TEIL 1 (ohne Rechner)

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Lösungen Repetition Algebra Büro:.63 Semester: 2 Modul: Algebra Datum: FS200. Aufgabe Gegeben sei das Polynom TEIL (ohne Rechner p 5 (x x 5 + x 38x 3 70x 2 87x 65 Bestimme mit Hilfe des Hornerschemas die (ganzzahligen Nullstellen des Polynoms. Kanditaten für ganzzahlige Nullstellen (Satz von Vieta C {±, ±5, ±3} Hornerschema: x x Nullstelle x x Nullstelle x x Nullstelle x 3 7 x x Nullstelle x 5 3 x 3 0 Nullstelle x 5 3 Faktorisierung: p 5 (x (x ( 3 (x 5 (x ( 3 (x + 3 (x 5 (x Aufgabe Gegeben sei das Polynom p (x x + 3x 3 3x 2 + 3x (a Skizziere den Graphen der Polynomfunktion. Berechne dazu mittels Hornerschema die Funktionswerte an den Stützstellen x { 5,, 3,...,, 5}. Wertetabelle erstellen (Funktionswerte mittels Hornerschema bestimmen:

2 x 5: x : x 3: x 2: x : x 0: x : x 2: x 3: x : x 5: Wertetabelle: x p ( 5 x 0 p ( x p ( x p ( x p ( x 0 p (0 x 0 p ( x p ( x p ( x p ( x p (5 Seite 2 / 5

3 Graph: x p (x (b Bestimme alle Nullstellen des Polynoms. Zwei Nullstellen x und x 2 erkennt man aus der Wertetabelle der vorherigen Teilaufgabe. Deflationspolynom mittels Polynomdivision bestimmen: x : x : x 0 p ( Seite 3 / 5

4 Es ergibt sich somit: 0 x 0 0 p ( p (x x + 3x 3 3x 2 + 3x (x + (x ( x 2 + Das Deflationspolynom (2-ten Grades hat noch die konjugiertkomplexen Nullstellen x 3, ±i. (c Faktorisiere das Polynom im Reellen wie im Komplexen. Die Faktorisierung im Reellen haben wir schon in der letzten Teilaufgabe gefunden: p (x x + 3x 3 3x 2 + 3x (x + (x ( x 2 + Im Komplexen lautet die Faktorisierung: p (x x + 3x 3 3x 2 + 3x (x + (x (x + i (x i 3. Aufgabe Bestimme die Werte für die Parameter a und b, so dass die folgende Polynomdivision ohne Rest aufgeht: ( x 5 + x 2 : ( x 3 + 2x 2 + ax + b? Polynomdivision: (x 5 +x 2 : (x 3 + 2x 2 + ax + b x 2 2x + ( a (x 5 +2x +ax 3 +bx 2 2x ax 3 bx 2 +x 2 ( 2x x 3 2ax 2 2bx ( ( a x 3 (2a b x 2 + (a ( + 2b x 2 ( a x 3 (8 2a x 2 + a a 2 x + (b ab ( (a b 8 x b a + a 2 x + (ab b 2 Rest (muss Null sein: a b b a + a 2 0 ab b 2 0 b a 8 a 2 a (a 8 0 a 2 + a 5 0 (a + 5 (a 0 a (a 8 (a a 2 6a (a 5 (a 0 a b Seite / 5

