Lineare Gleichungssysteme

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1 Poelchau-Oberschule Berlin A. Mentzendorff September 2007 Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Das Lösungsverfahren von Gauß 4 3 Kurzschreibweise und Zeilensummenkontrolle 6 4 Nicht eindeutig lösbare LGS und LGS mit Parametern 7 1

2 1 Grundlagen Beispiel 1.1: Eine Gruppe, die aus Protestanten und Katholiken besteht, betritt ein Restaurant, um ein vorbestelltes Menü einzunehmen. Es stehen ein Fischgericht (7 Euro) und ein Fleischgericht (6 Euro) zur Auswahl. Da dies an einem Freitag geschieht, wählen alle Katholiken das Fischgericht. Die Protestanten entscheiden sich hingegen für das Fleischgericht. Es sind doppelt so viele Katholiken wie Protestanten in der Gruppe. Die Gesamtrechnung (ohne Getränke) beträgt am Ende 260 Euro. Frage: Wie viele Katholiken, wie viele Protestanten sind in der Gruppe? Um diese Aufgabe zu lösen, muss sie zunächst in eine mathematische Form überführt werden. Es gibt zwei unbekannte Größen (Zahl der Protestanten und der Katholiken), daher führen wir zwei Variablen ein: x: Anzahl der Katholiken y: Anzahl der Protestanten Zwei Aussagen sind zu diesen Größen gegeben: ˆ Es gibt doppelt so viele Katholiken wie Protestanten, also x = 2y. ˆ Alle zusammen haben 260 Euro bezahlt. Unter Berücksichtigung der Einzelpreise ergibt sich also 7x + 6y = 260. Beide Gleichungen zusammengenommen, x = 2y 7x + 6y = 260 (das -( und -)Zeichen kann dabei auch fortfallen) bilden ein Gleichungssystem. In diesem einfachen Fall findet man die Lösung durch das Einsetzungsverfahren : Für x setzt man 2y in die zweite Gleichung ein und erhält Aus der ersten Gleichung folgt 7 2y + 6y = y = 260 y = 13. x = 2y = 2 13 = 26. Es sind also 26 Katholiken und 13 Protestanten. Bemerkung 1.1: Bei komplizierten Gleichungssystemen empfiehlt es sich, zunächst die Gleichungen so zu ordnen, dass links in einer festen Reihenfolge die Variablen untereinander und rechts die Konstanten stehen. Beim Beispiel 1 wäre also die erste Gleichung umzuformen: x 2y = 0 7x + 6y = 260. Diese Form heißt Normalform des Gleichungssystems. 2

3 Definition 1.1: Es seien m, n 1, a ij R für 1 i m, 1 j n und b i R für 1 i m. Ferner seien x 1,..., x n Variablen. Dann wird der Ausdruck a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m ( ) lineares Gleichungssystem (LGS) 1 (in Normalform) mit m Gleichungen und n Variablen genannt. Man spricht auch kurz vom (m, n)-lgs. Ist m = n, so heißt das LGS quadratisch. Die Faktoren a ij werden Koeffizienten genannt. Beispiel 1.2: Der Ausdruck 2x + 4y 2 = 3 x + 2y = 1 ist zwar ein Gleichungssystem, aber kein lineares, da y in der ersten Gleichung zum Quadrat vorkommt. Funktionsterme wie x k oder sin y sind beim LGS nicht zugelassen. Definition 1.2: Es seien r 1,..., r n reelle Zahlen. Der Ausdruck (r 1 ;... ; r n ) wird n-tupel genannt (speziell für n = 2: [geordnetes] Paar, für n = 3: Tripel). Ein n-tupel (r 1 ;... ; r n ) heißt Lösung des (m, n)-lgs ( ), wenn für 1 i m gilt a i1 r 1 + a i2 r a in r n = b i, d. h. wenn sich nur wahre Aussagen ergeben, sofern man die Zahlen des Tupels für die Variablen einsetzt. Beispiel 1.1 (Fortsetzung): Die (einzige) Lösung des gegebenen (2,2)-LGS ist (26;13). Man sagt auch: Das LGS hat die Lösung (nicht: die Lösungen) x = 26, y = 13. Für die Lösungsmenge gilt L = {(26; 13)}. Beispiel 1.3: Das Gleichungssystem 7x + 6y = 260 7x + 6y = 280 ist nicht lösbar. Die beiden Gleichungen widersprechen einander, denn derselbe Term (7x+6y) kann nicht gleichzeitig verschiedene Werte besitzen ( die Rechnung kann nicht sowohl 260 als auch 280 Euro betragen ). Es gilt also L = (leere Menge). Beispiel 1.4: Das Gleichungssystem x 2y = 0 3x 6y = 0 ist zwar lösbar, aber die Lösung ist nicht eindeutig. Die zweite Gleichung geht aus der ersten durch Multiplikation mit 3 hervor. Sie ist damit zur ersten äquivalent, bietet daher keine 1 Präziser wäre der Begriff System linearer Gleichungen, da nicht das System, sondern die Gleichungen linear sind. 3

