Modellierung, Simulation, Optimierung Diskretisierung 1

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1 Modellierung, Simulation, Optimierung Diskretisierung Prof. Michael Resch Dr. Martin Bernreuther, Dr. Natalia Currle-Linde, Dr. Martin Hecht, Uwe Küster, Dr. Oliver Mangold, Melanie Mochmann, Christoph Niethammer, Ralf Schneider HLRS, IHR 7. Dezember 202 /4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

2 Inhalt Diskretisierungsverfahren Diskretisierungsansätze Graphen und Matrizen Finite Differenzen Methode Polynome im D-Raum Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel Polynome im 2D-Raum Drehungsinvariante Polynomunterräume im 2D-Raum Berechnung der Gewichte der Diskretisierung Die Diskretisierung des Laplace-Operators auf einem orthogonalen Gitter Gleichungssystem für die Diskretisierungskoeffizienten Lösung des Gleichungssystems für die Diskretisierungskoeffizienten mit Maple Lösung des Gleichungssystems für die Diskretisierungskoeffizienten mit Maxima Struktur von Diskretisierungsmatrizen 2/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

3 Diskretisierungsverfahren 3/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

4 Übersicht Diskretisierung, Gitter, Graphen, Matrizen Finite Differenzen Methode Polynome als Ansatzfunktionen das Gleichungssystem der Diskretisierungskoeffizienten Struktur des Diskretiserungsmatrizen Wichtiges ist gekennzeichnet durch (!) im Titel. 4/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

5 Diskretisierung als Näherungsverfahren (!) Anstelle von wünschenswerten exakten Lösungen werden Näherungslösungen gesucht. Diese Näherungslösungen residieren in einem endlichdimensionalen Raum. Sie werden numerisch und nicht algebraisch gelöst. Für jede neue Berechnungskonfiguration werden sie wieder gelöst. Sie erlauben also keinen direkten Schluss von einer Ursache auf eine Wirkung. Der Rechenaufwand ist erheblich. 5/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

6 Diskrete Verfahren (!) Man unterscheidet verschiedene numerische Verfahren zur Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen Finite Differenzen Methode Finite Volumen Methode Finite Elemente Methode Randelement Methode Spektralmethoden Lattice Boltzmann Methode Kombinationen aller dieser Partikelmethoden statistische Methoden 6/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

7 Diskretisierungsansätze (!) Ein kontinuierliches Raum-Zeit Gebiet wird durch ein diskretes ersetzt, das aus Knotenpunkten besteht, die mit ihren Nachbarknoten durch Kanten verbunden sind. Dieses Gebilde nennt man einen Graphen. Der Graph kann ein strukturiertes Gitter darstellen () oder ein unstrukturiertes (2) Gitter. Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft von Punkten sowohl im Inneren als auch am Rand des diskreten Gebietes. An jedem Punkt residieren Werte, die die Lösung lokal beschreiben. Abbildung. strukturiertes Gitter Abbildung 2. unstrukturiertes Dreiecksgitter 7/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

8 Graphen und Matrizen (!) Jeder Diskretisierungspunkt bildet eine Zeile in einer Matrix Die Gewichte seiner Nachbarn sind die Einträge in dieser Matrix Mögliche Randbedingungen sind dabei eingeschlossen Die Gewichte sind gleichzeitig Gewichte der Kanten des Graphen Die algebraischen Eigenschaften der Matrix bestimmen Lösbarkeit und Stabilität des Systems 8/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

9 Finite Differenzen Methode (!) Für die Lösungsfunktion wird der Wert des Differentialoperators an einem Punkt aus der gewichteten Summe der Werte dieser Funktion an den Nachbarpunkten bestimmt. Wie sind diese Gewichte zu bestimmen?. Man wählt eine eingeschränkte Klasse von Funktionen, mit denen die Lösung lokal approximiert werden kann. Das sind üblicherweise Polynome niedriger Ordnung im D, 2D, 3D, 4D Raum. 2. Das kann begründet werden durch die Approximierbarkeit von glatten Funktionen durch Taylorpolynome. 3. Wir fordern, dass der Differenzenoperator angewendet auf eine solche Funktionen gerade identisch ist mit dem Wert des Differentialoperators angewendet auf diese Funktion an diesem Punkt. Differentialgleichungen werden durch Differenzengleichungen ersetzt. Die Differenzengleichungen an allen Punkten zusammen mit Gleichungen für die Randbedingungen bilden ein zu lösendes Gesamtsystem 9/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

