Lineare Zusammenhänge

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1 Kapitel 2 Lineare Zusammenhänge Ein linearer Term mit einer unbekannten Variablen ist von der Form m x+b, wobei m und b jeweils Zahlen oder Parameter sind und x für eine Variable steht, deren Wert noch nicht festgelegt ist. 1 Als typische ökonomische Anwendung beschreibt beispielsweise 0,06 x + 9,99 die Kosten eines Telefontarifs mit 6 Cent pro Minute und 9,99 e Grundgebühr, 2 wobei die Variable x die Minutenzahl angibt. 2.1 Lösen linearer Gleichungen Bei einer linearen Gleichung stehen rechts und links des Gleichheitszeichens jeweils lineare Terme. Diese können nach der Unbekannten x aufgelöst werden, indem zunächst alle Terme mit der Unbekannten x auf eine Seite der Gleichung und alle Terme ohne x auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Im nächsten Schritt wird die Gleichung durch den Vorfaktor der unbekannten Variablenxgeteilt. 3 Beispiel (4x 3)=3x+15 ergibt 12x 9 = 3x+15. Wird auf beiden Seiten 3x und +9 gerechnet, so ergibt sich 9x = 24. Teilen durch den Vorfaktor 9 führt zu dem Ergebnis x = 24 9 = 8 3 = 2, 6. Probe: 3(4 83 3)=23 gleich = 23. Aufgabe Lösen Sie nach x auf: a) 6x + 4 = 3 ( 2 5(x + 2) ) c) 3x + 3(4 + x)=8 + 5x b) 3 5(x 4)=3 + 7x d) 6x 5 = 3 3(2 x) Rechnen Sie jeweils eine Probe (im Kopf und mit Taschenrechner). 1 Ein linearer Term lässt sich als lineare Funktion auffassen und grafisch als Gerade darstellen (siehe Abschn. 6.1). Dann ist m die Steigung und b der y-achsenabschnitt. 2 Achtung: Entweder 6 Cent in 0,06 e umwandeln oder mit 6 x in Cent rechnen. 3 Bei einem Bruch kann mit dem Kehrwert multipliziert werden (siehe Abschn. 1.3). Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 T. Pampel, Arbeitsbuch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Springer-Lehrbuch, DOI / _2 21

2 22 2 Lineare Zusammenhänge Lösung Mit geeigneten Umformungen ergeben sich hier folgende Lösungen: a) 6x+4 = 3 ( 2 5(x+2) ) 6x+4 = 6 15x 30 21x = 28 x = 4 3. b) 3 5(x 4)=3 + 7x 3 5x + 20 = 3 + 7x 20 = 12x x = 5 3. c) 3x + 3(4 + x)=8 + 5x 3x x = 8 + 5x 4 = 5x x = 4 5. d) 6x 5 = 3 3(2 x) 6x 5 = x 3x = 2 x = 2 3. Die Proben ergeben jeweils rechts und links die folgenden gleichen Werte: a) 4 b) 44 3 = 14,6 c) 12 d) 1 Wenn beim Umformen die Unbekannte entfällt, weil die Vorfaktoren auf beiden Seiten gleich sind oder nach passender Umformung der Vorfaktor 0 ist, dann gibt es entweder keine Lösung (die Konstanten rechts und links sind ungleich), oder jeder Wert x löst die Gleichung (auch die Konstanten rechts und links sind gleich). Beispiel Für 4x+3 = 2(2x 5) gilt 4x+3 = 4x 10 3 = 10, was nicht möglich ist. Es gibt somit keine Lösung. Für die Gleichung 4x 10 = 2(2x 5) gilt 4x 10 = 4x 10, was für alle x-werte gilt. Somit löst jedes x die Gleichung. Aufgabe Geben Sie an, ob es Lösungen x gibt und wenn ja, welche: a) 4(3 2x)=12 8x b) 4(3 2x)=12 8x c) 4(3 2x)= 12 8x d) 4(3 2x)=4x 12 Achtung, die Aufgaben sehen sehr ähnlich aus, bitte genau arbeiten! Lösung a) 4(3 2x)=12 8x x = 12 8x 16x = 24 x = 1,5. b) 4(3 2x)=12 8x 12 8x = 12 8x gilt immer = jedes x löst dies. c) 4(3 2x)= 12 8x 12 8x = 12 8x 12 = 12 = keine Lösung. d) 4(3 2x)=4x x = 4x 12 4x = 0 x = 0.

