Kapitel 3. Kapitel 3 Gleichungen

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1 Gleichungen Inhalt Terme, Gleichungen, Lösungen x y Verfahren zur zur Lösung von von Gleichungen 3x 3x + 5 = Gleichungssysteme Seite 2

2 3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen Was Was ist ist ein ein Term? Vorstellung Ein Ein Term ist ist etwas, was was eine eine Seite Seite einer einer Gleichung sein sein kann. Aber: Wir Wir wollen Gleichungen mit mit Hilfe Hilfe von von Termen definieren und und nicht nicht umgekehrt. Erste Definition: Ein Ein Term ist ist ein ein Ausdruck, der der aus aus reellen Zahlen und und Variablen zusammengesetzt ist. ist. Damit haben wir wir eine eine Frage beantwortet, indem wir wir zwei zwei neue neue Fragen stellen: Was Was ist ist eine eine Variable? Was Was heißt heißt zusammengesetzt? Seite 3 Variable und erste Definition Definition: Eine Eine Variable (auch Unbekannte genannt) ist ist irgend eine eine Folge von von Buchstaben und und Zahlen. Beispiele: x, x, y, y, z, z, X, X, Y, Y, Z, Z, a, a, b, b, c, c, p, p, r, r, x 1, 1, f 17 f, 17, SUMME, PRODUKT1-5, MONTAG, Student, Vorstellung: Statt Statt einer einer Variablen können wir wir eine eine Zahl Zahl einsetzen. Besserer Definitionsanfang: Jede Jede reelle Zahl Zahl ist ist ein ein Term, jede jede Variable ist ist ein ein Term. (Aber Achtung: Es Es gibt gibt auch auch noch noch andere Terme!) Beispiele: Terme sind sind 1, 1, 0, 0, π, π, 65537, x, x, Y, Y, Seite 4

3 Definition Term Fortsetzung der der Definition: Wenn man man Terme zueinander addiert, voneinander subtrahiert, miteinander multipliziert oder oder durcheinander dividiert, erhält man man wieder einen Term. Beispiele: x+y, x+y, f+m, f+m, 5a, 5a, fit fit + fun, fun, (a+b) 2 2,, x x +3x , +7, (x+1)/(x 1), jedes Polynom ist ist ein ein Term, jede jede gebrochen rationale Funktion ( Polynom durch Polynom ) ist ist ein ein Term Fortsetzung der der Definition: Wenn man man auf auf einen oder oder mehrere Terme in in der der Mathematik übliche Operationen (Potenzieren, Differenzieren, sin, sin, cos, cos, mod, mod,...)...) anwendet, erhält man man einen Term. Beispiele: x y y,, sin(x sin(x 2 2 ), ),(x (x 5 5 3x+1), mod mod 17, 17, Seite 5 Polynome Besonders wichtige Terme sind sind die die Polynome. Definition (dreistufig): (a) (a) Jede Jede Potenz einer einer Variablen x ist ist ein ein Polynom (z.b. (z.b. x 3 3 )- )-(b) Jedes Produkt eines Polynoms mit mit einer einer Zahl Zahl ist ist ein ein Polynom (z.b. (z.b. 5x 5x 3 3 ). ).(c) Jede Jede Summe von von Polynomen ist ist ein ein Polynom (z.b. (z.b. 5x 5x x 7x 4 4 ). ). Beispiele: x x + 1, 1, x, x, x ,, 5x 5x 8 8 3x 3x Keine Polynome sind sind 2 x x,, sin(x), ln(x), ln(x), 1/x, 1/x, x. x. Seite 6

4 Gleichungen Definition: Eine Eine Gleichung besteht aus aus zwei zwei Termen, die die durch ein ein Gleichheitszeichen verbunden sind. sind. Beispiele: x y y + 5 = t, t, x = 1, 1, f+m f+m = k, k, 7 = 5, 5, x y 2 2 = 1, 1, Achtung! In In der der Regel ist ist eine eine Gleichung keine Aussage (d.h. (d.h. ist ist nicht nicht wahr wahr oder oder falsch, Beispiele: x 2 2 = 1, 1, f+m f+m = k, k, Seite 7 Lösung einer Gleichung Definition: Eine Eine Lösung einer einer Gleichung ist ist ein ein Satz Satz von von reellen Zahlen (pro (pro Variable eine eine Zahl), so so dass dass diese in in die die Gleichung eingesetzt, die die Gleichung zu zu einer einer wahren Aussage machen. Beispiele: Lösungen der der Gleichung x 2 2 +y +y 2 2 = 1 sind sind z.b. z.b. die die Zahlenpaare (1, (1, 0), 0), (0, (0, 1), 1), (1/ 2, 1/ 2). Die Die Gleichung 3x+5 3x+5 = hat hat nur nur die die Lösung Die Die Gleichungen x 2 2 = 1 1 bzw. bzw. 5 = 7 haben keine Lösung. Bemerkung: Eine Eine Gleichung kann kann keine Lösung, genau eine eine Lösung, endlich viele viele Lösungen oder oder unendlich viele viele Lösungen haben. Seite 8

