TI-89. Gleichungssysteme
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- Marie Pfaff
- vor 9 Jahren
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1 TI-89 Gleichungssysteme Hans Berger 005
2 Lineare Gleichungssysteme Der TI-89 kann beliebige Objekte in Variable speichern, auch ganze Gleichungen. Man kann somit beliebige Gleichungen z.b. in g1, g, g3, etc. Danach kann man mit den Variabeln weiterrechnen: z.b. g1 g berechnet Gleichung 1 minus Gleichung, oder 3*g berechnet das 3-fache der Gleichung 0.16u 0.04v = u 0.v Beide Gleichungen einzeln eingeben: 0.16x 0.04y = 1 STO g1 ergibt 4 x 5 y = 1 5 zweite Gleichung 0.38x 0.y STO g ergibt 19x 50 11y 50 Da die Gleichungen in Variable abgespeichert wurden, kann man nun z.b. mit der Additionsmethode weiterrechnen: g g Resultat y = mal 76, durch 5 gibt y Mit dem Parameteroperator wird der gefundene y-wert z.b. in Gleichung 1 eingesetzt: g1 y=3 4x 3 = 1 mal 5, plus 3, durch ergibt x = 7 Hans Berger Seite
3 (x 1)(y + 5.5) = (x 3)(y + 5) (y 1)(x + 5.5) = (x 3)y Eingabe der Gleichungen einzeln in g1 und g, wie im vorigen Beispiel Danach expand(g1), STO h1 und expand(g), STO h. Dadurch werden beide Gleichungen ausgerechnet und neu gespeichert, wobei die ursprünglichen Gleichungen (zur späteren Kontrolle) erhalten bleiben: Die nächsten Schritte sind x*y + 3y und ENTER Weiter mit +66 und ENTER Nun noch * und expand( ) Das vereinfachte System ist nun Dies ist die vereinfachte Gleichung Analog Gleichung 1 behandeln 17y 4x = 157 x 18y = 10 Die Lösung erfolgt wie in der ersten. Gleichungen mit Parametern mx + y = m x + y = m+ n + n Hier führt die Additionsmethode am schnellsten zum Ziel (Gleichung 1 Gleichung ) Jetzt noch teilen durch (m-1) und ENTER Der Wert für y wird mit dem Parameteroperator gefunden Hans Berger Seite
4 Nicht lineare Gleichungssysteme TI-89 Gleichungssysteme 1 = 1 x + p x + y q 3 + x + p x + y q mal die Gleichung 1 + Gleichung lässt den -ten Bruchterm und damit auch die Variable y verschwinden: Somit ist x = 1 p. Dies mit dem Parameteroperator in g1 eingesetzt: Hinweise: Die Nenner müssen mit Klammern eingegeben werden Bei der Multiplikation muss das kgv in Klammern stehen Substitution Obige kann auch mit einer Substitution gelöst werden: a = 1 und x + p 1 b = x + y q somit a b = 1 3a + b Weiter wie bei der ersten. Hinweis: Der Rechner beherrscht nur diese indirekte Substitution Systeme mit mehr als 3 Variabeln : 4x 3. 5y + 4z = x + y 5z = x + 4y + 3z 5. Eingabe der drei Gleichungen in g1, g und g3 Die Variable z wird in Schritten eliminiert: 5g1 + 4g und 3g1 4g3: Hans Berger Seite
5 Man könnte auch 5*g1+4*g STO h1 und 3*g1 4*g3 STO h Damit lässt sich bequem weiterrechnen. Resultate kontrollieren: Kleine Eingabefehler führen zu falschen Resultaten. Daher sollte jedes Resultat kontrolliert werden. Dazu bietet der Rechner wieder den Parameteroperator. Im obigen Beispiel lauten die Lösungen x = 0., y = 7 und z = -0.8 Die Kontrolle: Hinweise: 3g1 4g muss mit 3*g1-4*g eingegeben werden Das Vorzeichen (-) darf nicht mit dem Minus verwechselt werden Wenn Resultate nicht als echte Brüche dargestellt werden können ergibt die Kontrolle ev. false obwohl das Resultat stimmt. Dies hängt mit der Anzeigegenauigkeit zusammen. Der Gauss sche Algorithmus oder rref( ) auf dem Taschenrechner Der Gauss sche Algorithmus verwendet Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen zur Lösung eines Gleichungssystems. Beispiel: x + y + z = 8 x + y + z = 11 Anwendung des Gauss schen Algorithmus x y z = 1 Wir subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten und zweimal die erste von der dritten: y + z = 3 nun multiplizieren wir die zweite mit 1 und addieren sie zur dritten y 3z = 9 Hans Berger Seite
6 y z 4z ersten: x 3z y z z zur zweiten: x y z = 1 = 1 oder auch y z z jetzt subtrahieren wir die zweite von der und zum Schluss addieren wir dreimal die dritte zur ersten und einmal In dieser Form sind die Lösungen bequem abzulesen. Genau nach diesem Algorithmus arbeitet die Catalogfunktion rref() auf dem Taschenrechner. Die Abkürzung rref bedeutet Row Reduce Echelon Form, oder auf deutsch: Zeilenweise Reduktion auf eine geeichte Form. Die Funktion finden Sie auf dem TI-89 im Catalog. Vor dem Aufruf müssen Sie das Zahlenschema (ohne die Variabelnamen) in eine Matrix eingeben. Das Gleichungssystem muss sich in der Grundform befinden, d.h. alle Variabeln links und die Konstanten oder die Parameter rechts. TI 89 APPS Matrix New, unter Type geben Sie Matrix ein und unter Variable z.b. matrix, die Row dimension gibt die Anzahl Gleichungen an und die Col dimension die Anzhl Unbekannte Ein Beispiel: Rechner ein: x1 + 3x + x3 x 4 = 4 4x1 6x + x3 + x 4 = 1 4x1 + 8x + 7x3 + x 4 = 3 x1 + 4x + x3 4x 4 Geben Sie die Matrix nun in Ihren Das Ergebnis: Die Interpretation: x 1 = 7.1, x = -4.8, x 3 = 1.4, x 4 = -1.4 Hans Berger Seite
7 Hier ein Beispiel eines Gleichungssystems mit L = {} Das Ergebnis: u+ v + w = u+ v + w = 6 u 4v w = 6 Die letzte Zeile besagt: 0w = 1, das ist ein Widerspruch, also ist L = {} Hier ein Gleichungssystems mit beliebig vielen Lösungen: Das Ergebnis: x 3y + z = 7 x 4y z = 1 3x y + 4z = 13 Das bedeutet: x + z oder x - z y + z = 1 oder y = 1 z Anders ausgedrückt: Für z kann jede beliebige Zahl eingesetzt werden und für y = 1 -z und für x - z. Weitere Unterlagen finden Sie unter Hans Berger Seite
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