Eigenwertprobleme. 25. Oktober Autoren: 1. Herrmann, Hannes ( ) 2. Kraus, Michael ( ) 3. Krückemeier, Paul ( )

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1 Eigenwertprobleme 5. Oktober Autoren:. Herrmann, Hannes (45969). Kraus, Michael (9). Krückemeier, Paul (899) 4. Niedzielski, Björn (7)

2 Eigenwertprobleme tauchen in der mathematischen Physik an Stellen auf, wo Matrixformulierungen verwendet werden, z.b.:. bei der Orthogonalisierung von Matrizen. bei der Klassifizierung von Flächen. Ordnung im Raum. bei der Hauptachsentransformation von (symm.) Tensoren zweiter Stufe 4. bei der Berechnung von Eigenfrequenzen und Schwingungsmoden (Eigenformen) schwingungsfähiger Systeme Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte exakt berechnet werden. Bei großen Matrizen müssen Verfahren der numerischen Mathematik verwendet werden. Symbolische Berechnung Gegeben sind: eine quadratische Matrix A (nxn), eine Einheitsmatrix E (nxn), ein Spaltenvektor x mit n Komponenten: x T = (x,x,,x n ). Das homogene Gleichungssystem (A λ E) x = () definiert die Eigenwerte λ i. Sie können reell oder komplex sein. Ein solchen Gleichungssystem hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt: Det (A λ E) =. () Die Berechnung der Determinanten liefert die charakteristische Gleichung n-ten Grades. λ n + a n λ n + + a λ + a = () Die Nullstellen dieser Gleichung sind die gesuchten Eigenwerte λ i. Sie können mit der Vielfachheit µ i auftreten. Sind die Eigenwerte bekannt, kann die Diagonalform der Matrix erstellt werden: λ... λ n = Q AQ. Die Transformationsmatrix Q enthält als Spalten die Eigenvektoren x i. Sie ist für symmetrische Matrizen eine orthogonale Matrix. Die n linear unabhängigen Eigenvektoren spannen den sog. Eigenraum auf und ergeben sich als Lösung der n Gleichungen: (A λ i E) x i = ; i =,,n. (4) In der Physik ist der Fall n = von besonderem Interesse. Tritt ein Eigenwert λ mit der Vielfachheit µ auf, so müssen die zugehörigen Eigenvektoren orthogonalisiert werden. Als Verfahren bietet sich das Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren an. Hinweise:

3 . Eigenwerte von reellen, symmetrischen Matrizen sind stets reell. Koeffizienten der charakteristischen Gleichung (sowie die Gleichung selbst) sind Invarianten. Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Zwei Übungsaufgaben Beispiel Gegeben sei die quadratische Matrix A = Wir wollen die Eigenwerte dieser Matrix berechen. Dazu berechnen wir zuerst die Determinante des folgenden Ausdruckes: λ Det (A λe) = λ (5) λ Die Entwicklung nach der ersten Zeile (Laplacescher Entwicklungssatz) liefert das charakteristisches Polynom: Det (A λe) = ( λ)( λ)( λ) (λ + + λ + 4λ) = λ + λ + 4λ 8 (6) Daraus ergeben sich die Eigenwerte λ / = und λ =. Sie sind reell; bei einer nichtsymmetrischen Matrix muss das nicht so sein. Der Eigenwert λ / hat die algebraische Vielfachheit ; es gibt zu ihm zwei linear unabhängige Eigenvektoren. Zur Berechnung der Eigenvektoren löst man folgendes Gleichungssystem: ( λ / E) x = (7) und orthogonalisiert beide Eigenvektoren x und x nach Gram-Schmidt (siehe Beispiel ). Den. Eigenvektoren kann man durch das Kreuzprodukt x x berechnen. Beispiel In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten eines symmetrischen Tensors T zweiter Stufe gegeben durch die Koeffizientenmatrix: T = Wir wollen die Matrix auf Hauptachsenform transformieren. Dazu berechnet man: T λe = λ 6 λ 6 6 λ = (8)

4 Die Entwicklung der Determinante liefert das chaarakteristische Polynom λ + 5λ + 57λ + 99 = bzw. λ 5λ 57λ 99 = (9) Aus der letzten Gleichung () ergeben sich die rellen Eigenwerte durch Probieren oder mit Hilfe von Mathematica: λ =, λ =, λ =. Die Koeffizientenmatrix lässt sich somit in folgende Hauptachsenform überführen: T = Die sog. Tensorinvarianten ergeben sich zu: T I = λ + λ + λ = 5 T II = λ λ + λ λ + λ λ = 57 T III = λ λ λ = 99 Hinweis: Bei der HAT bleiben Symmetrie und Norm der Matrix T erhalten. det(t ) = T = 99 Übersetzen wir unsere Ergebnisse in Koordinatenform, so ergibt sich durch Multiplikation der Matrix mit dem Ortsvektor von beiden Seiten und in unserem Falle r T r = λ x + λ y + λ z = () x + y z + = Ein Blick in die Literatur (Klassifikation von Flächen. Ordnung; siehe z.b. Wikipedia) zeigt, dass es sich bei dieser Tensorfläche um ein zweistufiges Hyperboloid handelt: Als letztes untersuchen wir die Lage der Hauptachsen des transformierten Tensors. Dazu müssen die Eigenvektoren der hauptachsentransformierten Matrix berechnet werden. Wir beginnen mit λ = λ = : x (T λ / E) r = 9 6 y = () 6 4 z 4

5 . Gleichung: Als mögliche Lösungen ergeben sich: x + y z = () r = ( ), r = ( ) () Diese Vektoren sind aber nicht orthogonal! Wir wenden das Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt an: = ( ) (4) = [ r ( r ) ] (5) Betrag = [ ( ) 6 ( ) ] = (6) 5 Es fehlt noch der Eigenvektor zu λ = : Am einfachsten berechnet sich dieser Vektor über das Kreuzprodukt. = e x e y e z ( ) r = = 5 5 T 5 = (7) 4 Hinweis: Die Eigenvektoren bilden eine orthogonale Matrix mit Det Q = + in der Form: Q = [ r Man beachte, dass Q T = Q! ] r = (8) 5