Lineare Gleichungen Exkurs: Binomische Formeln Quadratische Gleichungen Exkurs: Polynomdivision Polynomgleichungen
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- Kristina Buchholz
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1 Gleichungen
2 Lineare Gleichungen Exkurs: Binomische Formeln Quadratische Gleichungen Exkurs: Polynomdivision Polynomgleichungen
3 Lineare Gleichungen
4 Lineare Gleichungen ax + b = 0
5 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Konstanten: a, b R
6 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Konstanten: a, b R a 0
7 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Konstanten: a, b R a 0 beliebig, aber fest gewählt
8 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Konstanten: a, b R Variable: x a 0 beliebig, aber fest gewählt
9 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Konstanten: a, b R Variable: x a 0 beliebig, aber fest gewählt unbekannt / gesucht
10 Lineare Gleichungen ( ½ )x + (-1) = 0
11 Lineare Gleichungen ( ½ )x + (-1) = 0
12 Lineare Gleichungen ( 2 )x + (-1) = 0
13 Lineare Gleichungen (-½)x + (-1) = 0
14 Lineare Gleichungen ( ½ )x + ( ½) = 0
15 Lineare Gleichungen ax + b = 0 L:= Lösungsmenge. Die Menge aller Werte, die x annehmen kann, um die Gleichung zu erfüllen.
16 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Lineare Gleichungen haben genau eine Nullstelle. L = 1
17 ½ x - 1 = 0 Lineare Gleichungen
18 Lineare Gleichungen ½ x - 1 = 0 ½ x = 1
19 Lineare Gleichungen ½ x - 1 = 0 ½ x = 1 x = 2
20 Lineare Gleichungen ½ x - 1 = 0 ½ x = 1 x = 2 x 1 := 2
21 Lineare Gleichungen ½ x - 1 = 0 ½ x = 1 x = 2 x 1 := 2 x - x 1 = 0
22 Lineare Gleichungen ½ x - 1 = 0 ½ x = 1 x = 2 ax + b = 0 ax = -b x = -b/a x 1 := 2 x - x 1 = 0
23 Lineare Gleichungen ½ x - 1 = 0 ½ x = 1 x = 2 ax + b = 0 ax = -b x = -b/a x 1 := 2 x 1 := -b/a x - x 1 = 0
24 Lineare Gleichungen ½ x - 1 = 0 ½ x = 1 x = 2 ax + b = 0 ax = -b x = -b/a x 1 := 2 x - x 1 = 0 x 1 := -b/a x - x 1 = 0
25 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Lineare Gleichungen haben genau eine Nullstelle: L = {-b/a}
26 Exkurs: Binomische Formeln
27 Exkurs: Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
28 Exkurs: Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. Binomische Formel: (a - b)² = a² + 2ab + b²
29 Exkurs: Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. Binomische Formel: (a - b)² = a² + 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b) * (a - b) = a² - b²
30 Quadratische Gleichungen
31 Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0
32 Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 a, b, c R a 0
33 Quadratische Gleichungen ( 1 )x² + ( 4)x + ( 3) = 0
34 Quadratische Gleichungen ( 1 )x² + ( 4)x + ( 3) = 0
35 Quadratische Gleichungen ( ¾)x² + ( 4)x + ( 3) = 0
36 Quadratische Gleichungen ( 1)x² + ( 4)x + ( 3) = 0
37 Quadratische Gleichungen ( 1)x² + ( 4)x + ( 4) = 0
38 Quadratische Gleichungen ( 1)x² + ( 4)x + ( 5) = 0
39 Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 Quadratische Gleichungen haben bis zu zwei Nullstellen. L 2
40 Normalform ax² + bx + c = 0
41 Normalform ax² + bx + c = 0 Eine quadratische Gleichung hat Normalform, falls gilt a=1.
42 Normalform ax² + bx + c = 0 Eine quadratische Gleichung hat Normalform, falls gilt a=1. Wir schreiben dann: x² + px + q = 0
43 Normalform Alle quadratischen Gleichungen lassen sich in die Normalform überführen:
44 Normalform Alle quadratischen Gleichungen lassen sich in die Normalform überführen: ax² + bx + c = 0 x² + px + q = 0, wobei p = (b/a) und q = (c/a)
45 Linearfaktoren Mit Hilfe von Linearfaktoren lassen sich einzelne Nullstellen direkt aus der Gleichung ablesen.
46 Linearfaktoren Mit Hilfe von Linearfaktoren lassen sich einzelne Nullstellen direkt aus der Gleichung ablesen. Sie haben die Form: (x - x i ), wobei x i eine Nullstelle der Funktion ist.
