Lineare Gleichungssysteme

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1 Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 28. November 2011

2 Definition Beispiel: Wassermengen und Konzentrationen in einem Fluss Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Anhang Beispiel: Tomographie Beispiel: Geschwister

3 Beispiel: Wassermengen und Konzentrationen in einem Fluss Definition: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von n Gleichungen der Form m a ij x j = b i, 1 i n, j=1 mit Unbekannten x 1,...,x m und bekannten Koeffizienten a ij und b i. Äquivalent kann man schreiben A x = b, wobei x R m gesucht ist, und A = (a ij ) M(n,m) und b R n vorgegeben sind. Das Gleichungssystem heißt homogen, falls b = 0, sonst inhomogen. Die Lösungsmenge ist L b = { x R m A x = b}.

4 Beispiel: Wassermengen und Konzentrationen in einem Fluss Betrachte ein Gewässer (Fluss) mit mehreren Zuflüssen (j = 1,...,n) und einem Abfluss. Wir interessieren uns für die einzelnen Zuflussmengen Q j. Aber: Messung aller zu aufwändig. Messe stattdessen Abflussmenge Q ges (z.b. an einem Wehr) und Konzentrationen verschiedener Stoffe im Abfluss, c Stoff ges, und in allen Zuflüssen, c Stoff j. Bestimme daraus die Zuflussmengen (unter der Annahme guter Durchmischung).

5 Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Lösung durch / Gauß-Algorithmus: Füge Daten A und b zur einer n (m+1)-matrix B = (A b) zusammen. Erlaubte Operationen: 1. Vertauschen zweier Zeilen von B. ( ) ( ) Multiplikation einer Zeile von B mit Faktor α 0. ( ) ( ) Addition des α-fachen einer Zeile von B zu einer anderen. ( ) ( )

6 Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Anwendung am folgenden LGS 4x 1 +4x 2 +3x 3 2x 4 = 16 (1) 2x 1 +2x 2 +3x 3 4x 4 = 14 (2) 5x 1 5x x x 4 = 23 3 (3) kompakt geschrieben: ( ) /3 11 /3 23 /3

7 Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) ( /3 11 /3 23 /3 ( 1 1 3/4 1 / ) 1/4 ) /3 11/3 23/3 ( ) 1 1 3/4 1/ / / /12 37 /6 37 /3 12 /37 ( 1 1 3/4 1 / ( 1 1 3/4 1 / ) )

8 Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) LGS ist nun auf Zeilenstufenform, allgemein: ( heißt kann 0 sein ) Bemerkung: Ob an den Stufen wirklich 1en stehen ist egal, entscheidend ist, dass die Zahlen in den Kästchen 0 sind.

9 Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) ( 1 1 3/4 1 / ) Diesem Schema entsprechen die umgeformten Gleichungen x 1 +x x x 4 = 4 x 3 2x 4 = 4. Auflösen nach x 1 und x 3 : x 1 = 4 x x x 4 x 3 = 4+2x 4 Wähle x 2 = s R, x 4 = t R beliebig x 1 = 1 s t x 3 = 4+2t

10 Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Damit ist die allgemeine Lösung x = 0 4 +s 1 0 +t Anders gesagt, die Lösungsmenge ist L b = x R 4 x = 0 4 +s 1 0 +t 0 2, s,t R

11 Definition: Eine Teilmenge U R n heißt Unterraum (des R n ), falls U ebenfalls ein Vektorraum ist, d.h insbesondere falls aus u, v U folgt, dass auch α u+β v U α,β R. Definition: Der von den Vektoren u (1),..., u (k) R n aufgespannte Unterraum ist die Menge u (1),..., u (k) { := α 1 u (1) +...+α k u (k) } α1,...,α k R. α 1 u (1) +...+α k u (k) heißt Linearkombinationen (LK) der Vektoren u (1),..., u (k). heißen auch Teilräume oder lineare Teilräume. Im Fall k = 0 setzen wir = { 0}.

12 Satz: Die Lösungsmenge L 0 = { x Rm A x = 0} eines homogenen linearen Gleichungssystems ist stets ein Unterraum. Beweis: Satz: Ist u R m irgendeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems A x = b, ist also A u = b, dann ist die Lösungsmenge L b = { x R m A x = b} gegeben durch L b = u+l 0 := { x R m x = u+ y, y L 0}. Beweis: Beachte: L b kann leer sein, obwohl L 0 nie leer ist. Bemerkung: Mengen der Form u+l 0, wobei L 0 ein Unterraum ist, heißen auch affine Teilräume. Sie entstehen aus (linearen) Teilräumen durch Translation.

13 Beispiel: Tomographie Definition Transmissionskoeffizienten (2D) Beispiel: Tomographie Beispiel: Geschwister α 11 α 12 α 21 α 22 Schattenbild ergibt Gesamttransmission λ 1 = α 11 α 12, λ 2 = α 21 α 22, µ 1 = α 11 α 21, µ 2 = α 12 α 22. Logarithmieren, logλ 1 = logα 11 +logα 12 etc., führt auf das LGS logα 11 logλ logα 12 logα 21 = logλ 2 logα 22 logµ 1 logµ 2

14 Beispiel: Tomographie Beispiel: Geschwister Beispiel: Geschwister Anton und Berta sind Geschwister. Anton hat doppelt so viele Schwestern wie Brüder. Berta hat gleich viele Schwestern wie Brüder. Wieviele Kinder gibt es in der Familie?