10 Polynome im D-Raum 0-te Ordnung -te Ordnung 2-te Ordnung 3-te Ordnung 4-te Ordnung φ(x) = (0-O) φ(x) = x (-O) φ(x) = x 2 (2-O) φ(x) = x 3 (3-O) φ(x) = x 4 (4-O) Wenn wir eine lineare Eigenschaft für alle solche Monome erfüllen können, dann gilt sie bereits für Polynome entsprechenden Grades 0/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

11 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel (!) Ziel ist es, einen Differentialoperator lokal zu approximieren. Hier als Beispiel die zweite Ableitung xx φ für eine Funktion x φ (x). Geordnete Diskretisierungskoordinaten oder Stützpunkte x j für j =,, n seien gegeben sowie die Funktionswerte φ k = φ (x k ) an diesen Koordinaten. Gesucht ist nun eine Linearkombination der Umgebungswerte jeden Punktes x j, die die zweite Ableitung wenigstens für Polynome niedrigster Ordnung identisch erhält. Dieser diskrete Operator ist linear. Deshalb reicht es aus, diese Forderung an die gezeigten Monome zu stellen. Zum Beispiel für die drei benachbarten Punkte x j, x j, x j+ für die Funktionen φ : x, x, x 2, x 3, α j φ j + α j φ j + α j+ φ j+ = ( xx φ) xj Links des Gleichheitszeichens steht eine Linearkombination der Funktionswerte an den Nachbarpunkten und rechts der Wert des Differentialoperators angewendet auf die Funktion am Bezugspunkt ( 3 on page 9). /4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

12 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel 2 (!) Es resultieren die 3 in (α j, α j, α j+ ) linearen Gleichungen α j + α j + α j+ = 0 α j x j + α j x j + α j+ x j+ = 0 α j x 2 j + α j x 2 j + α j+ x 2 j+ = 2 Diese 3 Gleichungen sollten ausreichen, um die drei Unbekannten α j, α j, α j+ eindeutig zu bestimmen. Dennoch ist von Interesse, wie präzise Gleichungen für weitere Polynome erfüllt werden können, also α j x 3 j + α j x 3 j + α j+ x 3 j+ 6x j α j xj 4 + α j xj 4 + α j+ xj+ 4 2x j 2 2/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

13 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel 3 (!) Wir ziehen die erste Gleichung nach Multiplikation mit x j und x 2 j ( ) ( ) α j xj x j + αj+ xj+ x j = 0 ( ) ( ) α j xj 2 x j 2 + α j+ xj+ 2 x j 2 = 2 Die letzte Gleichung formulieren wir um in α j ( xj x j ) ( xj + x j ) + αj+ ( xj+ x j ) ( xj+ + x j ) = 2 In diese setzen wir die erste ein und erhalten α j+ ( xj+ x j ) ( ( xj + x j ) + ( xj+ + x j )) = 2 von den anderen ab. und somit genauso α j+ = α j = x x j+ x j +x j+ j x j +x j 2 2 x x j x j +x j+ j x j +x j 2 2 3/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

14 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel 4 (!) Wir fassen die Koeffizienten zusammen [ ] αj, α j, α j+ = x j +x j+ x j +x j 2 2 Die Summe der einzelnen Terme ist 0 [, x j x j x j x j Die diskrete 2-te Ableitung für eine Funktion φ ist also gegeben durch x j+ x j, ] x j+ x j δ 2 φ j = α j φ j + α j φ j + α j+ φ j+ ( ( ) ) = x j +x j+ x j +x φ j j + φ j + φ j+ x j x j x j x j x j+ x j x j+ x j 2 2 = φ j+ φ j x j+ x j φ j φ j x j x j x j +x j+ x j +x j 2 2 Eine zweimalige Differenzenbildung ist zu erkennen. Die zweite Differenz wird an den Zwischenorten x j +x j 2 und x j +x j+ 2 gebildet. 4/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