5 . Aufgabe Faktorisiere (a endliche geom. Reihe: p (x z z 2 + z 3 z + z 5 p (x z z 2 + z 3 z + z 5 z komplexe Einheitswurzeln: k0 z z 5 e i(π+2kπ z e i π+2kπ 5 ( z k z ( z5 ( z z (z5 + z + Faktorisierung (im Komplexen: z 0 e i π 5 z e i 3π 5 z 2 e i 5π 5 z 3 e i 7π 5 z e i π 5 p (x z z 2 + z 3 z + z 5 z (z5 + z + z ( z e i π 5 ( z e i 3π 5 ( ( (z ( z e i 7π 5 z e i π 5 z + z ( ( ( ( z e i π 5 z e i 3π 5 z e i 7π 5 z e i π 5 z ( ( ( ( z e i π 5 z e i π 5 z e i 3π 5 z e i 3π 5 Faktorisierung (im Reellen: p (x z z 2 + z 3 z + z 5 z ( ( ( ( z e i π 5 z e i π 5 z e i 3π 5 z e i 3π 5 ( ( π z z 2 2 cos z + ( ( 3π z 2 2 cos z (b p (x z + Seite 5 / 5

6 (c Die Nullstellen bestimmen: z cis(π z k cis ( pi + 2kπ Die Faktorisierung im Komplexen lautet somit: ( ( π ( ( ( ( ( ( 3π 5π 7π z + z cis z cis z cis z cis ( ( ( ( ( ( π π 3π z cis z cis z cis ( ( ( ( 5π 7π z cis z cis Die Faktorisierung im Reellen: ( ( π z + z 2 2z cos + ( ( 3π z 2 2z cos ( ( 7π z 2 2z cos + (z + Die Nullstellen bestimmen: p (x z + z cis(π z k cis Die Faktorisierung im Komplexen lautet somit: ( ( π ( ( 3π z + z cis z cis ( z cis ( + z 2 2z cos ( pi + 2kπ ( ( 5π z cis Die Faktorisierung im Reellen: ( ( π z + z 2 2z cos + ( ( 3π z 2 2z cos + im Reellen und im Komplexen. 5. Aufgabe Gegeben sei das Polynom p (x x 2x x 2 7x + 5 ( 5π + ( 7π (a Berechne mittels Hornerschema die Funktionswerte an den Stützstellen x { 2,, 0,, 2, 3,, 5}. p (x x 2x x 2 7x + 5 (((x 2 x x 7 x + 5 Seite 6 / 5

7 x 2: x p ( 2 x : x p ( x 0: x p (0 x : x p ( x 2: x p (2 x 3: (Nullstelle! x p (3 x : x p ( x 5: (Nullstelle! x p (5 Wertetabelle: x p (x (b Bestimme alle Nullstellen und schreibe das Polynom als Produkt der Linearfaktoren. Seite 7 / 5

8 In der vorigen Aufgabe haben wir die beiden Nullstellen x 3 und x 2 5 gefunden. Wir dividieren das Polynom durch die beiden Linearfaktoren (x 3 und (x 5: x p (3 p (x (x 3 x3 2x 2 + 3x x p (5 p (x (x 3 (x 5 x2 6x + 63 Das quadratische Quotientenpolynom x 2 6x + 63 hat die beiden reellen Nullstellen: x 3, ( 6 ± ( x 3, 6 ± 8 ± 2 x 3 7 x Somit lautet die Faktorisierung: (c Skizziere den Graph des Polynoms. p (x (x 3 (x 5 (x 7 (x Seite 8 / 5

9 6. Aufgabe Das Polynom p (x x +6x 3 6x 2 +x 55 hat die komplexe Nullstelle x 2+i. (a Bestimme alle Nullstellen des Polynoms. Da bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten die komplexen Nullstellen immer konjugiert komplex auftretten, ist auch x 2 2 i eine Nullstelle und somit (x (2 + i und (x (2 i (komplexe Linearfaktoren. Das Produkt dieser Linearfaktoren ergibt das quadratische Polynom: (x 2 i (x 2 + i x 2 x + i 2 x 2 x + 5 Division durch dieses quadratische Polynom ergibt: p (x x 2 x + 5 x2 + 0x (x (x + Die Nullstellen lauten somit: x,2 2 ± i x 3 x (b Bestimme die Faktordarstellung des Polynoms im Reellen. p (x (x 2 i (x 2 + i (x (x + ( x 2 x + 5 (x (x + Seite / 5

