = 2 3 = + 1 = = 3 32 = 2 = = = 6 7 a) 3 + (2 5) = 12 Klammer auflösen = 12 zusammenfassen 2 2 = = 14 : 2 = 7 Probe: 3 + (2 7 5) = = = 12 b) 2 ( 3) = 18 Klammer auflösen 2 6 = : 2 = 12 Probe: 2 (12 3) = = 18 c) 14 ( + 5) = 21 Klammer auflösen 14 5 = 21 zusammenfassen 13 5 = : 13 Probe: 14 2 (2 + 5) = = = 21 d) 12 ( 3) Klammer aufl zusammenf = 9 : 3 Probe: 12 (3 3) = = = 24 95

18 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite e) 2 ( + 2) 3 = 23 Klammer auflösen = 23 zusammenfassen = : 2 = 11 Probe: 2 (11 + 2) 3 = = = 23 f) 3 ( + 1) 1 = 6 Klammer auflösen = 6 zusammenfassen = : 2 Probe: 3 (2 + 1) 2 1 = = 6 6 = 6 8 Gleichung: = 590 steht für die Anzahl der Monate, in denen Luca 20 von seinem Taschengeld anspart = 590 zusammenfassen = = 160 : 20 = 8 Luca muss 8 Monate lang sparen, bis er das Geld für das Fahrrad zusammen hat. 9 a) > > 672 L = {673; 674; 675; } < 108 zusammenfassen 12 < 108 : 12 < 9 L = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} b) Individuelle Lösungen Anwenden. Nachdenken Seiten 122, 123 Seite a) 3 6 : 3 = 12 b) = = 7 : 2,5 c) = = 96 : 4 4 d) = = 15 : 3 = 5 11 a) 2,8 6 = 0,7 + 0,7 2,1 6 = + 6 2,1 = 7 : 7 0,3 = = 0,3 b) 0,45 + 1,4 0,2,9 zusammenf. 0,25 + 1,4 = 3,9 + 1,25 + 1,4 = 3,9 1,4 1,25,5 : 1,25 c) 4,1 (2 + 3) = 2 2,9 Klammer aufl. 4,1 2 3 = 2 2,9 zusammenf. 1,1 2 2,9 + 2, = 4 : 4 1 = = 1 d) 0,4 ( 3) 4 = 0,8 + Klammer aufl. 0,4 1,2 4 = 0,8 + zusammenf. 0,4 5,2 = 0, ,2 0,4 = 6 + 0,6 = 6 : ( 0,6) = 10 e) 1,5 ( 3) + 5 6,5 = ,5 Kl. aufl. 1,5 + 4, ,5 = ,5 zusam. 3,5 2 = ,5 4,5 2 = = 15 ( 1) = a) b) = = = 8 : 8 = 1 13 a) = = 11 5 = 55 2 b) = = = 1 3 c) 4 3 = = =

19 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite d) = = = 2 14 a) 12 + (5 + ( 4)) = 20 Klammer aufl (5 + 4) = 20 Klammer aufl = 20 zusammenf = 12 : 6 b) 37 (3 + 2 ( 4)) = 15 Klammer aufl. 37 ( ) = 15 Klammer aufl = 15 zusammenf = = 30 : ( 5) = 6 c) 5 + (2 ( 3)) = 18 Klammer aufl. 5 + (2 + 3) = 18 Klammer aufl = 18 zusammenf. 8 + = 18 8 = 10 d) (2 (9 + 7)) = 2 (3 + 3) Klammer aufl = zusammenf. 7 7 = = = 13 : ( 13) = 1 15 Lösungsweg: Man setzt für die gegebene Lösung ein. Anschließend kann man den Platzhalter wie eine Variable behandeln und die Gleichung lösen. a) º = º = º = 2 º = 2 einsetzen: = + 20 b) º = º = 6 3 º = 3 º = 3 einsetzen: = 7 c) = º = º º = 5 º = 5 einsetzen: = d) 4 ( 2) + 7 = 2 ( 2) + º 1 = 4 + º = º º = 3 einsetzen: = e) 5 3 = 3 3 º 2 = 9 º + º º + 2 = 9 2 º = 7 º = 7 einsetzen: 5 7 f) º 2 2 = º 4 = º = 1 º = 1 einsetzen: ( + 3) , , , , = : 4 = 5 Die Seiten der Figur haben folgende Längen: 3cm 2,5cm u = 26cm 5cm 5cm 17 a) Das Dreifache einer Zahl um 15 vermehrt ergibt zusammen 54. b) Wenn man von der Zahl 96 das Fünffache einer Zahl subtrahiert, dann erhält man als Ergebnis die Zahl 6. c) Das Achtfache einer Zahl ergibt das gleiche Ergebnis wie das Dreifache dieser Zahl um 100 vermehrt. d) Das Fünfzehnfache einer Zahl um 1 vermehrt ergibt das gleiche Ergebnis wie das Siebenfache dieser Zahl um 41 vermehrt. 18 a) 9 (4 + 6) < ausmultiplizieren < < 54 : 18 < 3 L = { 4; 5; 6; } b) 3 (4 + 1) < 11 3 ausmultiplizieren < < 6 L = { 7; 8; 9; } c) (3 ) > 5 (5 ) vereinfachen 3 + > zusammenfassen 2 3 > + 3 > 3 L = {4; 5; 6; }

