2 a) y 2 x = x

Transkript

1 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite Lineare Gleichungsssteme Auftakt Seiten 98, 99 Seite 98 Anzahl T-Shirts Firma Flockstle Firma Printa Welches Angebot günstiger ist, hängt von der Anzahl der bestellten T-Shirts ab. Bis zu einer Anzahl von 00 T-Shirts ist Firma Flockstle günstiger. Bestellt man 00 T-Shirts, sind die Kosten bei beiden Firmen gleich hoch. Ab einer Anzahl von mehr als 00 T-Shirts ist Firma Printa günstiger. Seite O Kosten in Firma Flockstle Firma Printa Anzahl Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Seiten 00, 0 Seite 00 Einstieg = 7 = 7 : ( ) = 7 + Teilaufgaben d), e): nach auflösen = 7 + = + 7 : = 0, +, Anschließend setzt man den gegebenen Wert ein und berechnet den fehlenden Wert. a) = + = + Beispiele für Zahlenpaare: (; 7); (; 9); (; ) b) = + = + Beispiele für Zahlenpaare: (; ); (; ); (; 7) c) = : _ = _ Beispiele für Zahlenpaare: (; 0); (; ); (; ) d) + = 0 = 0 : = Beispiele für Zahlenpaare: (; ); (; ); (; 7) Seite 0 a) : erste Zahl; : zweite Zahl Gleichung: + = b) Zum Beispiel: (; 0); (; 6); (; 8); (; ) Anzahl er-gruppen 6 0 Anzahl er-gruppen 8 a) (; ) b) (; ) c) (6; ) d) (9; ) e) (0; ) Man kann die Lösung durch Probieren finden oder durch Rechnen. Um den passenden -Wert zu berechnen, löst man die Gleichung nach auf; sucht man den -Wert, so löst man die Gleichung nach. Teilaufgaben a) c): nach auflösen Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

2 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite c) b) = 9 : = Beispiele für Lösungspaare: (; ); (; ); (7; 0) c) = 8 + = + 8 : = + Beispiele für Lösungspaare: (; 6); (; 8); (; ) d) + = + = + Beispiele für Lösungspaare: (0; ); (; 8); (; 8) O A Man setzt die Zahlenpaare nacheinander in die Gleichung + = 0 ein und prüft, ob die Gleichung erfüllt ist. Zahlenpaar (; ): Zahlenpaar (; 0): + = = 0 0 = Zahlenpaar (; ): Zahlenpaar (0; ): + = = 0 0 = 0 0 = 0 Zahlenpaar (; ): + = 0 0 = 0 Die Zahlenpaare (; ), (; ), (0; ) und (; ) sind Lösungen der Gleichung + = 0. Das Zahlenpaar (; 0) ist keine Lösung der Gleichung + = 0. B Alter Xenia in Jahren: ; Alter Yasemin in Jahren: Gleichung: + = Zum Beispiel: Seite 0, links Zur Wertetabelle gehört die Gleichung: = 0 6. a) = 8 : = Beispiele für Lösungspaare: (; ); (; 8); (6; ) 6 Gleichung nach auflösen: = 0, + 0 6, P (0 ) P ( ) P 6 (6 ) P (,) P ( ) O a) Gleichung: = Mögliche Lösungen: (; ); (8; ) b) Gleichung: + = Mögliche Lösungen: (; 0); (; 8) c) Gleichung: 8 a + c = 88 Mögliche Lösungen: (; 0); (; 6) Seite 0, rechts Zusammen gehören: = A (; 7) +, = 0 B (; ) = 0, C (,; ) = 60 A (; 7) a) + = bzw. = Beispiele für Lösungspaare: (0; ); (; ); (; ) b) 0, + = bzw. = 0, + Beispiele für Lösungspaare: (0; ); (; ); (; 6) c) = bzw. = + Beispiele für Lösungspaare: (0; ); (; 6); (; 9) 98 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

3 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite d) + = 0 bzw. = +, Beispiele für Lösungspaare: (0;,); (;,); (,; ) 6 O d) b) c) a) und : Zahlen Gleichung: = (oder anders herum) Beispiele für Lösungspaare: (0; 8); (; ) b) : Schenkel; : Basis Gleichung: + = 0 Beispiele für Lösungspaare: (6; 8); (7; 6) Hinweis: Bei der Angabe der Lösungspaare darf man nicht vergessen, dass es um die Seitenlängen eines Dreiecks handelt. Das heißt, für die Lösungen muss gelten a + b > c für alle Besetzungen von a, b, c; so ist zum Beispiel (; 6) zwar eine Lösung der Gleichung, aber keine Lösung der Aufgabe, da mit den Längen cm, cm und 6 cm kein Dreieck entstehen kann. c) Gleichung: a + s = Beispiele für Lösungspaare: (; 9); (6; 7) Hinweis: Hier muss ebenfalls auf sinnvolle Kombinationen geachtet werden; bei dem Zahlenpaar (; ) kann zum Beispiel keine Pramide entstehen. a) Lineare Gleichungsssteme Seiten 0, 0 Seite 0 Einstieg ÆÆ : Anzahl der Stunden; : Kosten in Gleichung für die Kosten bei Firma Sell: = Vermieter Wall: = Firma Sell: Anzahl Stunden 0 Kosten in Vermieter Wall: Anzahl Stunden 0 Kosten in ÆÆ Bei einer Leihdauer unter Stunden ist Vermieter Wall günstiger. Bei einer Dauer von Stunden sind beide Angebote gleich teuer und ab Stunden ist Firma Sell günstiger. Seite 0 0 = 0 0 = + 0 Das Zahlenpaar (; ) erfüllt beide Gleichungen. a) Es ist das lineare Sstem rechts dargestellt. () = + () = + Die Lösung des linearen Gleichungssstems lautet: (; ). b) Es ist das lineare Sstem links dargestellt. () = + () = + Die Lösung des linearen Gleichungssstems lautet: (; ). Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

4 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite a) () () 6 O Lösungspaar: (; ) b) 6 S( ) () S(,) 6 O 6 Lösungspaar: (;,) A () = + B a) 0 6 () = 0, +, 0,,, Das Zahlenpaar (; ) ist die Lösung des Gleichungssstems. () () () b) () () S( ) 6 O Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S ( ). Seite 0, links a) 0 = = 0, +,,, Lösung des linearen Gleichungssstems ist das Zahlenpaar (; ). b) 0 = = Lösung des linearen Gleichungssstems ist das Zahlenpaar (; 6). 6 O S( ) Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S ( ). a) 6 O 6 () () Lösung: (; ) () = () = + 6 = = 00 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

5 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) 6 O Lösung: (; 0,) () 0, =, 0, = 0, () 0, = +, 0, = 0, c) 6 O () () () Lösung: (; ) () = + () = = = d) 6 O () Lösung: (; ) () = 0, + () = = = 6 Um die Lösung zu prüfen, führt man eine Probe durch: () + = 6 + = 8 8 = 8 () 6 = 9 6 = = Die Lösung stimmt; das Zahlenpaar (; 6) erfüllt beide Gleichungen. () () Seite 0, rechts a) 6 O () Lösung: (; ) () = () = + = = b) () () 6 O Lösung: ( ; ) () = 0, ( ) + = () = ( ) = a) () + = = () = 0, + = 0, + 6 O Lösung: (; ) () () () Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