3 2.3 Kleine lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungen mit Parametern Wenn die Gleichung Parameter enthält, dann ist die Lösung abhängig von den Parameterwerten. Außerdem muss sichergestellt werden, dass nicht durch 0 geteilt wird. Diese Fälle müssen gesondert untersucht werden. Beispiel px = 15+4x px 4x = 7 (p 4)x = 7 ergibt x = 7 p 4, sofern p 4 ist. Bei p = 4 ist die Gleichung wegen (p 4)x = 0 x 7 nicht lösbar. Aufgabe Lösen Sie nach x auf. Geben Sie an, für welche Parameter p es keine Lösung gibt oder jedes x die Gleichung löst: a) 8p + 2x = x b) 9x = 50 + px Geben Sie jeweils die Lösungen für p = 3 an. c) xp 4 = 10 2px d) 2p + 3x = px + 6 Lösung Beim Auflösen nach x sind die Lösungen zunächst abhängig von p. In die Lösungsformel wird dann p = 3 eingesetzt. Spezielle p-werte, bei denen eine 0 im Nenner auftritt, werden gesondert untersucht. a) 8p + 2x = x 8p 24 = 2x x = 4p 12 ist für alle p möglich. Bei p = 3 ist die Lösung x = = 0. b) 9x = 50+ px (9 p)x = 50 x = für p 9, also x = 9 p 3 bei p = 3. Bei p = 9 gibt es keine Lösung, da dann (9 p)x = 0 50 ist. c) xp 4 = 10 2px 3px = 14 x = für p 0, also x = 3p 9 bei p = 3. Bei p = 0 gibt es keine Lösung, da dann 3px = 0 14 ist. d) 2p + 3x = px + 6 (3 p)x = 6 2p x = 6 2p 2(3 p) = = 2 für 3 p 3 p p 3. Die Lösung x = 2 ist unabhängig von dem Parameterwert p 3. Ist p = 3, dann ist (3 3)x = 0 x = 0 = für alle x. Damit löst jedes x die Gleichung, wenn p = 3 ist. 2.3 Kleine lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme sind mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Variablen (Unbekannten). In diesem Abschnitt werden kleine Gleichungssysteme 4 mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten oder drei Gleichungen und drei Unbekannten betrachtet. 4 Eine systematische Methode, die auch für andere Fälle und größere Systeme geeignet ist, wird in Kap. 17 und Kap. 18 behandelt.

4 24 2 Lineare Zusammenhänge Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten können mit einer der folgenden Methoden auf eine Gleichung mit einer Unbekannten reduziert werden: Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst und das Ergebnis in die andere Gleichung eingesetzt. Beide Gleichungen werden nach der gleichen Variablen aufgelöst. Die Ergebnisse werden gleichgesetzt. Zu einer Gleichung wird ein geeignetes Vielfaches der anderen Gleichung addiert bzw. subtrahiert. Dadurch entsteht eine Gleichung mit einer Unbekannten, die bestimmt wird. Das Ergebnis wird in eine der ursprünglichen Gleichungen für die Unbekannte eingesetzt, sodass wieder eine Gleichung mit einer Unbekannten (der zweiten) entsteht und nach dieser zweiten Unbekannten aufgelöst werden kann. Beispiel Folgendes Gleichungssystem wird gelöst: 3y 6 = 9x I 4 = 4x 2y II Gleichung I nach y auflösen ergibt y = 3x + 2. Eingesetzt in Gleichung II gilt: 4 = 4x 2(3x + 2)= 2x 4 2x = 8 x = 4. Der Wert x = 4 wird in Gleichung I bzw. in y = 3x + 2 = 3 ( 4)+2 = 10 eingesetzt. Die Lösung ist somit x = 4, y = 10. Auflösen beider Gleichungen nach y ergibt y = 3x + 2 und y = 2x 2. Gleichgesetzt hat 3x + 2 = 2x 2 die Lösung x = 4 und wie zuvor y = 10. Umgeschrieben ergibt sich y 3x = 2 I und y 2x = 2 II. Da die Vorfaktoren vor dem y gleich sind, entsteht x = 4 aus der Differenz der Gleichungen I und II, denn 3x ( 2x)= x und 2 ( 2)=4. Damit gilt auch hier x = 4 und y = 10. Die verschiedenen Verfahren ergeben somit die gleichen Lösungen. Als Probe gilt: 3 ( 10) 6 = 36 = 9 ( 4) und 4 ( 4) 2 ( 10)= = 4. Aufgabe Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme nach x und y auf: a) 3x = 9 2x 3y = 4 b) 3x + 2y = 1 2x y = 4 c) 2x 6y = 3 3x 2y = 8 Rechnen Sie jeweils eine Probe. Lösung Zu jedem Gleichungssystem wird exemplarisch ein Lösungsweg angegeben. Andere Lösungswege müssen dasselbe Ergebnis liefern. a) 3x = 9 I 2x 3y = 4 II

