Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

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1 R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester 26 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 2 Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? (i) Jedes lineare Gleichungssystem mit der gleichen Anzahl von Gleichungen wie Unbekannten hat eine eindeutige Lösung Nein, zb hat das LGS 2x + x 2 a, x + /2x 2 keine Lösung für a 6 Für a 6 hat es unendlich viele Lösungen (ii) Jedes lineare Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten hat mindestens eine Lösung Nein, zb hat das LGS keine Lösung 2x x 2 + 4x x /2x 2 + 2x 2 (iii) Jedes lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat keine Lösung Doch, zb kann eine bereits im System vorhandene Gleichung beliebig oft hinzugefügt werden, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert (iv) Keine der obigen Aussagen ist korrekt Aufgabe 22 Geben Sie für a und b Bedingungen an, so dass das System x + 2bx 2 + 4x 5 x + 4x 5 2bx 2 + ax b 22a) Lösungen mit zwei freien Parametern besitzt, Serie 2 Seite Aufgabe 2

2 22b) 22c) Lösungen mit einem freien Parameter besitzt, eindeutig lösbar ist, 22d) keine Lösung hat und geben Sie in jedem Fall die Lösungsmenge an Lösung: Mit dem Gauss Algorithmus bringt man zunächst das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform: 4 5 2b a b ( ) 2b 2b a b ( ) Fall b : Zeilen vertauschen ergibt i) a : Die Lösungsmenge ist L 4 5 a Ç 5 4 β, α, β α, β R ii) a : Die Lösungsmenge ist L Ç 5, α, α R Fall b : Hier ist 2b Pivot bei ( ): -2b 2b a b ( ) i) a : In diesem Fall gibt es keine Lösung 2b a b ii) a : Die Lösung ist L Ç 5 4b 9a,, b a Folglich gilt a) falls a, b, b) falls a, b, c) falls a, b, d) falls a, b Serie 2 Seite 2 Aufgabe 22

3 Aufgabe 2 Zeilenstufenform Entscheiden Sie für jede Teilaufgabe, ob das vorliegende lineare Gleichungssystem in Zeilenstufenform ist und überführen Sie es gegebenenfalls in Zeilenstufenform mit Hilfe des Gauss Algorithmus aus der Vorlesung Bestimmen Sie für jede Teilaufgabe den Rang des Schemas gemäss der Definition aus den Vorlesungsnotizen (Seite 2), sowie die Lösungsmenge 2a) x + x 2 b x 2 + x b 2 x 4 + x 5 b Lösung: Dieses Schema ist bereits in Zeilenstufenform Der Rang ist Es gilt, dass x 5 b x 4 und x 2 b 2 x Durch rückwärts Einsetzen in die erste Gleichung erhalten wir, dass x b b 2 + x Die Variablen x und x 4 sind noch frei zu wählen Wir benennen diese mit α und β Die Lösungsmenge ist eine Schar von Lösungen mit Parametern α, β R 2b) L {(b b 2 + α, b 2 α, α, β, b β) α, β R} x + x 2 + x + 2x 5 b x 4 b 2 x 5 b Lösung: Das Schema ist bereits in Zeilenstufenform Der Rang ist Die Lösungsmenge ist eine Schar von Lösungen Wir benutzen x 4 b 2 und erhalten, dass x b x 2 x 2b Die Variablen x 2 und x sind noch frei zu wählen Wir benennen diese mit α und β Die Lösungsmenge ist gegeben durch L {(b α β 2b, α, β, b 2, b ) α, β R} 2c) x + x + 2x 4 b x 2 + x x 4 b 2 x 5 b x 6 b 4 Lösung: Das Schema ist bereits in Zeilenstufenform Der Rang ist 4 Es gilt, dass x 6 b 4 und x 5 b Wir setzen x α und x 4 β als frei Parameter und erhalten, dass x b α 2β und x 2 b 2 α + β Die Lösungsmenge ist dann gegeben durch L {(b α 2β, b 2 α + β, α, β, b, b 4 ) α, β R} Serie 2 Seite Aufgabe 2

4 2d) x x 2 b Lösung: Das Schema ist bereits in Zeilenstufenform Der Rang ist Die Lösungsmenge ist gegeben durch L {(b + α, α) α R} 2e) x x 4 b x 2 x 4 b 2 x x 4 b x + x 5 b 4 x b 5 Lösung: Das Schema ist noch nicht in Zeilenstufenform Wir wenden zunächst den Gauss Algorithmus an Das Pivot ist jeweils eingekreist Im zweiten Schritt: x x 2 x x 4 x 5 b b 2 b b 4 ( ) b 5 ( ) x x 2 x x 4 x 5 b b 2 b b 4 b b 5 b x x 2 x x 4 x 5 b b 2 b b 4 b b 5 b ( ) x x 2 x x 4 x 5 b b 2 b b 4 b b 5 b 4 Durch rückwärts Einsetzen erhalten wir, dass x 5 b 4 b 5 und x 4 b 4 b x 5 b 5 b Weiter erhalten wir, dass x b +x 4 b 5, x 2 b 2 +x 4 b 2 b +b 5 und x b +x 4 b b +b 5 Die Lösungsmenge gegeben ist durch: L {(b b + b 5, b 2 b + b 5, b 5, b 5 b, b 4 b 5 )} Aufgabe 24 Gegeben seien die zwei linearen Gleichungssysteme Ax b und Ax c mit A Ç 2 2 Ç, b Ç 6, c 2 Serie 2 Seite 4 Aufgabe 24

5 24a) Überprüfen Sie, welche der folgenden Vektoren Lösungen zu dem ersten LGS (mit b als rechter Seite) sind: Ö Ö 2 4 x 5 und x 7 Lösung: Man berechnet das Matrix Vektor Produkt: Ç 2 2 Ö 2 5 Ç ( 2) + ( 2) ( 5) + ( ) ( ) ( 2) + 2 ( 5) + Ç Das heisst, dass x ( 2, 5, ) eine Lösung des LGS ist Man berechnet analog, dass x (4, 7, ) auch eine Lösung des LGS ist 24b) Überprüfen Sie, welche der folgenden Vektoren Lösungen zu dem zweiten LGS (mit c als rechter Seite) sind: x Ö und x Ö 4 Lösung: Man berechnet das Matrix Vektor Produkt: Ç 2 2 Ö Ç + ( 2) + ( ) ( ) Ç 7 c Das heisst, dass x (,, ) keine Lösung des LGS ist Hingegen ist x (4,, ) eine Lösung Veröffentlichung am 28 September 26 Abzugeben bis 5 Oktober 26 Serie 2 Seite 5 Aufgabe 24