7.1 Matrizen und Vektore

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1 7.1 Matrizen und Vektore Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Gruppe von Gleichungen, in denen alle Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen. Beispiel Seite 340 oben: 6 x 2 = x 2 = 4 mit den Variablen und x 2 Allgemein gilt für m Gleichungen mit n Unbekannten: a 11 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a m1 + a m2 x 2 + +a mn x n = b m n Oder für die i. Gleichung mit dem Summenzeichen: aik x k = bi; i = 1,2,...,m k = 1 Das rechteckige Zahlenschema (Tabelle): a11... a1 n ist eine so genannte Matrix und heisst Koeffizientenmatrix des... linearen Gleichungssystems am1... amn Und die Spalte b1 heisst Spaltenvektor der rechten Seite des linearen Gleichungssystems... b m Matrizen sind Tabellen, Vektore sind Zeilen oder Spalten Sie erlauben eine kompakte Schreibweise Lösen Sie die Übung 1 im Übungsblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 9-1- Anwendungsbeispiele Beispiel Seite 341 unten: Verflechtungstabelle: Lesen Sie das Beispiel mit der Verflechtungstabelle Seite 341 unten n Sektoren eines Unternehmens S 1, S 2,, S n liefern sich gegenseitig Güter, wobei a ij die Lieferung von Sektor S i an Sektor S j ist und b i die zum Verkauf an den Endverbraucher bestimmte Lieferung des Sektors S i Die Matrix wird von links nach rechts gelesen: z.b. S 2 liefert a 21 an S 1, a 22 an sich und b 2 an den Endverbraucher. Lösen Sie die Übung 2 im Übungsblatt Beispiel Seite 342 oben: Produktionskoeffizienten: Lesen Sie das Beispiel mit den Produktionskoeffizienten Seite 342 oben Wir haben wieder n Sektoren, welche jeder ein Gut produziert. Hier stellt die Matrix die Menge der Güter aus den verschiedenen Sektoren dar, welche ein Sektor für die Herstellung einer Mengeneinheit seines Guts benötigt. Die Matrix wird von oben nach unten gelesen: z.b. benötigt S 2 1,7 ME des Guts von S 1, 0 ME seines Guts und 0,5 ME des Guts von S 3 für die Herstellung von 1 ME seines Guts. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

2 Anwendungsbeispiele (2) Beispiel Seite 342 unten: Rohstoffverbrauchskoeffizienten: Lesen Sie das Beispiel mit der Rohstoffverbrauchskoeffizienten Seite 342 unten- 343 Ähnlich wie die Produktionskoeffizienten, nur dass in der Matrix r ik die Mengen des benötigten Rohstoffs R i darstellt, welche ein Sektor S k für die Herstellung einer Mengeneinheit seines Guts benötigt. Vektoren werden hier an mehreren Orten verwendet: Der Produktionsvektor x ist der Spaltenvektor mit der Menge der von jedem Sektor S i produzierten Menge seines Produktes x i : x1... x n p1 Der Preisvektor p ist der Spaltenvektor mit den Preisen p i der n Produkte:... p n r1 Der Rohstoffvektor ist der Spaltenvektor mit den Mengen r i der m benötigten Rohstoffe:... r m Lösen Sie die Übung 3 im Übungsblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block Lineare Gleichungssysteme Beispiel 1 Seite 358: ein lineares Gleichungssystem: 4 x 2 = 5 + x 2 = 10 Dieses lässt sich graphisch lösen durch Einzeichnen der Funktionsgraphen: x 2 = 4 5 und x 2 = 10 - in einem Koordinatensystem mit den Achsen und x 2 (vergl. Abb. 7.2 Seite 359). Die Lösungen sind dann die Menge der Schnittpunkte der 2 Funktionsgraphen. Wie viele Lösungen hat ein solches lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten? Die 2 Funktionen sind linear ihre Funktionsgraphen also Geraden. 2 Geraden schneiden sich in der Ebene entweder: In einem Punkt eine Lösung gar nicht, falls sie parallel sind (vergl. Abb rechts) keine Lösung überall falls die 2 Geraden zusammenfallen (vergl. Abb mitte) unendlich viele Lösungen Das lineare Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten hat also eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Dieser Satz gilt für beliebige lineare Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unbekannten! Auch diese haben eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

