Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

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1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten von helmut hinder gießen

2 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten Problem: Die Dekorationsabteilung eines Kaufhauses bestellt beim Fachhandel 50 Kunstblumen, die sowohl in Draht (80 g) als auch in Plastik (30 g) lieferbar sind. Der Lieferant möchte die Sendung durch die Post zustellen. Wie viele Drahtblumen dürfen dabei sein, damit das zulässige Höchstgewicht für das Päckchen von 2 kg ausgenutzt, aber nicht überschritten wird? Lösung: Annahme: x Anzahl der Drahtblumen y Anzahl der Plastikblumen Lineare Gleichung (I) für die Stückzahl: x + y = 50 Lineare Gleichung (II) für das Gewicht: 80x + 30y = 2000 Welche Lösungswege gibt es? 1. zeichnerisch 2. rechnerisch helmut hinder, gießen

3 1. Zeichnerische Lösung Erklärung: Wir tragen die erhaltenen Punkte beider Gleichungen in ein Koordinatensystem ein. Da, wo sich die beiden Geraden schneiden, sind beide Gleichungen Stückzahl und Gewicht erfüllt. x (Anzahl der Drahtblumen) und y (Anzahl der Plastikblumen) lassen sich nun im Koordinatensystem annähernd genau ablesen. Vorgehensweise: 1. Beide Gleichungen werden jeweils nach y aufgelöst. 2. Für jede Gleichung wird eine Werttabelle angelegt. 3. Die erhaltenen Punkte werden in das Koordinatensystem eingetragen. 4. Die beiden Graphen werden gezeichnet. 1. Beide Gleichungen nach y auflösen. Gleichung Stückzahl Gleichung Gewicht x + y = 50 -x 80x + 30y = x y = 50 - x 30y = x :30 y = x Wertetabellen: 3. und 4. Punkte in Koordinatensystem eintragen und Graphen zeichnen: Stückzahl : x y = 50 - x Gewicht : x y = x , , , helmut hinder, gießen

4 Ergebnis: Aus der grafischen Darstellung erhält man folgende Koordinaten für den Schnittpunkt S der beiden Geraden: S(10;40). x = 10 y = 40 Antwort: Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird. Frage: Gibt es mehr Lösungen? NEIN, weil die beiden Geraden keine weiteren Schnittstellen haben helmut hinder, gießen

5 2. Rechnerische Lösung (I) x + y = 50 (II) 80x + 30y = 2000 Wie kann man ein System aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten rechnerisch lösen? Es gibt insgesamt 3 Lösungsverfahren: A. Gleichsetzungsverfahren B. Einsetzungsverfahren C. Additionsverfahren helmut hinder, gießen

6 A. Das Gleichsetzungsverfahren Beide Gleichungen des Gleichungssystems nach derselben Variable auflösen und die erhaltenen Terme gleichsetzen. Beide Gleichungen nach x auflösen: Genauso gut hätten wir entscheiden können, beide Gleichungen nach y aufzulösen (I) x + y = 50 -y x = 50 y (II) 80x + 30y = y 80x = y :80 x = y 80 Berechnung von y (Plastikblumen): (I) = (II) 50 - y = y (50 - y) = y y = y y 2000 = 50y :50 40 = y (Plastikblumen) Berechnung von x (Drahtblumen): Einsetzen von y in Originalgleichung (I) (I) x + 40 = x = 10 (Drahtblumen) Ergebnis: [10;40] ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems. Lösungsmenge: L = {(10;40)} Antwort: Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird helmut hinder, gießen

7 B. Das Einsetzungsverfahren Eine beliebige Gleichung des Gleichungssystems nach einer beliebigen Variablen auflösen und den erhaltenen Term für diese Variable in der anderen Gleichung einsetzen. Gleichung (I) nach x auflösen: (I) x + y = 50 -y x = 50 y (II) 80x + 30y = 2000 (I) in (II): (II) 80(50 - y) + 30y = y + 30y = y = y = 50y : = y (Anzahl Plastikblumen) Berechnung von x (Drahtblumen): Einsetzen von y in Gleichung (I) (I) x + 40 = x = 10 (Anzahl Drahtblumen) Probe: Einsetzen von x und y in beide Gleichungen (I) und (II) (I) = 50 (II) 80 * * 40 = = = = 2000 Ergebnis: [10;40] ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems. Lösungsmenge: L = {(10;40)} Antwort: Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird helmut hinder, gießen

