Lösung Arbeitsblatt Vektoren

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Edwina Möller
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1 Fachhochschule Nordwestschweiz FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften IMN Dozent: - Brückenkurs Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Modul: Mathematik Datum:. Aufgabe Gegeben sei der Ortsvektor r Spiegeln Sie diesen Ortsvektor der Reihe nach an der xy-ebene, der xz-ebene, der yz-ebene, der x-achse, der y-achse, der z-achse und dem Ursprung. r xy rx ro, r xz, r y, r yz, r z. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a, b, c, d, e Berechnen Sie: a b c d e a + b a + b + c d e 6 6

2 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren c b a + a + c b b a + a + c b + c + Lösen Sie die Gleichungen: a x + d a b + + x a b + e x x + a b + d + x a b + e x x e d x e d b a + x b x Seite / 6

3 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren a + x b x a + x b x x b a x b a 9. Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a, b, c, d a Berechnen Sie: a, b, c, d, a + b, a b + c a a a b + + c d + + a + b a b + c b Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor. 6 Seite / 6

4 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren. Aufgabe ea a a eb ec ed a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A 9, und B 6,. r ra + t r B r A t 9 + t g : r x y 9 t t 9 b Welche der Punkte P,, P, und P, liegen auf der Geraden g? Punkte einsetzen: P : 9 t t t t P : 9 t t t t P : 9 t t Die Punkte P und P liegen auf der Geraden g. t t Seite / 6

5 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Geraden g. x 9 t y t x 9 y x + y 9 d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte der Geraden g. x + y 9 x 9 + y Die Achsenschnittpunkte sind somit S x 9, und S y,. e Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g und g und deren Schnittpunkt B Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Wasseroberfläche gespiegelt - es gilt: EinfallswinkelAusfallswinkel. y g B g T,h β α x Gerade g : Wir kennen einen Punkt T, h b h und die Steigung m tan α: g : y mx + b x tan α + h Gerade g : Die Gerade g hat die Steigung m tan β und geht durch den an der x-achse gespiegelten Punkt T, h. Also: g : y mx + b x tan β h In der Form x x A + y y A sind x A und y A die Achsenabschnitte der Geraden. Seite / 6

6 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Schnittpunkt Ballonposition: tan α tan β x y h h D D x D y tan α tan β h h tan α h tan β tan β tan α h h h tan α + tan β x B D x D y B D y D h tan β tan α h tan α + tan β tan β tan α h h tan α + tan β B, tan β tan α tan β tan α Seite 6 / 6

7 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren. Aufgabe a Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A,,, B,, und C,,. r ra + t r B r A + s r C r A + t + s + t + s ε : r x y z + t + s + s t + s b Welche der Punkte P,, und P 9, 6, liegen auf der Ebene ε? Punkte einsetzen: P : P : t s t s Der Punkt P liegt auf der Ebene ε. + t + s + s t + s t s + t + s + s t + s t s c Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε. x + t + s y + s z t + s y x + t + z t + y t x y + z x y + z s y x y + + y t s keine Lösung! Seite / 6

8 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren d Bestimmen Sie die Achsenabschnitte der Ebene ε. Da die Achsenabschnittsform nicht erzeugt werden kann, gilt x A y A z A. D.h. die Ebene beinhaltet den Ursprung! 6. Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P,,, P,,, P,, und Q,,, Q,,, Q,, definierten beiden Ebenen. Normalenvektoren bestimmen: np P P P P r P r P r P r P 9 n Q Q Q Q Q 6 Ebenengleichungen: Schnittgerade: p : n p r r p x + 9y + z 9 q : n Q r r Q x + 9y + z 9 x + y z x + y z x z y z 9 L {x, y, z : z, z 9, z} bzw. r 9 + t In der Form x x A + y y A + z z A sind x A, y A und z A die Achsenabschnitte der Ebene. Seite / 6

9 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Schnittwinkel Winkel zwischen den Normalenvektoren: np n Q α a cos n p n Q a cos Aufgabe Gegeben sei die Gerade g g : r + t t t und der Punkt P,,. Bestimmen Sie: a den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt. F g P Der Verbindungsvektor P F steht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden: P F a r F r P a r + t a r P a r F t a a r P r a t a r P r a Seite 9 / 6

10 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Und noch die Distanz: d P F b die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig wird. Mit der Lösung der letzten Teilaufgabe finden wir für die Seitenlänge des Dreiecks: s h d Die beiden Punkte A und B sind nun gleich weit von F entfernt: r A r F + s. 9 ea r B r F s ea Aufgabe Im Dreieck A,,, B,,, C,, sind die Längen der Seiten und Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen. Seitenlängen: a rb r C a a b rc r A b b c ra r B c c Seite / 6

11 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Seitenhalbierende: Winkel: sa a + c + s a sb b + a + s b sc c + b 9 s c 9. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren b c α a cos b a cos c a c β a cos a a cos c a b γ a cos a a cos b a, b a Bestimmen Sie k so, dass a + k b normal auf b steht. a + k b b + k + k + k + k 9k + 9 k 9 9 Seite / 6

12 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren b Bestimmen Sie einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden gegebenen Vektoren steht. Einen Normalenvektor: n a b Länge anpassen: n ± 9 9 n ± n 6. Aufgabe Weisen Sie nach, das die beiden Parametergleichungen: r dieselbe Gerade darstellen. Parallele Richtungsvektoren: r k + t + t t s 6s + s 6 k Der Punkt,, liegt auch auf der unteren Geraden: s 6s s + s. Aufgabe * Bestimmen Sie den kürzesten Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden g : r g : r t + t + t + s + s + s Seite / 6

13 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Der Verbindungsvektor steht normal auf beiden Geraden: F F + s + s + s t + t + t + s + t s t + s t Fusspunkte: r F r F F F 9s 9t F F s 9t s 9, t Distanz: F F 9 d Aufgabe Es seien die beiden Geraden g : x y + g : x + y gegeben. Bestimmen Sie: a Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. Schnittpunkt: x y x 6, y Seite / 6

14 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der beiden Geraden: n, n n n α a cos n a cos. n b * die Gleichung der Winkelhalbierenden. Hesse sche Normalformen: HNF g : x y + HNF g : x + y Winkelhalbierende Summe bzw. Differenz der Hesse schen Normalformen: ω : x y + + x + y ω : x y + x + y. Aufgabe * Im Punkt Q,, sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Bestimmen Sie die Richtung, die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen Spiegel s : x y + z + den Punkt P,, anzustrahlen. Q s P S P' Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt Achtung: Es gibt zwei Lösungen!. Spiegeln Sie den Punkt P an der Ebene. Seite / 6

15 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren Wir spiegeln zuerst den Punkt P am Spiegel: r P r P d n n Die Richtung des Lichtstrahls: QP. Aufgabe a Gegeben sind die Geraden 9 9 g : r h : r + t + t t + s + s + s Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g parallel ist. Punkt der Ebene: Normalenvektor: Ebene: n r P 9 n r rp x + y z x y z + Seite / 6

16 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Vektoren b Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : x + 6y + 6z. Die Projektion des Dreiecks in die xy-ebene habe den Flächeninhalt A xy. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. Winkel zwischen Ebene und Projektion: 6 6 α arccos arccos. 9 Jede Seite oder jede Distanz wird durch die Projektion um den gleichen Faktor gekürzt. Dieser Faktor ist gleich: cos α Daher wird die Fläche bei der Projektion um diesen Faktor im Quadrat verkleinert. Es gilt daher: A xy A A 9 A xy Seite 6 / 6

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