5 Variable Unbekannte Es Es gibt gibt einen kleinen Bedeutungsunterschied zwischen den den Ausdrücken Variable und und Unbekannte : Bei Bei einer einer Unbekannten denkt man man das das ist ist eine eine bestimmte Zahl, Zahl, die die ich ich eben eben noch noch nicht nicht kenne. (Beispiel: Platzhalteraufgaben ) Bei Bei dem dem Begriff Variable denkt man man daran, dass dass die die Variablen variieren, also also viele viele Zahlen durchlaufen. Prinzipiell kann kann man manalle alle Zahlen einsetzen. Manche Einsetzungen sind sind Lösungen, manche nicht. Dieser Aspekt tritt tritt bei bei Gleichungen des des Typs Typs y = mx mx + b oder oder x y 2 2 = 1 in in den den Vordergrund. Es Es ist ist wichtig, an an beide Aspekte zu zu denken. Seite 9 Wie erhält man Lösungen? Probieren (oder Finden ): Ich Ich habe habe einfach Glück und und finde finde auf auf Anhieb eine eine Lösung, In In diesem Fall Fall muss man man nur nur die die Probe machen (ist (ist das, das, was was ich ich gefunden habe, wirklich eine eine Lösung?) Dies Dies geschieht dadurch, dass dass man man die die vermutete Lösung einsetzt. Systematisches Testen, etwa etwa mit mit Hilfe Hilfe einer einer Wertetabelle Graphische Lösungsverfahren Algebraische Lösungsverfahren Seite 10

6 3.2 Verfahren zur Lösung von Gleichungen Wir Wir betrachten vorerst nur nur Gleichungen in in einer einer Unbekannten x. x. Definitionen. Lineare Gleichung: Die Die Unbekannte kommt nur nur in in der der ersten Potenz (also (also nicht nicht in in zweiter, dritter,...)...) vorkommt. Beispiele: 3x 3x + 5 = 14, 14, 512x 512x 7 = x, 11x, Quadratische Gleichung: Die Die Unbekannte kommt in in zweiter Potenz (also (also als als x 2 2 )) vor; vor; kleinere Potenzen dürfen auch auch vorkommen. Beispiele: x 2 2 = 2, 2, 7x 7x x 13x + 2 = 0, 0, 7x 7x + 5x 5x 2 2 = x 2 2,,... (Kubische Gleichung: Die Die Unbekannte kommt in in Potenz vor.) vor.) Wurzelgleichungen: In In ihr ihr kommt ein ein Ausdruck der der Unbekannten als als Quadratwurzel vorkommt; lineare Summanden sind sind erlaubt. Seite 11 Lineare Gleichungen Satz. Jede Jede lineare Gleichung hat hat höchstens eine eine Lösung. Anwendung: Wenn wir wir eine einelösung einer einer linearen Gleichung gefunden haben, brauchen wir wir nicht nicht weiter zu zu suchen, denn denn es es kann kann keine andere Lösung geben. Wir Wir sprechen von von der derlösung. Beweis. Wir Wir betrachten eine eine Gleichung des des Typs Typs ax ax + b = 0 (a (a 0). 0). Angenommen, diese Gleichung hat hat zwei zwei Lösungen x 0 und 0 und x 1 (also 1 (also zwei zwei verschiedene Zahlen, die die die die Gleichung erfüllen). Dann gilt gilt ax ax b = 0 und und ax ax b = Zusammen folgt folgt ax ax b = ax ax b, b, somit ax ax 0 = 0 ax ax 1, 1, also also (da (da a 0) 0) x 0 = 0 x ein ein Widerspruch. Seite 12