3 Matrix-Schreibweise Ein lineares Gleichungssystem lässt sich in einer Matrix-Schreibweise darstellen: Ax = b x1 Wobei A die Koeffizientenmatrix ist, x = der Vektor der Unbekannten und... x n b1 b =... der Vektor der rechten Seiten. b m Und Ax ist die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 9-5- Gauss sches Eliminationsverfahren Beispiel Seite 361: ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Wie können wir es lösen? Graphisch geht das nicht mehr, da es sich um Ebenen im 3-dimensionalen Raum handelt. 1. Idee: die 1. Gleichung nach auflösen und in die 2. und 3. Gleichung einsetzen. Dann bleibt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten. Lösen Sie die 1. Gleichung nach auf und setzen Sie in die 2 übrigen Gleichungen ein. Eleganter: zur 2. und 3. Gleichung ein Vielfaches der 1. Gleichung addieren/subtrahieren, so dass wegfällt. Wenn wir z.b. die 2. Gleichung mit 2 multiplizieren und 3 mal die 1. addieren, so fällt 6-6 weg. Setzen wir diese neue Gleichung anstelle der 2. und analog für die 3., so bleibt nur in der 1. Zeile stehen und es bleiben 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten x 2, x 3. Nach einem weiteren Eliminationsschritt für x 2 gelangen wir zu einer Darstellung wie Seite 361 unten, aus welcher wir die Lösungen für, x 2 und x 3 direkt ablesen können. Lösen Sie die Übung 4 Daraus folgt die 2. Idee - das Gauss sche Eliminationsverfahren: das Gleichungssystem mit erlaubten Umformungen solange umgestalten, bis wir eine Koeffizientenmatrix erhalten, welche bis auf die Diagonale aus lauter Nullen besteht (so genannte Diagonalmatrix) Erlaubt sind die folgenden Umformungen, ohne dass sich an der Lösungsmenge etwas ändert: 1. Vertauschen zweier Zeilen (ist nötig, falls a ii = 0) 2. Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dem λ 1 -fachen dieser Zeile und dem λ 2 -fachen einer andern Zeile Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

4 Der Algorithmus Bei einer Textaufgabe muss zuerst das lineare Gleichungssystem gefunden werden. Anschliessend wird das Gleichungssystem als Tableau geschrieben (vergl. p. 362) Beginnend mit der 1. Spalte wird nun eine Spalte j nach der andern so transformiert, dass alle Werte Null werden, mit Ausnahme des Elements a jj in der Matrixdiagonalen, indem: - alle Zeilen ausser der j-ten durch eine Kombination von sich und der j-ten Zeile ersetzt werden, so dass ihr Element in der j-ten Spalte Null wird. - falls a jj =0 ist, die j-te Zeile mit einer darunter liegenden vertauscht wird, deren j-tes Element nicht Null ist Wie bestimmt man die Kombination einer Zeile und der j-ten Zeile, so dass das j-te Element in der ersten Null wird? 1 Betrachten wir das Beispiel 4) Seite 369: in der 1. Spalte 1 soll das unterste Element Null werden: 5 Gesucht sind a und b, so dass a 1 +b 5 = 0 a = -5b a/b = -5; also z. B. b = 1 und a = -5 Die 3. Zeile ist also zu ersetzen durch Zeile +3. Zeile Lösen wir das Beispiel auf Seite 362 im Tableau-Format Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 9-7- Spezialfälle Beispiel Seite 363: nach der ersten Vereinfachung ist in der 2. Zeile a 22 =0, Damit wir weiter in Richtung der Schluss-Diagonalmatrix arbeiten können, müssen wir die 2. und 3. Zeile vertauschen. Lesen Sie das Beispiel Seite 363 Beispiel Seite 364: nach einigen Schritten erhalten wir 2 Zeilen mit lauter Nullen. Das bedeutet, dass die betreffenden Unbekannten x3 und x4 frei gewählt werden können. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Lesen Sie das Beispiel Seite 364 Beispiel Seite 366 : nach einigen Schritten erhalten wir eine Zeile: Das Gleichungssystem 0 + 0x 2 +0x 3 = 8 hat keine Lösung. Lesen Sie das Beispiel Seite 366 Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite Lösen Sie die Aufgabe 2 Seite 404 Lösen Sie die Übung 5 auf dem Übungsblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

