Lineare Gleichungssysteme. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
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- Ulrike Linda Zimmermann
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1 Lineare Gleichungssysteme 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
2 Systeme linearer Funktionen und Gleichungen y = a 1 a 2... a n lineare Funktion Funktion ersten Grades,,..., unabhängige Variablen y abhängige Variable Der Wert für y wird fest vorgegeben, y = b: a 1 + a a n = b lineare Gleichung Im Unterschied zur linearen Funktion ist die lineare Gleichung nicht mehr für beliebige Belegung der unabhängigen Variablen gültig. lineares Funktionensystem: y 1 = a 11 + a a 1n y 2 = a 21 + a a 2n y m = a m1 + a m a mn lineares Gleichungssystem: a 11 + a a 1n = c 1 a 21 + a a 2n = c a m1 + a m a mn = c m 1-1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
3 Lineares Gleichungssystem a 1 1 a a 1 n = b 1 Inhomogenes lineares Gleichungssystem: a 2 1 a a 2 n = b a m 1 a m 2... a m n = b m b i i = 1,..., m Absolutglieder a 1 1 a a 1 n = 0 Homogenes lineares Gleichungssystem: b 1 = b 2 =... b m = 0 a 2 1 a a 2 n = a m 1 a m 2... a m n = 0 Die Lösung solcher Gleichungssysteme, d.h. die Bestimmung von Zahlenwerten für die unabhängigen Variablen, die das Gleichungssystem erfüllen, ist der wesentlicher Gegenstand der Linearen Algebra. 1-2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
4 Gaußscher Algorithmus Carl Friedrich Gauß Die auf Carl Friedrich Gauß zurückgehende Lösungsstrategie für ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten besteht in der äquivalenten Umformung des Gleichungssystems in Gleichungen mit nur einer Unbekannten. 2-1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
5 Gaußscher Algorithmus Unter einer äquivalenten Umformung versteht man jede Umformung, welche die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert. Für äquivalente Umformungen gelten die folgenden Regeln: Eine Gleichung kann mit einer reellen von null verschiedenen Zahl multipliziert werden. Gleichungen können miteinander vertauscht werden. Zu einer Gleichung kann das Vielfache einer anderen Gleichung addiert werden. Das Gaußsche Eliminierungsverfahren wird am Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen demonstriert. 2-2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
6 Gaußscher Algorithmus: Beispiel 1. Schritt: G 1 : x y z = 0 G 2 : x 3 y 2 z = 5 G 3 : 5 x y 4 z = 3 Die erste Gleichung ist die Eliminationszeile und bleibt in den weiteren Umformungen unverändert. Diese Gleichung wird mit einem Faktor multipliziert zu den anderen Gleichungen addiert. Schritt 2: Elimination von x G 1 G 2 = G 1 : 2 y z = 5 5 G 1 G 3 = G 2 : 6 y 9 z = 3 2 y z = 5 2 y 3 z = 1 Schritt 3: Elimination von y: G G 2 = G * : z = Ma 1 Lubov Vassilevskaya
7 Gaußscher Algorithmus Die beiden Gleichungen, die x und y, bzw. x, nicht enthalten bilden zusammen mit der Eliminationszeile ein gestaffeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe nach von unten nach oben die drei Unbekannten berechnet werden können. Gestaffeltes Gleichungssystem: x y z = 0 2 y z = 5 z = 3 Einzige Lösung: x = 1, y = 4, z = 3 oder als Zahlentripel: 1, 4, 3 oder als Spaltenvektor : X = x y = 1 4 z Ma 1 Lubov Vassilevskaya
8 Gaußscher Algorithmus: Aufgabe 1 Finden Sie die Lösungen dieser Gleichungssysteme: Gleichungssystem 1: 2 + = x 3 = x 3 = 5 Gleichungssystem 2: 2 + = x 3 = x 3 = 1 Gleichungssystem 3: 2 + = x 3 = x 3 = Ma 1 Lubov Vassilevskaya
9 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems: Lösung 1-1 Schritt 1: EG 2 + = 11 =EG 1 EG = Eliminationsgleichung 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten x 3 = x 3 = 5 G 2 G 3 Die erste Gleichung bleibt erhalten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit ½ und subtrahieren sie von der zweiten und dritten Gleichung. Danach werden beide Gleichungen mit reellen Konstanten multipliziert: x 3 = x 3 = 21 2 G G Schritt 2: EG 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten + x 3 = 1 EG x 3 = 7 G 3 Die zweite Unbekannte wird eliminiert, indem man beide Gleichungen addiert. 4 x 3 = 8 G 3, x 3 = Ma 1 Lubov Vassilevskaya
10 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems: Lösung 1-1 Die Eliminationsgleichungen bilden das gestaffelte Gleichungssystem: 2 + = 11 + x 3 = 1 x 3 = 2 Das Gleichungssystem 1 besitzt eine einzige Lösung: = 4, = 1, x 3 = 2 x = x 1 x 3 = Ma 1 Lubov Vassilevskaya