7 Quadratische Gleichungen Satz. Jede Jede quadratische Gleichung hat hat höchstens zwei zwei Lösungen. Anwendung: Wenn wir wir zwei zwei Lösungen einer einer quadratischen Gleichung gefunden haben, sind sind wir wir fertig. Beweis. Wir Wir betrachten eine eine Gleichung ax ax bx bx + c = 0 mit mit a Idee: Idee: Sei Sei x 0 eine 0 eine Lösung. Wir Wir zeigen, dass dass jede jede andere Lösung x 1 1 eindeutig durch x 0 bestimmt 0 ist; ist; also also gibt gibt es es keine dritte dritte Lösung! Da Da x 0 und 0 und x 1 Lösungen 1 sind, sind, gilt gilt ax ax bx bx c = 0 und und ax ax bx bx c = 0, 0, also also ax ax bx bx 0 = 0 ax ax bx bx Seite 13 Beweis (Fortsetzung) Dies Dies formen wir wir um um zu zu a(x a(x x ) 1 ) = b(x b(x 1 1 x 0 ) 0 ) und und (3. (3. binomische Formel!) a(x a(x 0 0 x 1 )(x 1 )(x x 1 ) 1 ) = b(x b(x 0 0 x 1 ). 1 ). Da Da x 0 und 0 und x 1 verschiedene 1 Lösungen sind, sind, ist ist x 0 0 x 1 1 0, 0, also also darf darf man man durch x 0 0 x 1 dividieren. 1 Wir Wir erhalten a(x a(x x 1 ) 1 ) = b. b. Da Da a 0 ist, ist, folgt folgt schließlich x x 1 = 1 b/a b/a oder oder x 1 = 1 x x 0 b/a. 0 b/a. Also Also ist ist x 1 durch 1 x 0 (und 0 (und a und und b) b) eindeutig bestimmt; also also ist ist x 1 1 die die einzig mögliche andere Lösung. Bemerkung: Allgemein gilt, gilt, dass dass eine eine Gleichung n-ten Grades (das (das ist ist eine eine Gleichung, in in der der x n n vorkommt, aber aber keine höhere Potenz von von x) x) höchstens n Lösungen hat. hat. Seite 14

8 Nullstellen Satz. Sei Sei f f ein ein Polynom, (a) (a) Sei Sei x 1 eine 1 eine Lösung der der Gleichung f f = Dann kann kann man man f f schreiben als als f f = (x (x x 1 )g, 1 )g, wobei g ein ein Polynom ist. ist. (b) (b) Sei Sei n der der Grad Grad von von f. f. Wenn f f die die n verschiedene Lösungen x 1, 1, x 2, 2,, x n hat, n hat, dann dann gilt gilt f f = a(x a(x x 1 ) 1 )(x (x x 2 ) 2 ) (x (x x n ) n ) mit mit a R. R. (c) (c) Sei Sei f f = x px px + q ein ein quadratisches Polynom mit mit Nullstellen x 1 und 1 und x Dann gilt gilt f f = (x (x x 1 ) 1 )(x (x x 2 ). 2 ). Seite Lösungsmethode: Systematisches Probieren Grundidee: Man Man rechnet für für einige Werte von von x die die rechte und und die die linke linke Seite Seite aus aus und und pirscht sich sich so so an an eine eine Lösung heran. Beispiel 1: 1: Wir Wir wollen die die Gleichung 6x 6x 7 = x 3x lösen. x L.S. L.S R.S. R.S Lösung: Seite 16

9 Weitere Beispiele Beispiel Wir Wir wollen die die Gleichung x x +3x = lösen. x L.S. L.S R.S. R.S Lösungen: 9 und und Wichtiger Spezialfall: R.S. R.S. = Beispiel: x x 10x + 9 = Man Man schreibt y = x x 10x + 9 und und sucht die die x mit mit y = 0 (Nullstellen). x y Also Also sind sind die die Lösungen 1 und und Seite Lösungsmethode: Graphisches Verfahren Rezept: Man Man fasst fasst L.S. L.S. und und R.S. R.S. als als Funktion auf auf und und zeichnet die die Graphen. Die Die Stellen, an an denen sich sich die die Graphen schneiden, sind sind die die Lösungen. Klar: Klar: An An diesen Stellen gilt: gilt: L.S. L.S. = R.S. R.S. Beispiel 1: 1: 3x 3x + 5 = Die Die Funktion, die die der der linken Seite entspricht, ist ist y = 3x 3x + 5, 5, die die Gleichung einer einer Geraden der der Steigung 3 mit mit y-achsenabschnitt Die Die Funktion, die die der der linken Seite Seite entspricht, ist ist die die Funktion y = 14, 14, also also die die Gleichung einer einer Parallelen zur zur x-achse im im Abstand Wenn man man beide Geraden zeichnet, sieht sieht man, man, dass dass sie sie sich sich bei bei x = 3 schneiden. Also Also ist ist 3 die die Lösung dieser Gleichung. Seite 18