5 2.3 Kleine lineare Gleichungssysteme 25 Hier bietet es sich an, x = 9 3 = 3 aus Gleichung I direkt zu bestimmen. Einsetzen von x = 3 in Gleichung II ergibt 2 ( 3) 3y = 4 10 = 3y. Lösung: x = 3, y = 10 3 = 3,3. Probe: 3 ( 3)= 9 und 2 ( 3) 3 ( 10 3 )=4. b) 3x + 2y = 1 2x y = 4 I II Auflösen von Gleichung II nach y ergibt y = 2x 4. Wird y = 2x 4 in die Gleichung I eingesetzt, dann ist 3x + 2(2x 4)= 1 7x = 7 x = 1 und y = 2x 4 = = 2. Lösung: x = 1, y = 2. Probe: ( 2)= 1 und 2 1 ( 2)=4. c) 2x 6y = 3 3x 2y = 8 I II Hier kann von Gleichung I, 2x 6y = 3, das Dreifache von Gleichung II, also 9x 6y = 24, abgezogen werden. Das ergibt 7x = 21 x = 3. Einsetzen von x = 3 in Gleichung I ergibt 2 3 6y = 3 3 = 6y y = 1 2. Lösung: x = 3, y = 1 2. Probe: = 3 und = 8. Bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten wird das Gleichungssystem zunächst auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert und dann das System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gelöst. Beispiel Folgendes Gleichungssystem wird gelöst: 2x y + 2z = 3 I 2x + y z = 1 II 3x + y + z = 3 III Addieren der Gleichungen I und II ergibt 4x+z = 2, und Gleichung III minus Gleichung II ergibt x + 2z = 4, beides ohne y. Es verbleibt folgendes Gleichungssystem mit den beiden Variablen x und z: 4x + z = 2 I x + 2z = 4 II Wird z = 2 4x aus Gleichung I eingesetzt in Gleichung II, dann ergibt das x + 2(2 4x)=4 7x + 4 = 4 x = 0 und z = = 2. Einsetzen von x = 0 und z = 2 in eine der Orginalgleichungen ergibt y = 1. Lösung: x = 0, y = 1, z = 2. Probe: = 3, = 1 und = 3.

6 26 2 Lineare Zusammenhänge Aufgabe Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme nach x, y und z auf: a) 2x 3y + z = 4 4x + y 2z = 16 3x + 2y + z = 7 Rechnen Sie jeweils eine Probe. b) 2y + z = 7 4x + 5y + 8z = 0 x + y + 3z = 2 Lösung Zu jedem Gleichungssystem wird ein Lösungsweg angegeben: a) b) 2x 3y + z = 4 I 4x + y 2z = 16 II 3x + 2y + z = 7 III Zuerst werden zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten x und y bestimmt: 8x 5y = 24 I aus 2 Gleichung I + Gleichung II 10x + 5y = 30 II aus 2 Gleichung III + Gleichung II 18x = 54 durch Addition I + II ( 5y + 5y = 0 entfällt) x = 3. Einsetzen von x = 3inI ergibt: 8 3 5y = 24 5y = 0 y = 0. Wird x = 3 und y = 0 in Gleichung I eingesetzt, dann ist z = 4 und somit ist z = 2. Insgesamt lautet die Lösung: x = 3, y = 0, z = 2. Probe: ( 2)=4, ( 2)=16 und ( 2)=7. 2y + z = 7 4x + 5y + 8z = 0 x + y + 3z = 2 Aus Gleichung I kann z = 7 2y in die Gleichungen II und III eingesetzt werden. Das ergibt die beiden Gleichungen 4x + 5y + 8(7 2y)=4x 11y + 56 = 0 und x + y + 3(7 2y)=x 5y + 21 = 2. Es bleibt zu lösen: I II III 4x 11y = 56 I x 5y = 23 II Mit x = 5y 23 aus II in I eingesetzt gilt: 4(5y 23) 11y = 56 9y = 36 und somit y = 4. Ferner ist x = = 3 sowie z = = 1. Lösung: x = 3, y = 4, z = 1. Probe: = 7,4 ( 3) ( 1)=0, ( 1)= 2. Auch hier ist jeweils ein möglicher Lösungsweg angegeben. Je nach Aufgabe können unterschiedliche Lösungswege sinnvoll sein. Lösungsmethoden, die auch Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungen und mehreren Unbekannten systematisch lösen können, finden sich in Abschn und Abschn (Gauß-Verfahren) sowie in Abschn (Cramer sche Regel).