6 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite 0 b) () = 6 : = () = + = + 6 O Lösung: (; ) c) () +, =,, =, +, _ () +, =, _ =, 6 O () () Lösung: (; 0,) d) () = 6 : = + = + () = : = 6 O Lösung: (; ) 6 Um das zu prüfen, führt man eine Probe durch. (), 8 +, = 7 + = 7 7 = 7 (), 8 =, 7 6 =, 9, Die Lösung stimmt nicht, denn das Zahlenpaar (; 8) erfüllt nur die erste Gleichung. () () () () Lineare Gleichungsssteme Seite 0 Seite 0, links 7 () = 0, () = Lösung des linearen Gleichungssstems ist das Zahlenpaar ( ; ). 8 a) : Zeit in Stunden; : Kosten in Gleichung für die Kosten bei Bau-Löwe: () = + 0 Bau-Tiger: () = b) Die -Achse kann normal eingeteilt werden, die -Achse in 0 er- oder 0 er-schritte. (Preis in ) 9 a) O () () (Zeit in Stunden) Lösung des Gleichungssstems: (; 0) Wenn Herr Matt den Bagger weniger als Stunden mietet, ist der Anbieter Bau-Tiger günstiger. Bei Stunden Mietdauer sind beide Anbieter gleich teuer. Wenn er ihn länger als Stunden mietet, ist der Anbieter Bau-Löwe günstiger. c) () 0 = = 0 () 0 = = 0 Die Lösung ist richtig. 6 O Lösung: (,;,) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN () ()

7 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) () () 6 O Lösung: (,;,) Seite 0, rechts c) Mit 0 Fahrstunden oder auch etwas mehr sollte man rechnen. Er sollte sich daher für die Fahrschule Maas entscheiden. Hat Tim schon etwas Erfahrung gesammelt und rechnet mit weniger als 0 Fahrstunden, dann ist die Fahrschule Nell günstiger. 9 a) Gleichungen nach auflösen: () + =, + =, () + = 6 + = + 6 : = 0, + 7 a) Es gibt unendlich viele Geraden, die durch den Punkt ( ) gehen. Daher sind viele verschiedene Antworten möglich. Zum Beispiel: 6 O b) Die eingezeichnete Gerade hat die Gleichung = +. c) Individuelle Kontrolle 8 a) : Zeit in Stunden; : Kosten in Fahrschule Nell: = = + 00 Fahrschule Maas: = = b) (Preis in ) Maas S(0 00) 6 O () Abgelesene Lösung: (,7;,8) b) Gleichungen nach auflösen: _ () = + _ = + () _ =, + _ _ = +, () 6 O Abgelesene Lösung: (,7;,) Bei beiden Gleichungssstemen kann man den Schnittpunkt der zugehörigen Geraden nicht genau ablesen. () () 800 Nell 00 (Zeit in Stunden) O Lösung: (0; 00) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

8 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite Gleichsetzungsverfahren Seite 0 Seite 0 Einstieg ÆÆ Es ist günstig, einen größeren Maßstab zu wählen, zum Beispiel Kästchen für eine Längeneinheit. 6 O () () Abgelesene Lösung: (,;,67) ÆÆ Man kann die Lösung nur ungefähr ablesen. Gleichsetzungsverfahren Seiten 06, 07 Seite 06 a) + 8 = = 6 : ( ) = = in () einsetzen: = + 8 = 6 Die Lösung ist (; 6). Einsetzen in (): Einsetzen in (): 6 = = = 6 6 = 6 b) + = = : 7 = = in () einsetzen: = + = Die Lösung ist (; ). Einsetzen in (): Einsetzen in (): = + = 6 = = c) 9 = + 9 = 8 : = = in () einsetzen: = = Die Lösung ist (; ). Einsetzen in (): Einsetzen in (): = 9 = = = d) = = 9 = 9 in () einsetzen: = = Die Lösung ist (9; ). Einsetzen in (): Einsetzen in (): = 9 = = = a) Nach auflösen und gleichsetzen: () = 0 + () + = ( ) = 0 ( ) = + ( ) = ( ) 0 = = : 8 =, =, in ( ) einsetzen: =, 0 =, Die Lösung ist (,;,). b) Nach auflösen und gleichsetzen: () + = 7 () 7 + = ( ) = + 7 ( ) = ( ) = ( ) + 7 = = :( ) = = in ( ) einsetzen: = ( ) + 7 = Die Lösung ist ( ; ). c) Nach auflösen und gleichsetzen: () + = () = 6 + ( ) = + ( ) = + 6 ( ) = ( ) + = = : = = in ( ) einsetzen: = + = Die Lösung ist (; ). 0 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

9 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite d) Nach auflösen und gleichsetzen: () = + () + = 7 ( ) = + ( ) = + 7 ( ) = ( ) + = = : 7 = = in ( ) einsetzen: = + = 7 Die Lösung ist (7; ). a) () = + () = 6 : () = + ( ) = () = ( ) + = + = = in () einsetzen: = + = 8 Die Lösung ist (; 8). b) () = + 0 : () = + ( ) = () = + ( ) = () = + 0 = : = = in () einsetzen: = ( ) + = 0 Die Lösung ist ( ; 0). c) () = 6 + : () + = Seitentausch ( ) = + ( ) = + ( ) = ( ) + = + = = in ( ) einsetzen: = + = 0 Die Lösung ist (; 0). d) () = 9 : () = 6 + : ( ) = ( ) = + ( ) = ( ) = + + = 6 : = = in ( ) einsetzen: = = 9 Die Lösung ist (; 9). a) + = + = = in () einsetzen: = + = 9 : = Die Lösung ist (; ). b) 7 = + = 0 : = = in () einsetzen: = = : = Die Lösung ist (; ). c) () = + () + = 9 ( ) + = ( ) = + 9 ( ) = ( ) + = = 6 : = = in ( ) einsetzen: = + 9 = : = Die Lösung ist (; ). d) () = + () = + ( ) = () = + ( ) = () = = 8 : = 6 = 6 in () einsetzen: = 6 + = 8 : = Die Lösung ist (6; ). A a) + 0 = = 0 = 6 : ( ) = = in () einsetzen: = + = 6 Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; 6) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): 6 = = + 6 = 6 6 = 6 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

10 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) () nach auflösen: () + = 6 ( ) = + 6 Gleichsetzen: + 6 = = 6 = 9 : = = in () einsetzen: = 6 + = 7 Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; 7) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): 7 + = = 7 6 = 6 7 = 7 c) () nach auflösen: () 6 = : ( ) = Gleichsetzen: = = = 9 : ( ) = = in () einsetzen: = = Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): 6 = = = = d) () nach auflösen: () = 9 : ( ) =, 6 () nach auflösen: () + = + ( ) = + Gleichsetzen:, 6 = +, 6 = + 6, = 0 :, = = in ( ) einsetzen: = + = Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar ( ; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): = 9 + = = = Seite 06, links a) 6 7 = = 9 : 9 = = in () einsetzen: = ( ) + = Die Lösung ist ( ; ). b) 6 = = 0 : = = in () einsetzen: = + = Die Lösung ist (; ). c) 0 7 = = 0 : = = in () einsetzen: = 0 7 = : = Die Lösung ist (; ). d) 9 = = : = = in () einsetzen: 9 = 7 = :, = Die Lösung ist (,; ). 6 a) Obere Waage: = + Untere Waage: = + Auflösen beider Gleichungen nach und Gleichsetzen liefert: = + + = 0 : = 0 Einsetzen von = 0 in eine der beiden Gleichungen ergibt: = Eine Kugel wiegt 0 g, ein Würfel g. 7 Lösungswort: NICE a) 9 + = = 8 : = = in () einsetzen ergibt: = 9 Lösung: (; 9) 06 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