10 Quadratische Gleichungen Beispiel x 2 2 = 10x 10x Die Die Funktion, die die der der linken Seite entspricht, ist ist y = x 2 2,, also also die die Normalparabel. Die Die Funktion, die die der der rechten Seite entspricht, ist ist y = 10x 10x 9: 9: die die Gleichung einer einer Geraden mit mit Steigung und und y- y- Achsenabschnitt Die Die Graphen der der beiden Funktionen schneiden sich sich an an den den Stellen x = 1 und und x = 9; 9; also also sind sind dies dies die die Lösungen. Bemerkung: Man Man wendet die die graphische Lösungsmethode bei bei quadratischen Gleichungen in in der der Regel dann dann an, an, wenn auf auf der der einen Seite Seite nur nur x 2 2 steht. Seite Lösungsmethode: Algebraische Methoden Der Der entscheidende Begriff ist ist der der einer einer Äquivalenzumformung. Definition: Eine Eine Gleichung geht geht aus aus einer einer anderen durch eine eine Äquivalenzumformung hervor, wenn beide Gleichungen die die gleichen Lösungen haben. D.h.: D.h.: Jede Jede Lösung der der einen ist ist eine eine Lösung der der anderen, und und umgekehrt. Die Die Idee Ideeist, eine eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen solange umzuformen, bis bis man man zu zu einer einer so so einfachen Gleichung kommt, an an der der man man die die Lösungen direkt ablesen kann. Dazu müssen wir wir allerdings wissen, was was konkret Äquivalenzumformungen sind. sind. Seite 20

11 Konkrete Äquivalenzumformungen Satz. Folgende Operationen sind sind Äquivalenzumformungen: (0) (0) Vertauschung der der beiden Seiten. (1) (1) Addition oder oder Subtraktion einer einer Zahl. Zahl. (2) (2) Multiplikation mit mit einer einer Zahl Zahl 0 oder oder Division durch eine eine Zahl Zahl Beweis. (0) (0) Vertauschung: Eine Eine Zahl Zahl ist ist eine eine Lösung, wenn diese, in in die die Gleichung eingesetzt, L.S. L.S. = R.S. R.S. ergibt. Bei Bei Vertauschung der der beiden Seiten lautet die die Bedingung dann dann R.S. R.S. = L.S.. L.S.. Also Also sind sind genau diejenigen Zahlen Lösungen der der vertauschten Gleichung, die die Lösungen der der Ausgangsgleichung waren. Seite 21 Beweis (Fortsetzung) (1) (1) Addition: Sei Sei x 0 eine 0 eine Lösung der der Gleichung. Dann haben linke linke Seite Seite und und rechte Seite Seite den den gleichen Wert, sagen wir: wir: b. b. Wenn wir wirzu zu beiden Seiten eine eine Zahl Zahl a addieren, dann dann ergibt sich sich jetzt jetzt beim beim Einsetzen von von x 0, 0, dass dass sowohl die die L.S. L.S. als als auch auch R.S. R.S. den den Wert Wert a+b a+b haben. Also Also ist ist x 0 auch 0 auch eine eine Lösung der der neuen Gleichung. Umgekehrt: Sei Sei x 0 eine 0 eine Lösung der der Gleichung, zu zu der der auf auf beiden Seiten a addiert wurde. Also Also ergibt sich sich beim beim Einsetzen von von x 0 auf 0 auf beiden Seiten der der gleiche Wert, sagen wir: wir: c. c. Dann ergibt sich sich in in der der Ausgangsgleichung beim beim Einsetzen von von x 0 auf 0 auf beiden Seiten der der Wert Wert c a. a. Also Also ist ist x 0 auch 0 auch eine eine Lösung der der Ausgangsgleichung. Also Also haben beide Gleichungen genau die die gleichen Lösungen. Seite 22

12 Beweis (Ende) (2) (2) Multiplikation: Sei Sei x 0 eine 0 eine Lösung der der Gleichung. Dann haben L.S. L.S. und und R.S. R.S. den den gleichen Wert Wert b. b. Wenn wir wir beide Seiten mit mit einer einer Zahl Zahl a multiplizieren, dann dann ergibt sich sich jetzt jetzt beim beim Einsetzen von von x 0, 0, dass dass beide Seiten den den Wert Wert ab ab haben. Also Also ist ist x 0 eine 0 eine Lösung der der neuen Gleichung. Umgekehrt: Sei Sei x 0 eine 0 eine Lösung der der Gleichung, deren beide Seiten mit mit a multipliziert wurden. Das Das bedeutet, dass dass sich sich beim beim Einsetzen von von x 0 auf 0 auf beiden Seiten der der gleiche Wert Wert c ergibt. Dann ergibt sich sich in in der der Ausgangsgleichung beim beim Einsetzen von von x 0 auf 0 auf beiden Seiten der der gleiche Wert Wert c/a c/a (beachte: a 0). 0). Somit ist ist x 0 auch 0 auch eine eine Lösung der der Ausgangsgleichung. Seite 23 Addition von x Satz. Folgende Operationen sind sind Äquivalenzumformungen: (1) (1) Addition oder oder Subtraktion eines Vielfachen der der Unbekanten x. x. (2) (2) Addition oder oder Subtraktion eines Vielfachen von von x Beweis. (1) (1) Wenn x 0 eine 0 eine Lösung der der Gleichung ist, ist, dann dann haben beide Seiten den den gleichen Wert Wert b. b. Wenn wir wir zu zu beiden Seiten ein ein Vielfaches von von x, x, sagen wir wir ax ax addieren, dann dann ergibt sich sich jetzt jetzt beim beim Einsetzen von von x 0, 0, dass dass beide Seiten den den Wert Wert ax ax 0 +b 0 +b haben. Also Also ist ist x 0 auch 0 auch eine eine Lösung der der neuen Gleichung. Seite 24