4 weiteren Informationen und ist eigentlich überflüssig. Lösungen sind alle (x; y)-paare mit x = 2y, also z. B. (0; 0), (2; 1), (4; 2) usw. Es gilt L = {(2y; y) y R}. Die Variable y ist also frei wählbar, und für jede reelle Zahl y gibt es eine Lösung. Satz 1.1: Ein LGS hat entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Beweis: Siehe Satz 1.10, Skript Vektorräume und Matrizen. 2 Das Lösungsverfahren von Gauß Definition 2.1: Ein LGS hat obere Dreiecksform, wenn für die Koeffizienten a ij gilt: Sind in einer Zeile die ersten k Koeffizienten gleich 0, sind in der folgenden Zeile zumindest die ersten k + 1 Koeffizienten gleich 0. (Insbesondere sind die Koeffizienten links unten unterhalb der Hauptdiagonale gleich 0.) Beispiel 2.1: Das LGS 3x 2y + 4z = 12 4y + 2z = 14 5z = 25 hat obere Dreiecksform. Es lässt sich leicht lösen, indem erst nach der letzten Zeile z, dann nach der vorletzen y und schließlich x bestimmt wird: 5z = 25 z = 5, 4y + 2z = 14 4y = 14 2z = = 4 y = 1, 3x 2y + 4z = 12 3x = y 4z = = 8 x = 2. Wir erhalten also das Lösungstripel ( 2; 1; 5). Bemerkung 2.1: Dieses Lösungsverfahren wird Aufrollen von unten nach oben genannt. Offenbar ist jedes LGS in oberer Dreiecksform auf diese Weise einfach zu lösen. Der Gauß sche Algorithmus 2 besteht nun darin, ein beliebiges LGS in ein solches in oberer Dreiecksform zu verwandeln, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge ändert. Definition 2.2: Zwei LGS mit n Variablen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen. Satz 2.1: Zwei (m, n)-lgs sind äquivalent, wenn das zweite aus dem ersten durch einen der folgenden Schritte entstanden ist: 1. Zwei Gleichungen werden vertauscht, 2. eine Gleichung wird mit einer reellen Zahl k 0 multipliziert, 3. zu einer Gleichung wird das k-fache einer anderen Gleichung addiert oder von ihr subtrahiert. 2 Carl Friedrich Gauß, einer der bedeutendsten Mathematiker,

5 Bemerkung 2.2: Beim Gauß schen Algorithmus wird das LGS ( ) durch eine Kette von elementaren Umformungen in ein äquivalentes in oberer Dreiecksform umgewandelt. Dabei werden zunächst die Koeffizienten der ersten Spalte unterhalb von a 11 eliminiert, dann die der zweiten Spalte unterhalb des neu entstandenen Koeffizienten ã 22 usw. Beispiel 2.2: Das folgende LGS soll gelöst werden. Zur besseren Übersicht werden ab jetzt die Gleichungen mit römischen Zahlen nummeriert. II 3x 2y + 2z = 15 III 4x + 2y + 3z = 7 Die eingerahmten Summanden passen nicht in die obere Dreiecksform und sollen daher schrittweise eliminiert werden. Im ersten Schritt soll das 3x in der Gleichung II durch elementare Umformungen verschwinden. Dies geschieht durch geschickte Verknüpfung mit der ersten Gleichung. Zunächst werden beide Gleichungen so multipliziert, dass beide denselben x-koeffizienten haben: 3 II 3x 2y + 2z = 15 2 I 6x + 12y 3z = 39 II 6x 4y + 4z = 30 Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt II 16y + 7z = 69. Damit ist die Variable x aus der zweiten Gleichung eliminiert. Diese Schritte kann man auch zusammenfassen als Subtraktion des Dreifachen der ersten Gleichung vom Doppelten der zweiten Gleichung, kurz: 2 II 3 I. Die Äquivalenzumformung sieht also folgendermaßen aus: II 3x 2y + 2z = 15 2 II 3 I III 4x + 2y + 3z = 7 II 16y + 7z = 69 III 4x + 2y + 3z = 7 Entsprechend muss jetzt die Variable x aus der dritten Gleichung eliminiert werden. Der Vergleich der beiden eingerahmten Terme ergibt: Dies erreichen wir, wenn wir das Doppelte der ersten Gleichung von der dritten Gleichung abziehen (III 2 I). Wir erhalten II 16y + 7z = 69 III 6y + 5z = 33. Die Dreiecksform wird erreicht, wenn noch y aus der dritten Gleichung eliminiert wird. Hierzu muss diese Gleichung mit der zweiten Gleichung verknüpft werden, nicht mit der ersten, da sonst x wieder erscheinen könnte. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 16 ist 5