10 7. Aufgabe Skizziere das Bild der Inversion w z Teil 2 (mit Rechner des untenstehenden Gitternetzes: Die Inversion einer Geraden ergibt einen Kreis durch den Ursprung. Diese Inversion erfolgt in drei (konstruktiven Schritten. Inversion des dem Ursprung am nächsten liegenden Punktes (Fusspunkt. Konstruktiv wird dabei nur der Betrag invertiert und der Winkel noch beibelassen: z re iφ z r eiφ Seite 0 / 5

11 Im(z z iφ re φ z' e r iφ Re(z Der neu berechnete Zeiger z ist Durchmesser des Kreises k mit den konjugiertkomplexen Inversen. An diesem noch zu spiegelnden Kreis können einige Inverse eingetragen werden, indem die Winkel von der Geraden auf den Kreis übertragen werden: Im(z z z 2 z iφ re z' z' 2 z' z 3 φ z' 3 z' z Re(z Im letzten Schitt wird der Kreis noch an der reellen Achse gespiegelt: w z z Seite / 5

12 Im(z z z 2 z iφ re z' z' 2 z' z 3 φ z' 3 z' z w Re(z w w 2 w 3 w z' z e r iφ Lösung der Aufgabe (Achtung: neue Skalierung für die Inversen: 8. Aufgabe (a Bestimme die Funktion der Ortskurve der Geraden durch die Punkte z 2 2i und z 2 2i. Bestimme zudem die Funktionsvorschrift der Inversion dieser Geraden. Skizziere diese Ortskurven. Seite 2 / 5

13 Bestimmung des nächsten Punktes mit Mitteln der Vektorgeometrie: Punkte: ( 2 r 2 ( 0 r2 2 Richtungsvektor: a r2 r ( 0 2 ( 2 2 ( 2 Normalenvektor: n ( 2 Geradengleichung: ( 2 (( x y n r r 0 ( x + y 2 0 HNF-Form: 2x + y Distanz (Ursprung in HNF einsetzen: d Nächster Punkt: z N i i2 5 Gleichung der Geraden: z (p a ( + ip 5 ( 5 + i2 ( + ip 5 Gleichung der Inversion (ergibt einen Kreis durch den Ursprung: ( w (p z (p ( + i i 2 ( 5 5 ( + ip + i ( 2 i ( + ip ( 5 i 5 2 ( ( + ip i 2 ( + ip Skizze: Seite 3 / 5

14 (b Bestimme die Funktion der Ortskurve des Kreises durch die Punkte z 0, z 2 2i und z i. Bestimme zudem die Funktionsvorschrift der Inversion dieses Kreises. Skizziere diese Ortskurven. Bestimmung des Mittelpunktes und Radius mit Mitteln der Vektorgeometrie: Ansatz Kreisgleichung: Punkte einsetzen: Gleichungssystem: (x x M 2 + (y y M 2 R 2 (0 x M 2 + (0 y M 2 R 2 x 2 M + y 2 M R 2 (0 x M 2 + (2 y M 2 R 2 x 2 M + y 2 M y M + R 2 (3 x M 2 + ( y M 2 R 2 x 2 M + 6x M + + y 2 M 2y M + R 2 x 2 M + y 2 M R 2 0 x 2 M + y 2 M y M R 2 x 2 M + 6x M + ym 2 2y M R 2 0 M ( 3,, R 5 3 Seite / 5

15 Kreisgleichung: ( x (y entferntester Punkt: a 2z M 2 ( 3 + i i Ortskurve des Kreises: z (u a + iu 8 + 2i 3 + iu Gleichung der Inversion (ergibt einen Gerade: w (u z (u i 8 3 +iu ( 8 ( 2i i ( ( + iu 8 2i 3 3 ( i ( + iu + 2i ( + iu ( 8 2i 3 00 ( + iu Skizze: Seite 5 / 5