5 7.3 Lineare Optimierung Bei vielen ökonomischen Problemen ist der Wert einer Funktion Z mit n unabhängigen Variablen, x 2,, x n zu maximieren. D.h. diejenige Kombination der Variablen-Werte x i zu finden, für die der Funktionswert Z(, x 2,, x n ) maximal ist. Häufig ist diese so genannte Zielfunktion Z eine lineare Funktion, d.h. die n Variablen kommen nur in der ersten Potenz vor: Z( x1, x2,..., xn ) = ci xi Dabei müssen die n Variablen m lineare Ungleichungen erfüllen, die so n genannten Restriktionen oder Einschränkungen: i=1, 2,, m aik xk k =1 Und aus ökonomischen Gründen dürfen die n Variablen nicht negativ sein (ökonomischer Definitionsbereich): x i 0; i=1, 2,, n (Nicht-Negativitätsbedingung) Ein solches Problem, bestehend aus einer linearen Zielfunktion, linearen Restriktionen und Nicht-Negativitätsbedingungen heisst lineares Optimierungsproblem (LO-Problem). b i i = 1 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 9-9- LO-Problemen mit 2 Variablen: Optimale Produktionsstrategie Lesen Sie die Aufgabenstellung im Beispiel1 Seite 387 unten: Optimale Produktionsstrategie Zu maximieren ist die Herstellungsmenge eines Produktes, welches nach 2 verschiedenen Verfahren hergestellt werden kann. Die unabhängigen Variablen sind die hergestellte Menge nach dem 1. Verfahren und die hergestellte Menge x 2 nach dem 2. Verfahren. Die zu maximierende Zielfunktion lautet also: Z(, x 2 ) = + x 2 Die Restriktionen ergeben sich aus den verfügbaren Mengen der 3 Komponenten, welche für die Herstellung benötigt werden: Das 1. Verfahren benötigt 1 Komponente K 1, das 2. Verfahren 3. Total werden also + 3x 2 Komponenten K 1 benötigt, was 24, die verfügbare Menge, sein muss. Die Restriktionen aus den übrigen 2 Komponenten lauten: 5 + 7x x 2 22 Und die Nicht-Negativitätsbedingungen lauten: 0 und x 2 0 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