47 Linearfaktoren x² + px + q = 0
48 Linearfaktoren x² + px + q = 0 Sind x 1 und x 2 Nullstellen einer quadratischen Funktion, so gilt: x² + px + q = (x - x 1 )*(x - x 2 )
49 Satz von Viëta x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 )
50 Satz von Viëta x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 ) = (x - x 1 )*x - (x - x 1 )* x 2
51 Satz von Viëta x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 ) = (x - x 1 )*x - (x - x 1 )* x 2 = x² - x*x 1 - x*x 2 + x 1 *x 2
52 Satz von Viëta x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 ) = (x - x 1 )*x - (x - x 1 )* x 2 = x² - x*x 1 - x*x 2 + x 1 *x 2 = x² + (-(x 1 + x 2 ))x + x 1 *x 2
53 Satz von Viëta x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 ) = (x - x 1 )*x - (x - x 1 )* x 2 = x² - x*x 1 - x*x 2 + x 1 *x 2 = x² + (-(x1 + x2))x + x 1 *x 2 p = -(x 1 + x 2 )
54 Satz von Viëta x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 ) = (x - x 1 )*x - (x - x 1 )* x 2 = x² - x*x 1 - x*x 2 + x 1 *x 2 = x² + (-(x 1 + x 2 ))x + x1*x2 p = -(x 1 + x 2 ) q = x 1 *x 2
55 Satz von Viëta x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 ) = (x - x 1 )*x - (x - x 1 )* x 2 = x² - x*x 1 - x*x 2 + x 1 *x 2 = x² + (-(x 1 + x 2 ))x + x 1 *x 2 p = -(x 1 + x 2 ) q = x 1 *x 2
56 Satz von Viëta Eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 hat genau dann die Lösungen x 1 und x 2, wenn gilt: p = -(x 1 + x 2 ) q = x 1 *x 2
57 pq-formel Für eine quadratische Formel in Normalform lassen sich alle Lösungen mit Hilfe der pq-formel bestimmen:
58 pq-formel Für eine quadratische Formel in Normalform lassen sich alle Lösungen mit Hilfe der pq-formel bestimmen:
59 pq-formel Die Anzahl der Lösungen ist dabei vom Radikanden der Wurzel abhängig:
60 pq-formel Die Anzahl der Lösungen ist dabei vom Radikanden der Wurzel abhängig: r:= -q + (p/2)²
61 abc-formel Für quadratische Formeln in allgemeiner Form wird die pq-formel auf die abc-formel erweitert:
62 abc-formel Für quadratische Formeln in allgemeiner Form wird die pq-formel auf die abc-formel erweitert:
63 abc-formel Die Anzahl der Lösungen ist wieder vom Radikanden der Wurzel abhängig: r:= b² - 4ac
64 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 =
65 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4
66 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4 -(4 8)
67 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4 -(4 8) 2
68 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4 -(4 8) 2 4
69 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4 2 -(4 8) 2 4
70 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4 2 -(4 8) 2 4 -(2 4)
71 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4 2 -(4 8) 2 4 -(2 4) 0
72 Exkurs: Polynomdivision Schriftliches Dividieren: : 1 2 = 4 2 -(4 8) 2 4 Nur, wenn der Teiler ein echter Teiler der Zahl ist, geht die Division ohne Rest auf. -(2 4) 0
73 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision:
74 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) =
75 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x
76 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x -(2x² - 4x)
77 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x -(2x² - 4x) 6x
78 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x -(2x² - 4x) 6x - 12
79 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x + 6 -(2x² - 4x) 6x - 12
80 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x + 6 -(2x² - 4x) 6x (6x - 12)
81 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x + 6 -(2x² - 4x) 6x (6x - 12) 0
82 Exkurs: Polynomdivision Polynomdivision: 2x² + 2x - 12 : (x - 2) = 2x + 6 -(2x² - 4x) 6x (6x - 12) 0 Nur, wenn der Teiler von der Form (x - x 1 ) und x 1 eine Nullstelle des zu teilenden Polynoms ist, geht die Division ohne Rest auf.