13 Beweis (Fortsetzung) Umgekehrt: Sei Sei x 0 eine 0 eine Lösung der der Gleichung, zu zu der der auf auf beiden Seiten ax ax addiert wurde. Das Das ergibt sich sich beim beim Einsetzen von von x 0 auf 0 auf beiden Seiten der der gleiche Wert Wert c. c. Dann ergibt sich sich aber aber in in der der Ausgangsgleichung beim beim Einsetzen vo von x 0 auf 0 auf beiden Seiten der der Wert Wert c ax ax Somit ist ist x 0 auch 0 auch eine eine Lösung der der Ausgangsgleichung. (2) (2) ÜA. ÜA. Seite 25 Die Lösung linearer Gleichungen Satz. Jede Jede lineare Gleichung hat hat genau eine eine Lösung. Beweis. Sei Sei ax ax + b = cx cx + d eine eine lineare Gleichung. Nach hat hat diese Gleichung höchstens eine eine Lösung. Zu Zu zeigen: sie sie hat hat auch auch wirklich eine eine Lösung (Existenz). Dazu wenden wir wir solange Äquivalenzumformungen an, an, bis bis wir wir eine eine Lösung gefunden haben. Wir Wir subtrahieren auf auf beiden Seiten cx cx und und erhalten (a c)x + b = d. d. Wir Wir subtrahieren b auf auf beiden Seiten und und erhalten (a c)x = d b. d b. Wenn a c a c 0 ist, ist, erhalten wir wir die die Lösung x = (d b)/(a c). Wenn a = c ist, ist, dann dann reduziert sich sich die die Gleichung auf auf b = d, d, die die Gleichung war war also also gar gar keine lineare Gleichung. Seite 26

14 Quadratische Gleichungen Durch Äquivalenzumformungen nach nach und und können wir wir jede jede quadratische Gleichung auf auf die die Form ax ax bx bx + c = 0 bzw. bzw. (indem wir wir durch a dividieren) auf auf die die Form x 2 2 +px +px + q = 0 bringen. Der Der Grundmechanismus für für alle alle Lösungsverfahren für für quadratische Gleichungen ist ist die die quadratische Ergänzung. Diese beruht auf auf der der bzw. bzw binomischen Formel. Seite 27 Ein Beispiel Wir Wir betrachten x x 10x + 9 = Wenn die die linke linke Seite x x 10x wäre, dann dann würden wir wir schreiben: x x 10x = (x (x 5) 5) 2 2,, und und könnten die die Gleichung lösen. Wir Wir addieren auf auf jeder jeder Seite Seite die die Zahl Zahl (Äquivalenzumformung) x x 10x = x x 10x = 16, 16, also also (x (x 5) 5) 2 2 = Wir Wir ziehen auf auf beiden Seiten die die Wurzel und und erhalten x 5 = ±4. ±4. Achtung: Die Die Gleichung x 2 2 = hat hat zwei zwei Lösungen, 4 und und Die Die Gleichung hat hat die die Lösungen x = = 1 und und x = = Seite 28

15 Die p,q-formel Satz. Sei Sei x px px + q eine eine quadratische Gleichung. Diese hat hat die die Lösungen x 1,2 = 1,2 p/2 p/2 ± (p (p /2) /2) 2 2 q Insbesondere gilt: gilt: Die Die Gleichung ist ist genau dann dann lösbar, wenn p 2 2 /4 /4 q ist. ist. In In diesem Fall Fall hat hat sie sie genau dann dann nur nur eine eine Lösung, wenn p 2 2 /4 /4 = q ist, ist, und und sonst zwei zwei Lösungen. Beweis. Wir Wir führen die die quadratische Ergänzung durch, indem wir wir auf auf beiden Seiten p 2 2 /4 /4 q addieren: x px px + p 2 2 /4 /4 = x px px + q + p 2 2 /4 /4 q = p 2 2 /4 /4 q. q. Seite 29 Beweis Daraus folgt folgt (x (x + p/2) p/2) 2 2 = p 2 2 /4 /4 q, q, also also x + p/2 p/2 = ± (p/4) 2 2 q, q, und und somit x 1,2 = 1,2 p/2 p/2 ± (p/4) 2 2 q Die Die Wurzel hat hat genau dann dann eine eine Lösung, wenn p 2 2 /4 /4 q 0, 0, also also p 2 2 /4 /4 q ist. ist. Die Die Lösung ist ist genau dann dann eindeutig, wenn die die Wurzel gleich Null Null ist, ist, also also wenn p 2 2 /4 /4 = q ist. ist. Achtung! Der Der Übergang von von x 2 2 = a zu zu x = a a ( auf ( auf beiden Seiten die die Wurzel ziehen ) ist ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine eine Verlustumformung. Denn die die Lösung x = a a geht geht dabei verloren. Seite 30