8 C. Das Additionsverfahren Eine Gleichung des Gleichungssystems durch Umformen so geschickt erweitern, dass sich bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte aufhebt. In diesem Fall entscheiden wir, dass x wegfallen soll: Genauso gut hätten wir entscheiden können, dass y wegfallen soll (I) x + y = 50 (-80) - 80x - 80y = (II) 80x + 30y = 2000 Berechnung von y (Plastikblumen): (I) + (II) - 80x + 80x 80y + 30y = y = : (-50) y = 40 (Plastikblumen) Berechnung von x (Drahtblumen): Einsetzen von y in Originalgleichung (I) (I) x + 40 = x = 10 (Drahtblumen) Ergebnis: [10;40] ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems. Lösungsmenge: L = {(10;40)} Antwort: Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird helmut hinder, gießen

9 Übungen zu Linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten Wichtig: Die folgenden Übungen sind in Form eines Stationentrainings zu absolvieren. Die Reihenfolge der zu bearbeitenden Aufgaben obliegt dir. Einige Stationen enthalten Aufgaben mit besonderer Hilfestellung (blauer "Kopf"). Hier ist jeweils der vollständige Lösungsweg dokumentiert. Im Selbstdiagnosebogen notierst du, welche Aufgaben du schon erledigt hast. Den Selbstdiagnosebogen selbst ("Sdb-Aufgaben") solltest du bearbeiten, wenn du dich an allen Stationen hinreichend sicher gefühlt hast. Und nun ganz viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben helmut hinder, gießen

10 Station Grafisches Lösungsverfahren helmut hinder, gießen

11 9R Üben M Station 1 / Graf. Lösungsverfahren 1-3 Nr. 1 Bestimme grafisch die Lösung des Gleichungssystems, indem du die zugehörigen Graphen zeichnest und ihren Schnittpunkt bestimmst. Mache die Probe, indem du die Koordinaten des Schnittpunktes in beide Gleichungen einsetzt. a) (I) y = 2x - 1 b) (I) y = 1,5x - 4 c) (I) y = -0,5x - 5 (II) y = -x + 5 (II) y = -x + 6 (II) y = x - 2 Nr. 2 Gegeben sind die beiden Gleichungen (I) 3x - y = -4 (II) 2y - 3 = x Beschreibe die Schritte, wie du grafisch zur Lösung dieses linearen Gleichungssystems kommst. Nr. 3 Löse die linearen Gleichungssysteme grafisch. Mache die Probe. a) (I) x + y = 2 b) (I) 4x + 2y = 6 c) (I) 3x + 4y = -8 (II) -2x + y = -1 (II) 4x - 2y = 6 (II) 2y + x = -2 Nr. 4 Löse die linearen Gleichungssysteme grafisch. a) (I) 4y - 4 = 8x b) (I) 3y + x = 6 c) (I) y = 1 + x (II) y - 2x = 1 (II) 2x + 6y = 18 (II) y - x = 2 Woran erkennst du die Anzahl der Lösungen? helmut hinder, gießen

12 9R Lösung M Station 1 / Graf. Lösungsverfahren 1-3 Nr. 1 Drei der angegebenen Lösungen sind richtig. {4 2}; {2 5}; {2 3}; {1 3}; {4 5}; {5-3}; {-2-4} Nr Löse beide Gleichungen nach y auf. 2. Lege jeweils eine Wertetabelle an. 3. Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. 4. Zeichne die Graphen. 5. Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes. L = {(-1; 1)} Nr. 3 a) b) c) L = {(1; 1)} L = {(1,5; 0)} L = {(-4; 1)} Nr. 4 a) b) c) L = unendlich viele Lösungen L = {} L = {} Schneiden sich die beiden Grafen in einem Punkt, gibt es eine Lösung. Verlaufen sie parallel (liegen aber nicht aufeinander), so gibt es keine Lösung. Liegen die beiden Grafen exakt übereinander, gibt es unendlich viele Lösungen helmut hinder, gießen

13 Station Gleichsetzungsverfahren helmut hinder, gießen

14 9R Üben+H M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 1H Nr. 1H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren: (I) y = 3x - 7 (II) y = 2x helmut hinder, gießen