6 48(= 8 6 = 3 16), so dass man etwa das 3fache der zweiten vom 8fachen der dritten Gleichung abziehen könnte. Insgesamt erhalten wir II 16y + 7z = 69 III 19z = 57 Rollt man dieses Gleichungssystem von unten nach oben auf, erhält man nacheinander z = 3, y = 3, x = 1. Die Probe ergibt, dass dies auch eine Lösung des ursprünglichen LGS ist. 3 Kurzschreibweise und Zeilensummenkontrolle Bemerkung 3.1: Um die Schreibarbeit zu verringern, kann man das Gleichungssystem ( ) auch wie folgt kurz zusammenfassen: I a 11 a a 1n b 1 II a 21 a a 2n b (m) a m1 a m2... a mn b m. Ein quadratisches LGS in oberer Dreiecksform hätte dann die Gestalt I a 11 a a 1n b 1 II 0 a a 2n b (n) a nn b n. Beispiel 3.1: In dieser Kurzschreibweise sieht die Lösung des LGS aus Beispiel 2.2 wie folgt aus: I II II 3 I III III 2 I I II III III 3 II I II III Nach Rückübersetzung dieser Darstellung in Gleichungen wird das LGS wie oben durch Aufrollen gelöst. Definition 3.1: s i := a i1 + + a in + b i heißt Zeilensumme der i-ten Gleichung im LGS ( ). Satz 3.1 (Zeilensummenkontrolle): Wird eine elementare Umformung entsprechend auf die Zeilensumme angewandt, so ist die entstandene Zahl gleich der Zeilensumme der durch die Umformung entstandenen Gleichung. 6

7 Beispiel 3.1 (Fortsetzung): In die Berechnung wird eine Spalte Zeilensumme eingefügt: ZS I II II 3 I III III 2 I I II III III 3 II I II III Zum Beispiel ist die eingerahmte Zahl 60 dadurch entstanden, dass auf die Zeilensummen der Gleichungen I und II im ersten System dieselbe Rechenvorschrift angewandt wurde wie in den übrigen Spalten ( ( 8) = 60). Sie muss aber gleichzeitig der Zeilensumme in der neuen Gleichung entsprechen (60 = ). Durch diese Kontrolle können Rechenfehler entdeckt werden. 4 Nicht eindeutig lösbare LGS und LGS mit Parametern Beispiel 4.1: Auf das folgende LGS wird das Gauß-Verfahren angewandt: I 3x + 5y 2z = 10 II 2x + 8y 5z = 6 3 II 2 I III 4x + 2y + z = 8 3 III 4 I I 3x + 5y 2z = 10 II 14y 11z = 2 III 14y + 11z = 16 II + III I 3x + 5y 2z = 10 II 14y 11z = 2 III 0 = 18 Die letzte Gleichung ist immer eine falsche Aussage, egal, welche Werte für x, y und z eingesetzt werden. Das Gleichungssystem ist damit nicht lösbar, die Lösungsmenge ist die leere Menge (L = ). Beispiel 4.2: Auf das folgende LGS wird das Gauß-Verfahren angewandt: I 2x + 2y + 2z = 6 II 2x + y z = 2 I II III 4x + 3y + z = 8 III 2 I I 2x + 2y + 2z = 6 II y + 3z = 4 III y 3z = 4 II + III I 2x + 2y + 2z = 6 II y + 3z = 4 III 0 = 0 7