15 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel 5 (!) Wir fassen die Werte φ j an allen Punkten zusammen zu dem Vektor φ. φ = φ j. φ n Außerdem bilden wir aus den Vorfaktoren eine Diagonalmatrix Diag Diag = x j +x j+ x j +x j 2 2 die Koordinatendifferenzen bezeichnen wir kürzer mit δ j = x j x j 5/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

16 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel 6 (!) Damit erhalten wir eine Matrix, die im Produkt mit dem Vektor φ die diskrete 2-te Ableitung an jedem einzelnen Punkt erzeugt. ( ) δ j δ + j δ j δ ( j ) δ 2 φ = Diag δ j δ + j δ j+ δ φ j+ ( ) δ j+ δ + j+ δ j+2 δ j+2 Erster und letzter Eintrag haben mit den Randbedingungen zu tun. Die diagonale Matrix ist positiv definit. Die zweite Matrix des Produkts ist tridiagonal und symmetrisch. Sie ist Summe der 2x2 Teilmatrizen [ ] δ j δ j δ = [ ] j δ j δ j die Bildung der finiten Differenzen kann also als Produkt einer Matrix mit dem Vektor der Zustände an den Knotenpunkten verstanden werden. Diese lineare Abbildung arbeitet auf einem Vektorraum beliebiger Größe. 6/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

17 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel 7 (!) Es soll auf dem Intervall [a, b] die Gleichung 2 φ x 2 = ρ gelöst werden. Am linken Rand soll φ(a) = f a als Randbedingung angenommen werden und am rechten Rand φ(b) = f b. Auf folgende Weise kann dies Problem diskretisiert werden. Die Funktion Φ wird durch den Vektor seiner Werte an den Stützstellen x j ersetzt, ebenso die Dichtefunktion der rechten Seite ρ. Der Ableitungsoperator wird ersetzt durch die Diskretisierungsmatrix. Wenn wir 9 Punkte wählen, dann wird das Intervall [a, b] durch die Punkte x j = a + (j ) x für j =, 2,, 9 und x = b a in 8 gleichgroße Teilintervalle 9 zerlegt. Für den Fall solcher äquidistant liegender Punkte vereinfacht sich die oben beschriebene Diskretisierungsmatrix. 7/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

18 Die zweite Ableitung im D-Raum als Beispiel 8 (!) Wir erhalten also die folgende Gleichung 2 φ 2 ρ 2 f a 2 φ 3 ρ 3 2 φ 4 ρ 4 x 2 2 φ 5 = ρ 5 2 φ 6 ρ 6 2 φ 7 ρ 7 2 φ 8 ρ 8 f b Am ersten und letzten Punkt werden die Werte von Φ = f a und Φ 9 = f b als Randbedingungen vorgegeben. Beide Terme tauchen im Gleichungssystem nicht explizit auf, sondern als zusätzliche Terme in der ersten und letzten Zeile der rechten Seite. Natürlich können beliebige viele Diskretisierungspunkte verwendet werden. Wir erwarten, dass mit der Zahl dieser Stützstellen auch die Genauigkeit der Lösung steigt. Das lineare Gleichungssystem muss mit geeigneten Verfahren gelöst werden. Ein Computerprogramm zur Lösung dieses Problems wird die Stützpunkte berechnen, die Matrix aufstellen, die Randbedingungen definieren, das Gleichungssystem lösen und das Ergebnis ausgeben. 8/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

19 Polynome im 2D-Raum Der Vektorraum der Polynome bis zu einer festen Ordnung wird aufgespannt durch folgende Monome Monom 0-ter Ordnung φ(x, x 2 ) = (0-O) 2 Monome -ter Ordnung 3 Monome 2-ter Ordnung φ(x, x 2 ) = x x 2 (-O) φ(x, x 2 ) = x 2 x x 2 x 2 2 (2-O) 4 Monome 3-ter Ordnung φ(x, x 2 ) = x 3 x 2 x 2 x x 2 2 x 3 3 (3-O) 5 Monome 4-ter Ordnung φ(x, x 2 ) = x 4 x 3 x 2 x 2 x 2 2 x x 3 2 x 4 2 (4-O) allgemein die Monome der Ordnung p φ(x, x 2 ) = x p n x n 2 n = 0,, p () 9/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