11 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) + 8 = + = : 7 = = 7 in () einsetzen ergibt: = Lösung: (; 7) c) () = 6 : () = ( ) = () = ( ) = () = = : = = in () einsetzen ergibt: = Lösung: (; ) d) 0 = + 0 = = in () einsetzen ergibt: = 0 Lösung: (0; ) Seite 06, rechts a) + =, +, 0, = : 0, = = in () einsetzen ergibt: = Lösung: (; ) b) () 9 = 0 + () = 0 + ( ) 9 = ( ) = ( ) = ( ) 9 = = 6 : = = in ( ) einsetzen ergibt: = 9 Lösung: (; 9) c) () = 6 : (), + = ( ) = 0, ( ), + = ( ) = ( ) 0, =, +, + 0, 0, =, : 0, = = in ( ) einsetzen ergibt: =, Lösung: (;,) d) () + 6 = 9 6 () + 9 = 9 ( ) = 9 6 ( ) = 9 ( ) = ( ) 9 6 = = : = = in () einsetzen ergibt: = Lösung: (; ) 6 a) Links: () = + Rechts: () = + () nach auflösen und gleichsetzen ergibt: + = = : ( ) = Einsetzen von = in eine der beiden Gleichungen ergibt: = 0 Ein Würfel wiegt g, eine Kugel 0 g. 7 a) () + + = 0 () + = ( ) + + = 0 ( ) = ( ) = + ( ) = ( ) = ( ) + = + 0 = : = = in ( ) einsetzen ergibt: = 0 Lösung: (; 0) b) () = 9 () 8 = ( ) + = ( ) 8 = + 8 ( ) = + ( ) = + 8 ( ) = ( ) + = = 6 : 6 = = in ( ) einsetzen ergibt: = Lösung: (; ) Seite 07, links 8 a) etwa S (,,) b) Gleichung der roten Geraden: = + c) Man berechnet die Lösung des linearen Gleichungssstems: () = + () =, () = () + =, +,, = :, = =, in () einsetzen: =, Die Lösung des Gleichungssstems ist (,;,), also ist der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden: S (,,). Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

12 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite 9 Man berechnet die Lösung des linearen Gleichungssstems: () = () = + () = () = = 6 : =, =, in () einsetzen: =. Die Lösung des Gleichungssstems ist (,; ), also ist der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden: S (, ). 0 Umfang der Figuren: () u = + 7 () u = + 0 Da beide Figuren den gleichen Umfang haben, gilt: + 7 = = = in () einsetzen ergibt: u = 6 Lösung: (; 6) Die Seite ist cm lang, der Umfang beträgt jeweils 6 cm. a) : Zeit in Stunden; : Kosten in Gleichungen für die Kosten: PC-Top: () = IT-Fit: () = b) Lösen des Gleichungssstems durch Gleichsetzen: = = 0 0 = 90 : = 6 = 6 in () einsetzen: = = 90 Lösung: (6; 90) Bei einer Wartungszeit von 6 Stunden sind beide Angebote gleich teuer. Die Kosten betragen 90. Seite 07, rechts 8 a) Funktionsgleichungen der Geraden: () =, + () = + () = () + =, + +,, = :, = 0,8 = 0,8 in () einsetzen ergibt: =,8 Lösung: (0,8;,8) Der Schnittpunkt der Geraden liegt damit bei S (0,8,8) a) () 0, + 0,8 =,8 : 0, () 0,6 + 0,6 =, : 0,6 ( ) + = ( ) + = 9 ( ) = + ( ) = + 9 ( ) = ( ) + 9 = = : = = in ( ) einsetzen: = + 9 = Lösung: (; ) b) () 6 + = 0 : () + = + ( ) + 8 = ( ) = 7 ( ) = 8 ( ) = 7 ( ) = ( ) 8 = = 7 : = = in ( ) einsetzen: = 8 = Lösung: (; ) c) Beide Gleichungen werden nach aufgelöst. () = 7 + () 6 + = + ( ) = 6 7 ( ) + = ( ) = ( ) + = = : = = in ( ) einsetzen: + = = : = Lösung: (; ) d) () wird vereinfacht, dann werden beide Gleichungen nach 8 aufgelöst. () 0 6 = 88 : () 6 = 8 ( ) ( ) 0 8 = + 8 ( ) + 6 = 8 ( ) 0 = 8 ( ) + 6 = 8 ( ) = ( ) 0 = = 70 : = = in ( ) einsetzen: 0 = 8 = 8 : 8 = Lösung: (; ) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

13 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite e) () wird nach aufgelöst, () nach verschiedenen Umwandlungen ebenfalls. () = () ( ) = 0 : ( ) = 7 8 ( ) = 0 + ( ) = 7 8 ( ) = ( ) ( ) = 7 8 ( ) = ( ) = ( ) 7 8 = = : = Lösung in ( ) einsetzen: = 7 8 = : = Lösung: (; ) 0 a) Gleichungssstem aufstellen: Tina: () + = 7,00 Kai: () + =,0 b) Lösen des Gleichungssstems: () + = 7 () + =, ( ) = 7 ( ) =, ( ) = ( ) 7 =, + 7 =, : =,6 Lösung in ( ) einsetzen: = 7,6 =, : =, Lösung: (,6;,) Eine Flasche Limonade kostet,60, eine Tüte Popcorn,0. Einsetzungsverfahren Seiten 08, 09 Seite 08 Einstieg Æ Æ Ja, die Waage ist noch im Gleichgewicht, denn der Kürbis wurde durch etwas gleich Schweres ersetzt. ÆÆ Man stellt sich vor, dass man auf beiden Waagschalen ein -kg-stück entfernt. Zwei Melonen wiegen dann noch 6 kg. Eine Melone wiegt also kg. Ein Kürbis wiegt kg mehr als eine Melone, also kg. Anderer Lösungsweg: Mit stellt die Gewichte der skizzierten Waage mit einer Gleichung dar. steht für das Gewicht einer Melone (in kg). + = 8 = 6 : = Eine Melone wiegt kg. Ein Kürbis wiegt kg mehr als eine Melone, also kg. Seite 09 a) () in () einsetzen: + = zusammenfassen 7 = : 7 = 6 = 6 in () einsetzen: = 6 = 8 Die Lösung ist (6; 8). () = () 8 = 6 = 8 = 8 b) () in () einsetzen: + = zusammenfassen = : = = in () einsetzen: = Die Lösung ist (; ). () + = () = = c) () in () einsetzen: + = 8 zusammenfassen 8 = 8 : 8 = = in () einsetzen: = = Die Lösung ist (; ). () = () + = 8 8 = 8 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