20 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite d) (5 + 3 ) < 3 (2 1) vereinfachen < zusammenf. 2 < < 6 L = { < 6} e) 19 > ( 5 4) + (4 3) vereinfachen 19 > zusammenfassen 19 > > 9 : 9 2 > < 2 L = { < 2} f) 43 < 5 1 ( 3 + 2) vereinfachen 43 < zusammenfassen 43 < < 8 : 8 5 < > 5 L = { > 5} Seite a) Term zur Preisberechnung bei gefahrenen Kilometern: ,30 b) Preis für 150 km: , = 344 Preis für 250 km: , = 374 Preis für 320 km: , = 395 Preis für 80 km: , = 323 c) Es muss die Gleichung ,3 77,90 gelöst werden ,3 77, ,3 = 78,90 : 0,3 63 Herr Arnold ist eine Strecke von 273 km gefahren. 20 Preis für eine Flasche Saft: 2 1,49 + 1, , ,30 2,98 + 1,29 + 2, = 13,7 6, = 13,7 6,94 4 = 6,76 : 4 = 1,69 Eine Flasche Saft kostet 1, Gesamtwert Apfeltee: 25 kg 29 /kg = 725 Gesamtwert Kirschtee: 15 kg 13 /kg = 195 Also haben 40 kg Teemischung einen Wert von 920. Somit beträgt der Kilopreis für die Teemischung Alter des Elefantenbabys in Wochen: Gewicht von über 200 kg: > > 100 : 7 > 14,3 Das Elefantenbaby wird nach guten 14 Wochen über 200 kg schwer sein. Gewicht von über 250 kg: > > 150 : 7 > 21,4 Das Elefantenbaby wird nach guten 21 Wochen über 250 kg schwer sein. Gewicht von über 300 kg: > > 200 : 7 > 28,6 Das Elefantenbaby wird nach fast 29 Wochen über 300 kg schwer sein. 23 a) Gewinnverteilung: Adel Ben Carlo gesamt = = 6 30 = = = 180 Der Gesamtgewinn beträgt 180. b) Adel: = 60 Ben: = 90 Adel erhält 60 und Ben erhält a) Gesamtkantenlänge des Quaders: Gleichung: zusammenfassen 16 2 : 16 Die Höhe und Breite des Quaders betragen je 2 cm und die Länge 4 cm. 98

21 4 Gleichungen. Ungleichungen Schülerbuchseite 123 b) 4cm 2cm 4cm 2cm 6cm 2cm = 52 Die gesamte Kantenlänge des Körpers beträgt 52 cm. 25 b) Es gilt v = s t bzw. s = v t. Man geht davon aus, dass Jana beim Anfang der Strecke startet (also bei Kilometer 0) und Leo am Ende (also bei Kilometer 45). gefahrene Strecke nach Minuten: Jana: 10 ; Leo: Beim Treffpunkt kann die Gleichung aufgestellt werden: : 30 = 1,5 Jana und Leo treffen sich also nachdem sie jeweils 1,5 Stunde gefahren sind. 99