Lineare Algebra I (WS 13/14)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 16

2 Wiederholung des Beispiels 3x 6 + x 7 = 2 2x 2 + 4x 4 + 6x 5 + 5x 7 = 3 2x 2 + x 3 + 7x 4 + 8x 5 + x 6 + 5x 7 = 4 2x 2 + 4x 4 + 6x 5 + 3x 6 + 6x 7 = 5 Die erweiterte Koeffizientenmarix ist eine 4 8 = 4 (7 + 1)-Matrix: (A b) := Es gilt j 1 = 2. Wir vertauschen die erste und die zweite Zeile. Anschließend ziehen wir die erste Zeile von der dritten und dann von der vierten Zeile ab. Alexander Lytchak 2 / 16

3 Wir erhalten die Matrix: (A b ) := Es gilt j 2 = 3. Wir vertauschen die zweite und die dritte Zeile. Diesmal müssen wir die zweite Zeile von keiner Zeile abziehen. Wir sehen j 3 = 6. Wir ziehen die neue dritte Zeile von der vierten ab und erhalten die Matrix (A b ) := Die Matrix (A b ) ist durch elementare Zeilenumformungen aus (A b) hervorgegangen. Die Matrix (A b ) hat Zeilenstufenform. Mit den früheren Bezeichnungen gilt r = 3, j 1 = 2, j 2 = 3, j 3 = 6. Die Pivotelemente sind 2, 1, 3. Alexander Lytchak 3 / 16

4 Ein 7-Tupel (x 1,..., x 7 ) ist Lösung von Ax = b genau dann, wenn es eine Lösung von A x = b ist. Wir müssen also nur das folgende Gleichungssystem lösen: 2x 2 + 0x 3 + 4x 4 + 6x 5 + 0x 6 + 5x 7 = 3 x 3 + 3x 4 + 2x 5 2x 6 + x 7 = 1 3x 6 + x 7 = 2 0 = 0 Wir können das 4-Tupel (x 1, x 4, x 5, x 7 ) beliebig wählen und daraus auf eindeutige Weise eine Lösung (x 1,..., x 7 ) bestimmen. Wir setzen x 1 = λ 1, x 4 = λ 2, x 5 = λ 3, x 7 = λ 4 und erhalten die Lösungsmenge L in Parameterform: Alexander Lytchak 4 / 16

5 L = x 1 = λ 1 x 2 = 3 2 2λ 2 3λ λ 4 x 3 = 1 3 3λ 2 2λ λ 4 x 4 = λ 2 x 5 = λ 3 x 6 = λ 4 x 7 = λ 4 λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 R R 7 Alexander Lytchak 5 / 16

6 Ist ein lineares Gleichungssystem Ax = b in Zeilenstufenform gegeben, so lässt sich dieses sehr einfach lösen. Seien r die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen der (nicht erweiterten) Koeffizienten Matrix A. Seien j 1,..., j r die Indizes der speziellen Spalten aus der Definition der Zeilenstufenform. Angenommen es existiert ein b i 0 mit i > r. Dann ist die Lösungsmenge leer. Andernfalls gilt: Für jede beliebige Wahl der n r Zahlen x j R für 1 j n, j j 1, j 2,..., j r, genannt freie Parameter, existiert genau eine Wahl der verbleibenden Komponenten x j1,..., x jr, so dass (x 1,..., x n ) das Gleichungssystem löst. Alexander Lytchak 6 / 16

7 Zusammengefasst erhalten wir also: Satz Es sei wie oben ein lineares Gleichungssystem über R in Zeilenstufenform gegeben. Es sei L R n die Lösungsmenge. Entweder ist L leer oder es existiert eine eineindeutige Beziehung zwischen Elementen von R n r und von L: Zu jedem (n r)-tupel (λ 1,..., λ n r ) R n r können wir die durch diese Elemente eindeutig bestimmte Lösung (x 1,..., x n ) des Gleichungssystems berechnen, bei der die freien Parameter x j, j j 1,..., j r gleich λ 1,..., λ n r gesetzt wurden. Umgekehrt bestimmt jedes n-tupel (x 1,..., x n ) L eindeutig die Komponenten x j, j j 1,..., j r. Alexander Lytchak 7 / 16

8 Dieser Satz und die beiden Propositionen aus der letzten Vorlesung erlauben es, die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in der sogenannten Parameterform anzugeben, wobei die Parameter λ 1,..., λ n r R frei gewält werden können. Proposition Es sei ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbestimmten gegeben. Sei m < n. Entweder gibt es keine oder mehr als eine Lösung. In Wirklichkeit gibt es im zweiten Fall so viele Lösungen wie Elemente in R n r, mit einem r m, also unendlich viele. Folgerung Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbestimmten gegeben. Sei m < n. Dann besitzt dieses Gleichungssystem mindestens eine Lösung ungleich (0,..., 0) R n. Alexander Lytchak 8 / 16