15 9R Lösungsweg M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 1H Nr. 1H (I) y = 3x - 7 (II) y = 2x + 3 Gleichsetzen der beiden rechten Seiten: 3x - 7 = 2x + 3-2x x - 7 = x = 10 Zur Berechnung von y wird das Ergebnis in die Originalgleichung (I) oder (II) eingesetzt. Einsetzen in (II): y = y = 23 L = {(10; 23)} helmut hinder, gießen

16 9R Üben+H M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 2H Nr. 2H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren: (I) 2y - 8x = 4 (II) 2y + 50 = 20x helmut hinder, gießen

17 9R Lösungsweg M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 2H Nr. 2H (I) 2y - 8x = 4 (II) 2y + 50 = 20x Beide Seiten nach 2y auflösen: (I) 2y - 8x = 4 +8x 2y = 4 + 8x (II) 2y + 50 = 20x -50 2y = 20x - 50 Gleichsetzen der beiden rechten Seiten: 4 + 8x = 20x x = 12x : 12 4,5 = x Zur Berechnung von y wird das Ergebnis von x in die Originalgleichung (I) oder (II) eingesetzt: Einsetzen in (II): 2y + 50 = 20 4,5 2y + 50 = y = 40 : 2 y = 20 L = {(4,5; 20)} helmut hinder, gießen

18 9R Üben+H M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 3H Nr. 3H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren: (I) 2x + 7y = 13 (II) 7y = 3x helmut hinder, gießen

19 9R Lösungsweg M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 3H Nr. 3H (I) 2x + 7y = 13 (II) 7y = 3x - 2 Gleichung (I) nach 7y auflösen: (I) 2x + 7y = 13-2x 7y = 13-2x (II) 7y = 3x - 2 Gleichsetzen der beiden rechten Seiten: 13-2x = 3x x = 5x : 5 x = 3 Zur Berechnung von y wird das Ergebnis von x in die Originalgleichung (I) oder (II) eingesetzt: Einsetzen in (II): (I): 7y = y = 7 : 7 y = 1 L = {(3; 1)} helmut hinder, gießen

20 9R Üben M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 1 Nr. 1 Löse folgende Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren: Führe eine Probe durch. a) (I) y = 2x + 9 b) (I) x = 6 - y c) (I) 3 = x + y (II) y = 7x - 6 (II) x = 4y + 1 (II) 3 = x - 2y d) (I) y = 3x - 7 e) (I) 8y = 2x - 6 f) (I) 3x + 7y = 22 (II) y = -3x + 8 (II) 8y = -3x - 1 (II) 5x + 7y = helmut hinder, gießen

21 9R Lösung M Station 2 / Gleichsetzungsverfahren 1 Nr. 1 a) L = {(3; 15)} b) L = {(5; 1)} c) L = {(3; 0)} d) L = {(2,5; 0,5)} e) L = {(1; -0,5)} f) L = {(0; 22 7 )} helmut hinder, gießen

22 Station Einsetzungsverfahren helmut hinder, gießen

23 9R Üben+H X Station 3 / Einsetzungsverfahren 1H Nr. 1H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren: (I) x - 9y = 2 (II) 3x - 3y = helmut hinder, gießen

24 9R Lösungsweg X Station 3 / Einsetzungsverfahren 1H Nr. 1H (I) x - 9y = 2 (II) 3x - 3y = - 10 Gleichung (I) nach x auflösen: (I) x - 9y = 2 +9y (I') x = 9y + 2 Einsetzen von x in Gleichung (II): (II) 3(9y+2) - 3y = y + 6-3y = y + 6 = y = - 16 : 24 y = Einsetzen von y in Gleichung (I ): x = 9 (- 2 3 ) + 2 x = - 4 L = {(-4; )} helmut hinder, gießen

25 9R Üben+H X Station 3 / Einsetzungsverfahren 2H Nr. 2H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren: (I) 2x + 4y = 16 (II) x - 3y = helmut hinder, gießen

26 9R Lösungsweg X Station 3 / Einsetzungsverfahren 2H Nr. 2H (I) 2x + 4y = 16 (II) x - 3y = - 17 Gleichung (II) nach x auflösen: (II) x - 3y = y (II ) x = 3y - 17 Einsetzen von x in Gleichung (I): 2(3y - 17) + 4y = 16 6y y = 16 10y - 34 = y = 50 : 10 y = 5 Einsetzen von y in Gleichung (II ): x = x = -2 L = {(-2; 5)} helmut hinder, gießen

