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1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie...

2 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analsis: Ableiten, Integrale berechnen, Gleichung lösen mit Satz vom Nullprodukt, Modellieren von Funktionen. Analtische Geometrie: Schnitt zweier Ebenen, Ebenen im Koordinatensstem, Spiegeln an Ebenen. Aufgabe : Die Funktion f mit f() = (sin() + 7) 5 muss mit der Kettenregel abgeleitet werden ( äußere mal innere Ableitung ). Man erhält: f () = 5 (sin() + 7) 4 cos() (Hinweis: Der Term cos() ist die innere Ableitung. Sie erhält man durch Ableiten des Terms sin() + 7.) Aufgabe : Man sollte die Funktionsgleichung zuerst umschreiben zu f() = e 4 +. Eine mögliche Stammfunktion ist: F() = 4 e 4 + F() = e 4 F() = e 4 Aufgabe : Lösung der Gleichung sin() cos() cos() = : Zunächst muss man cos() ausklammern: sin() cos() cos() = cos() (sin() ) = Mit dem Satz vom Nullprodukt, wonach ein Produkt dann Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist, erhält man folgende zwei Gleichungen: cos() = (I) sin() = (II) = π π und = sin() = Keine Lösung. (Hinweis: Die Nullstellen der Kosinusfunktion im Intervall π sollte man auswendig wissen!) Ergebnis: Die Gleichung sin() cos() cos() = hat im Intervall π die Lösungen = π π und =. Mathematik-Verlag,

3 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 4: Gemeinsame Punkte der beiden en: Gleichsetzen der beiden Funktionsterme ergibt: = = = :,5 = Mit der p,q-formel erhält man: =,75 +,75 + = und =,75,75 + =,5 Die zugehörigen -Koordinaten erhält man durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen. Einsetzen von = in g() = ergibt: =. Somit ist S ( ). Einsetzen von =,5 in g() = ergibt: = 4. Somit ist S (,5 4). Ergebnis: Die gemeinsamen Punkte der beiden en sind S ( ) und S (,5 4). Untersuchung, ob sich die beiden en senkrecht schneiden: Wenn sich die beiden en und g senkrecht schneiden sollen, muss für das Produkt der Tangentensteigungen in einem Schnittpunkt gelten: m f m g = Man muss also für beide Schnittpunkte S ( ) und S (,5 4) untersuchen, ob diese Gleichung erfüllt ist. Der von g ist eine Gerade mit der (konstanten) Steigung m g =. Sowohl in S als auch in S beträgt die Steigung der Geraden somit m g =. Die Tangentensteigung des en muss mit der ersten Ableitung berechnet werden. Mit f() = = erhält man: f () = = Die Tangentensteigung in S ( ) ist: m f = f () = =,5. Wegen,5 m g = schneiden sich die en und g in S ( ) senkrecht. Die Tangentensteigung in S (,5 4) ist: m f = f (,5) = 8. Wegen 8 m g schneiden sich die en und g in S (,5 4) nicht senkrecht. Ergebnis: Die beiden en schneiden sich in S ( ) senkrecht. 4 Mathematik-Verlag,

4 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 5: a) Begründung, dass Abbildung den en zeigt: Als einziger der vier en verläuft der von Abbildung durch den Punkt P( ). Die Punktprobe mit der Funktionsgleichung f() = ergibt: f() = () =. Somit kann der nur zu Abbildung gehören. (Hinweis: Man könnte auch den Hoch und Tiefpunkt bestimmen und mit den en der vier Abbildungen vergleichen. Allerdings wäre dieser Nachweis etwas aufwendiger.) b) Zuordnung der Funktionen g und h. Bestimmen der Werte a und b: Zuordnung der Funktion g: Aus der Gleichung g() = f( a) folgt, dass der von g gegenüber dem en um a Längeneinheiten in -Achsenrichtung nach rechts (bei a > ) bzw. nach links (bei a < ) verschoben sein muss. Dies trifft nur für den en von Abbildung 4 zu, da nur hier der Hochpunkt wie beim en auf der -Achse liegt. Wie man der Abbildung 4 entnimmt, wurde der um genau Längeneinheiten nach rechts verschoben (s. nebenstehende Zeichnung). Ergebnis: Abbildung 4 zeigt den en von g, und es ist a =. LE LE LE von g Zuordnung der Funktion h: Die Gleichung h() = b f() bedeutet, dass jeder Funktionswert h() durch Multiplikation des Funktionswerts f() mit einem konstanten Faktor b hervorgeht. Vergleicht man nun ein paar ausgewählte Funktionswerte von Abbildung mit denen (), erkennt man (siehe nebenstehende Zeichnung): h( ) = und f( ) = 4 h( ) =,5 f( ) wegen =,5 ( 4) h() = und f() = h() =,5 f() wegen =,5 ( ) h() = und f() = 4 h() =,5 f() wegen =,5 ( 4) von h Ergebnis: Abbildung zeigt den en von h, und es ist b =,5. (Hinweis: isch bedeutet die Gleichung h() =,5 f(), dass der zuerst an der -Achse gespiegelt wird und dann mit dem Faktor,5 in -Achsenrichtung gestaucht wird.) c) Der Funktionsterm für die Funktion k: Die noch nicht zugeordnete Abbildung ist Abbildung. Wie man durch Vergleich mit dem en in Abbildung leicht erkennt, ist der von Abbildung gegenüber dem um LE in -Achsenrichtung nach oben verschoben. Somit muss gelten: k() = f() + bzw. k() = + = + Ergebnis: Der Funktionsterm von k lautet: k() = +. von k LE LE Mathematik-Verlag, 4

5 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 6: Die Schnittgerade zwischen den Ebenen E und F: Um eine Gleichung der Schnittgeraden beider Ebenen bestimmen zu können, sollten beide Ebenengleichungen als Koordinatengleichung vorliegen. Aus der angegebenen Normalengleichung 4 von E kann man sofort den Normalenvektor n = und den Ebenenpunkt P( ) ablesen. Somit lautet die (unvollständige) Koordinatengleichung E: 4 + = d. Den Wert für d erhält man durch Einsetzen der Koordinaten von P( ): 4 + = d d = 4 Die vollständige Koordinatengleichung der Ebene E lautet also E: 4 + = 4. Die Schnittgerade ist nun die Lösung des Gleichungssstems: E: 4 + = 4 (I) F: + = 8 (II) Da in Gleichung (II) nur zwei Variablen vorkommen, braucht man in diesem Gleichungssstem keine Variable mehr zu eliminieren, sondern kann sofort einen Parameter einführen. Z.B.: = t. Für ergibt sich dann in Abhängigkeit von t: + t = 8 = 8 t Durch Einsetzen von = t und = 8 t in Gleichung (I): 4 + = 4 erhält man die -Koordinate in Abhängigkeit von t: 4 (8 t) + t = t + t = t = t 4 = 4t :4 = t Die gemeinsamen Punkte der Ebenen E und F haben somit die von t abhängigen Koordinaten t P t ( t 8 t t). Der entsprechende Ortsvektor ist: = 8 t = 8 + t t. Genau das ist die Gleichung der gesuchten Schnittgeraden. Ergebnis: Die Ebenen E und F schneiden sich in der Geraden g: = 8 + t. Mathematik-Verlag, 5

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