14 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite d) () in () einsetzen: + = zusammenfassen 6 = : 6 = 7 = 7 in () einsetzen: = 7 = 8 Die Lösung ist (8; 7). () = () 8 = 7 = 8 = 8 a) () nach auflösen: () + 9 = 9 ( ) = () in () einsetzen: + = 0 = : = Lösung: ( ) b) () nach auflösen: () = 0 : ( ) = () in () einsetzen: = + 7 = : = 6 Lösung: (6 ) c) () nach auflösen: () = + ( ) = + () in () einsetzen: + + = zusammenfassen 7 + = 7 = 7 : 7 = = in () einsetzen: = + = 6 Lösung: (; 6) d) () nach auflösen: () = : ( ) = 6 6 () in () einsetzen: = zusammenfassen 9 6 = = 7 : 9 = = in () einsetzen: = 6 6 = Lösung: (; ) a) () in () einsetzen: ( + 6) = Klammer auflösen 6 = zusammenfassen 6 = + 6 = : = 7 = 7 in () einsetzen: = = Lösung: (7; ). b) () in () einsetzen: 7 ( ) = 6 Klammer auflösen 7 + = 6 zusammenfassen + = 6 = : = = in () einsetzen: = = Lösung: (; ). c) () nach auflösen: () + = 6 ( ) = + 6 ( ) in () einsetzen: 7 ( + 6) = Klammer auflösen = zusammenfassen 0 6 = = 0 : 0 = = in ( ) einsetzen: = + 6 = Lösung: (; ). d) () nach auflösen: () = + : ( ) = 6 + ( ) in () einsetzen: ( 6 + ) = Klammer auflösen = zusammenfassen 9 6 = = 9 : 9 = = in ( ) einsetzen: = 6 + = Lösung: (; ). A a) () in () einsetzen: + + = + = = 9 : = = in () einsetzen: = + = 0 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

15 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): + = = + = = b) Gleichung () nach auflösen: () = + : ( ) = + ( ) in () einsetzen: + 6 ( + ) = 6 Klammer auflösen = 6 zusammenfassen = = 0 : 0 = = in ( ) einsetzen: = + = Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): + 6 = 6 = + 6 = 6 9 = 9 c) Gleichung () nach auflösen: () = + ( ) = ( ) in () einsetzen: ( ) = 8 Klammer auflösen 0 = 8 8 = + = : =, =, in ( ) einsetzen: =, = 0 Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (, ; 0) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): 0 = 8, 0, = 0 = 0 = d) Gleichung () nach auflösen: () = + : ( ) = + Einsetzen in (): ( + ) = Klammer auflösen 9 = zusammenfassen 6 = + 6 = 8 : 6 = = in ( ) einsetzen: = + = 0 Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar ( ; 0) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): 0 = 0 = + = 0 = 0 Seite 09, links a) () in () einsetzen: + = zusammenfassen 8 = + 8 = : = 6 = 6 in () einsetzen: = 6 + = Lösung: (6; ). b) () in () einsetzen: ( + ) = 7 Klammer auflösen = = 0 = 0 in () einsetzen: = ( 0) + = Lösung: ( 0; ). c) () in () einsetzen: + + = 6 zusammenfassen + = 6 = : = = in () einsetzen: = + = 7 Lösung: (; 7). d) () in () einsetzen: ( + 6) = + 7 Klammer auflösen + 8 = = 9 : 9 = = in () einsetzen: = + 6 = 0 Lösung: (; 0). a) () in () einsetzen: + = + = + 8 = in () einsetzen: = + = : = Lösung: (; ). Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

16 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) () in () einsetzen: = 6 zusammenfassen 7 + = 6 7 = : 7 = = in () einsetzen: = + = 8 : = Lösung: (; ). c) () in () einsetzen: 6 = zusammenfassen = : = 6 = 6 in () einsetzen: = 6 6 = 6 : = Lösung: (6; ). d) () in () einsetzen: = zusammenfassen = + = : = 6 = 6 in () einsetzen: = 6 0 = : = Lösung: (6; ). 6 : Preis für einen Erwachsenen (in ); : Preis für ein Kind (in ) a) () + = 8 () + = () nach auflösen: ( ) = ( ) in () einsetzen: ( ) + = 8 Klammer auflösen = 8 zusammenfassen 8 = 8 8 = 0 : ( ) = = in ( ) einsetzen: = = 9 Der Eintritt kostet für Erwachsene 9 und für Kinder. b) () + = () + = () nach auflösen: ( ) = ( ) in () einsetzen: ( ) + = Klammer auflösen 7 + = zusammenfassen 7 = 7 = : ( ) = = in ( ) einsetzen: = = 8 Der Eintritt kostet für Erwachsene 8 und für Kinder. Seite 09, rechts Der Fehler ist in der. Zeile passiert. Nach dem Einsetzen der Gleichung () in () wurde die Minusklammer nicht richtig aufgelöst. Richtig ist: () in () einsetzen: ( ) = Klammer auflösen + = zusammenfassen + = = 8 : = = in () einsetzen: = = Das Zahlenpaar (; ) ist die Lösung. a) () in () einsetzen: 6 + = 9 zusammenfassen 0 = = 0 : 0 = = in () einsetzen: 6 = 7 : 7 = Lösung: (; ) b) () in () einsetzen: 9 = zusammenfassen = + = : = 7 = 7 in () einsetzen:, = 7, = 0 :, = Lösung: (; 7) c) () nach auflösen: () 6 8 = : ( ) 6 = Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

17 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite ( ) in () einsetzen: 9 ( 6) = 9 Klammer auflösen 8 = 9 zusammenfassen = 9 + = : = = in ( ) einsetzen: 6 = 0 = Lösung: (0; ) d) () in () einsetzen: _ + _ + = 7 + = 7 = = in () einsetzen: _ = + zusammenfassen = : = Lösung: (; ) 6 a) () ( ) = ( ) = + ( ) = ( ) in () einsetzen: 8 + = 6 0 = = 0 : 0 = = i n ( ) einsetzen ergibt = 0. Lösung: (; 0) b) () und () vereinfachen: ( ) + 8 = ( ) = ( ) in ( ) einsetzen: + 8 = ( ) + 8 = = 6 : = 0, = 0, in ( ) einsetzen ergibt =. Lösung: (; 0,) c) () vereinfachen: ( ) = + () in ( ) einsetzen: = = = 9 : = = in () einsetzen ergibt =. Lösung: (; ) d) () ( + ) = : ( ) + = + 7 ( ) = 7 () ( + 0) = ( 8) ( ) + 0 = 0 0 : ( ) + 0 = 0 ( ) in ( ) einsetzen: + 0 = = 0 = Lösung: (7; ) 7 Seitenlängen des Rechtecks: und Gleichungssstem () = () ( + ) = () nach auflösen: ( ) = + ( ) in () einsetzen: ( + + ) = zusammenfassen ( + ) = Klammer auflösen 0 + = 0 = 7 : = 8 = 8 in ( ) einsetzen ergibt =. Lösung: (; 8) Die Seiten des Rechtecks sind cm und 8 cm lang. Additionsverfahren Seiten 0, Seite 0 Einstieg Æ Æ Da beide Waagen vor dem Zusammenlegen im Gleichgewicht waren, ist die Waage auch nach dem Zusammenlegen im Gleichgewicht. ÆÆ Wenn man links und rechts den Kürbis und ein Gewicht entfernt, dann bleiben links zwei Melonen und rechts drei Gewichte, also 6 kg. Da zwei Melonen 6 kg wiegen, wiegt eine Melone kg. Der Kürbis wiegt dann kg mehr als eine Melone, also insgesamt kg. Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