27 9R Üben+H X Station 3 / Einsetzungsverfahren 3H Nr. 3H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren: (I) 8x - 2y = 0 (II) 2x + 14y = helmut hinder, gießen

28 9R Lösungsweg X Station 3 / Einsetzungsverfahren 3H Nr. 3H (I) 8x - 2y = 0 (II) 2x + 14y = 76 Gleichung (II) nach x auflösen: (II) 2x + 14y = 76-14y (II ) 2x = 76-14y : 2 (II ) x = 38-7y Einsetzen von x in Gleichung (I): (I) 8 (38-7y) - 2y = 0 (I') y - 2y = 0 (I') y = y (I') 116 = 58y : 58 (I') y = 2 Einsetzen von y in Gleichung (II ): (II') x = x = 24 L = {(24; 2)} helmut hinder, gießen

29 9R Üben M Station 3 / Einsetzungsverfahren 1-2 Nr. 1 Beschreibe, wie du die Lösungsmenge eines Gleichungssystems (I) 5y - 9x = 24 (II) -y = 3x mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens bestimmen kannst. Nr. 2 Bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens. Mache bei nind. zwei Aufgaben die Probe. a) (I) y = 9 b) (I) 11x = 3y + 6 c) (I) -9 = 9y - 7,5x (II) 3x - 42 = -2y (II) 2y = 4 + 6x (II) 6y = 4x d) (I) 5y = x e) (I) 2y 4x = 12 f) (I) 7x -2y = 1 (II) 12 = 2y - 4x (II) 17x 5y = -9 (II) 3y + 9x = helmut hinder, gießen

30 9R Lösung M Station 3 / Einsetzungsverfahren 1-2 Nr Ich nehme Gleichung (II) mit -1 mal und erhalte: (II') y = -3x 2. Ich setze y in Gleichung (I) ein und erhalte: 5 (-3x) - 9x = Ich löse Gleichung (I) nach x auf und erhalte: x = x setze ich in Gleichung (II') ein und erhalte: 5. y = 3 6. Ich notiere die Lösungsmenge: L = {(-1; 3)} Nr. 2 a) L = {(8; 9)} b) L = {(6; 20)} c) L = {(6; 4)} d) L = {(3; 12)} e) L = {(3; 12) } f) L = {(1; 3)} helmut hinder, gießen

31 Station Additionsverfahren helmut hinder, gießen

32 9R Üben+H X Station 4 / Additionsverfahren 1H Nr. 1H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren: (I) 2x - 2y = 2 (II) 2x + 2y = helmut hinder, gießen

33 9R Lösungsweg X Station 4 / Additionsverfahren 1H Nr. 1H (I) 2x - 2y = 2 (II) 2x + 2y = 4 (I) + (II) 4x = 6 : 4 x = 1,5 Einsetzen von x in Gleichung (I): 2 1,5-2y = 2 3-2y = y = -1 : (- 2) y = 0,5 L = {(1,5/0,5)} helmut hinder, gießen

34 9R Üben+H X Station 4 / Additionsverfahren 2H Nr. 2H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren: (I) 4x - 2y + 2 = 0 (II) 9x - 12y - 18 = helmut hinder, gießen

35 9R Lösungsweg X Station 4 / Additionsverfahren 2H Nr. 2H (I) 4x - 2y + 2 = 0 (-6) (II) 9x - 12y - 18 = 0 (I ) -24x + 12y - 12 = 0 (II) 9x - 12y - 18 = 0 (I ) + (II) -15x - 30 = x = 30 : (- 15) x = - 2 Einsetzen von x in Gleichung (I): 4 (-2) - 2y + 2 = y + 2 = y = y = 6 : (- 2) y = - 3 L = {(- 2; - 3)} helmut hinder, gießen

36 9R Üben+H X Station 4 / Additionsverfahren 3H Nr. 3H Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren: (I) 5x + 5y = - 8,5 (II) 20x - 9y = - 135, helmut hinder, gießen