20 Polynome im 2D-Raum 2 Die Polynome gleicher Ordnung spannen Unterräume auf, die invariant sind gegen Drehungen im Raum (x, x 2 ). Allerdings werden diese Unterräume immer größer. Die Anzahl der Gewichte an den Punkten in der Nachbarschaft kann im allgemeinen Fall nicht für alle diese Polynome die Exaktheit des Differentialoperators garantieren, wenn deren Anzahl zu gering ist. 20/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

21 Drehungsinvariante Polynomunterräume im zweidimensionalen Raum 0-te Ordnung -te Ordnung 2-te Ordnung 3-te Ordnung 4-te Ordnung u.s.w. φ(x, x 2 ) = φ(x, x 2 ) = (2) φ(x, x 2 ) = { x, x 2 } x 2 x 2 2 x x 2 φ(x, x 2 ) = x 2 + x 2 2 x 3 3x x 2 2 x 3 2 3x 2x 2 φ(x, x 2 ) = ) ) x (x 2 + x 2 2 x 2 (x 2 + x 2 2 x 4 6x 2 x 2 2 x 3 x 2 x x 3 2 x 4 2 6x 2 2 x 2 ( ) ( ) ( ) x 2 x 2 2 x 2 + x 2 2 (x x 2 ) x 2 + x 2 2 ( ) ( ) x 2 + x 2 2 x 2 + x 2 2 (3) (4) (5) (6) 2/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

22 Die hier gezeigten Polynom-Gruppen spannen Unterräume auf, die invariant gegen Drehungen im Raum (x, x 2 ) sind. Wenn ein Term aus einer dieser Gruppen das Differenzenschema exakt erfüllt, dann sollten die Terme der ganzen Gruppe diese exakt erfüllen. 22/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

23 Berechnung der Gewichte der Diskretisierung Als Beispiel wollen wir den 2D-Laplace-Operator auf einem Gitter diskretisieren. Wir nehmen an, dass neben dem Punkt x 0, für den wir den Differenzenoperator bestimmen wollen, noch weitere n benachbarte Punkte x,, x n gegeben sind. a i für i = 0,,, n seien die Koeffizienten. Dann sind folgende Gleichungen zu befriedigen. 23/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

24 Berechnung der Gewichte der Diskretisierung 2 n () = 0 a i = 0 i=0 (< x, e >) = 0 n < a i x i, e >= 0 e i=0 n (< x, e >< x, f >) = 2 < e, f > a i < x i, e >< x i, f >= 2 < e, f > e, f i=0 e und f sind beliebige Vektoren im 2D-Raum. < e, x >= k e k x k ist das Skalarprodukt zwischen e und x. Wir sehen, wie aus der Linearkombination der Werte an den Knotenpunkten der Wert des Differentialoperators am Referenzpunkt gewonnen wird. 24/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

25 Berechnung der Gewichte der Diskretisierung 3 Diese Beziehungen sind äquivalent mit n a i = 0 (7) i=0 n a i x i = 0 (8) i=0 n a i x i xi T = 2I (9) i=0 Die erste Gleichung ist eine skalare Gleichung, in der zweiten tauchen 2D-Vektoren auf und in der dritten symmetrische 2 2 Matrizen. Zusammen sind das = 6 Gleichungen. Wenn also die Gleichungen voneinander unabhängig sind, dann benötigen wir zusätzlich zum Punkt x 0 noch weitere 5 benachbarte Punkte, die in das Differenzenmolekül eingehen. Im dreidimensionalen Fall erhalten wir = 0 Gleichungen. Notwendig sind also n = 9 Nachbarpunkte. Die Formulierung ist unabhängig von der Raumdimension. 25/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

26 Berechnung der Gewichte der Diskretisierung 4 Die genannten Beziehungen können wir auf Differenzen zurückführen n a i = 0 i=0 n a i (x i x 0 ) = i=0 i=0 n n a i (x i x 0 ) (x i x 0 ) T = i=0 n n a i x i a i x 0 = 0 i=0 n = i=0 = 2I a i x i x T i i=0 n n n a i x 0 xi T a i x i x0 T + a i x 0 x0 T i=0 i=0 i=0 ( n ) T ( n ) ( n ) a i x i a i x i x0 T + a i x 0 x0 T i=0 i=0 i=0 a i x i x T i x 0 Wir haben dabei die Beziehungen (7,8, 9 on the previous page) verwandt. Das heißt, zunächst sind nur die Koordinatendifferenzen x i = x i x 0 wichtig. Zuletzt wird das Gewicht am Bezugspunkt durch a 0 = n i= a i bestimmt. 26/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