6 Graphische Lösung eines LO-Problems mit 2 Variablen Ein LO-Problem mit 2 Variablen lässt sich grafisch lösen: Die möglichen Werte der zwei Variablen, x 2 sind die Punkte einer Ebene mit den Achsen x1 und x2 (Kartesisches Koordinatensystem mit Achsen, x 2 statt x,y) Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit und x 2 bilden in dieser Ebene eine Gerade, z.b. für 5 + 7x 2 = 64 die Gerade: x 2 = -5/7 + 64/7 in Abb. 7.5 Seite 389. Wird die Gleichung durch eine gleich lautende Ungleichung mit ersetzt, so bildet die Lösungsmenge die Fläche links von der Geraden, diese inbegriffen (vergl. Abb. 7.5) Die Lösungsmenge, welche alle 3 Restriktionen erfüllen, sowie die 2 Nicht- Negativitätsbedingungen, bilden somit eine Fläche mit 5 Seiten: den zulässigen Bereich (die schraffierte Fläche in Abb. 7.6) Die verschiedenen möglichen Werte der Zielfunktion + x 2 = Z bilden die Geraden: x 2 = Z - (Z eine Konstante), welche alle die Steigung -1 haben und somit parallel sind. Um den maximalen Wert Z max zu bestimmen, genügt es also, eine dieser Geraden einzuzeichnen, z.b. für Z=0, und die Gerade parallel nach rechts oben zu verschieben, bis zur äussersten Ecke des zulässigen Bereichs (Punkt (10;2) in Abb. 7.7 Seite 390) Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block Vorgehen bei der Graphische Lösung eines LO-Problems 1. Festlegen, welches die zwei Variablen und x 2 sind (nur bei Textaufgaben) 2. Die zu maximierende Zielfunktion in Anhängigkeit der 2 Variablen aufstellen 3. Die Restriktionen (Einschränkungen) als -Ungleichungen der 2 Variablen aufstellen 4. Die 2 Nicht-Negativitätsbedingungen aufstellen: 0 und x Die entsprechenden Geraden der Restriktionen und der Nicht- Negativitätsbedingungen im Koordinatensystem der 2 Variablen einzeichnen und zum zulässigen Bereich schraffieren 6. Eine Gerade der Zielfunktion für einen beliebigen Wert von Z einzeichnen, z.b. Z=0 7. Die Gerade parallel verschieben bis zum äussersten Punkt rechts oben des zulässigen Bereichs. 8. Die Koordinaten dieses Eckpunktes und damit die Lösung für die Variablen ablesen bzw. berechnen als Schnittpunkt von 2 Geraden. 9. Z max berechnen durch Einsetzen in die Zielfunktion Z(, x 2 ) Lösen wir gemeinsam das Beispiel 1 Seite Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

7 Spezialfälle Falls es sich bei einer Restriktion um eine -Ungleichungen handelt, so muss die Fläche rechts von der Geraden der entsprechenden Gleichung schraffiert werden (auch der Fall bei den Nicht-Negativitätsbedingungen). Falls statt dem Maximum das Minimum einer Zielfunktion Z(, x 2 ) gesucht wird, so wird die Gerade der Zielfunktion nach links unten verschoben, bis zum äussersten Punkt des zulässigen Bereichs. Lesen Sie das Beispiel ab Seite 390 unten: Kostenoptimale Futtermischung Falls die parallel verschobene Gerade der Zielfunktion nicht auf einen einzelnen Eckpunkt fällt, sondern auf eine ganze Seitenlinie, so gibt es unendlich viele Lösungen mit maximalem Wert Z max (vergl. Fig. 7.9 Seite 393) Es kann sein, dass der zulässige Bereich nicht abgeschlossen ist und bezüglich der Zielfunktion keinen äussersten Punkt besitzt (vergl. Abb Seite 393). Das Optimierungsproblem hat dann keine Lösung. Lesen Sie das Beispiel ab Seite 392 unten: Lösen Sie die Aufgaben 7 (nur grafisch) und 8 Seite 405 LO wird an der Prüfung nicht verlangt. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block Aufgaben und Ziele Aufgaben Lesen Sie das Skript bis zur Prüfung nochmals durch. Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem Übungsblatt fertig. Lesen Sie Purkert Kap , bis p. 370, Kap Bei Problemen Mail an boek@kmu-dir.ch oder epeter@fernfachhochschule.ch Ziele Die Studierenden kennen die Definition eines linearen Gleichungssystems und die kompakte Darstellung mittels Koeffizientenmatrix und Spaltenvektor der rechten Seiten. Sie können ein lineares Gleichungssystem mittels Gauss schem Eliminationsverfahren lösen und Sie können zu einer Textaufgabe das Lineare Gleichungssystem aufstellen Sie können ein lineares Optimierungsproblem mit 2 Variablen graphisch lösen und sie können zu einer Textaufgabe das mathematische Modell aufstellen Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block

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