18 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite a) () + = () = () + () = 0 : = = in () einsetzen: + = + = = Lösung: (; ) b) () + = 9 () + = () + () = : = = in () einsetzen: + = = 9 9 = 0 Lösung: (0; ) c) () = + 7 () = + () + () 6 = 8 : 6 = = in () einsetzen: = + 7 = = Lösung: (; ) c) () + = 6 () = () + () = 8 : 8 = = in () einsetzen: + = 6 + = 8 = Lösung: (; ) In den Lösungen sind die Gleichungen bereits geordnet dargestellt. a) () + = 9 () 7 = () + () = : = = in () einsetzen: + = 9 = : = Lösung: (; ) b) () 6 6 = 6 () = 8 () + () = : = = in () einsetzen: 6 6 = 6 6 = = 6 : 6 = Lösung: (; ) c) () 7 = () + 7 = () + () = 8 : = = in () einsetzen: + 7 = + 7 = 7 : 7 = Lösung: (; ) d) () = () 6 + = () + () = 0 : = = in () einsetzen: 6 + = + = + = : = Lösung: (; ) Seite a) () + = 0 () = () + = 0 ( ) 6 = 8 () + ( ) 8 = 8 : 8 = 6 = 6 in () einsetzen: 6 + = 0 + = 0 = 8 : = 7 Lösung: (6; 7) b) () + = 9 () = () + = 9 ( ) = 6 () + ( ) = : = = in () einsetzen: = + = Lösung: (; ) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

19 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite c) () = () + = 8 ( ) 6 8 = 6 ( ) = ( ) + ( ) = = in () einsetzen: = 8 = + 8 = : = 7 Lösung: (7; ) d) () + 7 = () = ( ) ( ) + = 6 ( ) + 0 = 0 ( ) + ( ) = : = = in () einsetzen: = 0 = + 0 = : = Lösung: (; ) A a) () + = () = 7 () + () 9 = 8 : 9 = = in () einsetzen: + = zusammenfassen 0 + = 0 = Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): + = = 7 = 7 = 7 b) () 6 = 9 () + = () 6 = 9 ( ) + = () + ( ) 0 = 0 : 0 = = in () einsetzen: + = zusammenfassen + = = 9 : = Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): 6 = 9 + = 9 = 9 = c) () = () = 7 () = ( ) 6 = () + ( ) 8 = 8 : 8 = = in () einsetzen: = zusammenfassen = 0 6 = : 6 = Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): = = 7 = 7 = 7 d) () 6 6 = 6 () + = () 6 6 = 6 ( ) + 6 = () + ( ) = 9 : = = in () einsetzen: 6 6 = 6 zusammenfassen 8 6 = = :( 6) = Das Gleichungssstem hat das Zahlenpaar (; ) als Lösung. Einsetzen in (): Einsetzen in (): 6 6 = 6 + = 6 = 6 = Seite, links a) () 0 = () + = () + () = 0 : = = in () einsetzen: + = 0 + = + 0 = Lösung: (; ) () 0 = () + = = = Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

20 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) () = () + = 8 () + () 0 = 0 : 0 = = in () einsetzen: + = = 8 0 = 8 : = Lösung: (; ) () = () + = 8 = 8 = 8 c) () + = () = 8 () + () = : = = in () einsetzen: + = + 6 = 6 = 6 : =, Lösung: (,; ) (), + = = (), = 8 8 = 8 d) Gleichung () muss zuerst geordnet werden. () 6 8 = 8 () + 8 = () + () 0 = 0 : 0 = = in () einsetzen: + 8 = = 8 + = = Lösung: (; ) () 6 8 = 8 8 = 8 () 8 + = = 6 a) () + = () = () + = ( ) = () + ( ) 8 = 6 : 8 = Lösung in Gleichung () einsetzen: = + = Lösung: (; ) b) () + 6 = () = () + 6 = ( ) 6 6 = 6 () + ( ) 0 = 0 : 0 = = in () einsetzen: = + 6 = : = Lösung: (; ) c) () + = () 8 = 6 ( ) + = 6 () 8 = 6 ( ) + () = :( ) = = in () einsetzen: ( ) + = 6 + = + 6 = 9 Lösung: ( ; 9) d) () + = () + = () + = ( ) + = () + ( ) = : = 9 = 9 in () einsetzen: + 9 = = Lösung: (9; ) () + = 6 () = () + () = 0 : = = in () einsetzen: + = 6 + = 6 = : = Lösung: (; ) 6 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

21 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite 7 a) () = + () = + () + () = 6 : = = in () einsetzen: = + = : = Lösung: (; ) 6 O b) () = () = + () + () = : = = in () einsetzen: = + = Lösung: (; ) 6 O () () 8 a) erste Zahl: ; zweite Zahl: () = () + = b) Addieren der Gleichungen () und () ergibt: 7 = : 7 = = in () einsetzen: + = + = = 6 : = Lösung: (; ) Die gesuchten Zahlen sind und. () () Seite, rechts In den Lösungen sind die Gleichungen bereits geordnet dargestellt. a) (), 7 = 7 (), + 7 = () + () 7 = : 7 = 6 = 6 in () einsetzen: 7 +, 6 = 7 + = 7 = : 7 = Lösung: (6; ) b) () + = 0 () = 6 () + () = : = = in () einsetzen: = 6 = : ( ) = Lösung: (; ) c) () 6, = () 7 = 6 () + (), = 7 : (,) = = in () einsetzen: 6 7 ( ) = 0 = Lösung: (0; ) d) () + 6 = () 9 = () + () = 6 : ( ) = = in () einsetzen: 6 + = 96 = : = Lösung: (; ) a) () 7 6 = 9 () + = 9 () 7 6 = 9 ( ) + 6 = 8 () + ( ) 9 = 7 : 9 = = in () einsetzen: + = 9 = 6 : = Lösung: (; ) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

22 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) () + = 8 () = 6 () + = 8 ( ) 6 = 8 () + ( ) = 0 :( ) = = in () einsetzen: = = Lösung: (; ) c) () = () +, = () = ( ) 6 = () + ( ) = 6 : = = in () einsetzen: = 6 6 = : 6 = Lösung: (; ) d) () 6 = 6 : () = ( ) = () = ( ) + = () = ( ) + () = :( ) = = in () einsetzen: ( ) = + = = : = 0, Lösung: ( 0,; ) 6 a) () + = 6 () 8 = 7 ( ) + 6 = 8 ( ) 6 6 = ( ) + ( ) = 6 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) b) () + = 9 () + = ( ) = 8 ( ) = ( ) + ( ) 8 = 8 : 8 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) c) () = () = ( ) 9 6 = 66 () = ( ) + ( ) 6 = 6 : 6 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: ( ; ) d) () = () + = ( ) 6 = 66 ( ) + = 8 ( ) + ( ) 0 = 0 : 0 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) 7 a) () 0 + = 0 () 8 + = () () = 6 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) b) () 9 + = () 7 + = 9 () () = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) c) () 0 + = () + = () 0 + = ( ) = () ( ) 6 = 8 : 6 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) d) () + 6 = () + = 8 () + 6 = ( ) = ( ) () 8 = 0 : 8 = Einsetzen von = in () ergibt: =, Lösung: (;,) 8 : Preis für eine Brezel in ; : Preis für ein Brötchen in Gleichungssstem: () 6 + = 6,80 () + =,0 Lösen mit dem Subtraktionsverfahren (vgl. Aufgabe 7): 8 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