16 Wurzelgleichungen Idee: Idee: Man Man isoliert die die Wurzel, quadriert dann dann die die Gleichung und und rechnet dann dann weiter. Achtung: Beim Beim Quadrieren gewinnt man man eine eine Lösung (Gewinnumformung). Daher muss man man am am Ende überprüfen, ob ob die die gefundenen Zahlen wirklich Lösungen der der Ausgangsgleichung sind. sind. Beispiel: x x x + 2 = Isolieren der der Wurzel: x = x x Quadrieren: x 2 2 = x + 2 Lösen: x 1,2 = 1,2 2, 2, 1 1 Probe: nur nur 2 ist ist eine eine Lösung. Seite Gleichungssysteme Definition. (a) (a) Ein Ein Gleichungssystem besteht aus aus mehreren Gleichungen, in in denen in in der der Regel mehrere Variable vorkommen. (b) (b) Ein Ein Gleichungssystem heißt heißt linear, wenn alle alle Gleichungen in in ihm ihm lineare Gleichungen sind. sind. Wir Wir betrachten nur nur lineare Gleichungssyst. Beispiel: Folgendes Gleichungssystem ist ist linear 3x 3x + 2y 2y + z = 5 2x 2x + 7y 7y 3z 3z = 0 x + 2z 2z = 2 Folgendes Gleichungssystem ist ist nicht nicht linear: x z 2z = 1 3x 3x + yz yz = Seite 32

17 Lösungen linearer Gleichungssysteme Probleme: Ist Ist ein ein gegebenes lineares Gleichungssystem lösbar? D.h.: D.h.: besitzt es es (mindestens) eine eine Lösung? Eine Eine Lösung besteht dabei aus aus einem Satz Satz von von Zahlen (für (für jede jede Unbekannte eine), die die Lösung jeder jeder Gleichung des des Systems sind. sind Wie Wie berechnet man man die die Lösungen? Bemerkung: Es Es gibt gibt lineare Gleichungssysteme, die die keine Lösung haben, solche, die die genau eine eine Lösung haben und und solche, die die unendlich viele viele Lösungen haben. Beispiele: x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1 x + y = 2 x y = 1 2x 2x + 2y 2y = 2 Seite 33 Idee der Lösungsverfahren Es Es gibt gibt verschiedene Lösungsmethoden. Mathematisch laufen letztlich alle alle auf auf das das Gleiche hinaus. Grundlegende Idee: Idee: Forme das das Gleichungssystem so so um, um, dass dass am am Ende nur nur eine eine Gleichung mit mit einer einer Unbekannten übrig übrig bleibt. Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additions- (Subtraktions-)verfahren, Verfahren von von Gauß Seite 34

18 Einsetzungsverfahren Rezept: Man Man löst löst eine eine Gleichung nach nach einer einer Unbekannten auf, auf, setzt setzt dann dann dies dies anstelle der der Unbekannten in in die die anderen Gleichungen ein. ein. So So erhält man man ein ein Gleichungssystem, das das eine eine Unbekannte und und eine eine Gleichung weniger hat. hat. Dann kann kann man man auf auf das das neue neue System dieses Verfahren (oder ein ein anderes) anwenden. Seite 35 Beispiel zum Einsetzungsverfahren x + y z = 1 2x 2x + 3y 3y + 4z 4z = 5 x + 2y 2y + z = 2 Wir Wir lösen die die erste erste Gleichung nach nach z auf auf und und erhalten z = x + y Dies Dies setzen wir wir in in die die zweite und und dritte dritte Gleichung ein ein und und erhalten 5 = 2x 2x + 3y 3y + 4(x 4(x + y 1) 1) 2 = x + 2y 2y + x+y x+y 1, 1, also also 9 = 6x 6x + 7y 7y 3 = 2x 2x + 3y 3y Daraus erkennt man man die die Lösung x = 3/2, 3/2, y = 0, 0, z = 1/2. 1/2. Seite 36

