Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

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1 Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

2 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Mathematik 1 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren Jedes λ, das det(a λe) = 0 löst ist ein Eigenwert von A. Anschließend: Für jedes erhaltene λ Lösen des Gleichungssystems (A λe)x = o mit x o Damit hat man für jedes λ mindestens einen reellen Eigenvektor x. Satz: Mit x o ist auch jeder Vektor rx (r R, r 0) Eigenvektor zum Eigenwert λ von A. Beispiele A = D = ( ) 0,8 0,2, B = 0 1,1 ( ) 1 3, E = 1 2 ( ) 1 0,2, C = , 0,1 0, Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme 102

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6 Sätze über Eigenwertprobleme Mathematik 1 Gegeben: A ist eine reelle, symmetrische n n-matrix Es gilt: Die Eigenwerte sind alle reell und nicht notwendigerweise verschieden und ist der Rang von A gleich k n, so ist λ = 0 ein (n k)-facher Eigenwert Zu den reellen Eigenwerten λ 1,..., λ n existieren genau n reelle, linear unabhängige Eigenvektoren x 1,..., x n Diese Eigenvektoren kann man so wählen, dass X = (x 1,..., x n ) orthogonale Matrix wird, also XX T = E λ 1 0 Gegeben zusätzlich: L = die Diagonalmatrix der 0 λ n Eigenwerte von A und A m = A... A mit m N Dann gilt: L = X T AX und A = XLX T 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 5.1. Matrizen und Vektoren 5.2. Matrixalgebra 5.3. Punktmengen im R n 5.4. Lineare Gleichungssysteme 5.5. Inverse Matrizen 5.6. Determinanten 5.7. Eigenwerte 6. Lineare Programme außerdem gilt: A m besitzt die Eigenwerte λ m 1,..., λ m n 103

7 Mathematik 1: Gliederung 1 Grundlegende Bausteine 2 Grundlegende Werkzeuge 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 6 Lineare Programme Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich Zielfunktion Graphische Lösung

8 Lineare Programe: Beispiel Mathematik 1 Ein holzverarbeitender Betrieb möchte ein Produktionsprogramm für Spanplatten festlegen. Dabei sind folgende Restriktionen zu berücksichtigen: Es werden zwei Typen von Spanplatten hergestellt: Typ A in der Quantität x 1 für den Außenbereich und Typ B in der Quantität x 2 für den Innenbereich. Zur Herstellung der Spanplatten werden zwei Arten von Furnierblättern F 1 bzw. F 2 unterschiedlicher Qualität benutzt. Die Spanplatten werden mittels einer Presse, in der die Furniere verleimt werden, hergestellt. Zur Herstellung einer Platte vom Typ A wird ein Blatt von F 1 und zwei Blätter von F 2 benötigt, während bei Typ B drei Blätter von F 1 und ein Blatt von F 2 benutzt werden. Von F 1 bzw. F 2 stehen 1500 bzw Stück zur Verfügung. Die Presse steht insgesamt 700 Minuten zur Verfügung, wobei zur Verleimung beider Plattentypen pro Stück jeweils eine Minute benötigt wird. 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 6. Lineare Programme 6.1. Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 6.2. Zielfunktion 6.3. Graphische Lösung 105

9 Lineare Produktionsplanung: Beispiel Mathematik 1 Tabellarische Darstellung der Problemdaten: Einheiten Einheiten Pressminuten Produkt Menge von F 1 von F 2 pro Stück Typ A x Typ B x Kapazitäten Zusammenhang von Daten und Variablen durch System von linearen Ungleichungen beschreibbar: Restriktionen: (1) x 1 + 3x (Vorrat F 1 ) (2) 2x 1 + x (Vorrat F 2 ) (3) x 1 + x (Kapazität Presse) (4)(5) x 1, x 2 0 (nicht-negative Mengen) 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 6. Lineare Programme 6.1. Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 6.2. Zielfunktion 6.3. Graphische Lösung 106

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11 Lineare Produktionsplanung: Beispiel, Zulässigkeitsbereich Mathematik 1 Begriffe und Beobachtungen Jede (x 1, x 2 )-Kombination, die alle Restriktionen (1) bis (5) erfüllt, bezeichnet man als zulässige Lösung. Die Menge Z = ( x1 x 2 ) R 2 + : x 1 + 3x ; 2x 1 + x ; x 1 + x nennt man Zulässigkeitsbereich des Problems. Wegen Restriktion x R 2 +: Erster Quadrant des Koordinatensystems genügt für graphische Darstellung des Zulässigkeitsbereiches. 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 6. Lineare Programme 6.1. Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 6.2. Zielfunktion 6.3. Graphische Lösung 107

12 Beispiel: Graphische Darstellung Zulässigkeitsbereich Mathematik 1 Ungleichung (1) mit x 1 + 3x entspricht dreieckigem Bereich in R 2 + Begrenzung durch die drei Geraden mit x 1 + 3x 2 = 1500, x 1 = 0 und x 2 = 0 Also: Grenzpunkte (0,500), (1500,0), (0,0) Analog für die übrigen Nebenbedingungen 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge x (1) x 1 + 3x x 1, x 2 0 (2) 2x 1 + x (3) x 1 + x x x 1, x 2 0 x 1, x x Aussagenlogik 4. Komplexe Zahlen 5. Lineare Algebra 6. Lineare Programme 6.1. Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 6.2. Zielfunktion 6.3. Graphische Lösung x 1 x 1 x Beispiel: Graphische Darstellung der Restriktionen 108