23 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite () () =,60 : = 0,80 Einsetzen von = 0,80 in () ergibt: = 0,0 Eine Brezel kostet 0,80, ein Brötchen 0,0. 6 Lösungsvielfalt Seiten, Seite Einstieg ÆÆ Individuelle Überprüfung Die Rechnung ist richtig. ÆÆ Umformen der Gleichungen: () = + 7 () = + Schaubild: 6 () 7 6 O () ÆÆ Die Behauptung stimmt. Wie man im Schaubild der zugehörigen Geraden sehen kann, sind die Geraden parallel zueinander. Es gibt daher keinen gemeinsamen Punkt, das Gleichungssstem hat also keine Lösung. a) () = + 0, () = + 0, Die zugehörigen Geraden fallen zusammen. Das Gleichungssstem hat damit unendlich viele Lösungen. 6 O () = () b) () = () = + Das Gleichungssstem hat die Lösung: (; 0). () 6 O () c) () = () = + Die zugehörigen Geraden sind parallel zueinander. Das Gleichungssstem hat also keine Lösungen. () 6 O a) Die Steigung ist bei beiden Gleichungen unterschiedlich. Die zugehörigen Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, das Gleichungssstem hat also genau eine Lösung. b) Die Steigung m ist bei beiden Gleichungen gleich, der -Achsenabschnitt ist unterschiedlich. Die zugehörigen Geraden sind parallel zueinander, das Gleichungssstem hat also keine Lösung. c) Die Steigung m und der -Achsenabschnitt c sind bei beiden Gleichungen gleich. Die zugehörigen Geraden liegen aufeinander, das Gleichungssstem hat also unendlich viele Lösungen. d) Die zugehörigen Geraden sind parallel zueinander, das Gleichungssstem hat also keine Lösung. Seite a) Lösen z. B. mit dem Einsetzungsverfahren () in () einsetzen: = ( ) + = + + = = 9 Die Aussage ist falsch, das Gleichungssstem hat also keine Lösung. () Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

24 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) Lösen z. B. mit dem Additionsverfahren: () + = () = = 6 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Das Gleichungssstem hat die Lösung (; ). c) () nach auflösen: ( ) = ( ) in () einsetzen: ( ) + = = = : 0 = Einsetzen von = 0 in ( ) ergibt: =. Das Gleichungssstem hat die Lösung (0; ). A a) Das lineare Gleichungssstem hat keine Lösung, weil die Steigung m bei beiden Gleichungen gleich ist und der -Achsenabschnitt c unterschiedlich ist. b) Das lineare Gleichungssstem hat unendlich viele Zahlenpaare als Lösung, weil die Steigung m und der -Achsen abschnitt c bei beiden Gleichungen gleich ist. c) Das lineare Gleichungssstem hat genau eine Lösung. Durch Auflösen der Gleichungen nach erkennt man, dass die Steigungen der beiden Gleichungen unterschiedlich sind: _ () = + () = b) () =, () =, 6 O () = () Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen. a) () + = 8 () + = 7 () + () = : = Einsetzen von = in () ergibt: = 0, Das Gleichungssstem hat die Lösung: ( 0,; ). b) () 7 = + () + = 7 7 ( ) + 7 = ( ) 7 = ( ) + ( ) 0 = 0 Diese Aussage ist immer gültig, daher hat das Gleichungssstem unendlich viele Lösungen. 6 a) zum Beispiel: () Seite, links _ a) () = + _ () = 6 O () () Das Gleichungssstem hat keine Lösung. O b) zum Beispiel: O c) Lösung: () 6 7 () () 6 7 () () O Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

25 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite 7 Lando hat nicht recht. Die obere Gerade hat die Steigung /, die untere Gerade hat die Steigung /. Da die Geraden unterschiedliche Steigungen haben, verlaufen die Geraden nicht parallel. Das bedeutet, dass sie sich in genau einen Punkt schneiden. Man kann auch rechnerisch zeigen, dass Lando nicht recht hat, indem man den Schnittpunkt der Geraden berechnet. Dafür muss man zuerst die zugehörigen Funktionsgleichungen bestimmen und ein lineares Gleichungssstem aufstellen. Dieses kann man z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen. _ () = + _ () = () = () _ + = _ _ _ = = Einsetzen von = in () ergibt: = 9 Lösung des Gleichungssstems: ( 9). Die Geraden schneiden sich also im Punkt ( 9). Seite, rechts a) () = + () = 6 ( ) = () = 6 Gleichsetzen der rechten Seiten der Gleichungen ergibt: = 6 Diese Aussage ist falsch, daher hat das Gleichungssstem keine Lösung. b) () + = 7 () = 8 + () + = 7 ( ) + = 8 Gleichsetzen der rechten Seiten der Gleichungen ergibt: 7 = 8 Diese Aussage ist falsch, daher hat das Gleichungssstem keine Lösung. a) Man wählt eine Steigung m 6. Zum Beispiel: () = 6 + () = b) Es ist hilfreich, die Gleichung () umzustellen und als Platzhalter die Variable c zu verwenden. () = 6 + ( ) = 6 + c Man erkennt, dass die Gleichungen die gleiche Steigung haben. Damit das Gleichungssstem keine Lösung hat, wählt man c. Beispiel für c = : () = 6 + () = 6 c) () = 6 + () = a) Zum Beispiel: () =, oder () =, () = + () = + b) Zum Beispiel: () =, oder () =, () =, + () =, c) Zum Beispiel: () =, oder () =, () = / () = 7 a) Beispiele für Gleichungsssteme mit einer Lösung: () = / + und () = / + () = / + () 7 = b) Beispiele für Gleichungsssteme mit keiner Lösung: () = / + und () 7 = () 8 = () = + 6 c) Beispiele für Gleichungsssteme mit unendlich vielen Lösungen: () = und () = / + () = () 6 = + EXTRA: Tabellenkalkulation Seite Seite a) Individuelle Ausführung b) Familie Ecker musste 7, bei Etra- Strom bezahlen. Bei Superstrom hätte sie,6 bezahlt. c) Bei einem Verbrauch von 00 kwh sind die Kosten bei beiden Anbietern etwa gleich hoch. d) Wenn der Verbrauch von Familie Ecker im nächsten Jahr gleich bleibt, dann wird sie nächstes Jahr bei SuperStrom 9,80 bezahlen. Das ist mehr als bei EtraStrom. Nach der Preiserhöhung lohnt sich der Wechsel nicht mehr. e) Bei EtraStrom würde die Familie 99,6 bezahlen, bei SuperStrom 0,. Der Wechsel zu SuperStrom lohnt sich nicht. a) Individuelle Ergebnisse In der Lösung geht man von einem Benzinpreis von,9 und einen Dieselpreis von,09 pro Liter jeweils aus. Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