11 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems: Lösung 1-2 Gleichungssystem 2: 2 + = x 3 = x 3 = 1 G 1 G 2 G x 3 = 8 G 2 G x 3 = 1 G 3 Das Gleichungssystem 2 besitzt keine Lösung, weil die dritte Gleichung im Widerspruch zu der Differenz der ersten Gleichungen steht. 4-4 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
12 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems: Lösung 1-3 Gleichungssystem 3: 2 + = 11 G x 3 = 3 G x 3 = 8 G 3 G 1 G 2 = G 3 Da die dritte Gleichung überflüssig ist, haben wir 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Schritt 1: EG 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten 2 + = 11 G x 3 = 3 G 2 G 1 2 G 2 : x 3 = 5 + x 3 = 1 Diese Gleichung hat 2 Unbekannte. Setzt man die dritte Unbekannte gleich t, wobei t ein beliebiger Parameter ist, erhält man unendlich viele Lösungen: x 3 = t, = 1 = 1 t, = x 3 = 6 + t 4-5 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
13 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems: Lösung 1-3 x = x 1 x 3 = 6 + t 1 t t t = 0 : x = t = 2 : x = spezielle Lösung spezielle Lösung 4-6 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
14 Gaußscher Algorithmus: Aufgabe 2 Finden Sie die Lösung folgenden Gleichungssystems: x x 4 = 14 + x 3 x 4 = x x 4 = x 3 x 4 = Ma 1 Lubov Vassilevskaya
15 Gaußscher Algorithmus: Lösung 2 EG = Eliminationsgleichung Schritt 1: EG x 3 + x 4 = 7 = G 1 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten + x 3 x 4 = x 3 + x 4 = x 3 x 4 = 4 G 1 2 G 1 2 G 1 Schritt 2: EG 3 2 x 3 2 x 4 = 3 = G 2 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten 3 + x 3 x 4 = x 3 3 x 4 = 10 G 2 + G 2 Schritt 3: EG 3 x 3 + x 4 = 19 = G 3 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten 2 x 3 5 x 4 = 7 +5 G Ma 1 Lubov Vassilevskaya
16 Gaußscher Algorithmus: Lösung 2 Die Eliminationsgleichungen bilden das gesuchte gestaffelte Gleichungssystem: G 1 : G 2 : G 3 : G 4 : Lösung: x 3 + x 4 = x 3 2 x 4 = 3 3 x 3 + x 4 = 19 x 3 = 6 = 56 3, = 11 3, x 3 = 6, x 4 = 1 Linearer Vektorraum:, P =, X =,,, x 3 P =,, x 3 x =,, x 3,,..., P =,,..., x =,,..., Diese Äquivalenz ermöglicht, die Lösung eines linearen Gleichungssystems als Punkt oder als Vektor in einem Raum der entsprechenden Dimension anzusehen. 5-3 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
17 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem: 3 Gleichung mit 3 Unbekannten: a 11 + a 12 + a 13 x 3 = c 1 a 21 + a 22 + a 23 x 3 = c 2 a 31 + a 32 + a 33 x 3 = c 3 In Matrizenform wird das Gleichungssystem so aufgeschrieben: A x = c : a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x1 x 3 = c1 c 2 c 3 Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix A c deutet darauf hin, ob das System eine eindeutige, unendlich viele oder keine Lösung hat: A c = a 11 a 12 a 13 c 1 a 21 a 22 a 23 c 2 a 31 a 32 a 33 c Ma 1 Lubov Vassilevskaya
18 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Rg A der Rang der Matrix A, Rg A c der Rang der erweiterten Matrix A c, n die Anzahl der Unbekannten des linearen Gleichungssystems Das lineare Gleichungssystem besitzt: 1 Eine eindeutige Lösung, wenn Rg A = Rg A c = n. 2 Unendlich viele Lösungen, wenn Rg A = Rg A c < n. 3 Keine Lösung, wenn Rg A Rg A c. Das werden wir an der schon diskutierten Aufgabe 1 zeigen. 6-2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
19 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems 2 2 Gleichungssystem 1 von Aufgabe 1: 2 + = x 3 = x 3 = Z ½ 1Z Z ½ 1Z A c = Z + 2Z /5 2/3 4 x 3 = 8, x 3 = 2 + x 3 = 1, = 1 = = 11, 2 = 11 + x 3 = 8, = Ma 1 Lubov Vassilevskaya
20 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Gleichungssystem 2 von Aufgabe 1: = x 3 = x 3 = Z ½ 1Z 3Z + ½ 1Z A c = /5-2/ Z + 2Z Keine Lösung: Rg A Rg A c. 6-4 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
21 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Gleichungssystem 3 von Aufgabe 1: 2 + = x 3 = x 3 = 8 A c = Unendlich viele Lösungen, wenn Rg A = Rg A c = 2, 2 < n n = 3. X = 6+t 1 t t, x 3 = t 6-5 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
22 Lineare Gleichungssysteme: Zusammenfassung Die Matrix M sei eine n-reihige Matrix und ihre Determinante sei nicht null. Dann gilt: Rg M = n, M ist regulär und invertierbar, Das LGS M x = c ist eindeutig lösbar, Die Zeilen- und Spaltenvektoren von M sind linear unabhängig. 7 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
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