37 9R Lösungsweg X Station 4 / Additionsverfahren 3H Nr. 3H (I) 5x + 5y = - 8,5 (-4) (II) 20x - 9y = - 135,5 (I ) - 20x - 20y = 34 (II) 20x - 9y = - 135,5 (I ) + (II) - 29y = - 101,5 : (- 29) y = 3,5 Einsetzen von y in Gleichung (I): 5x + 5 3,5 = - 8,5 5x + 17,5 = - 8,5-17,5 5x = - 26 : 5 x = - 5,2 L = {(- 5,2; 3,5)} helmut hinder, gießen

38 9R Üben M Station 4 / Additionsverfahren 1-3 Nr. 1 Beschreibe, wie du du die Lösungsmenge des Gleichungssystems (I) -2y+3x = 5 (II) 2y + 4x = 44 mithilfe des Additionsverfahrens bestimmen kannst. Nr. 2 Löse folgende Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren. a) (I) 3x + y = 25 b) (I) 7x + 4y = 9 c) (I) 2x - 3y = 4 (II) 4x - y = 17 (II) x - 4y = 79 (II) x + 3y = 11 d) (I) -4y + x = 1 e) (I) 3x = 5-2y f) (I) 14x + 2y = 24 (II) -6y - x = 37 (II) 2y = 21-7x (II) 2x + 2y = 0 Nr. 3 Löse die Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren. a) (I) 2x + 5y = 6 b) (I) 2x + 3y = 12 c) (I) 4a + 12b = 10 (II) -3x + 2y = 10 (II) 3x - 2y = 5 (II) 3a - 8b = -26,5 d) (I) 3x = y e) (I) 5x - 3y = 6 f) (I) 8x + 10y = 24 (II) 6-5y = 4x (II) 4y = -8-4x (II) 5x + 6,25y = helmut hinder, gießen

39 9R Lösung M Station 4 / Additionsverfahren 1-3 Nr Addiere die Gleichungen (I) und (II). -2y + 2y + 3x + 4x = Fasse zusammen. 7x = Löse nach x auf. x = 7 4. Setze x in Gleichung (II) ein. (II) 2y = Fasse zusammen und löse Gleichung (II) nach y auf. (II) 2y + 28 = y = 16 : 2 y = 8 6. Notiere die Lösungsmenge. L = {(7; 8)} Nr. 2 a) L = {(6; 7)} b) L = {(11; -17)} c) L = {(5; 2)} d) L = {(-14,2; -3,8)} e) L = {(4; -3,5)} f) L = {(2; -2)} Nr. 3 a) L = {(-2; 2)} b) L = {(3; 2)} c) L = {(-3,5; 2)} d) L = {(9; -6)} e) L = {(0; -2)} f) L = {} helmut hinder, gießen

40 Station 5 - Auswahl eines günstigen Verfahrens helmut hinder, gießen

41 9R Üben M Station 5 / Günstiges Verfahren 1 Nr. 1 Löse die Gleichungssysteme. Führe jeweils eine rechnerische oder eine zeichnerische Probe durch. a) (I) x + y = 2 b) (I) 2x - y = -5 c) (I) y = 2x + 1 (II) y = -2x - 1 (II) -x + y = 4 (II) x = y + 2 d) (I) -2y = 4x - 4 e) (I) 4x + 2 = 2y f) (I) y = 2x + 1 (II) -2y = -3x - 4 (II) 3y = 3x - 6 (II) x = y + 2 g) (I) x + 2y = 10 h) (I) 1 3 a = b i) (I) 1 4 y = 8x - y (II) y = 2x + 3 (II) a - 1 = 3b (II) y + 2 = 2 3 x helmut hinder, gießen

42 9R Lösung M Station 5 / Günstiges Verfahren 1 Nr. 1 a) L = {(-3; 5)} Probe: x und y in Gleichung (I): (-3) + 5 =2 w b) L = {(-1; 3)} Probe: x und y in Gleichung (II): -(-1) + 3 = 4 w c) L = {(-3; -5)} Probe: x und y in Gleichung (II): -3 = w d) L = {(0; 2)} Probe: x und y in Gleichung (I): (-2) 2 = (-3) 0-4 w e) L = {(-3; -5)} Probe: x und y in Gleichung (I): 4 (-3) + 2 = 2 (-5) w f) L = {(-3; -5)} Probe: x und y in Gleichung (II): -3 = w g) L = {(0,8; 4,6)} Probe: x und y in Gleichung (II): (-2) 0,8 + 4,6 = 3 w h) L = {} i) L = {( ; )} Probe: x und y in Gleichung (I): (- ) = 8 (- ) -( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) w helmut hinder, gießen

