Lineare Gleichungssysteme

Transkript

1 Lineare Gleichungssysteme Wenn Sie Maple noch nicht kennen, klicken sie auf "Help" oder "Hilfe". Zunächst fangen wir ganz naiv an. die Aufgabe sei: Löse das lineare Gleichungssystem: x-y+z=0 x+2y=1 x+2z=0 solve({x-y+z=0,x+2*z=0,x+2*y=1},{x,y,z}); Wir lassen eine der Gleichungen fort:: solve({x-y+z=0,x+2*y=1},{x,y,z}); Das Ergebnis ist so zu verstehen: Für beliebigen Wert von z wird mit diesen Werten von x und y das Tripel (x,y,z) eine Lösung des Gleichungssystems, also etwa x=-1, y=1, z=2 oder x=-2, y=2, z=4. Schliesslich behalten wir nur eine der drei Gleichungen: solve({x-y+z=0},{x,y,z}); Bei der Gelegenheit schauen wir uns an, wie man in Maple Bilder erzeugt; wir laden zunächst das Paket "plots": with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined implicitplot3d(x-y+z=0,x=-5..10,y= ,z= ,axes=boxed, style=patchnogrid);

2 Wir betrachten jetzt ein weiteres (diesmal homogenes) System von 3 Gleichungen in 3 Unbekannten und schauen uns zunaechst die Vereinigung der Loesungsmengen der 3 Gleichungen an: solve({x-y+z=0,x+2*y=1,2*x+y+z=0},{x,y,z}); implicitplot3d({x-y+z=0,x+2*y=0,2*x+y+z=0},x=-5..10,y= ,z= ,axes=boxed);

3 Wir bestimmen jetzt die Loesungsmenge des Gleichungssystems: solve({x-y+z=0,x+2*y=0,2*x+y+z=0},{x,y,z}); Die Loesungsmenge besteht aus den Punkten einer Geraden; wir zeichnen diese Gerade: g:=spacecurve([-2*z/3,z/3,z],z= ,color=black,axes=boxed, thickness=2): display(g);

4 Danach beginnen wir mit einer der Gleichungen und nehmen nacheinander die anderen hinzu: e1:=implicitplot3d(x-y+z=0,x=-5..10,y= ,z= ,axes= boxed,color=pink,style=patchnogrid): display(e1);

5 e2:=implicitplot3d(x+2*y=0,x=-5..10,y= ,z= ,axes= boxed,color=yellow,style=patchnogrid): display(e1,e2);

6 e3:=implicitplot3d(2*x+y+z=0,x=-5..10,y= ,z= ,axes= boxed,color=green,style=patchnogrid): Zum Schluss zeichnen wir die drei Ebenen und (in Schwarz) die Schnittgerade: display(e1,e2,e3,g);

7 Wir betrachten ein paar Beispiele mit fuenf Variablen: solve({x-y+z+w1+w2=0,x+2*y=1,x+2*z=0,w1+2*w2+z=0},{x,y,z,w1,w2}); solve({x-y+z+w1+w2=0,x+2*y=1},{x,y,z,w1,w2}); Wir können auch Gleichungssysteme mit unbekannten Koeffizienten lösen: solve({x-y+z=a,x+2*y=b,x+2*z=c},{x,y,z}); Das funktioniert aber nicht immer: solve({x-y+z=a,x+2*y=b,2*x+y+z=c},{x,y,z}); Warum hat das hier nicht geklappt? Das sehen wir später. Vielleicht sehen Sie es ja jetzt schon!

8 Jetzt wollen Matrixschreibweise benutzen. Dafür müssen wir zuerst das Paket "LinearAlgebra" laden: with(linearalgebra): M := <<1,1,1,4 <1,1,-2,1 <3,1,1,8 <-1,1,-1,-1 <0,1,1,0; Ein solches Zahlenschema nennt man eine Matrix (mit 4 Zeilen und 5 Spalten, kurz: eine 4x5-Matrix). Wir wenden hierauf das Kommando "LinearSolve" an, es löst das Gleichungssystem x + y +3z-w=0 x + y + z +w=1 x -2y+ z-w= 1 4x+ y+8z-w=0 LinearSolve(M); Alternativ können wir die auf der linken Seite des Gleichungssystems auftretenden Koeffizienten in einer Matrix M1 zusammenfassen und anschließend die rechte Seite als zweites Argument in das Kommando "LinearSolve" eingeben: M1 := <<1,1,1,4 <1,1,-2,1 <3,1,1,8 <-1,1,-1,-1; LinearSolve(M1, <0,1,1,0);

9 Die Hilfe zum Stichwort kann man (ausser mit dem Hilfemenue) auch so aufrufen:?linearsolve Man kann auch das Gleichungssystem zu gegebener Matrix und gegebenem Zielvektor angeben lassen: GenerateEquations(M1,[x,y,z,w],<0,1,1,0); Natuerlich kriegen wir die gleichen Loesungen: solve({x+y+3*z-w = 0, x+y+z+w = 1, x-2*y+z-w = 1, 4*x+y+8*z-w = 0},{x,y,z,w}); Damit schauen wir uns ein größeres Beispiel an: M:=RandomMatrix(9,10,generator=1..100); v:=linearsolve(m);

10 Um die Einträge des Lösungsvektors in Dezimalbruchschreibweise zu sehen, multiplizieren wir ihn mit 1.0: 1.0*v; Wenn Sie wollen können Sie auch genauer rechnen: Digits:=70; 1.0*v;

11 Jetzt wollen wir uns die in der Vorlesung betrachteten Umformungen ansehen: Das Paket Linear Algebra bietet die Kommandos "Row Operation" und "Pivot" zur Durchfuehrung elementarer Zeilenumformungen an. Hier sind Beispiele: A:=<<8,2,6,0,2 <3,8,0,3,5 <5,5,7,4,7 <2,6,6,7,3 <1,2,1,2,9; A1:=Pivot(A,5,1); Das Kommando hatte folgenden Effekt: Zu jeder der Zeilen 1 bis 4 wurde dasjenige Vielfache der fuenften Zeile addiert, das bewirkt, dass der eintrag in der ersten Spalte der jeweiligen Zeile zu 0 wird. Also das (-3)-fache zur dritten Zeile, das (-1)-fache zur zweiten Zeile, das (-4)-fache zur ersten Zeile. Von Hand geht das mit RowOperation so: A01:=RowOperation(A,[3,5],-3); A02:=RowOperation(A01,[2,5],-1);

12 A03:=RowOperation(A02,[1,5],-4); Durch eine Zeilenvertauschung (vertausche die erste und die fuenfte Zeile) wird jetzt das einzige von 0 verschiedene Element der ersten Spalte in die erste Zeile gebracht: A2:=RowOperation(A1,[1,5]); Der Rest geht genauso: A3:=Pivot(A2,2,2); A4:=Pivot(A3,4,3);

13 A5:=RowOperation(A4,[3,4]); A6:=Pivot(A5,4,4); A7:=Pivot(A6,5,5); Damit ist Zeilenstufenform erreicht, die sogar schon fast reduziert im Sinne der Definition im Skript ist

14 (die Diagonalelemente sind noch nicht auf 1 normiert). Fuer die genauen Benutzungsregeln der benutzten Kommandos sehen Sie in der Hilfe nach! Maple kann natuerlich auch alles in einem Schritt machen (mit verschiedenen Optionen): GaussianElimination(A); GaussianElimination(A,'method'='FractionFree'); ReducedRowEchelonForm(A);