19 Gleichsetzungsverfahren Rezept: Man Man löst löst alle alle Gleichungen nach nach einer einer Unbekannten (oder einem Vielfachen der der unbekannten auf). auf). Dann setzt setzt man man die die erhaltenen Gleichungen gleich und und erhält dadurch eine eine System mit mit einer einer Unbekannten weniger und und einer einer Gleichung weniger. Beispiel. Wir Wir benutzen obiges Beispiel. Wir Wir multiplizieren die die erste erste und und die die dritte dritte Gleichung mit mit 2 (dabei verändern sich sich die die Lösungen dieser Gleichungen nicht nicht Äquivalenzumformungen!), und und also also auch auch die die Lösung des des gesamten Systems nicht. Seite 37 Beispiel Danach sieht sieht das das Gleichungssystem so so aus: aus: 2x 2x + 2y 2y 2z 2z = 2 2x 2x + 3y 3y + 4z 4z = 5 2x 2x + 4y 4y + 2z 2z = 4 Nun Nun lösen wir wir die die drei drei Gleichungen nach nach 2x 2x auf: auf: 2x 2x = 2 2y 2y + 2z 2z 2x 2x = 5 3y 3y 4z 4z 2x 2x = 4 4y 4y 2z 2z Wir Wir setzen die die erste erste und und zweite, sowie die die erste erste und und dritte dritte Gleichung gleich (man (man könnte auch auch andere Paare wählen) und und erhalten Seite 38

20 Beispiel (Fortsetzung) 2 2y 2y + 2z 2z = 5 3y 3y 4z 4z 2 2y 2y + 2z 2z = 4 4y 4y 2z, 2z, also also y + 6z 6z = 3 2y 2y + 4z 4z = 2 das das heißt heißt y + 6z 6z = 3 y + 2z 2z = Daraus ergibt sich sich (Gleichsetzungsverfahren) 3 6z 6z = 1 2z, 2z, also also 2 = 4z, 4z, d.h. d.h. z = ½. ½. Damit folgt folgt y = 0 und und also also x = 3/2. 3/2. Seite 39 Additions- bzw. Subtraktionsverfahren Rezept: Wir Wir multiplizieren eine eine Gleichung so, so, dass dass bei bei Addition oder oder Subtraktion mit mit einer einer anderen Gleichung eine eine Unbekannte wegfällt. Beispiel. Wieder verwenden wir wir obige System. Wir Wir multiplizieren die die erste erste und und die die dritte dritte Gleichung jeweils mit mit 4 und und erhalten 4x 4x + 4y 4y 4z 4z = 4 2x 2x + 3y 3y + 4z 4z = 5 4x 4x + 8y 8y + 4z 4z = 8 Seite 40

21 Beispiel (Fortsetzung) Jetzt Jetzt addieren wir wir die die ersten beiden Gleichungen und und subtrahieren die die zweite von von der der letzten: 6x 6x + 7y 7y = 9 2x 2x + 5y 5y = Nun Nun multiplizieren wir wir die die letzte Gleichung mit mit 3 und und subtrahieren davon die die erste; wir wir erhalten 8y 8y = 0, 0, also also y = Damit ist ist x = 3/2 3/2 und und z = ½. ½. Seite 41 Der Gauß-Algorithmus Rezept: Multipliziere die die erste erste Gleichung so, so, dass dass beim beim Addieren bzw. bzw. Subtrahieren von von der der zweiten Gleichung in in dieser (zweiten) Gleichung die die Unbekannte x wegfällt. Dann multipliziere die die erste erste Gleichung so, so, dass dass bei bei Addition (bzw. Subtraktion) zu zu der der dritten Gleichung in in dieser die die Unbekannte x wegfällt. Usw. Usw. Nun Nun betrachten wir wir die die (neue) zweite Zeile. Multipliziere diese so, so, dass dass bei bei Addition bzw. bzw. Subtraktion mit mit der der dritten Gleichung in in dieser die die Unbekannte y wegfällt. Multipliziere nun nun die die zweite Gleichung so, so, dass dass bei bei Addition bzw. bzw. Subtraktion zur zur vierten Gleichung in in dieser die die Unbekannte y wegfällt. Usw. Usw. Usw. Usw. Seite 42