43 Station Einfache Sachaufgaben helmut hinder, gießen

44 9R Üben+H M Station 6 / Einfache Sachaufgaben 1H Nr. 1H Löse folgende Aufgabe, indem Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellst: Die Summe zweier Zahlen beträgt 197. Ihre Differenz 59. Wie heißen die beiden Zahlen? helmut hinder, gießen

45 9R Lösungsweg X Station 6 / Einfache Sachaufgaben 1H Nr. 1H Die größere Zahl ist x, die kleinere y. (I) x + y = 197 (II) x - y = 59 Lösung mit dem Additionsverfahren: (I) + (II) 2x = 256 : 2 x = 128 x einsetzen in (I): y = y = 69 Antwort: Die Zahlen sind also 128 und helmut hinder, gießen

46 9R Üben+H X Station 6 / Einfache Sachaufgaben 2H Nr. 2H Löse folgende Aufgabe, indem Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellst: Addiert man zur Summe zweier Zahlen noch 527, so erhält man genau 1000, subtrahiert man von ihrer Differenz dagegen nochmal 59, so erhält man 100. Wie heißen die Zahlen? helmut hinder, gießen

47 9R Lösungsweg X Station 6 / Einfache Sachaufgaben 2H Nr. 2H Die größere Zahl ist x, die kleinere y. (I) x + y = (II) x - y - 59 = (I ) x + y = 473 (II ) x - y = 159 Lösung mit dem Additionsverfahren: (I ) + (II ) 2x = 632 : 2 x = 316 x einsetzen in (I ): y = y = 157 Antwort: Die Zahlen sind 316 und helmut hinder, gießen

48 9R Üben+H X Station 6 / Einfache Sachaufgaben 3H Nr. 3H Löse folgende Aufgabe, indem Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellst: Subtrahiert man vom Sechsfachen der größeren von zwei Zahlen das Vierfache der anderen Zahl, so erhält man 182: Außerdem ist bekannt, dass das Achtfache der größeren Zahl viermal so groß ist wie das Sechsfache der kleineren Zahl. Wie heißen die beiden Zahlen? helmut hinder, gießen

49 9R Lösungsweg X Station 6 / Einfache Sachaufgaben 3H Nr. 3H Die größere Zahl ist x, die kleinere y. (I) 6x - 4y = 182 (II) 8x = 4 6y (II ) 8x = 24y : 8 x = 3y x einsetzen in (I): 18y - 4y = y = 182 : 14 y = 13 y einsetzen in (II ): x = 3 13 x = 39 Antwort: Die Zahlen sind 13 und helmut hinder, gießen

50 9R Üben M Station 6 / Einfache Sachaufgaben 1-4 Nr. 1 Eine Ferienpension hat 20 Zimmer. In den Zweibett- und Vierbettzimmern stehen insgesamt 52 Betten zur Verfügung. Wie viele Zweibett- und wie viele Vierbettzimmer hat die Pension? Nr. 2 Ein Hotel hat 18 Doppel- und Einzelzimmer mit insgesamt 30 Betten. Wie viele Doppel- und Einzelzimmer hat das Hotel? Nr. 3 Greta kaufte gestern sechs helle Brötchen und vier Körnerbrötchen und bezahlte dafür 4,10. Heute kauft sie fünf helle und sieben Körnerbrötchen und bezahlt 5,80 Wie viel kostet ein Brötchen der jeweiligen Sorte? Nr. 4 Ein Rechteck hat einen Umfang von 28 cm. Verkürzt man die längere Seite um 1 cm und verlängert die kürzere Seite um 2 cm, so entsteht ein Rechteck, das einen um 8 cm2 größeren Flächeninhalt hat, als das ursprüngliche Rechteck. Wie lang sind die beiden Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Nr. 5 Die Kosten für die Internetnutzung setzen sich aus einer Grundgebühr und den Kosten für die Onlineminuten zusammen. Herr Marx erhält eine Rechnung über 50. Er weiss, dass er 50 Stunden gesurft hat. Seine Nachbarin hat denselben Tarif gewählt.. Sie erhält für 12 Onlinestunden eine Rechnung in Höhe von 15,80. Wie hoch sind die Grundgebühr und Minutentarif des Anbieters? helmut hinder, gießen