8 Die letzte Gleichung bildet stets eine wahre Aussage. Sie kann daher weggelassen werden. Übrig bleibt ein Gleichungssystem mit drei Variablen und zwei Gleichungen: I 2x + 2y + 2z = 6 II y + 3z = 4 Eine Gleichung, die etwa z eindeutig bestimmt, fehlt. Daher kann z als frei wählbar angesehen werden, wir setzen z = c R. y und x werden dann wie üblich durch Aufrollen bestimmt: y = 4 3c, 2x = 6 2y 2z = 6 2(4 3c) 2c = 4c 2 x = 2c 1. Wir erhalten eine unendliche Lösungmenge: L = {(2c 1; 4 3c; c) c R}. Bemerkung 4.1: Die hierbei anzuwendenden Regeln kann man wie folgt zusammenfassen: 1. Entsteht beim Lösen eines LGS die Gleichung 0 = k für ein k 0, so ist das LGS nicht lösbar. 2. Entsteht beim Lösen eines LGS die Gleichung 0 = 0, so kann diese Gleichung weggelassen werden. 3. Besitzt die letzte Gleichung eines LGS in oberer Dreiecksform mehrere Variablen, so sind diese bis auf eine als Parameter frei wählbar. Beispiel 4.3 (LGS mit einem Parameter): Auf das folgende Gleichungssystem, das in der ersten Gleichung den reellen Parameter a enthält, wird der Gauß sche Algorithmus angewandt: I 2x + ay + 3z = 3 II 3x + 2y + z = 7 3 I 2 II III x y + 2z = 4 I 2 III I 2x + ay + 3z = 3 II (3a 4)y + 7z = 5 III (a + 2)y z = 5 Um in der bekannten Weise die obere Dreiecksform zu erhalten, müssten wir etwa die dritte Gleichung mit 3a 4 multiplizieren und von dieser Gleichung dann das (a + 2)-fache der zweiten Gleichung abziehen. Das ist nicht nur kompliziert, sondern bringt auch noch die Schwierigkeit, dass wir eine Gleichung nicht mit 0 multiplizieren dürfen, da sich sonst die triviale Gleichung 0 = 0 ergäbe. Wäre a = 4 3, so wäre aber eben dies der Fall. Diesem Problem können wir entgehen, indem wir in der dritten Gleichung nicht y, sondern z eliminieren. Wir wenden daher die Umformung II + 7 III auf die dritte Gleichung an und erhalten I 2x + ay + 3z = 3 II (3a 4)y + 7z = 5 III (100)y = 40 Division der dritten Gleichung durch 10 liefert ()y = 4. Ist a 1, so liefert uns das 4 Aufrollen von unten nach oben y = a+1, 7z = 5 (3a 4)y = 5 + 4(3a 4) = 5() + 4(3a 4) 8 = 7a 21 z = a 3,

9 2x = 3 ay 3z = 3+ 4a 3) 3(a {( Damit ist L = 2a+6 a+1, 4 a+1, a 3 a+1 )}. 3 = 3() + 4a 3(a 3) = 42 x = 2a + 6. Dies gilt aber nur für a 1, da wir zur Bestimmung von y durch dividiert haben und nicht durch 0 teilen dürfen. Im Falle a = 1 wird die letzte Gleichung im System zu 0 = 40, was eine falsche Aussage bedeutet. In diesem Fall ist also L =. Beispiel 4.4 (LGS mit zwei Parametern): wird das Gauß-Verfahren angewandt: Es seien a, b R. Auf das folgende LGS Hier sind mehrere Fälle zu unterscheiden: I x + y = 1 II x + ay = b II I I x + y = 1 II (a 1)y = b 1 1. Ist a 1, so können wir durch a 1 dividieren, wobei die Gleichung y = b 1 a 1 entsteht. Für x folgt aus I: x = 1 b 1 a 1. Es gibt damit eine eindeutige Lösung, und es ist L = {(1 b 1 a 1 ; b 1 a 1 )}. 2. Ist a = 1 und b = 1, so besagt Gleichung II 0 = 0 und kann daher weggelassen werden. Für Gleichung I gibt es mit y = c die unendliche Lösungsmenge L = {(1 c; c) c R}. 3. Ist a = 1 und b 1, so behauptet Gleichung II 0 = b 1, was der Voraussetzung widerspricht. In diesem Falle ist L =. 3 Man beachte, dass a und kein frei wählbarer, sondern {( ein fest vorgegebener ) Parameter } ist. Es liegt daher 2a+6 keine unendliche Lösungmenge vor, d. h. es gilt nicht L =, 4, a 3 a R. a+1 a+1 a+1 9