Lineare Algebra I (WS 12/13)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 12/13) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke, Universität Augsburg Alexander Lytchak 1 / 14

2 Organisation Alle wichtigen organisatorischen Information finden Sie auf der Homepage der Vorlesung: stadler/linalg1ws13.html Bei allen organisatorischen Fragen wenden Sie sich an Herrn Stadler Meine Sprechstunde ist dienstags 13:00-14:00. Kommen Sie mit Fragen in die Sprechstunde oder sprechen Sie mich nach der Vorlesung an. Die Vorlesung betreffende s werde ich nicht beantworten. Alexander Lytchak 2 / 14

3 Ablauf der Lehrveranstaltung Vorlesungen: Dienstag, Freitag 8:00-9:30. Tutorübungen. Klausur: Sa Nachklausur: Sa Für die Klausurzulassung ist eine regelmäßige Teilnahme an den Tutorien und die Hälfte der Punkte in den Hausaufgaben notwendig. Die Vorlesung wird sich eng an das Skript von Herrn Hanke anlehnen: prof/diff/dokumente/linalgws12/linalgskriptws12.pdf Auch das Skript von Herrn Littlemann wird als weitere Vorlage benutzt: Alexander Lytchak 3 / 14

4 Die Vorlesung wird eine Kombination aus Folien- und Tafelvortrag. Die wichtigsten Resultate werden in den Folien vorkommen. Auch auf wichitge inhaltliche oder formale Abweichnungen vom Skript wird in den Folien hingewiesen. Die Folien werden einige Tage vor der Vorlesung hochgeladen, Sie finden die Folien auf der Webseite der Lehrveranstaltung. Es ist ganz wichtig, den Stoff im Skript, oder in jedem Buch über lineare Algebra oder in jedem anderen Skript aus dem Netz nachzuarbeiten und möglichst alle Details zu verstehen. Entstehende Fragen sollten Sie mit Kommilitonen und in den Übungen diskutieren. Alexander Lytchak 4 / 14

5 Übungsbetrieb Ab der zweiten Woche wird dienstags oder mittowchs ein Übungsblatt online gestellt. Die Lösungen (verfasst von bis zu drei Studierenden) geben Sie bis Mittwoch 11:30 ab. Weitere Details gibt es auf der Homepage der Vorlesung Die aktive, selbständige Auseinandersetzung mit den Übungsblättern ist unerlässlich für Ihren Studienerfolg. Diskutieren Sie mögliche Lösungsansätze mit Ihren Kommilitonen und investieren Sie ausreichend Zeit in die Bearbeitung der Übungsblätter. In den Übungen werden die Hausaufgaben besprochen. Auch sollten Sie in den Übungen Fragen zu allen Details aus der Vorlesung stellen, die Ihnen Schwierigkeiten bereiten. Alexander Lytchak 5 / 14

6 Literatur Das Skript von Herrn Hanke: prof/diff/dokumente/linalgws12/linalgskriptws12.pdf Das Skript von Herrn Littlemann: Jedes andere Skript aus dem Netz. Zum Beispiel: Gerd Fischer, Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg-Verlag. Egbert Brieskorn Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg-Verlag Alexander Lytchak 6 / 14

7 Inhalt der Vorlesung Wie in allen mathematischen Theorien: Konkrete Probleme und Entdeckung/Erklärung allgemeiner Strukturen hinter den Problemen. Dies führt dann zum tieferen und besseren Verständnis der Fragestellungen und Antworten. Lösung linearer Gleichungssysteme. Dies ist durch konkrete Fragestellungen motiviert und hat Anwendungen in allen Wissenschaften, in denen es um die exakte Berechnung von Größen geht. Entwicklung der Theorie der Vektorräume. Hier erarbeiten wir eine algebraische Theorie, die es uns ermöglicht, die Struktur der linearen Gleichungen und ihrer Lösungen zu beschreiben und zu verstehen. Alexander Lytchak 7 / 14

8 Inhalt der Vorlesung Theorie der linearen Abbildungen Diese sind wichtig, um verschiedene Vektorräume in vernünftiger Weise in Beziehung zu setzen. Außerdem erhalten wir eine gute Beschreibung linearer Gleichnungssysteme. Matrixrechnung Lineare Abbildungen können vollständig durch sogenannte Matrizen beschrieben werden. In dieser Vorlesung wird der Matrixkalkül einen breiten Raum einnehmen. Analytische Geometrie Untersucht wird die Geometrie von Punkten, Geraden, Ebenen und ihrer höherdimensionalen Verallgemeinerungen. Alexander Lytchak 8 / 14