27 Die Diskretisierung des Laplace-Operators auf einem orthogonalen Gitter (!) Für den einfachsten Fall des Laplace-Operators in einem orthogonalen äquidistantem Gitter setzen wir ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x x = x 2 x 4 = x4 2 x 2 = 2 x x 0 3 = 3 0 ) Im orthogonalen Gitter ist jeweils eine Komponente 0. Es folgt aus a ( 0 x 2 ) + a 4 ( 0 x 2 4 ) + a 2 ( x 2 0 ) + a 3 ( x 3 0 ) = 0 a 2 a 4 a 0 a a 3 die Beziehungen für zwei Pärchen a x 2 + a 4 x 2 4 = 0 a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 27/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

28 Die Diskretisierung des Laplace-Operators auf einem orthogonalen Gitter 2 (!) sowie für die zweite Ableitung ( ) ( ) 0 0 T ( ) ( ) 0 0 T + a x 2 x 2 + a 4 x 2 4 x 2 4 ( ) ( ) x + a 2 x T ( ) ( ) 2 x 2 + a 3 x T ( = äquivalent mit ) a ( x 2 2 ( ) + a4 x = 2 ) a 2 ( x 2 ( ) 2 + a3 x 2 3 = 2 Diese Gleichungen werden gelöst wie in ( 3 on page 3 ) durch a = a 2 = Weiter gilt a 0 = k a k ( x x x2 4 2 ( x x2 2 2 x 3 2 ), a 4 = ), a 3 = ( x x x2 2 ( x x3 3 2 x 2 2 ) ) ) 28/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

29 Die Diskretisierung des Laplace-Operators auf einem orthogonalen Gitter 3 (!) Wenn wir ein Gitter mit der konstanten Maschenweite x = x 2 = x 3 = x 4 = x annehmen, so erhalten wir den Differenzenstern (englisch stencil ) für den diskreten Laplaceoperator x 2 4 (0) der an jedem inneren Punkt des Gitters einzusetzen ist. Etwas später werden wir sehen, zu welcher Matrix alle diese lokalen Diskretisierungssterne führen. 29/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

30 Gleichungssystem für die Diskretisierungskoeffizienten Die genannten Gleichungen, die sicherstellen, dass der Diskretisierungsoperator auf Polynome niedriger Ordnung genauso wirkt wirkt wie der Differentialoperator, lassen sich in einem linearen Gleichungssystem zusammenfassen. Dessen Matrix erhält Einträge, die nicht vom Differentialoperator selbst abhängen. In jeder Zeile tauchen die Werte der Polynome an den Diskretisierungspunkten auf. Die rechte Seite enthält das Ergebnis des Differentialoperators am Referenzpunkt angewandt auf das Polynom der entsprechenden Matrix-Zeile. Beachte: Das Gleichungssystem zur Berechnung der Diskretisierungskoeffizienten darf nicht verwechselt werden mit dem Diskretrisierungsgleichungssystems, in dem die Gleichungen zur Bestimmung der Lösung an allen Knotenpunkten versammelt sind. Ein Beispiel folgt auf der nächsten Seite. 30/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

31 Gleichungssystem für die Diskretisierungskoeffizienten 2 x x 2 x n x 2 x 2 2 x 2 n x x x 2 x 2 x n x n x x 2 x 2 x 2 2 x n x 2 n x 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 n x 2 n a a 2. a n = Das ist ein lineares Gleichungssystem für den Vektor der Koeffizienten a, das unterbestimmt, überbestimmt oder regulär sein kann. Dies hängt von der Anzahl der Gleichungen und der Lage der Stützpunkte x i, i =,, n ab. Die rechte Seite kann von jedem linearen Differentialoperator aber auch von einer Interpolation herrühren. Hier verwenden wir den Laplace-Operator. Die Matrix muss nicht quadratisch sein. Ihr Nullraum kann verschieden von 0 sein. Mit den Koeffizienten eines Vektors, der im Nullraum liegt, kann die Diskretisierung so verändert werden, dass höhere Stabilität oder Genauigkeit erreicht wird. Zur Berechnung können wir ein Computeralgebraprogramm benutzen. 3/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