26 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite b) A B C Fahrzeugtp Benzin Diesel jährliche Kosten.000,00.00,00 Liter pro 00 km Verbrauch in 7, Kraftstoffpreis,9,09 pro Lter 6 Anzahl Kosten Kosten Diesel gefahrener km Benziner ,7 607, , 8, , 0, ,8, ,6 9, ,7 67, ,98 8, ,70 06,0 Formel in Zelle B7: =$B$+A7/00*$B$*$B$ Formel in Zelle C7: =$C$+A7/00*$C$*$C$ c) Kosten in Benziner Diesel 00 Anzahl gefahrener km d) Im Schaubild kann man sehen, dass ab etwa 000 km das Diesel-Fahrzeug günstiger ist. Daher sollte sich Herr Karl ein Diesel-Fahrzeug kaufen. e) Individuelle Lösungen Basistraining Seiten 6, 7 Seite 6 Die Zahlenpaare (; ) und (8; 7) sind Lösungen der Gleichung, denn es gilt: = bzw. 8 = 7 0 = 6 = 0 = 0 6 = 6 Mögliche Lösungen: Höhe des Wasserturms von Hochstadt (in m) a) Zum Beispiel: Höhe des Wasserturms von Tiefstadt (in m) a) Zum Beispiel: a) Die Wertetabelle passt zu Gleichung (). b) () = () = Das Wertepaar (; 0) ist die Lösung des linearen Gleichungssstems. 7 Einsetzen der Werte ergibt: () 0 8 = 0 8 = = () 0 + = = Das Zahlenpaar (0; ) ist nur Lösung der Gleichung () und keine Lösung der Gleichung (), daher ist das Zahlenpaar keine Lösung des Gleichungssstems. a) (; ) b) (,; 0,) c) (; 8) d) (; 8) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

27 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite 8 () =, () = +, 6 O Lösung: (;,) 6 () () S(,) 9 a) Schaubild B Die Lösung des linearen Gleichungssstems ist (; ). b) Schaubild A Die Lösung des linearen Gleichungssstems ist (; ). _ 0 Blaue Gerade: =, Rote Gerade: = + Schnittpunkt: ( ) f), 7, =, +,, + 7, = 9 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) Um den Schnittpunkt der zugehörigen Geraden zu berechnen, berechnet man die Lösung des linearen Gleichungssstems. Zur Berechnung der Lösung eignet sich bei allen Teilaufgaben das Gleichsetzungsverfahren ( vgl. Teilaufgabe a). ) a) = + + = : = Einsetzen von = in () ergibt: =. Lösung des Gleichungssstems: (; ) Schnittpunkt der Geraden: S ( ) b) Lösung: ( ; ) Schnittpunkt der Geraden: S ( ) c) Lösung: ( ; ) Schnittpunkt der Geraden: S ( ) d) Lösung: (; ) Schnittpunkt der Geraden: S ( ) Für die Probe setzt man die Lösung in beide Gleichungen ein (vgl. Teilaufgabe a)). a) = = 0 : = 6 = 6 in () einsetzen: = 6 = 90 Lösung: (6; 90) () 90 = 6 () 90 = = = 90 b) 6 7 = = 6 : 6 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) c) = + + = 7 Einsetzen von = 7 in () ergibt: = 6 Lösung: (6; 7) d) 7 = + + = 6 : =, Einsetzen von =, in () ergibt: = 6, Lösung: (,; 6,) e) + 6 = = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) Seite 7 Für die Probe setzt man die Lösung in beide Gleichungen ein ( vgl. Teilaufgabe a) ). a) () in () einsetzen: + 9 = 0 0 = 0 : 0 = = in () einsetzen: = 9 = 9 Lösung: (; 9) () 9 = 9 () + 9 = 0 9 = 9 0 = 0 b) () in () einsetzen: = 0 = 0 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) c) () in () einsetzen: 8 + ( ) = = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

28 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite d) () in () einsetzen: = (6 ) + 6 = = 7 0 = Einsetzen von = 0 in () ergibt: = Lösung: (0; ) e) () in () einsetzen: 6 = 0 = 0 : =, Einsetzen von =, in () ergibt: = Lösung: (,; ) f) () in () einsetzen: + 8 = = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) d) () + 9 = () = () + () 7 = : 7 = Einsetzen von = in () ergibt: = 7 Lösung: (7; ) e) () 9 = + 6 () = + 0 () + () = 6 : = Einsetzen von = in () ergibt: = 7, Lösung: (; 7,) f) () 7 + = 0 () 7 + = () + () = 6 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) Bei der Addition der Gleichungen () und () wurde das Vorzeichen übersehen. () + = 6 () 6 = 6 () + () = : = = in () einsetzen: + = = : = Lösung: (; ) Für die Probe setzt man die Lösung in beide Gleichungen ein (vgl. Teilaufgabe a)). a) () + = 7 () = 7 () + () 7 = : 7 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) () + ( ) = 7 7 = 7 () ( ) = 7 7 = 7 b) () + = () = 6 () + () 6 = 8 : 6 = Einsetzen von = in () ergibt: = 0 Lösung: (; 0) c) () + = 9 () + = 0 () + () = 9 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) 6 Lösungswort: WARTEN a) Einsetzungsverfahren () in () einsetzen: 7 + ( + ) = = 8 6 = : = Einsetzen von = in () ergibt: = 7 Lösung: (; 7) b) Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren () = + () = + () + () 6 = 8 : 6 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) c) Gleichsetzungsverfahren + = 8 + = 6 : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) d) Additionsverfahren (), + = 7 () = () + (), = :, = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) e) Einsetzungsverfahren () in () einsetzen: 7 + ( + 0) = = 0 = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

29 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite f) Einsetzungsverfahren () in () einsetzen: + = ( + ) + = = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) 7 a) () + = 9 () = () + () 8 = : 6 = = in () einsetzen: + = 9 = : = Lösung: (; ) b) () = () + = 7 () + () 7 = : 7 = = in () einsetzen: + = 7 9 = 8 : = Lösung: (; ) 8 a) Einsetzungsverfahren () in () einsetzen: + + = 7 = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) b) Gleichsetzungsverfahren = + 7 = Einsetzen von = 7 in () ergibt: = 0 Lösung: (7; 0) c) Additionsverfahren () = () 8 + = 0 () + () = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) d) Additionsverfahren () 6 9 = 9 () + 9 = () + () 0 = 0 : 0 = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) e) Gleichsetzungsverfahren + 6 = = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) f) Einsetzungsverfahren () in () einsetzen: 7 = = : 6 = 0, Einsetzen von = 0, in () ergibt: = Lösung: (0,; ) 9 Funktionsgleichungen der Geraden: () =, () = 0, + Zur Berechnung des Schnittpunkts löst man das Gleichungssstem. Es eignet sich das Gleichsetzungsverfahren., = 0, + 0, +, 0, =, : 0, = Einsetzen von = in () ergibt: =, Lösung des Gleichungssstems: (;,) Der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden liegt also bei (,). 0 a) Mögliche Lösung: h: = 0, + Schnittpunkt mit g: S ( ) h O i g b) Mögliche Lösung: i: = + c) Damit das Gleichungssstem unendlich viele Lösungen hat, muss die Gerade k auf der Geraden g liegen. Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