9 Wir stellen uns folgende Fragen: Ist die Zahl n r der freien Parameter (d.h. die Anzahl r der Pivotelemente) durch das Gleichungssystem eindeutig festgelegt? Die Menge der Lösungen hat so viele Elemente wie R n r. Nach einem erstaunlichen Satz von Cantor (Vorkurs?), bestimmt es r nicht eindeutig. Kann man obige Zuordnung, die ein (n r)-tupel von freien Parametern (λ 1,..., λ n r ) auf die entsprechende Lösung des linearen Gleichungssystems abbildet, besser verstehen? Alexander Lytchak 9 / 16

10 Um die Fragen zu beantworten werden wir nun eine algebraische Sprache entwickeln. Als Motivation für spätere Abstraktionen machen wir zwei Bemerkungen: Für den Gaußschen Algorithmus ist es ganz wesentlich, dass wir Zeilen einer Matrix addieren und mit Zahlen multiplizieren konnten. Sei Ax = 0 ein homogenes lineares Gleichungssystem. Sind x = (x 1,..., x n ) und x = (x 1,..., x n) zwei Lösungen, so ist auch x + x = (x 1 + x 1,..., x n + x n) eine Lösung. Ferner ist für jede reelle Zahl λ, auch λx = (λx 1,..., λx n ) eine Lösung. Was wir verstehen möchten, sind genau solche Strukturen, in denen man gut addieren und mit Zahlen multiplizieren kann. Alexander Lytchak 10 / 16

11 Alexander Lytchak 11 / 16

12 Cartesisches Produkt Definition Seien X und Y Mengen. Das cartesische Produkt X Y der Mengen X und Y ist die Menge aller Paare {(x, y) x X, y Y }. Definition Allgemeiner seien X 1,..., X n Mengen. Das cartesische Produkt X 1 X 2... X n ist die Menge aller n-tupel {(x 1,..., x n ) x i X i }. Beispiel Ist jede der Mengen X i dieselbe Menge X, so schreiben wir X n statt X X... X. Dies ist die Menge der (geordneten!) n-tupel von Elementen aus X. Wir haben bereits mit dem Beispiel R n gearbeitet. Alexander Lytchak 12 / 16

13 Relationen Definition Es seien X und Y Mengen. Eine Relation zwischen X und Y ist eine Teilmenge R X Y. Ist hier X = Y, so sprechen wir auch von einer Relation X. Beispiel X := Menge der Hörer Lineare Algebra I, Y := Menge der Matrikelnummern an der Universität Köln, Z := Menge der Tutorgruppen zur Linearen Algebra 1. R 1 := {(x, y) X Y x hat Matrikelnummer y} X Y. R 2 := {(x, z) X Z x ist in Tutorgruppe z} X Z. auf N definiert als {(x, y) N N x y} N N Alexander Lytchak 13 / 16

14 Abbildungen Definition Eine Relation R X Y zwischen X und Y heißt Abbildung oder Funktion von X nach Y, falls für jedes Element x X genau ein Element y Y existiert, so dass (x, y) R. In diesem Fall heißt X Definitionsbereich (oder Quelle) und Y der Wertebereich (oder Ziel) von R. Man stellt sich eine Abbildungen von X nach Y als eine Vorschrift vor, die jedem Element aus X (genau) ein Element aus Y zuordnet. Ist R X Y eine Abbildung, so nennt man R auch den Graph dieser Abbildung. Diesen kann man übersichtlich in einem X -Y -Diagramm darstellen. Alexander Lytchak 14 / 16

15 Abbildungen bezeichnet in der Regel mit Kleinbuchstaben. Ist die Relation f X Y eine Abbildung von X nach Y, so schreiben wir f : X Y oder X f Y und ist in dieser Situation (x, y) f, so schreiben wir f (x) = y oder f : x y oder x f y. Nach Definition sind zwei Abbildungen f, g : X Y genau dann gleich (d.h. f und g sind durch die gleiche Teilmenge von X Y gegeben), falls f (x) = g(x) für alle x X gilt. Alexander Lytchak 15 / 16

16 Beispiel Betrachten wir die Relationen {(x, y) {1} N y = 1} {1} N {(x, y) N N x = 1} N N {(x, y) N N y = 1} N N ist die erste eine Abbildung {1} N, die dritte eine Abbildung N N, aber die zweite keine Abbildung. Die Relation definiert keine Abbildung N N. Von obigen Relationen R 1 und R 2 ist die erste eine Abbildung, aber die zweite nur dann, wenn sich jeder Hörer zu genau einer Tutorgruppe angemeldet hat. Alexander Lytchak 16 / 16