32 Gleichungssystem für die Diskretisierungskoeffizienten 3 Alternativ können wir das Gleichungsystem umformulieren x x x n x 2 x2 2 xn 2 x x x 2x 2 x2 x x 2 2x 2 2 xn x n x n 2x n 2 x x 2 x2 x 2 2 xn x n 2 x x + x 2x 2 x2 x 2 + x 2 2x 2 2 xn xn + xn 2 xn 2 a a 2. a n = Vorteil dieser Formulierung ist die Trennung in einen Teil, für den wir einen Nullvektor a suchen und einen Teil, der diesen Nullvektor durch den Differentialoperator skaliert. Der Nullvektor wird gerade die Nullvektoren des Differentialoperators kleiner Ordnung exakt abbilden. Bei bestimmter Wahl der Diskretisierungspunkte kann der Nullraum vergrößert sein. Damit können wir zusätzliche Gleichungen einführen und die Matrix um weitere Terme vergrößern und damit die Ordnung des Verfahrens erhöhen. 32/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

33 Gleichungssystem für die Diskretisierungskoeffizienten 4 Im Allgemeinen werden n Punkte benötig, um n Gleichungen zu erfüllen. Tatsächlich gibt es Anordnungen von Punkten, die es erlauben, zusätzliche Gleichungen zu erfüllen. Für diese tritt ein Rangabfall der dargestellten Polynommatrix auf. Die Graphiken zeigen in Abhängigkeit von einer Anzahl von gegebenen Punkten die Lage von ausgezeichneten zusätzlichen Punkten, die einen gewünschten Rangabfall in den Diskretisierungsgleichungen hervorrufen. Der Punkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten! Punkte mit Rangabfall erzeugen Kurven, die durch je zwei Punkte laufen. Kein ausgezeichneter Punkt. Die äußeren 4 Punkte sind wenig geschert. 33/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

34 Gleichungssystem für die Diskretisierungskoeffizienten 5 Eine Gleichung mehr als Eine Gleichung mehr als Punkte! Punkte! Beispiel_Programme\DiskretisierungsPunkte\sources 34/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

35 Gleichungssystem für die Diskretisierungskoeffizienten 6 Eine Gleichung mehr als Punkte! Beispiel_Programme\DiskretisierungsPunkte\sources Das ist der üblichweise dargestellte Diskretisierungsansatz für äquidistante orthogonale Gitter. Er hat mehrere Symmetrien. 35/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

36 Lösung des Gleichungssystems für die Diskretisierungskoeffizienten mit Maple Mit einem Computeralgebrasystem wie Maple können diese Gleichungen gelöst werden. Leider ist das Ergebnis sehr ausgedehnt und unübersichtlich. Das System kann Programmcode ausgeben. (Diskretisierung_Polynom_2ter_Ordnung.maple) with(linearalgebra): #help(linearalgebra); interface(screenwidth=90); # Zeichen pro Zeile interface(labelling=false); # vermeidet Unterausdruecke max_nodes:=6; max_order:=2; number_of_terms:=0; for ord from 0 to max_order do number_of_terms:=number_of_terms + ord+; end do; CMat:=Matrix(number_of_terms,max_nodes): for ll from to max_nodes do ii:=0; ii:=ii+; CMat[ii,ll]:=; ii:=ii+; CMat[ii,ll]:=x[,ll]; ii:=ii+; CMat[ii,ll]:=x[2,ll]; ii:=ii+; CMat[ii,ll]:=x[,ll]*x[,ll]; ii:=ii+; CMat[ii,ll]:=x[,ll]*x[2,ll]; ii:=ii+; CMat[ii,ll]:=x[2,ll]*x[2,ll]; end do: print("coefficient Matrix",CMat); #Inv_Mat:= MatrixInverse(CMat): #Determ:=simplify(Determinant(CMat)); NullSpace(CMat);quit; 36/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