51 9R Lösung M Station 6 / Einfache Sachaufgaben 1-4 Nr. 1 Die Pension hat 6 Vierbettzimmer und 14 Zweibettzimmer. Nr. 2 Das Hotel hat 12 Doppel- und 6 Einzelzimmer. Nr. 3 Ein Körnerbrötchen kostet 0,65, ein helles Brötchen 0,25. Nr. 4 Die kürzere Seite war 6 cm lang, die längere Seite 8 cm. Nr. 5 Der Minutentarif liegt bei 1,5 ct und die Grundgebühr bei helmut hinder, gießen

52 Selbstdiagnosebogen zu Linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten Beachte: 1. Der Selbstdiagnosebogen wird dir helfen, zu erkennen, wie dein Lernstand ist. 2. Suche dir ein Teilthema (Spaltennr. 1) aus. 3. Bearbeite die in Spaltenr. 7 angegebenen Aufgaben und kontrolliere sie selbstständig. 4. Wenn du der Meinung bist, dass du das entsprechende Teilthema (Spaltennr. 1) hinreichend gut verstanden hast, bearbeite zum Test die zugehörigen Sdb-Aufgaben und kontrolliere sie. 5. Fülle daran anschließend die Spaltennr. 3-6 des Rasters aus. 6. Überlege dir, ob du weitere Übungen zu deinem Teilthema bearbeiten willst. Gerne berate ich dich hierbei 7. Wähle dir nun ein anderes Teilthema (Spaltennr. 1). Nun wiederholen sich die Punkte helmut hinder, gießen

53 8. Wenn du alle Teilthemen bearbeitet und verstanden hast bist du am Ziel helmut hinder, gießen

54 Selbstdiagnosebogen Klassen 9R1 Name:... Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Ich kann... Aufgaben (siehe nachfolgende Seiten) Das kann ich anderen erklären, hier fühle ich mich sicher Hier fühle ich mich fast sicher, mache nur selten Fehler Hier muss ich noch üben Hier brauche ich Hilfe von anderen Übungsaufgaben (S Nr) die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen. Sdb-Aufgabe 1 Wiederholung: siehe die Lösungsmenge eines Gleichungssystems grafisch ermitteln. Sdb-Aufgabe 2 Station 1: Nr. 1-3 die Lösungsmenge eines Gleichungssystems mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens ermitteln. Sdb-Aufgabe 3 Station 2: Nr. 1H, 2H, 3H, 1 die Lösungsmenge eines Gleichungssystems mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens ermitteln. Sdb-Aufgabe 4 Station 3: Nr. 1H, 2H, 3H, 1-2 die Lösungsmenge eines Gleichungssystems mit Hilfe des Additionsverfahrens ermitteln. Sdb-Aufgabe 5 Station 4: Nr. 1H, 2H, 3H, 1-3 für das Lösen eines Systems ein günstiges Verfahren auswählen. Sdb-Aufgabe 6 Station 5: Nr. 1 Sachaufgaben lösen. Sdb-Aufgaben 7-10 Station 6: Nr. 1H, 2H, 3H, helmut hinder, gießen

55 Sdb-Aufgabe 1 Löse die Gleichungen: a) 19-3x = 4 b) 8y - 12y + 10 = 6 + 2y + 36 c) 12(a + 2) = 8a d) 1 2 (1 3y)= 3 2 ( x+y+1) Sdb-Aufgabe 2 Löse die Gleichungssysteme grafisch. a) (I) y = 3x - 4 (II) y = 2x - 2 b) (I) 3y - 6x = 12 (II) 2y = 2x + 2 c) (I) 6x = -3y + 9 (II) 8 = -8x - 4y Sdb-Aufgabe 3 Löse die linearen Gleichungssysteme mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens. Überprüfe dein Ergebnis mit einer Probe. a) (I) y = 3x - 4 (II) y = -x + 16 b) (I) x = 3y + 4 (II) x = 2y + 6 c) (I) 6x + 2y = 2 (II) 4x + 2y = 16 d) (I) 1 2 x 1 4 y=8 (II) 2 5 x 32 5 =1 5 y Sdb-Aufgabe 4 Löse die linearen Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungsverfahrens. a) (I) 4x + 2y = 8 (II) x = y - 4 b) (I) y + 2x = 7 (II) x + 5 = 2y - 4 c) (I) 2y = 4x + 6 (II) x 2 +y=3 d) (I) 3y - 2x = 9 (II) 2y - 2x = helmut hinder, gießen