22 Der Gauß-Algorithmus (Fortsetzung) Am Am Ende hat hat man man ganz ganz unten eine eine Gleichung mit mit einer einer Unbekannten. Man Man löst löst diese Gleichung und und setzt setzt die die Lösung in in die die zweitunterste Gleichung ein. ein. Dann ist ist auch auch dies dies nur nur eine eine Gleichung mit mit einer einer Unbekannten. Usw. Usw. Bemerkung: C.F. C.F. Gauß hat hat die die gesamten vorigen Lösungsverfahren, die die oft oft auch auch einen guten Blick erfordern, systematisiert. Im Im Grunde ist ist sein sein Verfahren ein ein perfektioniertes Additions- bzw. bzw. Subtraktionsverfahren. Seite 43 Beispiel 1 Gleichungssystem: x x + 2y 2y + z = 2 2 3x 3x 8y 8y 2z 2z = 4 x + 4z 4z = Schritt: x x + 2y 2y + z = 2 2 2y 2y + z = 2 2 2y 2y + 5z 5z = Schritt: x x + 2y 2y + z = 2 2 2y 2y + z = 2 2 6z 6z = Daraus folgt folgt z = 1, 1, y = 1/2, 1/2, x = Seite 44

23 Beispiel 1 bessere Schreibweise = = = Schritt: = = = Schritt: = = = 6 6 Daraus folgt folgt z = 1, 1, y = 1/2, 1/2, x = Seite 45 Beispiel 2 Gleichungssystem: 2x 2x + y + z = 1 5x 5x + 4y 4y 2z 2z = 1 1 3x 3x + 2y 2y z = Schritt: = 1 3/2 3/2 9/2 9/2 = 7/2 7/2 1/2 1/2 5/2 5/2 = 1/2 1/ Schritt: = 1 3/2 3/2 9/2 9/2 = 7/2 7/2 1 1 = 2/3 2/3 Lösungen: z = 2/3, 2/3, y = 13/3, x = Seite 46

24 Gleichungssysteme mit Parameter In In vielen Gleichungssystemen steckt noch noch ein ein zusätzlicher Parameter (meist t t oder oder a o.ä. o.ä. genannt). Je Je nach nach dem, dem, wie wie der der Parameter gewählt wird, wird, ist ist das das Gleichungssystem eindeutig lösbar, unlösbar oder oder hat hat unendlich viele viele Lösungen. Man Man löst löst das das Gleichungssystem ganz ganz normal, indem man man den den Parameter als als Konstante ( wie ( wie eine eine Zahl ) mitschleppt. Manchmal muss man man durch einen Term dividieren. Dazu muss dieser Term ungleich Null Null sein. sein. Die Die Fälle, in in denen der der Term gleich Null Null ist, ist, untersucht man man dann dann getrennt. Seite Einfaches Beispiel x + y = a 2x 2x + ay ay = 1 Schematisch: 1 1 = 3 2 a = = a 0 2 a 2 a = Also Also folgt folgt y = 5/(2 5/(2 a), a), falls falls a? 2 ist. ist. Dann folgt folgt x = 3 y = (1 3a)(2 a). Im Im Fall Fall a = 2 ergibt sich sich 0 y 0 y = 5, 5, ein ein Widerspruch. Also Also hat hat das das Gleichungssystem im im Fall Fall a = 2 keine Lösung. Seite 48

25 2. 2. Einfaches Beispiel x + 3y 3y = a+2 a+2 2x 2x + (a+3)y = Schematisch: 1 3 = a+2 a+2 2 a+3 a+3 = = a+2 a a 3 a = 2a 2a Also Also folgt folgt y = (2a (2a + 6)/(3 6)/(3 a) a) = 2, 2, falls falls a? 3 ist. ist. Dann folgt folgt x = a+2 a+2 --3y 3y = a+8. a+8. Im Im Fall Fall a = 3 lauten die die Gleichungen x + 3y 3y = 5 und und 2x 2x + 6y 6y = Also Also ist ist die die zweite nur nur das das doppelte der der ersten. Es Es gibt gibt also also unendlich viele viele Lösungen, nämlich (x, (x,(5 x)/3) für für x R. R. Seite 49 Beispiel mit vier Variablen x, x, y, y, z, z, w Gleichungssystem: x + y + z w w = 0 x + y z z + w = 0 x y y + z + w = 0 x x + y + z + tw tw = 1 Schematisch = = = t t = Schritt = = = t 1 t 1 = 1 Seite 50

26 Beispiel mit (Fortsetzung) Schritt = = = t 1 t 1 = Schritt = = = (t+1) = Schritt = = = 0 (t+3) = 1 1 Seite 51 Beispiel mit (Schluss) Die Die letzte Zeile Zeile lautet (t+3)w = Das Das bedeutet: Wenn t t = 3 3 ist, ist, dann dann ist ist das das Gleichungssystem unlösbar. Wenn t t 3 3 ist, ist, dann dann ist ist das das System eindeutig lösbar: w = 1/(t+3), z = w = 1/(t+3), y = w = 1/(t+3), x = w y z = 1/(t+3). Zum Zum Beispiel: Wenn t t = 2 2 ist, ist, dann dann ist ist w = z = y = 1, 1, x = Seite 52