83 Polynomgleichungen
84 Lineare Polynomgleichungen
85 Polynomgleichungen Lineare ax + b = 0
86 Polynomgleichungen Lineare ax + b = 0 L = 1
87 Polynomgleichungen Lineare ax + b = 0 L = 1 Quadratische ax² + bx + c = 0 L 2
88 Polynomgleichungen Lineare ax + b = 0 L = 1 Quadratische Kubische ax² + bx + c = 0 ax³ + bx² + cx + d = 0 L 2 L 3
89 Polynomgleichungen Lineare ax + b = 0 L = 1 Quadratische Kubische ax² + bx + c = 0 ax³ + bx² + cx + d = 0 L 2 L 3 Sind alle Polynomgleichungen.
90 Polynomgleichungen Lineare a 1 x + a 0 = 0 L = 1 Quadratische Kubische a 2 x² + a 1 x + a 0 = 0 a 3 x³ + a 2 x² + a 1 x + a 0 = 0 L 2 L 3
91 Polynomgleichungen a n x n + a n-1 x n a 2 x² + a 1 x 1 + a 0 x 0
92 Polynomgleichungen a n x n + a n-1 x n a 2 x² + a 1 x 1 + a 0 x 0 a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x² + + a n-1 x n-1 + a n x n
93 Polynomgleichungen a n x n + a n-1 x n a 2 x² + a 1 x 1 + a 0 x 0 a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x² + + a n-1 x n-1 + a n x n
94 Polynomgleichungen a n x n + a n-1 x n a 2 x² + a 1 x 1 + a 0 x 0 a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x² + + a n-1 x n-1 + a n x n a i R für alle i N, i n a n 0
95 Polynomgleichungen x³ + x² -2x = 0
96 Polynomgleichungen x³ + x² -2x = 0
97 Polynomgleichungen x³ + 2x² + x + 1 = 0
98 Polynomgleichungen x 4 + x³ - 13x² - x + 12 = 0
99 Polynomgleichungen Ein Polynom n-ten Grades hat maximal n Nullstellen. L n
100 Polynomgleichungen A:= Sei x 1 eine Nullstelle von A und sei B das Ergebnis der Polynomdivison A : (x - x 1 ).
101 Polynomgleichungen A:= Sei x 1 eine Nullstelle von A und sei B das Ergebnis der Polynomdivison A : (x - x 1 ). Dann gilt: A = ( x - x 1 )*B
102 Polynomgleichungen A:= Sei x 1 eine Nullstelle von A und sei B das Ergebnis der Polynomdivison A : (x - x 1 ). Dann gilt: A = ( x - x 1 )*B B hat die Form
103 Polynomgleichungen Wenn eine Nullstelle bekannt ist, kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision reduziert werden.
104 Polynomgleichungen Durch wiederholtes Dividieren lassen sich alle Nullstellen als Linearfaktoren herausstellen.
105 Polynomgleichungen Durch wiederholtes Dividieren lassen sich alle Nullstellen als Linearfaktoren herausstellen.
106 Polynomgleichungen Durch wiederholtes Dividieren lassen sich alle Nullstellen als Linearfaktoren herausstellen.
107 Polynomgleichungen Durch wiederholtes Dividieren lassen sich alle Nullstellen als Linearfaktoren herausstellen.
108 Polynomgleichungen Durch wiederholtes Dividieren lassen sich alle Nullstellen als Linearfaktoren herausstellen.
109 Polynomgleichungen Durch wiederholtes Dividieren lassen sich alle Nullstellen als Linearfaktoren herausstellen. wobei gilt L m n und das rechte Restglied keine weiteren Nullstellen besitzt.
110 Lineare Gleichung haben die Form ax+b=0 und genau eine Lösung in x 1 = -b/a. Quadratische Formeln haben eine Normalform x²+px+q=0 und bis zu zwei Lösungen, die mit der pq-formel bestimmt werden können. Polynome können allgemein als Summe dargestellt werden und werden durch Polynomdivision reduziert.
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