56 Sdb-Aufgabe 5 Überprüfe, ob das Additionsverfahren richtig angewandt wurde. Berichtige ggf. und löse die Gleichungssysteme korrekt. a) (I) 7x + 2y = 34 (II) x + 2y = 22 (I) + (II): 8x = 56 b) (I) -5x + 6y = 16 (II) -5x + y = -14 (I) - (II): 5y = -30 c) (I) 7x + 4y = 72 (II) 2x + 2y = 30 (I) - 2 (II): 5x = 42 Sdb-Aufgabe 6 Löse die linearen Gleichungssysteme mit einem günstigen Verfahren. a) (I) 4y = 3x - 4 (II) 4y = 5x - 20 b) (I) 6x - 10 = 2y + 2 (II) x = 6 c) (I) 18x + 6y = 84 (II) 14 = y + 3x d) (I) 3x - y = 1 (II) x= 1 2 y+7 e) (I) 26x - 50y = 29 (II) -25y = 77-13x Sdb-Aufgabe 7 Löse die Zahlenrätsel. a) Die Summe zweier Zahlen ist 50, ihre Differenz ist 42. b) Das Produkt zweier Zahlen vermehrt um 14 ist 150. Das 39-fache der ersten Zahl weniger 12 ist helmut hinder, gießen

57 Sdb-Aufgabe 8 Die Klasse 9c plant eine Kanutour. Welches Angebot sollte sie wählen? Angebot 1 (pro Kanu): Grundgebühr: Angebot 1 (pro Kanu): 9,00 Preis Grundgebühr: pro Stunde: 1,50 9,00 Preis pro Stunde: 1,50 Angebot 2 (pro Kanu): Angebot 2 (pro Kanu): Grundgebühr: 6,00 Grundgebühr: 6,00 Preis pro Stunde: 2,20 Preis pro Stunde: 2,20 Sdb-Aufgabe 9 Berechne jeweils die Seitenlängen. a) Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 40 cm. Jeder Schenkel ist länger als die Basis. b) Ein Rechteck hat einen Umfang von 80 cm.verdoppelt man die längeren Seiten, so hat das entstandene Rechteck einen Umfang von 128 cm. Sdb-Aufgabe 10 Ein PKW startet um 9.00 von Hamburg nach Berlin. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf der 284 km langen Strecke beträgt 130 km/h. Um 9.30 Uhr startet in Berlin ein zweiter PKW mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 110 km/h in Richtung Hamburg. Wann und wo begegnen sich die beiden Fahrzeuge? helmut hinder, gießen

58 Lösungen Selbstdiagnosebogen - Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten - zu L-Sdb-Aufgabe 1 a) x = 5 b) y = c) a = -38 d) x = zu L-Sdb-Aufgabe 2 a) L = {(2; -2)} b) L = {(-3; -2)} c) L = {} zu L-Sdb-Aufgabe 3 a) L = {(5; 11)} b) L = {(10; 2)} c) L = {(-7; 22)} d) unendlich viele Lösungen zu L-Sdb-Aufgabe 4 a) L = {(0; 4)} b) L = {(1; 5)} c) L = {(0; 3)} d) L = {(-6; -1)} zu L-Sdb-Aufgabe 5 a) (I) -(II) b) (I) -(II) c) (I) -(II) 6x = 12 5y = 30 3x = 12 L = {(0; 4)} L = {(4; 6)} L = {(4; 11)} zu L-Sdb-Aufgabe 6 a) L = {(8; 5)} b) L = {(6; 12)} c) unendl. viele Lös. d) L = {(-13; -40)} e) keine Lös. zu L-Sdb-Aufgabe 7 a) 4 und 46 b) 8 und 17 c) Alle zwei Zahlen, deren Summe 23 ist. zu L-Sdb-Aufgabe 8 Ab 5 Stunden Paddeln ist Angebot 1 günstiger. zu L-Sdb-Aufgabe 9 a) Basis: 10 cm; Schenkel: 15 cm b) Seitenlängen: 16 cm und 24 cm. zu L-Sdb-Aufgabe 10 Um etwa 10:25 Uhr treffen sie die beiden Fahrzeuge 100,37 km von Berlin entfernt helmut hinder, gießen