7 2.4 Ökonomische Anwendungen mit linearen Zusammenhängen Ökonomische Anwendungen mit linearen Zusammenhängen Die Beschreibung von Telefonkosten in Abhängigkeit von der Minutenanzahl ist eine Anwendung mit linearen Termen. Telefontarife können verglichen werden, indem eine lineare Gleichung gelöst wird. Beispiel Bei der Suche nach einem neuen Telefonanbieter haben Sie folgende (ansonsten identische) Tarifangebote erhalten: Tarif 1: Grundgebühr 15 e, Minutenpreis 4 Cent, Tarif 2: Grundgebühr 9 e, Minutenpreis 8 Cent. In diesem Zusammenhang werden zwei Fragen beantwortet: Welcher Tarif ist bei 225 Minuten günstiger? Tarif 1 kostet = 2400 Cent, Tarif 2 kostet = 2700 Cent, demnach ist Tarif 1 günstiger. Für welche Minutenzahl ist Tarif 1 günstiger, als Tarif 2? Ist x die unbekannte Minutenzahl, dann lassen sich die Kosten der Tarife als lineare Terme (in Cent) darstellen. Durch Gleichsetzen der Terme kann der kritische Wert bestimmt werden. Tarif 1: x und Tarif 2: x sind gleich, wenn x = x ist. Das ist der Fall, wenn 600 = 4x ist, also bei x = 150 Minuten. Dann sind in der Tat die Kosten beider Tarife 2100 Cent oder 21 e. Bei mehr als 150 Minuten ist Tarif 1 günstiger, was im Fall von 225 Minuten schon festgestellt wurde. Das gleiche Ergebnis zeigt sich mit folgenden Umformungen von Ungleichungen: } x < 900 {{}} + 8x 600 < 4x 150 < x. {{} Tari f 1 Tari f 2 Aufgabe Fahrradverleiher 1 bietet ein Fahrrad für eine Pauschale von 10 e und eine Tagesgebühr von 3 e an. Die Tagesgebühr bei Verleiher 2 beträgt 4,50 e (keine weiteren Kosten). Ab wie vielen Tagen (ganzzahlig) lohnt es sich, bei Verleiher 1 zu mieten? Lösung Ist x die Ausleihzeit in Tagen, dann sind die Kosten bei beiden Verleihern gleich, wenn x = 4,5x 10 = 1,5x ist, d. h bei x = 6, 6 Tagen. Mit Ungleichungen ist x 4,5x x 6,6. Damit ist Verleiher 1 günstiger, wenn das Fahrrad mehr als 6,6 Tage ausgeliehen wird. Da ein Fahrrad nur ganze Tage ausgeliehen werden kann, ist Verleiher 1 ab 7 Tage günstiger. Bis 6 Tage ist Verleiher 2 günstiger. Diese Fragestellungen sind bei allen Anwendungen interessant, bei denen sich die Kosten aus Fixkosten und konstanten variablen Stückkosten zusammensetzen.

8 28 2 Lineare Zusammenhänge Sind Angebot und Nachfrage nach einem Gut linear vom Preis abhängig, dann lässt sich das Marktgleichgewicht als Lösung einer linearen Gleichung bestimmen. Beispiel Die Nachfrage nach einem Gut in Abhängigkeit vom Preis p wird beschrieben durch p (sofern dies positiv ist, sonst ist die Nachfrage 0), und das Angebot wird beschrieben durch 12p 2760 (sofern dies positiv ist, sonst ist das Angebot 0). Im Gleichgewicht stimmen die Nachfrage und das Angebot überein. Damit gilt p = 12p = 18p und p = = 320 für den Gleichgewichtspreis. Die Gleichgewichtsmenge ist = 1080 (Nachfrageseite) bzw = 1080 (Angebotsseite). Aufgabe Die Milchnachfrage ist durch p beschrieben (sofern positiv, sonst 0) und das Milchangebot durch 4000p 1600 (sofern positiv, sonst 0). Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge. Lösung Die Gleichgewichtsbedingung p = 4000p 1600 ergibt 2700 = 4500p. Somit erhält man als Preis p = = 3 5 = 0,6. Die nachgefragte Menge ,6 = 800 stimmt genau überein mit der angebotenen Menge , = 800. Angebot und Nachfrage werden in Abb. 2.1 als Geraden grafisch dargestellt. Der Schnittpunkt entspricht dem Gleichgewicht. Die grafische Darstellung von linearen Zusammenhängen als Geraden wird in Abschn. 6.1 ausführlich behandelt Abb. 2.1 Angebot 4000p 1600 ( ) und Nachfrage p (- --) mit dem Gleichgewichtspunkt (0,6; 800)

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