9 Lineare Gleichungssysteme, der Gauß sche Algorithmus Jeder hat vermutlich schon lineare Gleichungssysteme gesehen (Grundschule?): (I ) x + 3y = 7 (II ) 2x + y = 4. Wir ziehen das Zweifache der ersten Gleichung von der zweiten ab. Damit verschwindet x in der zweiten Gleichung. Wir lösen sie nach y auf. Anschließend benutzen wir die erste Gleichung und sehen, dass die einzige Lösung x = 1, y = 2 ist. Vermutlich haben Sie auch schon lineare Gleichungssysteme in drei Variablen gesehen (Oberstufe?), z.b. (I ) x + y + z = 1 (II ) 5x + 30y + 10z = 20. Alexander Lytchak 9 / 14

10 Wir ziehen das 5-fache der ersten Gleichnung von der zweiten ab und erhalten 5y + z = 3 Wir können y als eine beliebige reelle Zahl t wählen und erhalten z = 3 5t und x = 4t 2. Überprüfung ergibt, dass ein Tripel (x, y, z) R 3 = R R R genau dann in der Lösungsmenge des Gleichungssystems liegt, falls (x, y, z) {(4t 2, t, 3 5t) t R}. Hier haben wir y = t R als freien Parameter gewählt und daraus die Werte für x und z aus den vorhergehenden Gleichungen berechnet. In Wirklichkeit, war die Überprüfung nicht notwendig, da alle Schlüsse umkehrbar waren. Alexander Lytchak 10 / 14

11 Man kann die wesentlichen Fragen dieser Vorlesung anhand solcher Gleichungen erläutern. Gegeben seien m lineare Gleichungen in n Unbekannten. Wann gibt es Lösungen? Die natürliche Erwartung, dass es genau dann der Fall ist, wenn n m gilt ist falsch. Aber nicht gänzlich. Falls Lösungen existieren, welche Struktur hat die Lösungsmenge L R n? Welche Dimension hat L? Wie kann man L effektiv berechnen? Kann man die Menge L geometrisch beschreiben? Im ersten Beispiel definiert jede Gleichung eine Gerade in der xy-ebene (Oberstufe?). L ist der Durchschnitt der Geraden. Im zweiten Beispiel definiert jede Gleichung eine Ebene im Raum. L ist die Gerade, die als Durchschnitt dieser Ebenen entsteht (Oberstufe?). Die lineare Algebra liefert eine Sprache, um diese und ähnliche Fragen gut zu formulieren, und beantwortet sie sehr befriedigend. Alexander Lytchak 11 / 14

12 Bei obigen Gleichungssystemen kommt es nicht auf die Namen der Variablen x, y, z. Wir werden die Unbekannten meistens mit x 1,..., x n bezeichnen, um einem Buchstabensalat vorzubeugen. Wir schauen uns noch ein größeres lineares Gleichungssystem etwas methodischer an: Wir suchen alle 7-Tupel (x 1,..., x 7 ) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem lösen: 3x 6 + x 7 = 2 2x 2 + 4x 4 + 6x 5 + 5x 7 = 3 2x 2 + x 3 + 7x 4 + 8x 5 + x 6 + 5x 7 = 4 2x 2 + 4x 4 + 6x 5 + 3x 6 + 6x 7 = 5 Alexander Lytchak 12 / 14

13 Wir füllen die fehlenden Summanden durch Nullen auf: 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 3x 6 + 1x 7 = 2 0x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 4x 4 + 6x 5 + 0x 6 + 5x 7 = 3 0x 1 + 2x 2 + 1x 3 + 7x 4 + 8x 5 + 1x 6 + 5x 7 = 4 0x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 4x 4 + 6x 5 + 3x 6 + 6x 7 = 5 Durch Vertauschungen von Gleichungen und Addition des Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen, können wir nach und nach Unbekannte eliminieren. Wie vorher, sind alle Umformungen umkehrbar und die Lösungsmenge ändert sich nicht. Nach Umformungen brauchen wir nur folgendes Gleichungssystem zu lösen: 0x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 4x 4 + 6x 5 + 0x 6 + 5x 7 = 3 0x 1 + 0x 2 + 1x 3 + 3x 4 + 2x 5 + 1x 6 + 0x 7 = 1 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 3x 6 + 1x 7 = 2 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 = 0 Alexander Lytchak 13 / 14

14 Nun können wir x 7, x 5, x 4, x 1 beliebig wählen und dann von unten nach oben die restlichen x i bestimmen. Für freie Parameter λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 setzen wir x 1 = λ 1, x 4 = λ 2, x 5 = λ 3, x 7 = λ 4. Die Lösungsmenge L in Parameterform ist gegeben durch alle 7-Tupel (x 1,..., x 7 ) R 7, die die Form L = x 1 = λ 1 x 2 = 3 2 2λ 2 3λ λ 4 x 3 = 1 3 3λ 2 2λ λ 4 x 4 = λ 2 x 5 = λ 3 x 6 = λ 4 x 7 = λ 4 λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 R R 7 wobei wir die Elemente in R 7 in Spaltenform notieren (d.h. die Komponenten untereinander statt nebeneinander schreiben). Alexander Lytchak 14 / 14