30 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite Mögliche Lösung: k: = 6 O i g = k Anwenden. Nachdenken Seiten 8, 9 Seite 8 a) : Jahresgebühr, die bei zwei der Vereinen gleich hoch ist (in ); : Jahresgebühr beim dritten Verein (in ) Gleichung: + = 0 b) Zum Beispiel: (0; 0); (60; 90); (7; 60); (80; 0) a) O 0 Höhe in m Aufzug Aufzug Zeit in s b) : Zeit in Sekunden; : gefahrene Strecke in m () = () = 8 6 (Um den -Achsenabschnitt für die Gleichung () zu finden, kann man wie folgt überlegen: Der Aufzug fährt 8 m pro Sekunde, das sind 6 m in Sekunden. Der Aufzug startet bei =, d. h. zum Zeitpunkt = 0, wäre er bei einer Höhe von 6.) Um den Schnittpunkt der Geraden zu berechnen, löst man das Gleichungssstem. Es eignet sich das Gleichsetzungsverfahren: h 8 6 = + 6 = 6 : = Einsetzen von = in () ergibt: = 80. Die Aufzüge befinden sich Sekunden nachdem der erste Aufzug gestartet ist auf der gleichen Höhe. Die Höhe beträgt dann 80 m. a) : Anzahl gefahrener km; : Kosten in Lineares Gleichungssstem: Euro-Auto: () = 0, + 0 Best-Cars: () = 0, b) Euro-Auto: a) Best-Cars: Das lineare Gleichungssstem hat die Lösung (00; 80). Das bedeutet: Wenn man 00 km fährt, dann sind die Kosten bei beiden Anbietern gleich hoch (80 ). 6 O C A B g S D g: =, h: =, + b) Lösen des Gleichungssstems durch Gleichsetzen:, =, + +, = + = 6 : =, =, in () einsetzen: =,, = 0,7 Lösung des Gleichungssstems: (,; 0,7) Der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden ist S (, 0,7). h 6 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

31 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite a) Es eignet sich das Einsetzungsverfahren. Man erhält = 0 und = ; das Gleichungssstem hat die Lösung (0; ). b) Es eignet sich das Einsetzungsverfahren. Man erhält die Aussage: = 6. Das Gleichungssstem hat daher keine Lösung. c) Es eignet sich das Einsetzungsverfahren. Man erhält = und = 6; das Gleichungssstem hat die Lösung ( ; 6). d) Man formt Gleichung () so um, dass man sie in () einsetzen kann. () = 8 + : ( ) = + Nach Einsetzen von ( ) in () erhält man die Aussage: =. Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen. e) Es eignet sich das Einsetzungsverfahren. Man erhält für = 0 und = ; das Gleichungssstem hat die Lösung (0; ). f) Man formt Gleichung () so um, dass man sie in () einsetzen kann. () = : ( ) = + Nach Einsetzen von ( ) in () erhält man die Aussage: =. Das Gleichungssstem hat daher keine Lösung. 6 Für die Steigungen m der zugehörigen Geraden _ gilt: m = = 0,. Die -Achsenabschnitte sind bzw., d. h. die Geraden sind parallel zueinander, also schneiden sich nicht. Das Gleichungssstem hat daher keine Lösung. 7 a) : erste Zahl; : zweite Zahl () + = 0 () = () + () = : = Einsetzen von = in () ergibt: = Lösung: (; ) Die gesuchten Zahlen sind und. b) : erste Zahl; : zweite Zahl () + 9 = () + 8 = Gleichung () nach auflösen: ( ) = 9 ( ) in () einsetzen: + 8 = ( 9) + 8 = = : = Einsetzen von = in ( ) ergibt: = Lösung: (; ) Die gesuchten Zahlen sind und. 8 a) : erste Zahl; : zweite Zahl () + = () = ( ) + = 0 () = () + () = : = 9 Einsetzen von = 9 in () ergibt: = Lösung: (9; ) Die gesuchten Zahlen sind 9 und. Seite 9 9 : Gewicht eines Kürbisses (in kg); : Gewicht einer Melone (in kg) Gleichungssstem aufstellen: obere Waage: () + = + 0 untere Waage: () = + () nach auflösen: ( ) = ( ) in () einsetzen: ( ) = + 6 = + + = 0 : = Einsetzen von = in ( ) ergibt: = Ein Kürbis wiegt kg, eine Melone kg. 0 a) Es gibt 9 Tische, also gilt: () + = 9 An den Einzeltischen sitzen Schüler, an den Zweiertischen Schüler, daher gilt: () + = 0 Mit dem Subtraktionsverfahren erhält man: () () = Einsetzen von = in () ergibt: = 8 Es gilt 8 Einzeltische und Zweiertische. b) : Anzahl der Einzelzimmer; : Anzahl der Doppelzimmer Gleichungssstem: () + = 0 () + = 0 () () = 60 Einsetzen von = 60 in () ergibt: = 90. Es gibt 90 Einzelzimmer und 60 Doppelzimmer im Hotel. a) : Anzahl Monate; : Kosten in Gleichungssstem aufstellen: Benziner: () = Diesel: () = Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren: = = 000 = 60 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN

32 Lineare Gleichungsssteme Schülerbuchseite Einsetzen von = 60 in () ergibt: = 000 Lösung: (60; 000) b) Nach 60 Monaten sind die Kosten für beide Fahrzeuge gleich hoch. Ab dem 6. Monat ist das Dieselfahrzeug günstiger. Verhältnisse zwischen den Winkeln: () β = α _ () γ = δ () δ = β + 70 Außerdem gilt der Winkelsummensatz im Viereck: () α + β + γ + δ = 60. Vorgehen: Durch geschicktes Einsetzen werden alle Winkel auf den gleichen Winkel bezogen; diese Terme werden in () eingesetzt, sodass man eine Gleichung mit einer Unbekannten erhält und diese lösen kann. α: gesucht β = α _ γ = δ = _ (β + 70 ) = _ β + = α + δ = β + 70 = α + 70 Einsetzen der Terme für β, γ und δ in (): α + α + α + + α + 70 = 60 6 α + 0 = 60 6 α = α =, Daraus berechnet man: β =, = 8 γ =, + = 77, δ =, + 70 = Die Winkel des Vierecks betragen:,, 77,, 8 und. : Schenkellänge des gleichschenkligen Dreiecks (in cm); : Länge der Basis des gleichschenkligen Dreiecks (in cm) Für die linke Figur gilt: () + = 6 Für die rechte Figur gilt: () + = 8 Lösen z. B. mit dem Einsetzungsverfahren: ( ) = 8 ( ) in () einsetzen: (8 ) + = 6 : 8 + = 8 = : ( ) = Einsetzen von = in ( ) ergibt: = 9. Lösung des Gleichungssstems: (9; ) Die Seitenlängen des Dreiecks betragen also 9 cm, 9 cm und cm. : Müllmenge in kg; : Kosten in Gleichungssstem aufstellen: Kosten im alten Landkreis: () = 7 + 0, Kosten im neuen Landkreis: () = 87,0 + 0,0 b) Lösen des Gleichungssstems z. B. durch Gleichsetzen: 7 + 0, = 87, + 0, 0, 7 0, =, : 0, = 0 Einsetzen von = 0 in () ergibt: = 00, Bei einer Müllmenge von 0 kg sind also die Müllkosten in beiden Landkreisen gleich hoch. Ab 0 kg Müll ist der neue Landkreis günstiger. Lösen des ursprünglichen Gleichungssstems: () = 0,9 : () = 76, + : ( ) = 7,06 ( ) = 7, ( ) ( ) 0 = 0,00 + = 0,00 : 0, = Einsetzen von = 000 in ( ) ergibt: = 77 Lösen des Gleichungssstems mit dem Fehler: () = 0,6 : () = 76, + : ( ) = 7,0 ( ) = 7, ( ) ( ) 0 = 0,06 + = 0,06 : 0,06 70 = Einsetzen in ( ): = 8 Der Lehrer ist vermutlich erstaunt darüber, dass bei der Rechnung mit dem Fehler an der. Dezimalstelle bei einer der Zahlen ein Ergebnis für entsteht, welches ein Viertel (wenn man vom Vorzeichen absieht) des richtigen Ergebnisses beträgt. 8 Die Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 08 unter der ISBN