37 Lösung des Gleichungssystems für die Diskretisierungskoeffizienten mit Maxima Mit dem Computeralgebrasystem Maxima sieht der Code aus wie folgt. ( diskr_2te_ordnung.mac ) /* - Initialisation */ max_nodes:6; max_order:2; number_of_terms:0; for ord:0 thru max_order step do number_of_terms:number_of_terms + ord + ; display(number_of_terms); array(x,2,max_nodes); array(cmat,number_of_terms,max_nodes); /* Fill CMat */ for ll: thru max_nodes step do{ ii:0, ii:ii+, CMat[ii,ll]:, }; ii:ii+, CMat[ii,ll]:x[,ll], ii:ii+, CMat[ii,ll]:x[2,ll], ii:ii+, CMat[ii,ll]:x[,ll]*x[,ll], ii:ii+, CMat[ii,ll]:x[,ll]*x[2,ll], ii:ii+, CMat[ii,ll]:x[2,ll]*x[2,ll] /* -- Generate a matrix from array CMat */ A:genmatrix(CMat,number_of_terms,max_nodes); Maxima ist Public Domain invert(a); adjoint(a); determinant(a); nullspace(a); 37/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

38 Struktur von Diskretisierungsmatrizen (!) (j,k+) In die Diskretisierung an einem Punkt gehen nur die Nachbarpunkte ein Deshalb ist die Diskretisierungsmatrix schwach besetzt; fast alle ihrer Einträge verschwinden Dadurch sind große Probleme behandelbar Lösungsverfahren müssen diese Eigenschaft ausnutzen, um den Rechenaufwand zu vermindern. Im Fall des Laplaceoperators ( 0 on page 29) auf einem äquidistanten Gitter sind die Werte auf der Hauptdiagonalen 4 x2 und auf den Nebendiagonalen x. 2 (j-,k ) (j,k ) (j+,k ) (j,k-) Abbildung: 5-Punkt Differenzenstern in einem regelmäßigen Gitter mit jmax kmax Punkten Abbildung: Matrixstruktur zum 5-Punkt Stern; kmax Blöcke der Größe jmax 38/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

39 Struktur von Diskretisierungsmatrizen 2, regulärer Graph (!) Hier wird der Ort eines Differenzensterns eines strukturierten Gitters in der Diskretisierungsmatrix gezeigt. Innerer Differenzenstern (rot) Differenzenstern einer Ecke (j, k) = (, kmax) (lila) Differenzstern der Kante j = (blau) Differenzenstern der Kante k = kmax (grün) 5-Punkt Differenzenstern mit 7 5 Punkten Matrixstruktur zum 5-Punkt Stern; 5 Blöcke der Größe 7 39/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

40 Struktur von Diskretisierungsmatrizen 3, irregulärer Graph (!) Hier wird der Ort eines Differenzensterns eines unstrukturierten Gitters in der Diskretisierungsmatrix gezeigt. Die Knotennummern sind zufällig verteilt. Ein innerer Differenzenstern (rot) Bis auf die Diagonale fällt keine Struktur in der Diskretisierungsmatrix auf. Die Anzahl der Werte in einer Zeile und Spalte einschließlich der Diagonalen übersteigt nicht 9. Verteilung der Anzahl von inzidenten Kanten Kanten Häufigkeit /4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 :: Differenzenstern Matrixstruktur

41 Struktur von Diskretisierungsmatrizen 4, irregulärer Graph mit anderer Numerierung (!) Dasselbe Gitter ist dargestellt mit anderer Numerierung Die Numerierung geht im wesentlichen von unten links nach oben rechts. Zur Numerierung wurde der Cuthill-McKee Algorithmus verwendet. Cuthill-McKee-Algorithmus Die Diskretisierungsmatrix hat nun eine wesentlich schmalere Bandbreite. Kleine Blöcke tauchen auf. Obwohl der Graph unverändert bleibt, ändert sich die zugehörige Matrix. Der innere Differenzenstern (rot) ist derselbe wie zuvor. Differenzenstern Matrixstruktur 4/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::

42 Danke für die Aufmerksamkeit! Kuester[at]hlrs.de 4/4 :: Modellierung, Simulation, Optimierung, Diskretisierung :: 7. Dezember 202 ::